2025版高考数学复习：复数（新高考卷）解析版

专题02复数

考情概览

命题解读考向考查统计

2022•新高考I卷，2

共机复数、复数的除法运算2023•新高考I卷，2

高考对复数的考查，重点是复数的运

2024新高考I卷,2

算、概念、复数的模、复数的几何意义

复数的乘法运算2022•新高考n卷，2

等，难度较低.

复数的几何意义2023新高考n卷,1

复数的模2024•新高考II卷，1

’2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷考查复数的运算，但是需要一些运算技巧，否则有些计算量。II卷考查复数的模

的计算，属于基础考查。复数考查应关注：（1）复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含

义.（2）复数的四则运算。预计2025年高考还是主要考查复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法

及其几何意义、复数的模。

试题精讲

2

1.（2024新高考I卷-2）若——=l+i,贝!Jz=（）

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】c

【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.

【详解】因为告=^^=l+」=l+i,所以z=l+』=l-i.

z-1z-1z-11

故选：C.

2.（2024新高考II卷-1）已知z=-l-i,贝卜（）

A.0B.1C.V2D.2

【答案】C

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

［详解］若z=T-i,则目=J（一1）2+（_咪=0.

故选：C.

近年真题精选

1.（2022新高考I卷-2）若i（l-z）=l,贝”+彳=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z+T.

【详解】由题设有l-z-=3=-i,故z=l+i,故z+三=（l+i）+（l-i）=2,

11

故选：D

1-i_

2.（2023新高考I卷・2）已知2=」^,贝I」？—三=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共辗复数的概念得到乙从而解出.

【详解】因为二二1-i,二编篇二-2彳i一1,.所以-=,1，即Z4=T.

故选：A.

3.（2022新高考II卷2）（2+2i）（l-2i）=（）

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【分析】利用复数的乘法可求（2+2i）（l-2i）.

【详解】（2+2i）（l-2i）=2+4-4i+2i=6-2i,

故选：D.

4.（2023新高考II卷-1）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为（1+3讥37）=3+。-琛=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

故选：A.

必备知识速记

一、复数的概念

(1)1叫虚数单位，满足『=一1,当左eZ时，严=1,产+1=7-，泮+2=-1,严+3=.

(2)形如a+瓦(a,beR)的数叫复数，记作a+初eC.

①复数z=〃+bi(a,be尺)与复平面上的点Z(a,6)一—对应，.叫z的实部,6叫z的虚部；6=0=zeR,Z

点组成实轴；方片0/叫虚数；6/0且a=0,z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴(不包括原点).两个实

部相等，虚部互为相反数的复数互为共辗复数.

②两个复数a+"c+由(a也c,deR)相等,(两复数对应同一点)

b-d

③复数的模：复数〃+4(氏6£出的模，也就是向量了彳的模，即有向线段。彳的长度，其计算公式为

|zga+初|=Ja?+廿,显然，|z\=\a-bi+Z?2,z-z=a2+Z?2.

二、复数的加、减、乘、除的运算法则

1、复数运算

(1)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

(2)(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)•(a-bi)=zz=a2+b2=|z「

V(注意Z?=|z『)

z+z=2a

其中|2|=」片+廿,叫z的模；3=a-从是z=a+历的共辗复数(a,6eR).

(3)a+bi_(a+bi)•(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i2+屋力0)

c+di(c+di)•(c-di)c2+d2

实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数塞运算法则)都适用于复数.

注意：复数加、减法的几何意义

以复数百且分别对应的向量函，砺为邻边作平行四边形OZZZ。，对角线oz表示的向量。就是复数

Z1+Z2所对应的向量.Z]-z2对应的向量是44.

2,复数的几何意义

(1)复数z=a+bi(a,beR)对应平面内的点z(a,Z>);

(2)复数z=a+6i(a,beR)对应平面向量Oz;

（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.

