中考数学综合题复习讲义

综合题

综合题一直是中考复习最后阶段的重点和难点综合题所考查的内容涉及初中代数或几

何中若干不同的知识点，这就需要我们既要扎实地掌握好数学基础知识，又具备灵活综合运

用数学知识解决问题的能力.在近年的中考命题中，综合题的难度有所下降，形式与内容也

有一定程度的创新.

(I)方程型综合国

【简要分析】

方程是贯穿初中代数的一条知识主线.方程型综合题也是中考命题的热点，中考中的方

程型综合题主要有两类题：一类是与地、一元二次方程根的判别式、根与系数有关的问题,

另一类是与几何相结合的问题.

M考题例折】

例1:已知关X的一元二次方程X2+3X-机=0有实数根.

(1)求机的取值范围

(2)若两实数根分别为x和X，且X+X%2+%2=11求机的值.

12112

例2:已知关于X的方程5+2)m—2ax+a=0有两个不相等的实数根尤和x，并且抛物

12

线y=X2-(20+1H+24-5与》轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁.

(1)求实数”的取值范围.

当lx1+lxI=2五时，求a的值.

12

说明运用一元二次方程根的差别式时，要注意二次项系C

数不为零，运用一元二次方程根与系数的关系时，要注意根存、‘‘一''、

在的前提，即要保证A>0.AZ1L——.——JB

例3：如图2-4-18,ZB=900,O是AB上的一点，以

S2-4-18

0为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D.若AD=20,且AB的长是

关于x的方程—8x+左=0的两个实数根.

(1)求。。的半径.(2)求CD的长.

【提高训练1】

1•已知关于X的方程12-(左+l)x+|公+1=0的两根是一矩形两邻边的长.(1)左取何

值时，方程有两个实数根？(2)当矩形的对角线长为卢时，求左的值.

2.已知关于x的方程x2-2(m+l)x+加2-2机-3=0的两个不相等的实数根中有一个根

为0,是否存在实数化,使关于*的方程X2-(k-m)x-k-m2+5加-2=0的两个实数根

X1、x2之差的绝对值为1?若存在，求出左的值；若不存在，请说明理由.

3.已知方程组产=2x有两个不相等的实数解.(1)求k有取值范围.(2)若方程组的两

[y=kx-^-1

个实数解为x=\和x=x2是否存在实数k，使x+xx+X=1?若存

1122

〔y=乂b=y2

在，求出左的值；若不存在，请说明理由.

4.如图2-4-19,以&ABC的直角边AB为直径的半圆。与

斜边AC交于点D,E是BC边的中点，连结DE.(1)DE与半圆0相

切吗？若不相切，请说明理由.(2)若AD、AB的长是方程

x2-10x+24=0的个根,求直角边BC的长.

【提高训练1答案】1.(1)左、(2)k=22.存在，上=-2或43.(1)左＜；

(2)满足条件的k存在，%=-34.(1)相切，证明略(2)3乔

(n)函数型综合题

【简要分析】

中考中的函数综合题聊了灵活考查相关的基础知识外还特别注重考查分析转化能力、

数形结合思想的运用能力以及探究能力.此类综合题，不仅综合了《函数及其图象》一章的

基本知识，还涉及方程(组)不等式(组)及几何的许多知识点，是中考命题的热点.善

于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程(或不等式)问题，往往是解题

的关键.

【例考题例析】

例1：如图2-4-20,二次函数的图象与x轴交于A、B两

点，与y轴交于点C,点C、D是二次函数图象上的一对对称

点，一次函数的图象过点B、D.(1)求D点的坐标.(2)

求一次函数的解析式.(3)根据图象写出使一次函数值大于

图2-4-20

二次函数的值的x的取值范围.

说明：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次

函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及

数形结合思想的运用等.

例2如图2-4-21，二次函数＞=ax1+bx+c(a*0)的图象

与X轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1,0),点C(0,

5XD(l,8)在抛物线上，M为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)求AMCB的面积.

