空间角和空间距离-2025年高考数学备考复习

第七章立体几何与空间向量

第6讲空间角和空间距离

课标要求命题点五年考情命题分析预测

1.能用向量语求异面直线

2021全国卷乙T5

言表述直线与所成的角

直线、直线与2023全国卷乙T9；2023全国卷甲

平面、平面与T18；2022全国卷乙T18；2022全国

平面的夹角.求线面角卷甲T7；2022全国卷甲T18；2020

该讲每年必考，

2.能用向量方新高考卷IT20；2020新高考卷

主要考查利用几

法解决点到直IIT20；2020全国卷HT20

何法或向量法求

线、点到平2023新高考卷IT18；2023新高考卷

解线线角、线面

面、相互平行IIT20；2023全国卷乙T19；2023天

角、面面角、空

的直线、相互津T17；2022新高考卷IT19；2022

间距离等问题，

平行的平面的新高考卷HT20；2021新高考卷

方法比较固定，

距离问题和简求二面角IT20；2021新高考卷IIT19；2021全

备考时注意对空

单夹角问题，国卷乙T18；2021全国卷甲T19；

间角与向量夹角

并能描述解决2020全国卷IT18；2020全国卷

关系的梳理.

这一类问题的IIIT19；2019全国卷IT18；2019全国

程序，体会向卷IIT17；2019全国卷nm9

量方法在研究

2023天津T17；2023上海春季

几何问题中的求空间距离

T17；2022新高考卷IT19

作用.

。学生用书P158

1.空间角

（1）异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点。分别作直线优〃a,

b'//b,我们把优与，所成的角叫做异面直线a与6所成的角（或夹角）.

异面直线夹角的范围是①（0,等.

2

（2）直线与平面所成的角

a.平面的一条斜线和它在平面上的②射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的

角.一条直线垂直于平面，则它们所成的角是③90。；一条直线和平面平行或直线在平

面内，则它们所成的角是⑷0。.

b.线面角。的取值范围：⑤[0,/.

c.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条

直线所成角中最小的角.

(3)二面角与两个平面的夹角

a.从一条直线出发的两个⑥半平面所组成的图形叫做二面角.

b.二面角的平面角：如图，在二面角a—/—B的棱/上任取一点

P,以点尸为垂足，在半平面a,p内分别作垂直于棱/的射线P4

和PB,则射线PA和PB构成的/4P3叫做二面角a—/—p的平面

角.

c.二面角的范围：⑦[0,扪.

2.利用向量法求空间角

空间角求法注意事项

设异面直线/,用的方向向量分别为。，

异面直线角相勺范围为⑼(0,目，所以线

b,若直线/与根的夹角为a则cos0=

所成角线角的余弦值非负.

⑧1cos<<,6>1.

设直线/的方向向量为a,平面a的法向

角加勺范围为⑪[0,?，注意。与

线面角量为"，若直线/与平面a所成的角为。，

<a,〃>的关系.

贝!!sin。=⑩Icos<a,n>I.

平面a,B的法向量分别为相，若设

两个平面两个平面夹角的范围为⑫「0,

平面a与平面0的夹角为仇则cos0=l

的夹角二面角的范围是⑬[0,扪.

cos<m,"2>1.

易错警示

1.线面角。与向量夹角〃>的关系

如图1(1),0=<«,//>—p如图1(2),9=]—〃>.

图1

2.二面角。与两平面法向量夹角<"J,“2》的关系

图2(2)(4)中。=兀一<"i,"2>;图2(1)(3)中"2>.

3.利用向量法求空间距离

(1)点P到直线N8的距离d=IAPIsin<AP,荏>=IAPI-Jl-cos2(AP,AB).

(2)点尸到平面/8C的距离为成在平面NBC的法向量”上的投影向量的长度，即d=(®_

(3)当直线尸。与平面NBC平行时，直线到平面/8C的距离可

转化为点P到平面ABC的距离.

(4)当平面a与平面B平行时，两平面的距离可转化为平面a上一点P

到平面P的距离.

(5)如图，异面直线a,6之间的距离即直线。上一点P到优与6所确定的平面a的距离

Ca'//a,a'Cib=O).

