2025高考数学一轮复习 空间点、直线、平面之间的位置关系 专项训练（原卷版）

8.2-空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【原卷版】

基础巩固练

1.在正方体48。。一241。1。1中，直线BCi与直线2道所成角的大小为（）.

A.90°B,60°C,45°D,30°

2.若直线TH与平面a平行，且直线aua,则直线m和直线a的位置关系不

可能为（）.

A.平行B.异面C.相交D.没有公共点

3.用符号表示“点2不在直线m上，直线m在平面a内”，正确的是（）.

A.Am,muaB.Am,mEaC.Am,muaD.Am,mEa

4.已知点E,凡G,”分别在空间四边形ABC。的边2B,BC,CD,D4上，若EF〃GH,

则下列说法中正确的是（）.

A.直线EH与FG一定平行B.直线EH与FG一定相交

C.直线EH与FG可能异面D.直线EH与FG一定共面

5.如图，在三棱锥2-BCD中，E,F,G,H分别是ZB,BC,CD,D4的中点,

则四边形EFG”是（）.

A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形

6.已知在直三棱柱48。一4把1的中，AB1BC,QE分别是的中点，则

（）.

A.Bi。与相交，且BiD=2iE

B.Bi。与相交，且为。力41后

C.Bi。与是异面直线，且

D.BpD与是异面直线，且BiDHZiE

7.下列说法正确的是（）.

A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面

C.圆心和圆上两点确定一个平面D.两条相交直线确定一个平面

8.如图，在正方体4BCD—中，M,N分别为棱的小，的中点，

下列说法中正确的是（）.

A.直线与CiC是异面直线B.4M,B,N四点共面

C.直线BN与MB1是相交直线D.直线MN与2C是相交直线

综合提升练

9.（多选题）已知4B是平面a外的任意两点，则（）.

A.在a内存在直线与直线ZB异面B.在a内存在直线与直线ZB相交

C.存在过直线的平面与a垂直D.在a内存在直线与直线平行

10.（多选题）如图，在棱长为2的正方体4BCD—481的。1中，M,N,P分

别是的。1，C±C,的中点，则（）.

A.M,N,B,四点共面

B.异面直线PDi与MN所成角的余弦值为呼

C.平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形

D.三棱锥P-MNB的体积为g

11.已知在四棱锥P—2BC。中,2D〃BC,a。=2BC,E为PD的中点，平面2BE

交PC于点F,则暮=

12.已知在四棱锥P—ZBCD中，底面2BCD为平行四边形,P4=2B=4。=1,

Z-PAB=^PAD=/.BAD=60。，E为棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成

角的大小为

应用情境练

13.如图，在直三棱柱2BC-&B1C1中，BA1BC,AB=4,4%=BC=4b,

。是的中点，在侧面441cle上以。为圆心，2为半径作圆，P是圆。上一

点，则BP的最小值为

14.（双空题）已知正方体4BCD-2$1的小的所有顶点均在体积为32岛的

球。上，则该正方体的棱长为,；若动点P在四边形2道1的小内运动，

且满足直线CCi与直线AP所成角的正弦值为右则0P的最小值为.

创新拓展练

15.在RtUBC中,乙8。4=]"=1乃。=逐。是28边上的动点,设8。=%,

把△BDC沿DC翻折为△BiDC,如图所示，若存在某个位置，使得异面直线BiC

与所成的角为全则实数%的取值范围是

2B=1.G为PC的中点，M为△PBD内一动点（不与P,B,。三点重合）.

P

（1）求直线BC与PD所成的角；

⑵若4M=?,求点M的轨迹所围成图形的面积.

8.2-空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【解析版】

基础巩固练

1.在正方体48。。一241。1。1中，直线BCi与直线所成角的大小为（A）.

A.90°B,60°C,45°D,30°

［解析］由于在正方体ABC。—必/的。1中，BCJ/ZDi/i。所以直线BCr

与直线所成角为90。，故选A.

2.若直线m与平面a平行，且直线aua,则直线m和直线a的位置关系不

可能为（C）.

A.平行B.异面C.相交D.没有公共点

［解析］直线Tn与平面a平行，且直线aua,则直线TH和直线a的位置关系可能

平行，可能异面，即没有公共点，也不可能相交，因为若直线m和直线a相交，

则THua或TH与a相交，均与已知条件矛盾.故选C.

3.用符号表示“点4不在直线m上，直线m在平面a内”，正确的是（A）.

A.Am,znuaB.Am,mEaC.^4<4m,m<zaD.^4<4m,mEa

［解析］由题意用符号表示“点2不在直线m上，直线m在平面a内"，即2Wm,

mua,故选A.

