直线与椭圆的位置关系课件高二上学期数学选择性

培优课直线与椭圆的位置关系第3章圆锥曲线与方程湘教版

数学

选择性必修第一册重难探究·能力素养全提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标重难探究·能力素养全提升探究点一直线与椭圆的位置关系(1)求椭圆L的标准方程;(2)过点Q(0,2)的直线l与椭圆L交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好过坐标原点,求直线l的方程及|AB|的大小.(2)易知直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为y=kx+2(k≠0).(4k2+1)x2+16kx+12=0,Δ=(16k)2-48(4k2+1)=16(4k2-3)>0,规律方法

直线与椭圆的位置关系的判断方法

位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ=0相离无解Δ<0变式训练1已知直线l:y=kx+4,椭圆C:

+y2=1.(1)若直线l过C的左焦点,求实数k的值;(2)若直线l与椭圆C有公共点,求实数k的取值范围.解

(1)由已知可得,椭圆C的左焦点的坐标是(-2,0),∵直线l:y=kx+4过C的左焦点,∴-2k+4=0,解得k=2.探究点二直线被椭圆截得的弦长的求法【例2】已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)求直线y=x+m被椭圆截得的弦最长时,直线的方程.分析

联立直线方程和椭圆方程,消元后求得判别式、两交点的坐标之间的关系式,利用两点间的距离公式求出弦长关于m的关系式,求解直线方程.(2)设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,所以当m=0时,|AB|最大,即被椭圆截得的弦最长,此时直线的方程为y=x.规律方法

直线被椭圆截得的弦长的求法(1)直接利用两点间的距离公式:当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间的距离公式求弦长.(2)弦长公式:当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式.[提醒]如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.变式训练2已知斜率为2的直线l经过椭圆

=1的右焦点F1,与椭圆交于A,B两点,则|AB|=

.

解析

因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1,0),且斜率为2,所以直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.探究点三中点弦问题【例3】已知椭圆

=1,过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被平分,求此弦所在直线的方程.解

(方法1)易知所求直线的斜率存在且不为0,设所求直线方程为y-1=k(x-2),k≠0.代入椭圆方程并整理得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.(方法2)设直线与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(2,1)为线段AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.规律方法

解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决;(2)处理有关中点弦及对应直线斜率(斜率存在且不为0)关系的问题时,常用“点差法”,步骤如下:设点——设出弦的两端点坐标

↓代入——代入圆锥曲线方程

↓作差——两式相减,再用平方差公式把上式展开

↓整理——转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解变式训练3已知点P(4,2)是直线l:x+2y-8=0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点,则该椭圆的离心率为

.

直线x+2y-8=0与椭圆交于A,B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2),因为P(4,2)为线段AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4.探究点四直线与椭圆相交的综合问题(1)求椭圆C的标准方程.(2)经过点M(2,-1)的直线l与C相交于P,Q两点(l不经过点A),设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,试问k1+k2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.分析

由已知可得b,再由B点坐标求得a,因此椭圆方程可求.依题意直线l的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线方程为y=k(x-2)-1,k≠0,联立直线方程与椭圆方程化为关于x的一元二次方程,再表示出k1,k2,两者求和后利用根与系数的关系代入求k1+k2的值.(2)易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x-2)-1,k≠0.消去y得(1+4k2)x2-8k(2k+1)x+16k2+16k=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),易知x1,x2≠0,则规律方法

解决直线与椭圆相交的综合问题的思路求解直线与椭圆的交点问题,首先需要将直线方程代入椭圆的方程,消元后,结合交点的性质,利用方程根与系数的关系转化为交点的坐标之间的关系求解,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.变式训练4已知椭圆C:

+y2=1,动直线l:y=x+m.若l与C相交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求l的方程.∴x1x2+(x1+m)(x2+m)=0,即2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,学以致用·随堂检测促达标123456789101112A级必备知识基础练1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:

=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为(

)A.1 B.1或2 C.2 D.0C解析

因为直线过定点(3,-1)且

<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.123456789101112C123456789101112B1234567891011124.(多选题)已知直线l:y=2x+3被椭圆C:

=1(a>b>0)截得的弦长为2023,则下列直线被椭圆C截得的弦长一定为2023的有(

)A.y=2x-3 B.y=2x+1C.y=-2x-3 D.y=-2x+3ACD

解析

∵椭圆C:

=1(a>b>0)关于原点、x轴、y轴对称,直线y=2x+3关于原点、x轴、y轴对称的直线分别为y=2x-3,y=-2x-3,y=-2x+3,∴选项A,C,D中的直线被椭圆C:

=1(a>b>0)截得的弦长一定为2

023,故选ACD.1234567891011125.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的标准方程为

.

1234567891011126.若P,Q是椭圆C:

=1上的动点,则|PQ|的最大值为

.

4解析

由于椭圆中长轴是最长的弦,所以|PQ|max=4.123456789101112B级关键能力提升练D1234567891011128.若点O和点F分别为椭圆

+y2=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为(

)A.1 B.2

C.3

D.4B解析

依题意可得F(-1,0),设P(x,y),则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.因为

+y2=1,所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,故当x=-1时,|OP|2+|PF|2取最小值,最小值等于2.123456789101112解析

依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan

45°(x-1),即y=x-1.12345678910111210.已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为

.

-9解析

易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,则kOM·k=-9,所以