1.［教材改编］如图，正四棱柱/BCD—48C1D1的侧面展开图是边长为4

4B,C,D,TH1

的正方形，则在正四棱柱N5CD—NISCLDI中，异面直线NK和CM所成

的角的大小为(D)Un

A.30°B.45°C.60°D.90°；,

解析根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取/小的中点G,连接

P..

KG,则有KG〃LW,所以//KG或其补角为异面直线NK和LW所成的角.由题

“I

知/G=2,AK=KG=VTTl=y/2,则有N群+KG2MNG2,所以//KG=90°,

乎

即异面直线/K和LW所成的角为90。.故选D.

2.［教材改编］在长方体中，48=3,4D=4,AAi=4,过点5作直线/,

与直线NC所成的角均为60。，则这样的直线/有(C)

A.2条B.3条C.4条D.无数条

解析如图，在长方体/BCD—/iBiCYDi中，连接4G,BCi,则.

A\C\//AC,所以/A41G或其补角为异面直线//与/。所成的角，由题，：,r

2\

意得48=5,ArCi=5,8ci=4鱼，所以cos/B4Ci==^&-=

2x5x5,..Xv/

u..,林

所以60YNA41cl<90。，则过点A作直线/,与直线42,/C所

成的角均为60。，即过一点作直线，使之与同一平面上夹角大于60。的锐角的两边所在直线

所成的角均成60。，这样的直线/有4条.故选C.

3.［易错题］已知向量m，题分别是直线/的方向向量、平面a的法向量，若cosV/w,n>

-p则/与a所成的角为30。.

解析设/与a所成的角为。，则sin8=Icos<w,n>I=|,所以。=30。.

4.已知空间直角坐标系。xyz中，过点尸(xo,次，zo)且一个法向量为〃=(a,b,c)的平

面a的方程为a(%—xo)+6(y—yo)+c(z-zo)=0.用以上知识解决下面问题：已知平面

。的方程为x+2y—22+1=0,直线/是两个平面x-y+3=0与%—2z—1=0的交线，试写

出直线I的一个方向向量(2,2,1),直线/与平面a所成角的余弦值为—苧

解析由平面a的方程为x+2y—2z+l=0,可得平面a的一个法向量为〃=(1,2,—2).

平面x—y+3=0的一^个法向量为/wi=(1,—1,0),平面x—2z—1=0的一^个法向量为

7n*7n—0

1'即

{mm2=0,

令z=l,则取〃?=(2,2,1).设直线/与平面a所成角为0,(TW0W90。，则

,x-2z=0,

6学生用书P159

命题点1求异面直线所成的角

例1［2021全国卷乙］在正方体/5。一/出口01中，尸为囱5的中点，则直线P2与NDi

所成的角为(D)

A.-B.-C.-D.-

2346

解析解法一(几何法)如图，连接。1尸，因为4BCD—481cLD1是।

正方体，且尸为的中点，所以。1尸_1_21。1,又CiPLBBi,

BBGBiD尸Bi,所以CiP_L平面815P.又APU平面.BP,所以

GP_L3P连接则NDi〃8Ci,所以/P8G为直线P8与N9所成

的角.设正方体48CD—42iC0的棱长为2,则在直角三角形CM中，。1尸=抑。=

V2,SCi=2V2,sinZPSCi=^-=i所以/尸8G=巴，故选D.

BCi26

解法二(向量法)以S为坐标原点，SiCi,BiAi,98所在的直线分别为x轴、y轴、z

轴，Brc1,瓦石，瓦石的方向分别为x轴、了轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正

方体48cz)—48Cid的棱长为2,则2(0,0,2),P(1,1,0),Di(2,2,0),

A(0,2,2),丽=(-1,-1,2),而i=(2,0,-2).设直线PB与/A所成的角

为°，则3。=I嗡署I=忌=亭因为0G(0,斗，所以。三，故选D.

解法三如图所示，连接8G,AiB,AiCi,则易知/£)i〃3Ci,所以直,一1一一

线PB与ADi所成角等于直线PB与BC\所成角.根据P为正方形AiB^CiDi的对角线BD的

中点，易知4,P,G三点共线，且尸为4cl的中点.易知43=8Ci=4G,所以△48G

为等边三角形，所以又尸为4G的中点，所以可得/尸3。1=工//归4=工.故

326

选D.

方法技巧

求异面直线所成角的方法

将两直线平移到同一平面内，构造三角形，利用勾股定理或解三角形求两异面

几何法

直线的夹角或其余弦值.

