辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷

辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）任意掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的可能性是（）A． B． C． D．3．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣y＝3 B． C．x2+1＝x2 D．x（x﹣1）＝04．（3分）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（）A．（﹣4，2） B．（﹣，4） C．（﹣2，4） D．（﹣4，）5．（3分）小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（）A．64° B．66° C．68° D．70°6．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（）A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD27．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0 B．x2+2x+1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2﹣5x+2＝08．（3分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（）A．（x+3）（5﹣0.5x）＝20 B．（x﹣3）（5+0.5x）＝20 C．（x﹣3）（5﹣0.5x）＝20 D．（x+3）（5+0.5x）＝209．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤4 B．m≥4 C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠210．（3分）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．下列结论：①四边形EGFH是平行四边形；②当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形；③当AC⊥BD时，四边形EGFH是矩形．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二.填空题（共5小题，每题3分，共15分）11．（3分）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为．12．（3分）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为．13．（3分）如图，四边形ABCD为正方形．△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝5，BD＝6，则菱形ABCD的面积是．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE．若P为DE的中点，则线段AF的长为．三.解答题（共8小题，共75分）16．（8分）解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0．（2）2x2﹣9x+8＝0．17．（8分）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．18．（8分）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）化简：÷•．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，．请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长．20．（8分）在北京举行的第24届冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，从“雨水”开始，一路倒数，最终行至“立春”，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．老师为了让学生深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．（1）下列四种说法，正确说法的序号是．①若随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”的概率为；②随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是必然事件；③随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是随机事件；④随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是不可能事件．（2）老师选出写有“立春、立夏、立秋”（分别用A，B，C依次表示这三种节气）的三张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小明同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．21．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？22．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）猜想CE与CG之间的位置关系？并说明理由；（3）若，则CE+CG的值为．23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的解析式；（2）将△AMB沿着AM翻折，点B落在点B1处，连接OB1，则四边形AMB1O的形状为；（3）若点H是直线AM上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．2．（3分）任意掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的可能性是（）A． B． C． D．【解答】解：∵骰子共6个面，偶数有2，4，6共3个，∴任意掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的可能性是＝，故选：A．3．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣y＝3 B． C．x2+1＝x2 D．x（x﹣1）＝0【解答】解：A．2x﹣y＝3有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．x2+＝2，是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．x2+1＝x2，整理后1＝0，不是方程，更不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．x（x﹣1）＝0，整理得x2﹣x＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．4．（3分）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（）A．（﹣4，2） B．（﹣，4） C．（﹣2，4） D．（﹣4，）【解答】解：过C作CN⊥x轴于N，过A作AM⊥x轴于M，∵点C的坐标为（3，4），∴ON＝3，CN＝4，∴OC＝＝5，∵四边形ABOC是菱形，∴AC＝OC＝5，AC∥BO，∴点A的坐标为（﹣2，4）．故选：C．5．（3分）小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（）A．64° B．66° C．68° D．70°【解答】解：由（1）（2）（3）可知四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，BC∥AD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∵∠A＝44°，∴∠ABD+∠ADB＝180°﹣∠A＝180°﹣44°＝136°，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝68°，故选：C．6．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（）A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD2【解答】解：A、∵∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OA2+OB2＝AD2，∴OA2+OD2＝AD2，∴∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意，D、∵AD2+OA2＝OD2，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∴不能证得▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．7．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0 B．x2+2x+1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2﹣5x+2＝0【解答】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故A不符合题意；B、Δ＝22﹣4×1×1＝0，有两个相等的实数根，故B不符合题意；C、Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，没有实数根，故C符合题意；D、Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故D不符合题意；故选：C．