说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象

与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰

当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形

的面积求解.

例3:已知抛物线丁=一%2+(~—4)x+2<+4与X轴交于A(x,O)、B(x,0),与y轴交于

12

点C，且X、X满足条件x<x,x+2x=0

(1)求抛物线的角析式；

(2)能否找到直线y=kx+b与抛物线交于P、Q两点，使V轴恰好平分ACPQ的面积？

求出院方所满足的条件.

说明本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线.解

题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化.例如：二次函数与

轴有交点.可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的

解.点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等.

例4已知：如图2-4-23，抛物线y=的+bx+c经过原

|y

点(0,0)和A(-1,5).pX[

(1)求抛物线的解析式.

(2)设抛物线与x轴的另一个交点为C.以OC为直

径作。M,如果过抛物线上一点P作。M的切线PD,切点向2-4-21

为D,且与y轴的正半轴交于点为E,连结MD.已知点E

的坐标为(0,机)，求四边形EOMD的面积.(用含机的代数式表示)

(3)延长DM交。M于点N,连结ON、0D,当点P在(2)的条件下运动到什么

位置时，能使得s=s?请求出此时点P的坐标.

四边形

【提高训练2】

1.已知抛物线的解析式为y^x2-(2m-l)x+m-m,(1)求证：此抛物线与x轴必有两

个不同的交点.(2)若此抛物线与直线y=x-3〃z+4的一个交点在y轴上，求加的值.

12

2.如图2-4-24,已知反比例函数y=—的图象与一次函数y=kx+4的图象相交于P、Q

XJ

两点，并且P点的纵坐标是6.(1)求这个一次函数的解析式.(2)求WOQ的面积.

3.在以。这原点的平面直角坐标系中，抛物线y^ax2+bx+c(a/0)与y轴交于点C(0,

3).与x轴正半轴交于A、B两点(B点在A点的右侧)，抛物线的对称轴是％=2,且

3

^oc=-.(1)求此抛物线的解析式.(2)设抛物线的顶

点为D,求四边形ADBC的面积.

4.OABC是一张平放在直角坐标系中的矩形纸片，0为原

点，点A在x轴上，点C在V轴上，OA=10,OC=6.(1)

如图2-4-25,在AB上取一点M，使得KBM沿CM翻折

后，点B落在x轴上，记作B，点，求所B'点的坐标.(2)

求折痕CM所在直线的解析式.(3)作BGIIAB交CM于点G,若抛物线y=LX2+m

过点G,求抛物线的解析式，交判断以原点O为圆心，OG为半径的圆与抛物线除交点G

外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标.

5如图2-4-26在RfABC中/ACB=900乃。＞AC,

以斜边AB所在直线为x轴，以斜边AB上的高所在

的直线为V轴，建立直角坐标系，若

OA2+OB2=17,且线段OA、OB的长是关于x的

—元二次方程x2-mx+2(加-3)=0的两根.(1)求

点C的坐标.(2)以斜边AB为直径作圆与V轴交于

另一点E,求过A、B、E三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图.(3)在抛物

线的解析式上是否存在点P，使AABP和AABC全等？若相聚在，求出符合条件的P点的

坐标；若不存在，请说明理由.

【提高训练2答案】

1-(1)A=[一(2加—1)]2—4(加2—〃2)=1〉0,二抛物线与X轴必有两个不同的交点.(2)

机=-1+石或机=-1一62(1)y=x+4(2)S=163(1)y=%2—4x+3(2)

1172

S=4.4,(l)B'(8,0);(2)y=-x+6(3)抛物线方程为y=一.除

四边形AQ5C363

了交点G外，另有交点为点G关于y轴的对称点,其坐标为(-8,W).

13

5.(l)C(O,2).(2)y=-x2-_%-2.(3)存在，其坐标为(0,-2)和(3,-2).