将两直线的方向向量表示出来，利用向量夹角计算两异面直线夹角的余弦值.

向量法

注意异面直线夹角的范围是(0,=].

训练1[全国卷U]在长方体/BCD-//CQ中，AB=BC=1,44尸百，则异面直线4D1

与。21所成角的余弦值为(C)

「V5

AB些CD

-t6T-T

解析解法一如图，补上一相同的长方体COE产一GDiEi尸1,连接

DEi,B®.易知ADJ/DEi,则为异面直线4Di与。氏所成角.

因为在长方体/BCD-N/ICLDI中，4B=BC=1,44i=g,所以

DEi=JDE2+E£^=J12+(V3)2=2,DSI=J12+12+(V3)之=

V5,BiEi=IAIB：+AIE：=12+22=V5,在△3DE'I中，由余弦定

理，得COSN80EI=22+=g即异面直线4Di与DBi所成角的余弦值为g,

2x2xV555

故选c.

解法二如图，连接BD1,交。81于点。，取力8的中点M,连接

DM,OM,易知。为5D1的中点，所以4Di〃(W,则/VOD为异面直

线/£>i与。Bi所成角.因为在长方体45CD—481GD1中，AB=BC=\,

/小=百，ADi=JAD2+DD：=2,DM=JAD2+2=y,DBi=

JAB2+AD2+DD1=V5,所以OM="r)i=l,0D=：DBI=3,于是在

△DM<7)

。中，由余弦定理，得COSOMO£>=I2+]‘丁二唐即异面直线4D1与。51所

2XlXy5

成角的余弦值为个，故选c.

解法三以。为坐标原点，DA,DC,91所在直线分别为x

轴、V轴、Z轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知。

(0,0,0),N(1,0,0),Di(0,0,V3),Bl(1,1,V3),所以西=(-1,

0,V3),西=(1,1,V3),则由向量夹角公式，得cos<珂，西〉=W嘉।

=4=4，即异面直线4D1与D21所成角的余弦值为皆，故选C.

2V555

命题点2求线面角

例2[2022全国卷甲]在四棱锥尸一48CD中，尸D_L底面/BCD,

CD//AB,AD=DC=CB=\,AB=2,DP=相.

(1)证明：BDLPA.

I瓢

(2)求PD与平面尸所成的角的正弦值.，•....-”

解析(1)如图所示，取48的中点O,连接。。，CO,则。8=

DC=1.

又DCJ/OB,所以四边形DC50为平行四边形..,

又3c=03=1,所以四边形DC2。为菱形，所以BD_LCO.

同理可得，四边形DCQ4为菱形，所以4D〃C。，

所以BD_L4D.

因为尸D_L底面4BCD,BDU底面ABCD,所以PD_L5D,

入4DCPD=D,AD,P£>u平面/。尸，所以区D_L平面40P.

因为P/u平面ADP,所以BDLPA.

(2)解法一由(1)知又4B=2AD,所以/。/。=60°,

所以三角形为正三角形.

过点。作垂直于。。的直线为x轴，。。所在直线为y轴，D尸所在直线为z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系，则/(y,0),BC~,I，0),P(0,0,®,D(0,

0,0).

则方=(0,2,0),AP=(一苧，I，V3),DP=(0,0,V3).

设平面尸45的法向量为％=(x,y,2),

则理…,才露。,।

VAPn=0(—y%+-y+V3z=0.

令x=2,则y=0,2=1,所以刁=(2,0,1)是平面尸45的一个法向量.

设直线PD与平面P/3所成的角为a,则sina=Icos<«,DP>I="吗，=^1^=

IJnI-IDPIV5xV3

y,所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为

解法二作的/_L平面P48,垂尺为M连接尸M则乙DPM就是尸〃与平面P/8所成角.

易知P/=2,PB=y[6.

过4作于N,因为AB=2=PA,所以易得4N=邛，所以S及BP=1X乃X^=

V15

2•

于是，根据J梭卷尸-9=曜相3"得gs"BD.DP=gs“BFDM,即|x(|xixV3)XV3

乂誓DM,解得誓.

在RtADW中，smZDPM=—=^^.

DP5v35

故尸。与平面尸45所成的角的正弦值为f.

方法技巧

求直线与平面所成角的方法

利用直线与平面所成角的定义求解，具体步骤：

(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为

几何法

所求的角；

(3)通过解该角所在的三角形求解.

