2025年高考数学一轮复习之计数原理

2025年高考数学一轮复习之计数原理

选择题（共10小题）

1.已知（％+771）4=Q4%4+的/+g/+的％+劭，若QO+QI+“2+43+〃4=81,则小的取值可以为（）

A.2B.1C.-1D.-2

2.（/-1）6的展开式中常数项为（）

A.-240B.-160C.240D.160

3.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校成立了手工艺社团，并开设了陶艺、剪纸等6

门课程.该校甲、乙2名同学报名参加手工艺社团，每人仅报2门课程，其中甲不报陶艺、乙不报剪纸，

且甲、乙两人所报课程均不相同，则甲、乙报名课程的方案种数为（）

A.18B.24C.36D.42

4.将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，

每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）

A.78B.92C.100D.122

5.截至2024年2月25日，2024年春节档4部影片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》《熊出没•逆

转时空》合计票房已经突破100亿.某影城为了家庭中的大人和孩子观影便利，对影片播放顺序做出如

下要求：《热辣滚烫》不排第一场，《熊出没•逆转时空》不排最后一场，《第二十条》和《熊出没•逆转

时空》必须连续安排，则不同的安排方式有（）

A.12种B.10种C.9种D.7种

6.某学校举办运动会，径赛类共设100米、200米、400米、800米、1500米5个项目，田赛类共设铅球、

跳高、跳远、三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则

甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（）

A.70B.140C.252D.504

7.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单

中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，则不同的插入方法种数为（）

A.12B.18C.20D.60

8.某校5名同学到A、8、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若

同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（）

A.18种B.30种C.42种D.60种

9.用0,1,2,3,4能组成没有重复数字且比32000小的数字（）个.

A.212B.213C.224D.225

10.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛

项目和3个表演项目.现有三个场地A,B,C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办

其中一个项目，则不同的安排方法有()

A.150种B.300种C.720种D.1008种

二.填空题(共5小题)

11.在(1+X)+(1+X)2+(1+尤)3+-+(1+X)1°的展开式中，尤3的系数为.(用数字回答)

12.两位老师和四位同学站成一排，如果两位老师不相邻且不站两端，则共有种不同的站

法.(用数字作答)

13.若(代-1)4的展开式中X的系数与7的系数之和为.

14.已知ai,ai,。3,«4G{1,2,3,4},N(ai,ai,。3,04)为m,az,ai,。4中不同数字的种类，如N

(1,1,4,3)=3,N(2,4,4,2)=2,(1,2,2,1)与(1,2,1,2)视为不同的排列，则(m,

al,123,04)的不同排列有个(用数字作答)；所有的排列所得N(tn,O1,<23,674)的平均

值为.

15.己知(j+专广的二项展开式中各项系数和为1024,则展开式中常数项的值为.

三.解答题(共5小题)

16.在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为

210,这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题.

n123n

已知(2x-1)—ao+aix+tz2r+cz3x+,•,+anx(〃eN+),若(2x-1)”的展开式中，.

(1)求”的值；

(2)求小的系数；

(3)求|。1|+陵|+|。3|+…+|珈|的值.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

17.5名男生，2名女生站成一排照相.求在下列约束条件下，有多少种站法？

(1)女生不站在两端；

(2)女生相邻；

(3)女生不相邻.

nn-12n2

18.已知数列{斯}的首项为1,记F(x,n)=GiCnCl-x)+a2C„x(l-x)+a3C„x(l-x)~4--F

-1n-11n

anC^x(l-x)+an+1C^x.

(1)若数列｛0”｝是公比为3的等比数列，求E(-1,2020)的值；

(2)若数列｛而｝是公差为2的等差数列，

①求证：kCn=nC^~l；

②求证：F(x,2020)是关于x的一次多项式.

19.设(2尤+1)8的第〃项系数为利.

(1)求斯的最大值.

(2)若印表示x的整数部分，S=^=°^2i+1,求S-[5]的值.

20.(1)学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有多少种不同的选法？

(2)从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同的选

法？

2025年高考数学一轮复习之计数原理

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.已知（％+771）4=+的炉++%%+。0，若QO+〃I+Q2+Q3+〃4=81,则小的取值可以为（）

A.2B.1C.-1D.-2

【考点】二项式系数的性质.