（4）复数z=a+bi（a,beR）的模|z|表示复平面内的点z（a,b）到原点的距离.

三、实系数一元二次方程

1、实系数一元二次方程办2+区+。=0伍,仇。€氏4/0）中的八=62—4四为根的判别式，那么

一b+J"-4ac

（1）△>0O方程有两个不相等的实根、_—;

A=0o方程有两个相等的实根-2.

A<0o方程有两个共辗虚根

求解复数集上的方程的方法：

①设z=x+yi（x,jeR）化归为实数方程来解决.

②把z看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形.

③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式.

2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

（1）当△=/0时，方程的两个实根满足韦达定理

—,

（2）当A=〃一4。。<0时，方程的两个共轨虚数根西、与，则

再+%=再+再=2Re再=一

—Ii2（~by\fy/^ac-b2c

x[x2=x1'x[=|xj=\~2a\+~2a

综上所述，无论方程的判别式4QC的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的

情况，即实系数一元二次方程。/+及+。=0（。、b、。£火且QW0）的两个根与系数满足关系

一、单选题

1.（2024・安徽芜湖•三模）已知复数z满足z=±l,且三是复数z的共朝复数，贝建。的值是（）

1

A.V5B.3C.5D.9

【答案】C

【分析】先化简复数2,再求出最后得解.

【详解】-.^=—=2+1,

1

:.z=2-i,

.•.zN=（2+i）（2-i）=5.

故选:C

2.（2024•北京•三模）已知复数l+i=R,则［在复平面上对应的点位于（）

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共甄复数的定义得到z=即可求出结果.

■、*心、।4i—2/日笈।i—2（—2+i）（l—i）13.

【详解】由1+1=—,得至||z===^——--=--+-1,

z1+1222

1313

所以2=-5一字，其对应点为（-,一5），

故选：c.

3.（2024•河南・三模）已知关于x的方程/+2》+3=0的一个根为x=a+6i（a,6eR）,则/十^+^二

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】解复数范围内方程可得。及〃的值即可得解.

【详解】由，+2x+3—0可得）二2±也2一12一土瓜

2

故。二-1,b2=（iV2j=2,即a?+/+〃=1+2-1=2.

故选：C.

4.（2024•河南•三模）已知i为虚数单位，=（）

（1-iX

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】D

【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.

(1+i)3(1+i)2(1+i)2i(l+i)

【详解】(1-i)2=-^2i--2i

故选:D

5.(2024•山东德州•三模)已知复数z满足:z-i(2+z)=0,则2=)

A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i

【答案】B

【分析】由已知可得z=/L,计算即可.

【详解】由z-i(2+z)=0,可得(1-由=2i,

2i=加+D-_]+]

所以z=

1-i(l-i)(l+i)

故选：B.

6.(2024・重庆•三模)已知a/eR,(a+i)i=6-2i(i为虚数单位)，则复数z=a+bi的共辗复数为()

A.-2+iB.2-iC.l+2iD.l-2i

【答案】A

【分析】先利用复数相等求出。力，再由共转复数概念即可求解.

【详解】因为(a+i)i=ai+i?=—1+ai=Z7-2i,

所以Q=_2,b=_1,^z=a+bi=-2-i,

所以复数z=〃+bi的共甄复数为三=—2+i，

故选：A.

7.(2024•河南郑州•三模)复数z=〃+bi(〃,b£R且awO),若(l+2i)I为纯虚数，则()

A.a=-2bB.a=2bC.2a=bD.2a=-b

【答案】A

【分析】求出0+2iR,根据(l+2i)7为纯虚数即可求解.

[详解](l+2i)z=(l+2i)(a-历)=a+26+(2a-6)i,

因为(l+2i)彳为纯虚数，所以a+2b=0,2a-bw0,

所以。=-26.

故选：A.