注意直线与平面平行或垂直的特殊情况.

sin9=Icos<AB,n>I=J竺：；(其中45为平面a的斜线，〃为平面a的法向

向量法1AB\\n1

量，。为斜线43与平面a所成的角).

训练2［2023全国卷乙］已知△/BC为等腰直角三角形，N2为斜边，为等边三角

形，若二面角C—/3—。为150。，则直线CD与平面48C所成角的正切值为(C)

A.|B.9臂D.|

解析如图所示，取48的中点M,连接CM,DM,则CA/_L/3,

DMLAB,故NCW即为二面角C-/5-D的平面角，于是/CA/D="J

150°.又CM,DA/u平面CW,CMDDM=M,所以4B_L平面CA/O.设*•*■1•

48=2,则CM=1,DM=W,在△CW中，由余弦定理可得CD=

j3+l-2xV3xlx(一二)=近.延长CW,过点。作CM的垂线，设垂足为“，贝I

/HMD=30。,DH=^DM=^-,MH=^-DM=^,所以CH=1+|=,.因为D“u平面

CMD,所以4BLDH,叉DHLCM,AB,CA/U平面48。，ABPCM=M,所以。8_L平面

ABC,/DCM即为直线CD与平面/8C所成的角，于是在RtZXDCH中，tan/OCM=^=

CH

y,故选C.

训练3［新高考卷I］如图，四棱锥尸一N8CD的底面为正方形，尸。，底

面/BCD设平面PAD与平面PBC的交线为I.

tt

(1)证明：/_L平面PDC

(2)已知尸£>=ND=1,0为/上的点，求尸3与平面。CA所成角的正弦值的最大值.

解析(1)因为PD工底面ABCD,

所以PDLAD.

又底面48CD为正方形，所以4D_LDC

火PDCDC=D,PD,OCU平面POC,

因此平面尸DC.

因为4D〃3C,40仁平面PBC,BCU平面PBC,

所以/。〃平面尸8C.

又4DU平面尸4D,平面尸8CA平面尸4D=/,所以/〃4D.

因此/_L平面尸£>C

(2)以。为坐标原点，DA,DC,而的方向分别为x轴、y轴、z轴

的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则。(0,0,

0),C(0,1,0),2(1,1,0),P(0,0,1),尻=(0,

1,0),PB=(1,1,-1).

由(1)可设。(。，0,1),则丽=(。，0,1).

n-DQ—0,ax+z—0,

设〃=(x,y,z)是平面0co的法向量，则_：即

nDC=0,.y=0.

可取〃=(―1,0,a).

丽〉—71.方—-

所以cos<n,—La

/\n\'\PB\V3-Vl+a2

设网与平面。CO所成角为。，贝4sin0=Icos<M,PB>I=yX-^=-=yJ1+含.

因为它11+^^—,当且仅当a=l时等号成立，

3vK+13

所以网与平面QCD所成角的正弦值的最大值为手.

命题点3求二面角

例3[2023全国卷乙]如图，三棱锥P一中，ABLBC,AB=2,BC=

2V2,PB=PC=V6,BP,AP,8c的中点分别为D,E,O,AD=

E。，点尸在/C上，BFLAO.

(1)证明：E尸〃平面NZ)Q

(2)证明：平面40。_L平面BEE

(3)求二面角。一/。一。的正弦值.

解析(1)如图，以3为坐标原点，BA,BC所在直线分别为x轴、j

轴，建立平面直角坐标系，则5(0,0),N(2,0),C(0,2V2),

O(0,V2),AO=(-2,V2).

设赤=九而，则易得尸(一2入+2,2V2A,).因为3F_L/。，所以而•布=0,所以(一2九十

2,2V2X)•(-2,V2)=0,解得入=：,所以尸为NC的中点.

又瓦。分别为/P,5尸的中点，

所以EF〃PC,OD//PC,所以EF〃OD,

又QDU平面40。，EFC平面400,所以£尸〃平面4DO.

(2)/。=JAB2+BO2^V6,OD=*C=*又/。=岔00='，

所以/£>2=/。2+。。2,所以/O_LOD.

由于E尸〃。£>,所以/O_LM,

又BF_LAO,BFCEF=F,BFU平面BEF,EFU平面BEF,

所以/O_L平面BEF.