4.已知点E,F,G,H分别在空间四边形ZBCD的边ZB,BC,CD,D4上，若EF//GH,

则下列说法中正确的是（D）.

A.直线E”与FG一定平行B.直线E”与FG一定相交

C.直线EH与FG可能异面D.直线EH与FG一定共面

［解析］如图1,由于EF〃G”，所以E,F,G,”四点确定一个平面EFG”，所以直线

E”与FG一定共面，故D正确，C错误；

D

图1图2图3

如图2,只有当EF〃G”且EF=G”时，四边形EFG”为平行四边形，此时E”〃GF,

故A错误；

如图3,只有当EF〃G”但EFHG”时，四边形EFGH为梯形，此时E”，GF相

交于点。，故B错误.故选D.

5.如图，在三棱锥2-BCD中，E,F,G,”分别是ZB,BC,CD,D4的中点，

则四边形EFG”是(B).

A.梯形D.矩形

［解析］因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，所以EF//AC,EF=^AC,

HG//AC,”G=［aC,所以EF〃HG且EF=HG,可知四边形EFG”为平行四边

形，故选B.

6.已知在直三棱柱ABC—4/1的中，AB1BC,分别是的中点，则

(D).

A.Bi。与相交，且为。=4亚

B.Bi。与相交，且BiDHZiE

C.Bi。与是异面直线，且BiD=aiE

D.Bi。与是异面直线，且

［解析］如图，因为ZiECl平面44iBiB=a，BIDu平面44*18/1W当。，

所以斗。与&E是异面直线，B1D=JBB：+；AB2,AIE=.因为

AAi=BB^ABAC,所以A故选D.

A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面

C.圆心和圆上两点确定一个平面D.两条相交直线确定一个平面

［解析］对于A,空间中三个不共线的点确定唯一的平面，故A错误;对于B,一条直

线以及直线夕|—•点可以确定一■个平面，故B错误;对于C,圆心和不与圆心在同一

直线上的两个点才可以确定一个平面，故C错误;对于D,两条相交直线可以确定

一个平面，故D正确.故选D.

8.如图，在正方体49。。一2m1的。1中，M,N分别为棱的小，的。的中点，

下列说法中正确的是（A）.

A.直线与CW是异面直线B.4M,B,N四点共面

C.直线BN与MB1是相交直线D.直线MN与AC是相交直线

［解析］因为2W平面CDD1C1，MG平面CDD1C1，C1CU平面。。小的,MWgC,

所以AM与CW是异面直线，故A正确；如图，连接4。1方的，因为N0平面

ABC1D1,BC平面ZBCiDi，AMc平面28的。1，B£AM,所以AM与BN是

异面直线，故B错误；因为MW平面BCQBi，Bie平面BCC/i，BNu平面

BCC1B1,Bi史BN,所以BN与MB1是异面直线，故C错误；延长DC与MN交

于点E,因为平面ABC。，EE平面ABC。，ACc平面ABC。，EeAC,

所以ME与ac是异面直线，即MN与ac是异面直线，故D错误.故选A.

综合提升练

9.（多选题）已知4B是平面a外的任意两点，则（AC）.

A.在a内存在直线与直线ZB异面B.在a内存在直线与直线ZB相交

C.存在过直线的平面与a垂直D.在a内存在直线与直线平行

［解析］由4B是不在平面a内的任意两点，得直线2B〃a或直线与平面a相

交.对于A,当直线2B〃a或直线与平面a相交时，在a内存在直线与直线

异面，故A正确；对于B,当直线4B〃a时，在a内不存在直线与直线相

交，故B错误；对于C,当直线4B〃a或直线ZB与平面a相交时，存在过直线

的平面与a垂直，故C正确；对于D,当直线与平面a相交时，在a内不

存在直线与直线平行，故D错误.故选AC.

10.（多选题）如图，在棱长为2的正方体2BCD—中，M,N,P分

别是的。1，C±C,的中点，则（BCD）.

B.异面直线PDi与MN所成角的余弦值为噜

C.平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形

D.三棱锥P-MNB的体积为9

［解析］对于A,连接BDi，如图所示，易知MN与BO1为异面直线，所以M,N,

B,小不可能四点共面，故A错误；

对于B,连接COi，CP,易得MN〃CDi，所以ZPDiC为异面直线PDi与MN所

成的角或其补角，因为4B=2,所以CDi=2或，DiPPC=3,所以

22

COSZPD1C=（2座）+产）-32=包，所以异面直线PD与MN所成角的余弦值为亚,

12x2V2xV510110

故B正确;

对于C,连接A±M,易得A1B〃MN,A1B于MN,A1M=BN,所以平面BMN

截正方体所得双面为梯形MNB4,故C正确；

对于D,易得D］P〃BN,因为。止《平面MNB,BNu平面MNB,所以。止〃

11

平面MNB,所以，三棱锥P-MNB='三棱锥/-MNB=，三棱锥B-MN%=3'万X1X

lx2=1,故D正确.故选BCD.