【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【答案】A

【分析】借助赋值法计算即可得.

【解答】解：令X=l,有（1+rn）4=。4+〃3+。2+〃1+〃0=81,

解得m=2或m=-4.

故选：A.

【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

2.（/—|）6的展开式中常数项为（）

A.-240B.-160C.240D.160

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【答案】C

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的募指数等于0,求得r的值，即可求得展开式中的

常数项的值.

【解答】解：由于（--1）6的展开式中，通项公式为7；+1=冬・（-2）

再令12-3r=0,求得r=4,可得展开式的常数项为盘•16=240,

故选：C.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

3.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校成立了手工艺社团，并开设了陶艺、剪纸等6

门课程.该校甲、乙2名同学报名参加手工艺社团，每人仅报2门课程，其中甲不报陶艺、乙不报剪纸，

且甲、乙两人所报课程均不相同，则甲、乙报名课程的方案种数为（）

A.18B.24C.36D.42

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算.

【答案】D

【分析】分甲报剪纸和甲不报剪纸两种情况，再结合排列组合知识和计数原理求解.

【解答】解：按甲报的课程分为两类：①若甲报剪纸，则从除了陶艺的其他4门课程中再选1门，有口

种结果，

乙再从剩余4门课程中选2门，有废种结果，

所以有C）服=24种，

②若甲不报剪纸，则从除了陶艺、剪纸的其他4门课程中选2门，有盘种结果，

乙再从剩余除剪纸外的3门课程中选2门，有废种结果，

所以有废废=18种，

综上所述，共有24+18=42种方案.

故选：D.

【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题.

4.将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，

每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）

A.78B.92C.100D.122

【考点】人员及物品分配问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算.

【答案】C

【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解.

【解答】解:若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时,此时的分配方法有盘•盘・膨+弓学.

属=14种，

当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有盘•周=36种，

综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是14+36=50,

同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50,

故不同的分配方法数是50+50=100.

故选：C.

【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题.

5.截至2024年2月25日，2024年春节档4部影片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》《熊出没•逆

转时空》合计票房已经突破100亿.某影城为了家庭中的大人和孩子观影便利，对影片播放顺序做出如

下要求：《热辣滚烫》不排第一场，《熊出没•逆转时空》不排最后一场，《第二十条》和《熊出没•逆转

时空》必须连续安排，则不同的安排方式有（）

A.12种B.10种C.9种D.7种

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算.

【答案】D

【分析】根据题意，《熊出没•逆转时空》不排最后一场，则《熊出没•逆转时空》可以排在第一、第二、

第三场，由此分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，《熊出没•逆转时空》不排最后一场，则《熊出没•逆转时空》只能排在第一、

第二、第三场，

分3种情况讨论：

①《熊出没•逆转时空》排在第一场，《第二十条》必须安排在第二场，剩下2场电影任意安排，有2

种情况，此时有2种不同的安排方式，

②《熊出没•逆转时空》排在第二场，

若《第二十条》排在第一场，剩下2场电影任意安排，有2种情况，

若《第二十条》排在第三场，《热辣滚烫》只能排在第四场，《飞驰人生2》排在第四场，有1种情况,

则此时有2+1=3种不同的安排方式；

③《熊出没•逆转时空》排在第三场，

若《第二十条》排在第二场，《热辣滚烫》只能排在第四场，《飞驰人生2》排在第一场，有1种情况,

若《第二十条》排在第四场，《热辣滚烫》只能排在第二场，《飞驰人生2》排在第一场，有1种情况,

此时有2种不同的安排方式；

综合：一共有2+3+2=7种不同的安排方式.

故选：D.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

6.某学校举办运动会，径赛类共设100米、200米、400米、800米、1500米5个项目，田赛类共设铅球、

跳高、跳远、三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则

甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（）

A.70B.140C.252D.504

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；分类讨论；分析法；排列组合；逻辑推理.

【答案】B

【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.