又NOU平面400,所以平面4D0_L平面3EE

(3)解法一如图，以3为坐标原点，BA,3c所在直线分别为x轴、

y轴，建立空间直角坐标系，则3(0,0,0),/(2,0,0),。(0,

V2,0),布=(-2,V2,0).

因为PB=PC,BC=2笆,所以设P(.x,V2,z),z>0,

则丽=胡+荏=胡+[而=(2,0,0)+1(x-2,迎，z)=(

x+2V2z、

~92'

由(2)知NO_L3E,所以超尿=(一2,V2,0)•(亨，y,f)=0,所以x=—1,

又尸2=声，前=(x,V2,z),所以N+2+Z2=6,所以z=百，则P(-1,V2,V3).

由。为液的中点，得D(-|,y,净，则前=y,y).

设平面D4。的法向量为m=(Q,b,c),

(n^AD=0,(—-a-\--b-\--c=0,广

则｛一即｛222得6=夜口，C=Wd,

(荏1/°=0,[-2a+V2b=0,

取q=l,则m=(1,V2,V3)是平面的一个法向量.

易知平面C4。的一个法向量为〃2=(0,0,1),

设二面角。一4。一。的大小为。，则|cos0I=Icos<m,〃2>I=J-—J=1=人,所

In1||n2IV62

山•/)匚~1V2

以sin。=1--=一,

\22

故二面角。一NO—C的正弦值为手.

解法二如图，过点、O作OH〃BF交AC于点、H,设/£>C3E=G,连接

GF,DH.

'：BF±AO,J.HOLAO,且FH=%H.

由(2)知。O_L/O,又。On〃O=O,OOu平面DO",HOU平面DOH,所以《。，平

面DOH,故/。为二面角。一40一C的平面角.

'：D,E分别为PB,P/的中点，：.AD,的交点G为△P48的重心,

：.DG=^AD,GE=：BE.

义易知FH=%H,：.DH=^GF,

厂厂,-4+3_15

在4/3尸中，AB=2,BD=-PB=—,AD=^5DO=—PC=—,则cos//50=^^=

22222x2若

4+6—"2

2x2xV6

解得尸/=vn,同理可得BE=当

易知8尸=/c=百，£-F=|pC=y,

贝U3£2+即=|+|=3=g产，故BE_LEF,

可得6妙=65+丽=(|Xy)2+(^)2=|,

・•.GQ乎,故D〃=|X苧=当

在中，OH=：BF=*OD=$C=曰,DH=%

V2

：.cosZDOH：.sinZDOH=-.

2

故二面角D一/。一。的正弦值为子.

方法技巧

求二面角常用的方法

几何法根据定义作出二面角的平面角求解.

2

利用公式COS<〃1,/12>=,T("1，"2分别为两平面的法向量)进行求解.

向量法注意二面角的取值范围是［0,扪，需要结合图形的特征，确定求出的两法向

量的夹角〃2>到底是二面角还是二面角的补角.

训练4［2023新高考卷I］如图，在正四棱柱33cz)-4口如2中,AB=2,

44i=4.点也，B2,Ci,Z>2分别在棱44i,BBi,CCj,g上,AA2=l,

BB2=DDZ=2,CC2=3.

(1)证明：32c2〃也。2.

(2)点P在棱AB1上，当二面角尸一402—6为150。时，求B2P.

解析(1)解法一依题意，得瓦可=瓦瓦+瓦B+备石=西+前+

〃

A2A=A2D2,所以&。242rh.

解法二以点。为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线分别为X轴、》轴、2轴，建立如图

所示的空间直角坐标系，则&(0,2,2),。2(0,0,3),A2(2,2,1),D2(2,

0,2),所以B2c2=(0,-2,1),42。2=(0,-2,1),所以82c2'=力202,所以

B2C2//A2D2.

(2)建立空间直角坐标系，建系方法同(1)中解法二，设BP=n(0W〃W4),则

P(0,2,n),

所以P&=(2,0,1~n),PC2=(0,—2,3—n).

设平面PA2c2的法向量为a—(xi,y\,z\),

a=0,贝第1+(1—n)Zi=0,

-

a=0,2y1+(3n)z1=0,

令xi=〃—1,得。=(〃-1,3—n,2).