8.(2024•四川遂宁•三模)若复数z==(其中aeR,i为虚数单位)为纯虚数，则复数z-l在复平面内

3-1

对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】利用复数的除法求出z,结合已知求出。值即可得解.

a+i_(a+i)(3+i)3a-l(a+3)i

【详解】依题意,TJ-(3-i)(3+i)-10+10

[3（2—1=011

由Z为纯虚数，得2八，解得〃=不复数Z-1=-1+小，

[。+3。033

所以复数Z-1在复平面内对应的点（-1,；）位于第二象限.

故选：B

9.（2024•江苏南通•三模）已知z为复数，则"z=7'是"z2=/”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

【答案】A

【分析】正向可得zeR,则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得。=0或6=0,则必要性不成立.

【详解】若z=Z，贝！JzeR,则z2=r,故充分性成立；

若22=/,设z=a+bi,a,b£R,贝!）z?=/+2。历一/,j2=a2-2abi-b2,

则2ab=0,〃=0或b=0,「.z与亍不一定相等，则必要性不成立，

则“z4”是”=广的充分非必要条件，

故选：A

10.（2024•山东潍坊•三模）设复数z=sin[d+；]+2i是纯虚数，则。的值可以为（）

兀c5兀―2023兀一2025K

A.-B.——C.---------D.--------

4444

【答案】c

【分析】根据题意得到sin[e+£[=o,将四个选项代入检验，得到答案.

【详解】由题意得sin[+：]=0,

A选项，当夕=2时,sin住+父=1,不合题意，A错误；

4（44）

B选项，当6=当时，sin俘+：〕=-!,不合要求，B错误；

4I44J

"2023712.（2023TC无、.,必十士

C选项，当。=一一时，sm--—+-=sm5067r=n0,故C正确；

4I44J

D选项，当6=型号时，sin[空管+力=1,D错误.

4<44J

故选：C

।7

11.（2024•黑龙江•三模）若不7一=i,则z（彳-1）的虚部为（）

1-1

A.-1B.1C.3D.-3

【答案】A

【分析】先利用乘法运算法则化简复数z,然后化简z（7-l）得3-i,即可求出其虚部.

।7

【详解】因为7吉=i,所以z=-2+l-ii=-l+i,所以—,

1-1

所以z传-l）=（_l+i）（-2-i）=3-i,贝！|ze-l）的虚部为_1.

故选：A

12.（2024•贵州毕节三模）若复数z满足（1+，+力2=312。24-雷，则|z|=（）

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出z=-4-3i,再由复数的模长公式求解即可.

【详解】因为（l+i2+i，2=3i2°24-4i,贝！|（l-l+i）N=3-4i,

gn_3-4i（3-4i）i3i-4i2_3i+4_

即z=-------=------；----=----------=--------=—4—319

ii2-1-1

故忖=J（-4）2+（-3）2=5.

故选：B.

二、多选题

13.（2024•湖北荆州三模）已知复数2=病一i++（机eR）,则下列命题正确的是（）

A.若？为纯虚数，则以=±1

B.若z为实数，则z=0

C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则加=-1

D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限

【答案】BD

【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B,根据复数的几何

意义判断C、D.

【详解】复数zn/T+W+DiWeR）的实部为苏t,虚部为他+1,

复数z在复平面内对应的点的坐标为（加2-l,m+l）,

2

（m_］=（］

对于A：若z为纯虚数，贝!J,解得加=1,故A错误；

［加+n1。0

对于B：若z为实数，则加+1=0,解得加=-1,则z=0,故B正确；

对于C：若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，

所以〃?+1=2（疗_1）,解得用=_1或加=g,故C错误；

m-1<0-1<m<1

对于D：令।,不等式组无解,

m+1<0

所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.

故选:BD.

14.（2024•河北衡水•三模）复数z=cos]e-：j+isin6>,其中设z在复平面内的对应点为尸，则

下列说法正确的是（）

TT

A.当8时,B.当e时，彳=一1-乌

C.对任意凡点尸均在第一象限D.存在。，使得点p在第二象限

【答案】AC

【分析】当时，代入计算可判断A、B；由0<夕<]判断z的实部和虚部范围可判断C、D.