【解答】解：由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有废=5种选法，

他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有幽=4x3=12种选法，

所以此时满足题意的选法有程题=5x12=60,

由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有盘=4种选法，

他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有正=20种选法，

所以此时满足题意的选法有玛程=4x20=80,

综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于60+80=140种.

故选：B.

【点评】本题考查两个计数原理的应用，以及排列组合的知识，属于中档题.

7.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单

中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，则不同的插入方法种数为（）

A.12B.18C.20D.60

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【答案】C

【分析】5个节目排好的节目单中间有4个空，第一个节目插入到这4个空中，有4种方法，这时6个

节目排好的节目单中间有5个空，第二个节目插入到这5个空中，有5种方法，由乘法计数原理得不同

的插入方法种数.

【解答】解：5个节目排好的节目单中间有4个空，

第一个节目插入到这4个空中，有4种方法，

这时6个节目排好的节目单中间有5个空，

第二个节目插入到这5个空中，有5种方法，

由乘法计数原理得不同的插入方法种数为4X5=20.

故选：C.

【点评】本题考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

8.某校5名同学到A、3、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若

同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（

A.18种B.30种C.42种D.60种

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】综合题；整体思想；综合法；排列组合；逻辑推理.

【答案】B

【分析】由于每家公司最多接收两名同学，因此在甲同学去A公司的情况下，其余四名同学去三家公

司的人数只能为112、121及022,因此可以对三种情况分别讨论即可得到答案.

【解答】解：当同学甲取A公司时，其余四名同学可以去三家公司的人数可以分别为112、121、022

三种.

当其余四名同学可以去三家公司的人数为112时，共有心•废•戏=4x3x1=12种情况；

当其余四名同学可以去三家公司的人数为121时，共有盘•C"盘=4X3X1=12种情况；

当其余四名同学可以去三家公司的人数为022时，共有或•戏=6x1=6种情况；

因此不同的安排方法共有12+12+6=30种.

故选：B.

【点评】本题主要考查排列组合的应用，属于中档题.

9.用0,1,2,3,4能组成没有重复数字且比32000小的数字（）个.

A.212B.213C.224D.225

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算.

【答案】C

【分析】先对数字位数分类讨论，在对五位数的首位数字进行分类讨论：①首位为1,2；②首位为3.然

后分析千位数的选取，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.

【解答】解：分数字位数讨论：

一位数4个，

两位数有4X4=16个，

三位数有4X4X3=48个，

四位数有4X4X3X2=96个，

五位数分以下两种情况讨论：

①首位数字为1或2,此时共有2题=2X24=48个，

②首位数字为3,则千位数从0或1中选择一个，其余三个数位任意排列，

此时共有2题=12个，

综上所述，共有4+16+48+96+48+12=224个比32000小的数.

故选：C.

【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理的应用，属于中档题.

10.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛

项目和3个表演项目.现有三个场地A,B,C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办

其中一个项目，则不同的安排方法有（）

A.150种B.300种C.720种D.1008种

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算.

【答案】A

【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5个新增项目的比赛项目分为3组，②将分好的3组安排到

A,B,C三个场地，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，分2步进行分析:

①将5个新增项目的比赛项目分为3组，有警史+零」=25种分组方法,

人2人2

②将分好的3组安排到A,B,C三个场地，有a=6种安排方法,

则有25X6=150种安排方法.

故选：A.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

二.填空题（共5小题）

11.在（1+尤）+（1+无）2+（1+x）3+-+（1+x）1°的展开式中，X3的系数为330.（用数字回答）

【考点】二项式定理.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【答案】330.

【分析】利用二项式定理求得了3的系数，结合组合公式C记+C铲t=%式0<加<切即可得解.

【解答】解：因为（1+无）”的展开通项公式为耳+1=品"，

所以（1+x）+（1+x）~+（1+x）,+…+（1+无）1°的展开式中无3的系数为废+值+…+C：o，

因为优+C/T=密式0<m<n）,

所以优+C%+俏+…+Cfo=C4+C4+C5+…+C『o=Cg+C5+…+C；o

•••=CA=330.

故答案为:330.

【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.

