2025年高中自主招生模拟考试数学试卷试题（含答案详解）

2025年高中自主招生考试数学适应性试卷6.将六边形A5CQM沿直线GH折叠,使点A,5落在六边形A3CZ）底尸的内部，记NC+NO+NE+N尸

一、选择题（每题6分，共48分）=a,则Nl+N2=()

1.如图，四个有理数如n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若〃+q=0,则相，n,p,q四个

有理数中，绝对值最小的一个是（）A.9000-2aB.1080°-2a

C.720°-aD.360°--a

PNM。12

7.如图,在等边△ABC中,BC=6,点均在8C边上，且OE=2,则周长的最

A.pB.mC.qD.n

小值为().

2.如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与尤轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依

次为2,4,6,8,•••,顶点依次用A,4,4，4，…表示，则顶点45的坐标是（）A.2V7B.2V7+2C.4V7D.4V7+2

111111111234.在位

A.（13,13）B.（-13,-13）C.（14,14）D.（-14,一14）8.已知一+-----=-—I------=—-+-----=-,则n一l+—+一的值为

xy+z2yz+x3zx+y4xyz

5_

A.2.BC.3.D.

-12

二、填空题（每题6分，共48分）

9.已知玉，%为方程%2+4%+2=0的两实根,贝!］婷+14%2+55

10.已知：一元二次方程mx2—（m-2）x+L（m-1）=0两个不相等的实数根恰好是直角三角形两个锐角的

4

正弦值.则这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比为。

11.如图，两个同心圆，半径分别是2后和4百，矩形ABCD边AB、CD

分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是.

3.如图，ZiABC中，ZC=90°,将△ABC沿。E折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若NC"）=60°

第11题图

且△血中有两个内角相等，则NA的度数为（）12.方程5x|="有且只有两个不同的实数根时，。的取值范围为—

A.30°或40°B.40°或50°C.50°或60°D.30°或60°

4.当一1W%W2时，函数y=2%2一4"+“2+2〃+2有最小值2,求〃所有可能取的值有（）个.13.如图，。0的半径长为4,弦A5的长为VL点。在。0上，若NB4C=135°,则AC的长为

A.1B.2C.3D.4

5.如图，A3是。。的直径，且AB=10,弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与相交，记

点A,B到MN的距离分别为也，h2,贝!JIhx~h2I等于（）

过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图

所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含兀的代数式表示）.18.（12分）如图，四边形A3。内接于。。，点E在CD的延长线上，垂直平分5E,连接AC.

15.如图，AB〃CD、AD〃CE,F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点

(1)求证：AB=AC.

M、N、P、Q,若MN=3,PN=5贝（JPQ=.

(2)连接AE,^AE//BC,AB=3,BC=2,求CE的长.

16.如图，已知直线y=-m（x—4）（m>0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心

为C.过A作x轴的垂线AT,M是线段0B上一动点（与0点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N,

交AB于F,切点为P.连结CN、CM.若0M=L当直线AB恰好平分梯形0MNA的面积时m的值为__________.

三、解答题（54分）

17.（12分）在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200千米，每辆巡逻车可载供行驶14天的汽油，现有5辆

巡逻车，同时从驻地A出发，完成任务后再沿原路返回驻地.为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻（然

后再一起返回），甲、乙两车行至途中B处后，仅留足自己返回驻地所需的汽油，将其余的汽油留给另外

三辆使用，问其他三辆可行进的最远距离是多少千米？

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2

19.(14分)如图,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x+bx+c过A,3,C三点，点A的坐标是(3,0),点C的20.(16分)如图，平面直角坐标系中，直线AB与入轴，,轴分别交于A(3,0),B(0,6)两点，，点C为线

坐标是(0,-3),动点P在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式；段AB上的一动点,过点C作CD±%轴于点D.

(2)是否存在点P,使得△4CP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；(1)求直线AB的解析式；

若不存在，说明理由；⑵若S梯形0BCD—士』，求点C的坐标；

3

(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点。，过点D作九轴的垂线.垂足为尸，连接EF,当线段EF的

⑶在第一象限内是否存在点P,使得以P,0,B为顶点的三角形与AOBA相似.若存在，请求出所有符

长度最短时,求出点P的坐标.

合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2025年高中自主招生考试数学适应性试卷③当AE=E尸时，点尸与。重合，不符合题意.

一、选择题(每题6分，共48分)综上所述，ZA=40°或50。，答案为：B.

1.如图，四个有理数如n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若〃+q=0,则相，n,p,q四个4.当一时，函数丁=2/一4狈+/+2。+2有最小值2,求a所有可能取的值有()个.

有理数中，绝对值最小的一个是()

A.1B.2C.3D.4

—f•••>x

PNMQ提示：y=2(x-a)2-"+2。+2,图象的对称轴为％=以,函数在何处取最小值？

A.pB.mC.qD.n应分一1W%W2,a<—l,a>2三种情况讨论

提示：・・"+9=0,J"和9互为相反数，0在线段NQ的中点处，当一14。<2时,函数在x=a处取得最小值2,故一储+2a+2=2,解得。=0或。=2.