42

【详解】当。=:时，z=l+^i,故目=

，故A选项正确;

z=l-^i,B选项错误;

当0<6<；时,<0-^<<cos^-^<1,0<sin^<1,

故对任意。，点尸均在第一象限，故C选项正确；

不存在凡使得点P在第二象限，D选项错误.

故选：AC.

15.（2024•福建莆田•三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（）

A.若z+』=0,则三=iB.若zN=2目，则忖=2

Z

C.若Z]=Z,贝|JZ]=2D.若|z+zj=o,贝I]Z[N+]z「=0

【答案】BCD

【分析】利用共轨复数的定义可判定A、C,利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D.

【详解】对于A,由z+』=0,得三=-1,则A错误.

对于B,因为zN=，，所以，=2|z|,解得忖=2或目=0（舍去），则B正确.

对于C,设z=a+6i（a,6eR,且abwO）,

则Z]=z=a-6i,所以Z]=a+6i=z,则C正确.

对于D,由|z+Z||=0,得Z]=-z

设2=。+药（a,beR,且,则4・z=-z・z=-（"+〃），

|z|2=a2+b2,从而4•彳+|z『=0,则D正确.

故选：BCD

16.（2024•福建福州三模）已知复数满足：上+6|+卜-6卜4,民-&=1,则（）

A.㈤的最小值是1B.目的最大值是2

C.2的最大值是3D.归I2|的最大值是4

zi一

【答案】ABC

【分析】对于A,设z=a+bi，z=c+di,依题意可得02+（"一2『=1,可知复数z2的对应点尸在以C（0,2）

为圆心，1为半径的圆上，根据复数几何意义可判断A；对于B,根据题意可得

^（a+^+b2+^（a~^+b2=4,表示复数4的对应点。在以上g,0）为焦点，长轴长为4的椭圆上，

根据图形和|1=团可判断B；对于C,根据复数除法运算和复数模公式证明三=也.结合图形求得

句句

1<|Z||<2,1<|Z2|<3,然后可判断C；对于D,根据复数减法的几何意义可知归—2月尸0|,结合图形转化

为求+1的最值，根据点尸在椭圆;+/=1上，利用二次函数性质求解可得.

【详解】设Z]=〃+历/2=c+di,a,瓦c,dER,

对于A,因为）-2股卜+0_2川=1,所以c，+（d-2）2=l,

所以，复数Z2的对应点尸在以C（0,2）为圆心，1为半径的圆上，

由图可知，点P到原点的最小距离为1,即㈤的最小值是1,A正确；

对于B,因为卜+甸+,一码=J（a+V3）2+Z>2+J（a-V3）2+Z>2=4,

所以，复数4的对应点。在以上道,0）为焦点，长轴长为4的椭圆上，

由椭圆几何性质可知，点。到原点的最大距离为2,即㈤的最大值为2,

又同=㈤，所以目的最大值是2,B正确;

c+diac+bdad-be.

对于c,因为£1=

zxa+bi

2

ac+bdad-bea2c2+b2d2+坟f_|_a2d2

五=+

所以2222

Z2a+ba+b

由图可知‘闫他2,闫小3,所以当|心43时,幸取得最大值3,C正确

对于D,因为归-Z21=|伍-C)+伍-办卜匠姨+伍_疗表示P,Q的距离,

2

所以归T2|的最大值为|CQ|+1,设。(xj),则,+/=1,即》2=4-4/，

所以园+]=^x2+(y-2)2+]=a_4/+丁2_4¥+4+1=^-3y2-4j+8+1,

由二次函数性质可知，当了=-:时，|。0|+1取得最大值坦+1,D错误.

33

三、填空题

7

17.(2024•山西临汾•三模)已知复数z满足：「=2-3i,则入_____

1+1

【答案】5+