12.两位老师和四位同学站成一排，如果两位老师不相邻且不站两端，则共有144种不同的站法.(用

数字作答)

【考点】部分元素不相邻的排列问题.

【专题】计算题；整体思想；综合法；排列组合；数学运算.

【答案】144.

【分析】先将四位同学进行排列，再将两位老师插入四位同学之间，可得结果.

【解答】解：先将四位同学进行排列，有短种排法，再将两位老师插入四位同学之间，有掰种排法，

故共有窗的=144种不同的站法.

故答案为：144.

【点评】本题主要考查排列组合的应用，属于中档题.

13.若(正-1)4的展开式中X的系数与/的系数之和为5.

【考点】二项式定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算.

【答案】5.

【分析】直接利用二项式的展开式和组合数求出结果.

_4-T

【解答】解：根据(«—1)4的展开式=C>(一1厂一丁(r=0,1,2,3,4),

当r=2时，x的系数为底•(-1)2=6,

当r=0时，x2的系数的系数为Cf-(-1)°=1,

故x的系数与x2的系数之和4+1=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

14.已知口,02,13,a4G{1,2,3,4},N(ai,12,13,04)为ai,<22,13,。4中不同数字的种类，如N

(1,1,4,3)=3,N(2,4,4,2)=2,(1,2,2,1)与(1,2,1,2)视为不同的排列，则(①，

a2,<73,。4)的不同排列有256个(用数字作答)；所有的排列所得N(41,。2,473,6/4)的平均值

【考点】排列组合的综合应用；用样本估计总体的集中趋势参数.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算.

【答案】256；-

【分析】本题首先可以确定N(41,42,。3,44)的所有可能取值分别为1、2、3、4,然后分别计算

出每一种取值所对应的排列个数，进而得到每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概

率即可计算出N(〃l,。2,Q3,44)的平均值.

【解答】解：由题意可知，(〃1,ai,〃3,”4)的不同排列有4X4X4X4=256个，

/11

当N(〃1,=1时，n

ai,〃3,44)PI=4X^4=64;

6x(C：+C；+C：)8421

当N(m,42,〃3,44)=2时,4256=回

七一4—

4x3(6+34-3)1449

当N(Q1,〃2,〃3：44)=3时，;

也-44-256-16

p__24_3

当N(41,42,〃3,44)=4时，r4-74-256-32-

1

综上所述，所有的256个(〃1：。2：43,44)的排列所得的N(41,42,〃3,〃4)的平均值为：1、瓦+2X

21,9—3175

64+3nX16+4X32=-6¥-

175

故答案为：256；-

64

【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了平均值的计算，属于中档题.

15.已知+5产的二项展开式中各项系数和为1024,则展开式中常数项的值为210.

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】方程思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【答案】210.

【分析】依题意，可求得”=10,再利用(一+5)】。的二项展开式的通项公式可求得答案.

【解答】解：：(炉+加的二项展开式中各项系数和为1024,

即(1+1)"=1024,

故"=10.

设(一+抄°的二项展开式的通项为Tr+1,则4+1=码，2""0"=C"",

令30-5r=0,得厂=6,

故展开式中常数项的值为比0=置0=骏偿;=210.

故答案为：210.

【点评】本题考查二项式定理的应用，求得w=10是关键，考查运算求解能力，属于中档题.

三.解答题(共5小题)

16.在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为

210,这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题.

已知(2x-1)n=ao+flix1+tz2x2+tz3x3+,,,(M£N+),若(2x7)”的展开式中，①或②或③.

(1)求〃的值；

(2)求/的系数；

(3)求同+|<72|+|。3|+…+|。"|的值.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【考点】二项式系数与二项式系数的和.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【答案】(1)10；

(2)180；

(3)59048.

【分析】(1)根据二项式系数的性质算出w的值；

(2)利用二项式展开式的通项公式列式，算出，的系数；

(3)利用赋值法，取x=0算出ao的值，然后取x=-l代入计算，求得团|+婕|+|。3|+…+|而|的值.