AB

11.已知在四棱锥P—ZBCD中,2D〃BC,a。=2BC,E为PD的中点，平面ABE

交PC于点F,则2=2.

［解析］如图，延长DC,ZB交于点G,连接PG,EG支PC于点、F,

•••AD//BC,且2D=2BC,:.B,C分别是4G,DG的中点.

又E是PD的中点，PC和GE是APDG的中线，

点、F是APDG的重心,所以竺=2.

G

12.已知在四棱锥P—4BCD中，底面4BCD为平行四边形,P4=4B=4。=1,

ZPaB=ZPaD=NB2D=60°,E为棱PC的中点，则异面直线BE与24所成

角的大小为

4

［解析］如图，连接BD,AC交于点。，再连接0E,

因为O,E分别为ZC,PC的中点，所以。E〃pa,且。E=gpa=$所以异面直

线BE与P2所成的角为乙BEO.

因为△ZBD为等边三角形，

所以BD=1nOB=工，在△BEO中，OE?+OB2=BE2,cos^BEO=—=4=—,

2BE-2

即NBE。=工，故异面直线BE与PZ所成角的大小为二

44

应用情境练

13.如图，在直三棱柱ABC—&B1C1中，BA1BC,AB=4,441=BC=4k,

。是的中点，在侧面441cle上以。为圆心，2为半径作圆，P是圆。上一

点，则BP的最小值为生

［解析］如图，取2C的中点F,过点B作BE14C,垂足为E,连接。E,OF.

因为三棱柱ABC—4m1的为直三棱柱，所以CCil平面4BC.因为BEu平面

2BC,所以cciIBE.因为acncci=c,acu平面acci2i,cciu平面acCiZi，

所以BE1平面441C1C,因为EPU平面441C1C,所以BE1EP,得BP=

<BE2+EP2,当PCOE时，EP最小，此时BP有最小值,

因为BA1BC,AB=4,BC=4V3,所以AC=y/AB2+BC2=8,乙EAB=60°,

易求得BE=2y/3,AE=2,2F=4,所以EF=2,由。F1EF,OF==2祗,

得。E=4,所以EPmin=OE-2=2,所以BP的最小值为，12+4=4.

c

14.（双空题）已知正方体48。。-2$1的。1的所有顶点均在体积为32国的

球。上，则该正方体的棱长为4；若动点P在四边形2道修1。1内运动，且满足

直线CC1与直线AP所成角的正弦值为右则0P的最小值为近.

［解析］如图，设正方体ZBCD—ZiBiCiDi的棱长为a,则球。的半径为?a,

3

故球。的体积^=/（学）=32V3n，解得a=4.因为CCJ/24,所以直线Z4

与直线2P所成角的正弦值为3即7丹有=；,解得&P=应，故点P的轨迹是

3^42+4止23,

以为为圆心，鱼为半径的圆的四分之一（如图所示），设正方形4/1C1D1的中心

为。1，连接。141，。。1，

则OPmin=」。。：+。止盆=J22+（2^2-奁J=V6.

创新拓展练

15.在Rt^ZBC中，乙8。4=］/C=1,BC=8,。是边上的动点，设BD=%,

把△BDC沿DC翻折为△BiDC,如图所示，若存在某个位置，使得异面直线BiC

与所成的角为5则实数久的取值范围是（等21.

c

c

［解析］在RtZkZBC中，Z.BCA=-,AC=1,BC=V3,则N&BC=E,

26

△BDC沿DC翻折为△BiDC,则BiC是以BCF为轴截面的圆锥的母线，其中C,D,0

共线，C。为圆锥的轴，4与B,F不重合，如图，过点C作CE〃4。，则BiC与

所成的角等于BiC与CE所成的角，设乙BCD=B,易知ZECF=26+E,如图，

6

若存在某个位置，使得异面直线BiC与4。所成的角为工，则2。+工>二

363

.•・。＞强又“BC=奈Sin^=sing-J)=sin^cos^-

c吗s呜=/，在ABC。中，由正弦定理得缶BDxsin0

sin。'V3sinz.BDC

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