设平面/2。加2的法向量为〃=(X2,yi,Z2),

由(1)解法二知，A2C2=(~2,-2,2),A2D2=(0,-2,1),

b=0,贝2到—2为+2Z2=0,

b=0,(—2y2+Z2=0,

令歹2=1,得b=(1,1,2).

I71—1+3—71+4IV3

所以Icos150°I=Icos<«,b>I=

222

(n—1)+4+(3—n)xV6

整理得/—4〃+3=0,解得“=1或〃=3,

所以BP=1或BP=3,所以民『=1.

命题点4求空间距离

例4[2023天津高考]如图，在三棱台中，已知出/,平

面ABC,AB±AC,AB=AC=AAi=2,AiCi=l,N为线段的中

点，M为线段3C的中点.

(1)求证：4N〃平面CiM4.

(2)求平面GM4与平面NCG4所成角的余弦值.

(3)求点C到平面CiMA的距离.

解析(1)解法一(几何法)连接VN.因为M,N分别是BC,N8的中点，所以

MN〃AC且MN=/C=1,即有MN4G,所以四边形〃NNiG是平行四边形，故

AiN//MCi.

又MQu平面GM4,/iNU平面QM4,所以/一〃平面QM4.

解法二(向量法)以力为坐标原点，AB,AC,44i所在的直线分

别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系4xyz,

则有4(0,0,0),M(1,1,0),N(1,0,0),4(0,0,2),Ci(0,1,2).

所以布=(1,0,-2),AM=(1,1,0),宿=(0,1,2).

??-'74—0Cx~\~v——0

_»'即4'不妨取〃=(2,

{nACr—0,(y+2z=0,

—2,1).因为AiN・〃=1X2+0X(—2)+(—2)X1=0,所以ZiN_L儿

又41NC平面C、MA,

所以ZiN〃平面C\MA.

(2)由(1)中解法二易知，平面4CC/1的一个法向量为前=(1,0,0),平面

的一个法向量为胃=(2,—2,1),所以IcosV丽，n>I=।，:也

所以平面C\MA与平面4CC4所成角的余弦值为|.

(3)易得。(0,2,0),则祈？=(-1,1,0),所以点C到平面GM4的距离d=I

猊n।_4

In|~?

方法技巧

1.求点到平面的距离的常用方法

找到点到平面的距离，通过解三角形求出距离，若点到平面的距离不易求，还可

几何法

转化为过已知点且与相关平面平行的直线上的其他点到平面的距离求解.

利用已知的点和平面构造四面体，利用四面体能够以任何一个面作为底面去求体

等体

积的特征，把四面体的体积以不同面为底表示两次，列出方程，解方程即可求出

积法

距离.

求点尸到平面a的距离的三个步骤：

①在平面。内取一点确定向量24的坐标；

向量法

②确定平面。的法向量〃；

③代入公式4=四也求解.

1n1

2.求直线到平面的距离以及两平行平面的距离时，往往转化为求点到平面的距离.

训练5[2023上海春季高考改编]如图，已知三棱锥P—48c中，PAL

平面48C,ABVAC,PA=AB=3,AC=4,M为3C的中点，过点Af

分别作平行于平面尸48的直线交NC,PC于点£,F.

(1)求直线尸M与平面/8C所成角的正切值.

(2)证明：平面Affi尸〃平面尸48,并求直线VE到平面尸48的距离.

解析(1)如图，连接/"因为尸/_L平面N5C,所以/PK4即直

线PM与平面ABC所成的角.

因为A8_L4C,AB=3,AC=4,

所以8C=lAB2+AC2=5,

又M为BC的中点，所以AM=^BC=^,

所以在Rt/\PAM中，tanZPMA

AM5

故直线尸”与平面ABC所成角的正切值为会

（2）因为ME〃平面P4B,〃平面P4B,MECMF=M,且“石，MFU平面MEF,

所以平面尸〃平面PAB.

因为尸平面/8C,/£u平面48C,所以P/L4E.

又4B_L/C,AE±AB,而AB,P4（=平面P48,ABHPA=A,所以4E_L平面尸48,

所以直线ME到平面尸的距离等于/£的长.

因为ME1〃平面P48,MEU平面48C,平面P43C平面48C=NB,所以ME〃幺8,

又M为3c的中点，所以E为/。的中点，

所以4B=1^C=2.