【解答】解：(1)若选①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即w=10,

若选②，第4项与第8项的二项式系数相等，即战=髭，可得”=3+7=10,

若选③，所有二项式系数的和为2?即2〃=21°,可得”=10.

综上所述，不论取三个条件中哪个条件，w的值都为10;

(2)根据题意，可得(2尤-1)"=(2x-l)lo=ao+aix1+a2x2+a3x3+-"+fliax10,

设第什1项为4+1=/•(2为1。-『•(T)『,其中r=0,1,10,

取r=8,得73=Cfo•(2久)2•(-1)8=180/,故/的系数及=180；

(3)由题意得(2x-1)lo=ao+aix1+a2x2+a3x3H---i-aiox10,

其中偶次方项系数为正数，奇次方项系数为负数，令x=0,可得砒=1,

再令X=-1,可得31°=。0-。1+。2-。3+…+a10=1+|。1|+|。2|+|。3|+…

10

因此，|。1|+陵|+|。3|+…+|斯|=|«1|+\a2\+|a3|+—F|a10|=3—1=59048.

【点评】本题主要考查了二项式系数的性质、赋值法求多项式的系数和及其应用，属于基础题.

17.5名男生，2名女生站成一排照相.求在下列约束条件下，有多少种站法?

(1)女生不站在两端；

(2)女生相邻；

(3)女生不相邻.

【考点】部分元素不相邻的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算.

【答案】(1)2400；

(2)1440；

(3)3600.

【分析】(1)先在5个男生中选出2人，安排在两端，剩下5人安排在中间，由分步计数原理计算可得

答案；

(2)先把两名女生捆绑在一起看作一个整体，再和另外的5名男生全排，由分步计数原理计算可得答

案；

(3)利用插空法，把2名女生插入到5名男生所形成的6个空中的2个，由分步计数原理计算可得答

案.

【解答】解：(1)根据题意，女生不站在两端，即男生在两端，

在5个男生中选出2人，安排在两端，剩下5人安排在中间，

有正式=2400种排法；

(2)两名女生要相邻，先把两名女生捆绑在一起看作一个整体，

再和另外的5名男生全排，故有段跳=1440种排法；

(3)利用插空法，把2名女生插入到5名男生所形成的6个空中的2个，用短=3600种.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

nn-12n2

18.已知数列｛如｝的首项为1,记F(久，n)=diC°(l—x)+a2C„x(l—x)+a3CnX(l—x)~+■■■+

1n

anC犷ix"T(l-x)+an+1CJix.

(1)若数列｛。〃｝是公比为3的等比数列，求P(-l,2020)的值；

(2)若数列｛而｝是公差为2的等差数列，

①求证：kCn=nCn~l;

②求证：F(x,2020)是关于x的一次多项式.

【考点】二项式定理.

【专题】计算题；证明题；转化思想；二项式定理；逻辑推理；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)等比数列结合二项式定理可解决该问题;

(2)①利用组合数公式解决;

②利用二项式定理和①结论解决.

【解答】解：(1)由题意即=3"]；.尸(x,n)=CR(1-尤)"+禺(3x)(1-%)"7+喋(3x)2(1

-x)n~-+-+C^(3x)"=(1+2无)n,

：.F(-1,2020)=(1-2)2020=1；

711(71—1)1

(2)①证明：k*=名许=〃而而F="制工；

②证明：：数列｛痴｝是公差为2的等差数列，.,.z=2”-1.则

nnl1tlx,

F(x,〃)=«1C°(1-x)+a2C^x(1-x)+---+anCn~x(1-x)+an+i*x"

=C'(1-x)"+(1+2)C„x(1-x)n'+(1+4量/(1-x)n~+—I-(l+2w)C^xn

=2(1-x)"+碍无(1-彳)”-1+喘/(1-无)"2+…+印/]+[2C"(1-x)n-1+2?(l-x)"-2+…+储/]

由二项式定理知，c°(1-X)"+C^X(1-X)"7+C袅2(1-X)"-2+...+例/=[(1-x)+X]"=1.

