河北省邢台市巨鹿中学2024-2025学年高二数学上学期第三次月考试题含解析

PAGE河北省邢台市巨鹿中学2024-2025学年高二数学上学期第三次月考试题（含解析）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的渐近线方程是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，即可求出渐近线方程．【详解】令，解得，所以双曲线的渐近线方程是．故选：B．2.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，令可得．【详解】由已知，所以．故选：A．3.的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出时的取值范围，记，要求的充分不必要条件，即可的真子集，推断可得；【详解】解：由得到，记，则的一个充分不必要条件为集合的真子集，因为故选：C4.若向量且，则实数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据数量积的坐标表示计算．【详解】由题意，．故选：C．5.已知点在椭圆上，、分别是椭圆的左、右焦点，的中点在轴上，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由题意可得，设P，且，所以=，选A.【点睛】若，是椭圆的左、右焦点，且，则点P的坐标为．6.定义在上的函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出导函数，令，求得，再计算函数值．【详解】由已知，所以，，即，．故选：B．7.2024年河北省新高考改革方案正式出台.考试科目按“3＋1＋2”模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语，“1”由考生在物理、历史2门中选择1门，“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物4门中选择2门A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用列举法写出全部选考状况，计数后可得概率．【详解】“3＋1＋2”模式中选考科有(物理，生物，化学)，(物理，生物，地理)，(物理，生物，思想政治)，(物理，化学，地理)，(物理，化学，思想政治)，(物理，地理，思想政治)，(历史，生物，化学)，(历史，生物，地理)，(历史，生物，思想政治)，(历史，化学，地理)，(历史，化学，思想政治)，(历史，地理，思想政治)，共12其中该学生选择考历史和化学的选法有(历史，化学，生物)，(历史，化学，地理)，(历史，化学，思想政治)，共3种状况，∴在全部选项中某学生选择考历史和化学的概率是.故选：A.8.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为交于A，B两点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：先依据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，依据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得.解：依题意知抛物线的准线x=-1．代入双曲线方程得，不妨设A(-1,)∵△FAB是等腰直角三角形，=2,得到a=,∴c2=a2+b2=那么可知离心率为，选B.考点：双曲线的简洁性质点评：本题主要考查了双曲线的简洁性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质推断出△FAB为等腰直角三角形二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参与一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法（）A.公允，每个班被选到的概率都为 B.2班和12班被选到的概率相等C.不公允，6班被选到的概率最大 D.不公允，7班被选到的概率最大【答案】BD【解析】【分析】分别求出每个班被选到的概率，对选项中的说法进行推断，即可得出正确的结论．【详解】解：，，，，，，，所以2班和12班被选到的概率相等，故A、C错误，B、D正确；故选：．10.比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项实力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维实力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A.甲的逻辑推理实力指标值优于乙的逻辑推理实力指标值B.甲的数学建模实力指标值优于乙的直观想象实力指标值C.乙的六维实力指标值整体水平优于甲的六维实力指标值整体水平D.甲的数学运算实力指标值优于甲的直观想象实力指标值【答案】AC【解析】【分析】干脆由六维实力雷达图读取数据辨别即可【详解】对于A选项，甲的逻辑推理实力指标值为4，乙的逻辑推理实力指标值为3，所以甲的逻辑推理实力指标值优于乙的逻辑推理实力指标值，故选项A正确；对于B选项，甲的数学建模实力指标值为3，乙的直观想象实力指标值为5，所以乙的数学建模实力指标值优于甲的直观想象实力指标值，故选项B错误；对于C选项，甲的六维实力指标值的平均值为，乙的六维实力指标值的平均值为，所以乙的六维实力指标值整体水平优于甲的六维实力指标值整体水平，所以选项C正确；对于D选项，甲的数学运算实力指标值为4，甲的直观想象实力指标值为5，所以甲的数学运算实力指标值不优于甲的直观想象实力指标值，所以选项D错误.故选：AC.11.已知曲线，则以下结论正确的是（）A.若，则表示两条直线B.若，则是圆，半径是C.若，则是焦点在轴上的椭圆D.若，则是双曲线，其渐近线方程是【答案】AD【解析】【分析】依据参数值确定方程表示的曲线即可得．【详解】时方程为，，表示两条直线．A正确，BC错；时，方程为（）或（），表示双曲线．由，，即，这是渐近线方程，D正确．故选：AD．12.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，，两点，点在上的射影为，则以下结论正确的是（）A.若，则B.以为直径的圆与准线相切C.