1.［命题点1/2023河南省重点中学测试］正四棱锥S一/BCD的所有棱长都相等，£为SC的

中点，则与£4所成角的余弦值为（C）

A-|BiCTDT

解析如图所示，连接NC,取/C的中点为。，连接。8,OE,因为

E为SC的中点，所以S4〃OE,则/。£3（或其补角）为直线与

SA所成的角.因为正四棱锥S—ABCD的所有棱长都相等，所以设棱长

为2,贝UOE=1,BE=®0B=近,则。£2+082=2严，所以

OBLOE,所以cos/O£3="=W=g故选C.

BEV33

2.［命题点1］如图所示，在四棱锥£—/8C〃中，底面/BCD是菱形，

ZADC=60°,4c与BD交于点、O,£C_L底面N8CO,尸为的中点,

AB=CE.

（1）求证：〃平面NCR

（2）求异面直线£。与NF所成角的余弦值.

解析（1）如图，连接。尸，由题可知O为3。的中点，入F为BE

的中点，所以OF〃DE,又。下u平面/CR,。£仁平面/。尸,

所以DE〃平面/CF.

（2）取4D的中点G,连接CG,

因为底面是菱形，ZADC=60°,

所以△/CD是等边三角形，所以CG_L4D,

因为CB//AD,所以CG_LC8,

又EC_L平面/BC。，所以以C为坐标原点，建立如图所示的空间直南坐标系.

设菱形ABCD的边长为2,可得CE=2.

则E(0,0,2),O(y,p0),A(V3,1,0),F(0,1,1),EO=(y,

-2),AF=(-V3,0,1).

设异面直线EO与//所成的角为仇

丁P„,EOAF,ifx(-V3)+ix0+(-2)XlI1近

可得cose=।一一।l_________2_2---------=一.

IEO\\AFV32丁”2L2I220

J(争+(1)+(-2)xj(-V3)+02+(-1)

所以异面直线£。与4F所成角的余弦值为黑.

3.［命题点2,3/2022天津高考］如图，直三棱柱431G中，

AAi=AB=AC=2,ACLAB,。为4S中点，£为中点，尸为

。中点.

一一4-D--

(I)求证：£尸〃平面/3C.

(n)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值；

(III)求平面/1CD与平面CCQ夹角的余弦值.

解析(I)因为/BC-NiSG是直三棱柱，且/C_L/2,所以

AXC

AB,AAi,/C两两垂直，所以分别以48,44i,/C所在直线为，：

x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

因为48=/C=//i=2,且。，£分别为小21,441中点，所以E

(0,1,0),C(0,0,2),。(1,2,0).

因为尸为CD中点，所以尸(i1,1),所以丽=(i0,1).

易知平面48c的一■个法向量为〃=(0,1,0),

因为丽•"=(),且EFC平面48C,所以即〃平面4BC

(II)B(2,0,0),Ci(0,2,2),而=(1,2,-2),所以锯=(-2,1,0),

CQ=(0,2,0),

7T,CC—o12"V—o

1_1_，即,1_,则

(n^CD=0,+2yl—2z1=0,

yi=0,令zi=l,则修=2,所以平面CCi。的一个法向量为〃1=(2,0,1).

设直线BE与平面CCi。所成的角为仇则sin(9=Icos<BE,m>I=,=&

即直线BE与平面CGD所成角的正弦值为，

(III)Ax(0,2,0),所以中=(0,-2,2),杀=(1,0,0),设平面4co的法

向量为“2=(X2,yi,Z2),

Tio'AyC—0,~2y+2Z-0,

则上即22则X2=0,

712'A^D=0,X2=0,

令H=l,则Z2=l,所以平面41CD的一个法向量为"2=(0,1,1).

设平面4CQ与平面CCi。的夹角为%则cosa=Icos<m,m>I=/广=叵,所以平

V5XV210

面/iCD与平面CC。夹角的余弦值为噂.

4」命题点4］如图,正四棱柱48cz中,AAi=3,AB=2,

E,尸分别为棱8C,31G的中点.

(1)求证：平面尸〃平面C0E.

(2)求平面8DF与平面GDE间的距离.

解析解法一(1)在正四棱柱/BCD—43CbDi中，因为£,产分

别为BC,81G的中点,

所以FCM/BE,且FCi=BE,

所以四边形尸Ci班为平行四边形，所以BF〃CiE.

又