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基本不等式的证明

无锡辅仁高中魏民问题情境1对任意实数x、y，有恒成立，即.

探究：1.分别用代替上面不等式中的x、y，

会得到什么式子？2.对上述实数a、b，须有何限制条件？3.上述不等关系中，何时取到“=”？问题情境2如图,AB为半圆的直径,C为圆周上一动点,

H为垂足.设AH=a,HB=b,半弦CH不大于半径COOHBCA把

称为a,b的算术平均数，把称为a,b的几何平均数.探究：1．试指出图中哪些线段的长度分别等于a,b的算术平均数和几何平均数？2．能否比较出两者的大小关系？（二）发现基本不等式数：形：半弦不大于半径

（三）构建基本不等式如果

，那么（当且仅当a=b时取“=”）.

这个不等式称为基本不等式.

刚才，我们从数和形两个角度找到也证明了基本不等式.那么,这个基本不等式还有其他哪些证明方法呢?（四）基本不等式的证明（比较法）证明不等式本质上就是比较大小，那么比较大小最常用的方法是什么呢？．

比较法，作差(或作商)（三）基本不等式的证明（比较法）说明：比较法证明不等式的步骤：

⑴作差（或作商），

⑵变形：通分、因式分解、配方等，

⑶判断差式的符号，

⑷结论.．

(当且仅当a=b时取“=”).基本不等式的证明（分析法）求证:

刚才在做差后的配方变形是不少同学没有想到的，确实有些不等式的证明用比较法还是很困难的．例如,请看基本不等式的证明（分析法）要证，只要证，只要证，只要证，因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,只要证.当且仅当a=b时取“=”.基本不等式的证明（分析法）要证,只要证,只要证,只要证.因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,当且仅当a=b时取“=”.基本不等式的证明（分析法）条件难入手结论显然成立结论变形再变简单点再简单点再变基本不等式的证明（分析法）条件难入手结论不过，有的同学觉得还是习惯于传统的从已知条件出发推导出要证的结论.基本不等式的证明（综合法）(当且仅当a=b时取“=”).证明：综合法：从已知或事实出发，根据不等式的性质推导出要证的不等式.基本不等式的证明（综合法）

分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，易于发现思路.

综合法的优点是易于表述，条理清楚，形式简洁.

证明不等式时常常用分析法寻找解题思路，再用综合法写出证明过程．（五）基本不等式的简单应用如果

，那么（当且仅当a=b时取“=”）.

这个不等式称为基本不等式.

基本不等式的变式：（五）基本不等式的简单应用

例

证明下列不等式（1）(a>0)；

思考1：第（1）题若将a>0

改为a<0

，要证的不等式有何变化？

如何证明？

（五）基本不等式的简单应用

结论：(a>0)；

(a<0).

（五）基本不等式的简单应用

例

证明下列不等式（2）

(a>1).

思考2：第（2）题若将

a>1改为a≠1，求的取值范围.

课堂小结在应用基本不等式时，要注意哪些问题?不等式的证明有哪几种常用的方法呢？基本不等式

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