当av—1时，函数在尤=一1处取得最小值2,代入函数式2+4。+片+2。+2=2解得。=一3-近

・••绝对值最小的点M表示的数处答案为：B.当a>2时，函数在X=2处取得最小值2,代入函数式8-8a+/+2a+2=2解得a=4

2.如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与％轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依故a所有可能取值为-3-S,0.2,4答案为：D

次为2,4,6,8,顶点依次用A,4,4，A”…表示，则顶点45的坐标是()5.如图，AB是。。的直径，且AB=10,弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记

点A,B到MN的距离分别为瓦，fe,则I/ii-fe|等于()

A.(13,13)B.(-13,-13)C.(14,14)D.(-14,一14)

A.6B.7C.8D.9

(第5题图)

提示：如图，设力笈与交于点C,过点。作O2LMV于，连接即并延长交砥于G.由垂径定理，

得8=5/52-42=3.由△2户准△灰。，得况，即力1=况.由/足LMV,BELMN,得△田，s4

提示：由题所给的数据结合坐标系可得，45是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，FQE.：.EG=2OD=6,-BE\=EG=6.答案为：A

GEFG2

6.将六边形ABCDEb沿直线GH折叠，使点A,8落在六边形ABCOE/的内部，记NC+NO+NE+N/

所以%的横纵坐标都是14.答案为：C.

=a,则Nl+N2=()

3.如图，△ABC中，ZC=90°,将△ABC沿OE折叠，使得点5落在AC边上的点/处，若NC")=60°

A.900°~2aB.1080°~2a

且△曲中有两个内角相等，则NA的度数为()

C.720°-aD.360°——a

A.30°或40°B.40°或50°C.50°或60°D.30°或60°2

提示：①当4E=A尸时，则NAF£=NAE尸=/(180°-ZA),

VZB=ZEFD=90°-ZA,NCFD=60°,

提示：如图，设FA的延长线与CB的延长线交于点P

1

ZAFD=120°,A-(180°-NA)+90°-ZA=120°,.AZA=40°.

2称性可知N1=2/APP',N2=2/BPP'.AZ1+Z2=2ZAPB.VZAPB=540°-a,.\Z1H-Z2

②当AF=E/时，ZAFE=180°-2ZA,=1080°-2a.答案为：B.

同法可得180°-2ZA+900-ZA=120°,/.ZA=50°.7.如图,在等边△ABC中,BC=6,点Z),£均在5C边上，且。E=2,则△ADE周长的最小值为().

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10.已知：一元二次方程mx2—(m-2)x+L(m-1)=0两个不相等的实数根恰好是直角三角形两个锐角的

A.2V7B.2V7+2C.4V7D.4V7+24

正弦值.则这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比为.

.rnCD

提示：作RtAABC斜边上的高CD.则sinA=——,sinB=-----.,「sinA和sinB是方程的两根，得

ACBC

m—2,、

sinA4-sinB=--------；(1)

m

m—1

sinAsinB=-------.⑵

4m

CDCDm-1

Hn(3)

提示：如图，过点A作AF1BC并延长至点H,使AF=FH,连接DH,以DH、DE为边作。DHGE,，EG=DH=AD,ACBC4m

2m—2m—\

即当三点共线时,最小.在中,・，」.・四边形(1)2—2(2)得：(sinA)2+(sinB)=(^^—^)2-工^

A,E,GAE+AD4ABFAB=6,BF=3,'.AF=3g,AH=2AF=6gDHGEm2m

22

是平行四边形,••.HG=DE=2.当A,E,G三点共线时，在RtAAHG中,AG=VX声FTe=4夕，此时4ADE的周长VsinB=cosA,且(sinA)+(cosA)=l,

...(*2_n匚=1,

为AD+AE+DE=EG+AE+DE=AG+DE=4V7+2.答案为：D.

m2m

m2+7m—8=0,

11111111734

8.已知一+-----=-—I--------=—+----4,则=]+一的值为()/.m=l,m=­8.

xy+z2yz+x3zx+yz

/c、CDCDCD2CDm-1

35由⑶-------=------=——=-----.

A.2.B.-C.3.D.—ACBCABCDAB4m

22

.AB_4m

提示：由已知等式得盯+"=2,户+孙=3,zx+yz,所以盯+yz+zx,

---------=4,CDm-1

x+y+zx+y+zx+y+zx+y+z2

当m=l时，没有意义；当m=-8时，公”=%.

CD9

于是，一^二gzx3孙”以i=rf=3.上=3,即z=3y=5x。

即直角三角形斜边与斜边上的高的比是32:9.答案为：32:9o

x+y+z2%+y+z2x+y+zx3

11.如图，两个同心圆，半径分别是2闹口4百，矩形ABCD边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形

代入』+」一=?得£—-1-解得％=二23

xy+z2x5210

—x+5xABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是.

