2.2 基本不等式（精讲）-2022版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册）（教师版含解析）

2.2基本不等式思维导图思维导图常见考法常见考法考点一公式的直接运用【例1】(1)(2020·全国高一课时练习)若，则的最大值是()A． B． C． D．(2)(2020·全国高一课时练习)已知，求函数的最小值是()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】(1)A(2)D【解析】(1)，故，则，当时取“=”，所以正确选项为A(2)由，即，所以，时取“=”，所以正确选项为D考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。一不可【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)若，则的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】则，，当时取“=”，所以正确选项为C2．(2020·上海高一开学考试)已知，函数的最小值是()A．5 B．4 C．8 D．6【答案】D【解析】因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，，因为，由重要不等式可知，所以，本题正确选项为D.3．(2020·全国高一课时练习)已知函数在时取得最小值，则________．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当即，由题意，解得考点二条件型【例2】(1)(2020·全国高一课时练习)已知实数，则的最小值为()A． B． C． D．(2)(2020·哈尔滨德强学校高一期末)已知实数，，，则的最小值是()A． B． C． D．【答案】(1)D(2)B【解析】(1)，正确选项为D(2)∵，，当且仅当，即，时取等号.故选B条件型（乘K法）：和为定值K，求倒数和的最小值，采用乘K法条件型（乘K法）：和为定值K，求倒数和的最小值，采用乘K法【举一反三】1．(2020·全国高一开学考试)已知,则的最小值是()A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】(当且仅当，即时取等号)的最小值为故选：2．(2020·四川金牛。成都外国语学校高一期末(文))若正数，满足，则的最小值是()A． B． C．5 D．25【答案】C【解析】正数，满足，则，当且仅当时取等号．的最小值是5．故选：C．3．(2020·全国高一课时练习)已知，，则的最小值为_______________；【答案】【解析】采用常数1的替换，，当即时等号成立，所以答案为．考点三配凑型【例3】(1)(2020·衡水市第十三中学高一月考)已知，则的最小值是________．(2019·四川高一期末)已知正数、满足，则的最小值为【答案】(1)5(2)【解析】当时，，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，函数的最小值为.故答案为：.(2)，所以，，则，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：．1.分子分母为一次函数和二次函数，把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次，再分子分母同除一次函数1.分子分母为一次函数和二次函数，把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次，再分子分母同除一次函数2.给出等式但是不符合条件型，则从分母入手，分母相加减可得到等式的关系的倍数，即降次-配凑-均值不等式【举一反三】1(2020·全国高一专题练习)设，求的最大值.【答案】1【解析】∵，∴∴所以当且仅当，即时等号成立所以的最大值为2．(2020·全国高一课时练习)函数的最小值为()A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】，则，，当时取“=”，所以正确选项为A．3．(2020·全国高一课时练习)已知，则有A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1【答案】D【解析】当且仅当即时取等号，故选：．考点四换元法【例4】(2019·河北路南.唐山一中高三期中(文))已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是()A．3 B．4 C． D．【答案】B【解析】考察均值不等式，整理得即，又，【举一反三】1．(2020·上海高一开学考试)若正数满足，则的最小值是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为正数满足，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：A2．(2020·江西高一期末)已知a，，且满足，则的最小值为()A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴．即．当且仅当时取等号．∴的最小值为故选：C3．(2020·黑龙江工农.鹤岗一中高一期末(理))若正数满足，则的最大值为()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，化简可得，左右两边同时除以xy得求的最大值，即求的最小值所以，当且仅当时取等号所以的最大值为所以选A4．(2020·浙江高三月考)已知实数满足，则的最小值为()A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，，，则，，，设，则，，解得，的最小值为.故选：B考点五求参数【例5】(2020·浙江高一单元测试)已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为()A． B． C． D．【答案】C【解析】.若，则，从而无最小值，不合乎题意；若，则，.①当时，无最小值，不合乎题意；②当时，，则不恒成立；③当时，，当且仅当时，等号成立.所以，，解得，因此，实数的最小值为.故选：C.【举一反三】1．(2020·河北路南.唐山一中高一期中)若对于任意恒成立，则a的取值范围是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以(当且仅当时取等号)，则，即的最大值为，故.故选：2．(2020·河南高三其他(理))若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为()A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意得当时，恒成立，又因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以，解得，因此，实数的取值范围为.故选：B.3．(2020·西夏.宁夏大学附属中学高二月考(文))若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，两个正实数x，y满足，则，当且仅当，即时，等号成立，又由恒成立，可得，即，解得，即实数m的取值范围是.故选：C.考点六实际应用题【例6】(2020·浙江高一课时练习)某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为平方米的三级污水处理池，如图R3－1所示.已知池外墙造价为每米元，中间两条隔墙造价为每米元，池底造价为每平方米元(池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖).若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为()A．米，米 B．米，米 C．米,米 D．米，米【答案】C【解析】设污水池的宽为米，则长为米，总造价为，则(元)，当且仅当时，即当时，总造价最低，此时，污水池的宽为米，长为米.故选：C.【举一反三】1．(2019·全国高一课时练习)设计用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为A．(38－373)m3 B．16m3 C．42m3 D．14m【答案】B【解析】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则2x+2×2ℎ＋2xℎ=32，即x+2ℎ＋xℎ=16，∴16=x+2ℎ+xℎ≥22xℎ+xℎ，即xℎ+22xℎ∴0<xℎ≤8．∴车厢的容积为V=2xℎ≤16(m3)．当且仅当x=2ℎ且x+2ℎ＋xℎ=16，即x=4,ℎ=2时等号成立．∴2．(2020·全国高一课时练习)将一根铁丝切割成三段，做一个面积为，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是()A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m【答案】C【解析】设直角三角形的框架的两条直角边为x，y(x＞0，y＞0)则xy＝4，此时三角形框架的周长C为：x+y+＝x+y+∵x+y≥2＝4∴C