又；k#=nCfCnx(1-x)n1+C^x1(1-x)…+…+n黑N

n122

=〃C?TX(1-x)+/?C^_1x(1-x)H---卜nCk;x"

n1n

—nx[C°_1(1-x)+C^-iX(1-x)---FC仁

=nx[(1-x)+x]nl=nx,

所以尸(x,")=l+2«x,：.F(x,2020)=1+4040尤是关于x的一次多项式.

【点评】本题考查二项式定理、等差等比数列、组合数公式、一次函数、转化思想，考查数学运算能力

及推理能力，属于难题.

19.设(2x+l)8的第"项系数为斯.

(1)求斯的最大值.

(2)若印表示x的整数部分，S=$2*1,求$-同的值.

【考点】二项式定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算.

1

【答案】(1)1792；(2)

【分析】(1)直接利用系数的最大项建立不等式组，进一步求出最大值;

(2)直接利用二项式的展开式和整除问题求出结果.

【解答】解：(1)由题可知，Tk+i=骁(2x)8f=鹿28fx8-k,

则最大项满足1c128i；c3+】29i,解得k=5或6.

所以最大项系数为。7=睹28-2=1792,

(2)二项式(2X+1)"的第〃象通项满足〃=睹-1・29f.9-n,所以厮=•29-W,

所以£乎=0(^2i+i=a】+(Z3+cig+CZ7+cig=2，+Cg2^+Cg2^+Cg22+C鲁2°,

7

■=02a2i+i=2+f225+C423+C62I+T，

所以[豳产+1]=小2叫1-1,即[S]=S-|,

故S-[S]=1.

【点评】本题考查的知识要点：系数的最大项，二项式的展开式，整除问题，主要考查学生的理解能力

和计算能力，属于基础题.

20.(1)学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有多少种不同的选法？

(2)从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同的选

法？

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；方程思想；定义法；排列组合；数学运算.

【答案】(1)35,(2)120.

【分析】(1)根据题意，由组合数公式计算可得答案；

(2)根据题意，由排列数公式计算可得答案.

【解答】解：(1)学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有C74=35种不同选法；

(2)从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，共有463=120种.

【点评】本题考查排列组合数公式的应用，注意排列、组合的不同，属于基础题.

考点卡片

1.用样本估计总体的集中趋势参数

【知识点的认识】

1.众数、中位数、平均数

众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数

的应用最为广泛.

(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；

(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)

叫做这组数据的中位数；

(3)平均数：一组数据的算术平均数，即元=：。1+*2+・“+%!)・

2.众数、中位数、平均数的优缺点

特征数优点缺点

众数体现了样本数据的最大只能表达样本数据中的很少一部分

集中点信息无法客观反映总体特征

中位数不受少数极端值的影响不受少数极端值的影响

平均数与每一个数据有关，更受少数极端值的影响较大，使其在

能反映全体的信息.估计总体时的可靠性降低.

【解题方法点拨】

众数、中位数、平均数的选取：

(1)平均数能较好地反映一组数据的总体情况；

(2)中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平(或一般水平);

(3)众数能反映一组数据的集中情况(即多数水平).

根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：

(1)众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数.

(2)中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值.

(3)平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点.平均数等于频率分布直方图中每个小矩

形的面积(即落在该组中的频率)乘以小矩形底边中点的横坐标(组中值)之和.

2.部分位置的元素有限制的排列问题

部分位置的元素有限制的排列问题

3.部分元素不相邻的排列问题

部分元素不相邻的排列问题

4.人员及物品分配问题

人员及物品分配问题

5.排列组合的综合应用

【知识点的认识】

1、排列组合问题的一些解题技巧：

①特殊元素优先安排；

②合理分类与准确分步；

③排列、组合混合问题先选后排；

④相邻问题捆绑处理；

⑤不相邻问题插空处理；

⑥定序问题除法处理；

⑦分排问题直排处理；

⑧“小集团”排列问题先整体后局部；

⑨构造模型；

⑩正难则反、等价转化.

对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分

步.对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：

①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.

2、排列、组合问题几大解题方法:

(1)直接法；

(2)排除法；

(3)捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们

“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”；

(4)插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元

素不相邻问题”；

(5)占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置

的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解

题原则；

(6)调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；

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