设，则D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条【答案】BC【解析】【分析】利用抛物线焦点弦长公式知A错误；确定以为直径的圆的圆心和半径，依据圆心到准线距离等于半径知B正确；利用抛物线定义可得，由三点共线可确定最小值，知C正确；过点斜率为和斜率不存在的直线与抛物线都只有一个公共点；设过的抛物线切线方程，与抛物线方程联立，利用可求得切线斜率，由此确定直线方程；综合三种状况知D错误.【详解】对于A，由抛物线焦点弦长公式可知：，A错误；对于B，，中点坐标为，以为直径的圆的圆心为：，半径，又到直线的距离为，以为直径的圆与准线相切，B正确；对于C，由抛物线定义知：，（当且仅当在线段上时取等号），，，，C正确；对于D，当过直线斜率不存在，即直线时，与抛物线有且仅有一个交点；当过直线斜率为，即直线为时，与抛物线有且仅有一个交点；当过直线斜率存在时，设其方程为，与联立得：，由得：，可知与有且仅有一个交点；综上所述：过点与抛物线有且仅有一个公共点直线有条，D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线几何性质的应用，涉及到抛物线焦点弦长公式、抛物线上的点到定点的距离与到准线距离之和的最值的求解、抛物线切线方程的求解等学问；C选项中的最值求解的关键是能够利用抛物线的定义将问题转化为抛物线上的点到定点的距离与到焦点之间距离之和的最值问题，利用三点共线可求得最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“，”的否定是______.【答案】，【解析】【分析】由特称命题的否定可干脆得到结果.【详解】由特称命题的否定可知原命题的否定为：，.故答案为：，.14.已知直线是过抛物线焦点的一条直线，与抛物线交于两点.则______.【答案】【解析】【分析】首先求出抛物线焦点坐标，依题意直线的斜率存在，设直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元，利用韦达定理计算可得；【详解】解：因为抛物线焦点坐标为明显直线的斜率存在，设直线方程为将直线代入抛物线，整理得，，故答案为：15.已知为偶函数，当时，则在处的切线方程是________.【答案】【解析】【分析】由偶函数定义求得时函数解析式，然后求导数得切线斜率，从而可得切线方程．【详解】因为是偶函数，当时，所以时，，，，又，所以切线方程为，即．故答案为：．16.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：，即：a|PF1|=|cPF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)．考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特殊是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列函数的导数：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据导数的运算法则求导；（2）依据导数的运算法则求导．【详解】（1）（2）.18.已知命题对随意的，不等式恒成立，命题表示焦点在轴上的双曲线.(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得的最小值，可得的范围；（2）再求出命题为真时的范围，然后由必要不充分条件的定义得到不等关系，得出结论．【详解】（1）命题对随意的不等式恒成立，对于函数，当时取得最小值，若命题是真命题，，（2）命题表示焦点在轴上的双曲线.若是的必要不充分条件，则．19.2024年初，某零售业巨头入驻石家庄市.为确定开设分店的个数，该公司对已开设分店的其他地区的数据得到如下表格.记表示在各区开设的分店个数，表示这个分店的年收入之和.(个)23456(百万元)2.5344.56（1）求关于的线性回来方程；（2）假设该公司获得总年利润（百万元）与之间满意试结合（1）中的线性回来方程，估计该公司在石家庄市须要开设多少分店，才能使得平均每个分店的年利润最大？（注：，，）参考数据【答案】（1）；（2）4个.【解析】【分析】（1）求出，再由依据所给公式计算系数得回来方程；（2）求出关于的表达式，得平均利润，由基本不等式得最值．【详解】（1）由参考数据可得：，，回来方程是（2）由题意得，该地区每个分店的平均利润是（当且仅当时等号成立），所以故开设4个分店平均利润最大.20.若直线是的切线，也是的切线，求的值，并求出切线的方程.【答案】，【解析】【分析】直线与相切设切点为，直线与相切设切点为.求出函数的导函数，利用点斜式表示切线方程，由为公切线，得到方程组，解得即可；【详解】解：直线与相切设切点为，直线与相切设切点为.由得，所以，以为切点的切线是：整理得，由得，，所以，以为切点的切线是：整理得，由直线为公切线可得，，解得，故切线方程是21.如图，三棱锥中，的边长为2的正三角形，是以为直角顶点的等腰直角三角形.补充条件：①；②点在平面内的射影是的外心.(1)从补充条件①，②任选一个（只能选一个）结合已知条件，证明：平面⊥平面；(2)在（1）成立的状况下，过的平面交于点，若平面把三棱锥分成体积相等的两部分，求锐二面角的余弦值.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点为，由条件易得若补充条件①，由勾股数可得二面角的平面角为直角，证得结论；若补充条件②，可证平面，证得结论；(2)建立空间直角坐标系，求得所涉及面的法向量，利用二面角的空间向量公式求得二面角即可.【详解】（1）取的中点为，易得，且若补充条件①，则所以二面角的平面角为直角，故平面ACD⊥平面ABC；若补充条件②，因为是直角三角形.所以为其外心，即平面，又因为平面，故平面ACD⊥平面ABC；(2)（究竟面的距离）即为的中点，如图所示，以为原点分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系由题意可知为中，则，设平面的法向量是，则，令，可得，设平面法向量是，则，令可得则所以锐二面角的余弦值为.【点睛】关键点点睛：其次问条件“平面把三棱锥分成体积相等的两部分”转化为“为的中点”是解题的关键.22.已知抛物线的方程为，点是抛物线上一点.(1)求的值及抛物线的准线的方程；(2)已知是抛物线的一条切线，切点为.