8．（3分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（）A．（x+3）（5﹣0.5x）＝20 B．（x﹣3）（5+0.5x）＝20 C．（x﹣3）（5﹣0.5x）＝20 D．（x+3）（5+0.5x）＝20【解答】解：由题意可得，（x+3）（5﹣0.5x）＝20，故选：A．9．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤4 B．m≥4 C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠2【解答】解：根据题意得，解得m≤4且m≠2．故选：D．10．（3分）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．下列结论：①四边形EGFH是平行四边形；②当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形；③当AC⊥BD时，四边形EGFH是矩形．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：①∵E，G分别是AD，BD的中点，∴EG是△DAB的中位线，∴EG＝AB，EG∥AB，同理，FH＝AB，FH∥AB，∴EG＝FH，EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形；故①正确，符合题意；②∵F，G分别是BC，BD的中点，∴FG是△DCB的中位线，∴FG＝CD，FG∥CD，当AB＝CD时，EG＝FG，∴四边形EGFH是菱形；当AB与CD满足条件AB＝CD时，四边形EGFH是菱形，故②正确，符合题意；③∵HF∥AB，∴∠HFC＝∠ABC，∵FG∥CD，∴∠GFB＝∠DCB，当AB⊥CD时，∴∠ABC+∠DCB＝90°，∴∠HFC+∠GFB＝90°，∴∠GFH＝90°，∴平行四边形EGFH是矩形，∴当AC⊥BD时，四边形EGFH不一定是矩形，故③错误，不符合题意；故选：A．二.填空题（共5小题，每题3分，共15分）11．（3分）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为4．【解答】解：令方程的另一个根为m，因为方程的一个根为﹣2，所以﹣2+m＝2，解得m＝4，所以方程的另一个根为4．故答案为：4．12．（3分）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为．【解答】解：将“唐僧”记为“A”，将“孙悟空”记为“B”，将“猪八戒”记为“C”，将“沙悟净”记为“D”，画树状图如下：共有16种等可能的结果，两次取到相同图案的卡片结果有（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D）4种，所以两次取到相同图案的卡片的概率为＝．故答案为：．13．（3分）如图，四边形ABCD为正方形．△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝2．【解答】解：∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝4，∠DAE＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAF＝30°，∴EF＝AE＝2．故答案为：2．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝5，BD＝6，则菱形ABCD的面积是24．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，根据勾股定理，得：OA＝，∴AC＝2OA＝8，∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×6×8＝24．故答案为：2415．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE．若P为DE的中点，则线段AF的长为．【解答】解：连接ED，延长DA到点G，使AG＝AD，连接EG，过E作EH⊥AG于H，∵F为DE中点，A为DG中点，∴AF为△DGE中位线，∴AF＝EG，在Rt△EAH中，∠EAH＝∠DAC＝45°，∴AH＝EH，∵AH2+EH2＝AE2，∴AH＝EH＝，∴GH＝AG﹣AH＝3﹣＝2，在Rt△EGH中，EG2＝EH2+GH2＝10，∴EG＝，∴AF＝EG＝．故答案为：．三.解答题（共8小题，共75分）16．（8分）解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0．（2）2x2﹣9x+8＝0．【解答】解：（1）∵（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3；（2）∵a＝2，b＝﹣9，c＝8，∴△＝81﹣4×2×8＝17＞0，则x＝．17．（8分）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝3；（2）当3是直角三角形的斜边长时，第三边＝＝2，当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边＝＝，∴第三边的长为2或．18．（8分）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）化简：÷•．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，解得m＞3；（2）∵m＞3，∴m﹣3＞0，∴÷•＝••＝﹣2．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，①或②．请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长．【解答】解：（1）选择①或②，证明如下：选择①，∵∠B＝∠AED，∴BC∥DE，∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形；选择②，∵AE＝BE，AE＝CD，∴BE＝CD，∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形；故答案为：①或②；（2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形，∴DE＝BC＝10，∵AD⊥AB，∴∠A＝90°，∴AE＝＝＝6，即线段AE的长为6．20．（8分）在北京举行的第24届冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，从“雨水”开始，一路倒数，最终行至“立春”，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．老师为了让学生深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．（1）下列四种说法，正确说法的序号是①③．①若随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”的概率为；②随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是必然事件；③随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是随机事件；④随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是不可能事件．（2）老师选出写有“立春、立夏、立秋”（分别用A，B，C依次表示这三种节气）的三张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小明同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．【解答】解：（1）∵共有24张卡片，且抽取每张卡片的可能性相同，∴若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为，故①正确；随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是随机事件，故说法③正确，②④错误，故选：①③；（2）由“立春、立夏、立秋”的三张卡片分别记为A、B、C，画树状图如下：由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有3种，∴两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为．21．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，整理，得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．22．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）猜想CE与CG之间的位置关系？并说明理由；（3）若，则CE+CG的值为2．【解答】（1）证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，则四边形EMCN是矩形，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）解：CE⊥CG，理由如下：∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方