3提示：如图，设AB=CD=a,AD=BC=b,

234234DE=CF=C,则有

所以=----F------1------=—=2.答案为：A.

xyzx55%5xfa2+(Z>-c)2=(4V6)2=96,“24

—x〈nZ?c=24nc=——

3[a2+S+c)2=(8V3)2=192b

二、填空题(每题6分，共48分)

/+S-竺)2=96,又S=ab

9.已知出%为方程%2+4x+2=0的两实根，贝!]]:+14%+55=

b

可得：M-144Z?2+S2+576=0

提示：/Xi,X2为方程x2+4x+2=0的两实根，.012+4乂1+2=0,XI+X2=-4,XI*X2=2,

由ANOnS2«46O8nSK480

..xi2=-4xi-2,rfoxi3=xi2*xi,.,.XI3+14X2+55=XI2*XI+14X2+55=(-4xi-2>XI+14X2+55

当S=480时，b=6y/2,a=S

2

=-4XI-2XI+14X2+55=-4(-4xi-2)-2XI+14X2+55=14(xi+x2)+8+55=14x(-4)+63=7.

答案为：16+120。

答案为：7.

12.方程,2一5彳=。有且只有两个不同的实数根时，。的取值范围为.

提示：如图，作出函数y=|x2-5x|图象，由图象可以看出:当。=0时，提示：'：A,B,C,小是反比例函数尸上(Q0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分

x

产0与〉=卜2-5目有且只有2个不同交点;当0<。<]时，产a与别为1,2,4,8,16.・•.五个正方形的边长分别为1,3,4,2,1..••这五人橄榄形的面积总和是

2^2^7rxl2—；X1X1）+2（；TTX22—；X2X2）］+2（；»X42-；X4X4）=510+8"—16=13不一

y=旨-5x|图象有4个不同交点;当。=亍时，产a与y=--5.图

象有3个不同交点，当。〉亍时，尸。与丫=,2-5可图象有且只有2个

26答案为：13%一26.

不同交点.15.如图，AB〃CD、AD〃CE,F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点

M、N、P、Q,若MN=3,PN=5贝！jPQ=.

答案为：〃=0或

4。

13.如图，0O的半径长为4,弦A5的长为鱼，点。在。0上，若NB4c=135°,则AC的长为

提示：延长BA、EC,设交点为0,则四边形OADC为平行四边形.

提示：作品所对的圆周角NBDC,作B”_LAC于H,连接05、OC,如图，,/F是AC的中点，・•・DF的延长线必过。点，且=L

OG3

,：ZBAC=135°,：.ZBAH=45°,・工△84”为等腰直角三角形，MN_AN

•・•AB〃CD,/.•・•AD〃CE,

：.AH=BH=^AB=xV2=1,VZBAC+ZD=180°,ZD=45°,PN~DN

.PQCQMNPQANCQ_AN+CQ

=---------1---------=--------H----------------------------------

/.ZBOC=2ZZ)=90°,•••△8OC为等腰直角三角形，：.BC=y[2OB=^y[2,"丽一丽PNPNDNDNDN

DNDG1

0Q=3DN.

在RtZ\5CH中，CH=、BC2_BH2=J(4y/2)2-l2=V31,：.AC=CH-AH=y/31-1.OQ~~OG~3

:.CQ=OQ—0C=3DN—0C=3DN-AD,AN=AD-DN,

答案为：V31—1.

于是，AN+CQ=2DN,

14.已知A,B,C,D,£是反比例函数y二更(x>0)图象上五个整数点(横、纵坐标均为整数)，分别

...MN_+PQ=AN+CQ=2^即MN+pQ=2PN<PQ=2PN-MN=10-3=7。

xPNPNDN

过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图答案为：7.

所示的五个橄榄形(阴影部分)，则这五个橄榄形的面积总和是(用含乃的代数式表示).16.如图，已知直线y=-m(x—4)(m>0)与x轴、y轴分别交于A、B两点，以0A为直径作半圆，圆心

为C.过A作x轴的垂线AT,M是线段0B上一动点(与0点不重合)，过M点作半圆的切线交直线AT于N,

交AB于F,切点为P.连结CN、CM.若0M=l,当直线AB恰好平分梯形OMNA的面积时m的值为

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提示：•.•ATLAO,OM±AO,AO是。C的直径，，AT、OM是。C的切线.又YMN切。C于点P

ZCMN=|zOMN,ZCNM=|zANMV0M/7AN.*.ZANM+ZOMN=180°

AZCMN+ZCNM=|zOMN+|zANM=1(Z0MN+|zANM)=90°,：.ZMCN=90°

Z1+Z2=90°,而N2+N3=90°,AZI=N3；

“OM0C

.*.RtAAMOC^RtACAN：.—=—

•・•直线y=-m(x-4)交x轴于点A,交y轴于点B,・\A(4,0),AAC=C0=2四边形ABCD内接于OO,\

12

0M=l,设AN=y,•.•—=-Ay=4,AN=4,此时S四边形ANMO=10：.ZADE=ZABC,B

2y

•.•直线AB平分梯形ANMO的面积，・•.4ANF的面积为5过点F作FG_LAN于G,贝方G・AN=5,•「AO垂直平分BE,:.BD=DE,：.ZADB=ZADE,

5533VZADB=ZACB,：,ZABC=ZAC