(m)几何型综合题

【简要分析】

几何型综合题包括几何论证型综合题和几何计算型综合题两大类，一般以相似为中心,

以圆为重点，还常与代数综合.它以知识上的综合性与中考中的重要性而引人注目.

值得一提的是，在近两年各地的中考试题，几何综合题的难度普遍下降，出现了一大批

探索性试题，根据新课标的要求，减少几何中推理论证的难度，加强探索性训练将成为几

何型综合题命题的新趋势.

3考题例析】「

例1：如图2-4-27,四边形ABCD是正方形，4ECF是等腰直F1

角三角形，其中CE=CF,G是CD与EF的交点.

C

图2-4-27

(1)求证：ABCF当DCE.

(2)若BC=5,CF=3,zBFC=900，求DG:GC的值.

例2:已知如图2-4-28,BE是。。的走私过圆上一点作

OO的切线交EB的延长线于P.过E点作EDIIAP交。。于

D,连结DB并延长交PA于C,连结AB、AD.

图2-4-28

(1)求证：AB2=PB更D.

(2)若PA=10,PB=5,求AB和CD的长.

例2：如图2-4-29,。。和。。相交于A、B两点，圆心。

121

在。。上，连心线。。与。。交于点C、D,与。。交于点E,

21212

与AB交于点H,连结AE.图2-4-28

(1)求证：AE为。Q的切线.

3

(2)若。。的半径匚1,。。的半径R=k，求公共弦AB的长.

122

(3)取HB的中点F,连结。F,并延长与。。相交于点G,连结EG,求EG的长

12

例4如图2-4-30,A为。。的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足

为H,BA的延长线交。。于点C,过点C作。O的切线与EF的延长线交于点D.

(1)求证:DA=DC

(2)当DF:EF=1:8且DF=/时，求4c的值.

(3)将图2-4-30中的EF所在的直线往上平移到。。

外,如图2-4-31，使EF与OB的延长线交。O于点C,过点C

作。。的切线交EF于点D.试猜想DA=DC是否仍然成立，并

证明你的结论.

图2-4-30

【提高训练3】

1.如图2-4-32,已知在SBC中，AB=AC,D、E分别是AB

和BC上的点，连结DE并延长与AC的延长线相交于点F.若

DE=EF,求证：BD=CF.2.点。是SBC所在平面内一动点，

连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G图2-4-33

依次连结，如果DEFG能构成四边形.（1）如图2-4-33,当。点在^ABC内时，求证四边

形DEFG是平行四边形.（2）当点。移动到AABC外时,（1）中的结论是否成立？画出图

形，并说明理由.（3）若四边形DEFG为矩形，。点所在位置应满足什么条件？试说明理

由.

A__p

3.如图2-4-35,等腰梯形ABCD中，ADIIBC,NDBC=45O.翻折千/\

梯形ABCD,使点B重合于点D,折痕分别交边AB、BC于点F、E.若BE°

图2-4-34

AD=2,BC=8，求：（1）BE的长.（2）zCDE的正切值.

4.如图2-4-35,四边形ABCD内接于。。，已知直径AD=2,z

ABC=12Oo,zACB=45o，连结OB交AC于点E（1）求AC的长（2）

求CE:AE的值.（3）在CB的延长上取一点P,使PB=2BC,试判P

图2-4-35

断直线PA和。。的位置关系，并加以证明你的结论.

5.如图2-4-36，已知AB是。。的直径，BC、CD分别是。0

的切线，切点分别为B、D,E是BA和CD的延长线的交点.（1）

猜想AD与0C的位置关系，并另以证明.（2）设AOg9c的值为

S,OO的半径为r，试探究S与r的关系.（3）当r=2,%ZE=-

3

时，求AD和0C的长.

【提高训练3答案】

1.过D作DGIIAC交BC于G,证明^DGE当FCE2.(1)证明DGIIEF即可(2)结

论仍然成立，证明略(3)0点应在过A点且垂直于BC的直线上(A点除外)，说理

3.(1)BE=5(2)tanZCZ)E=14.(1)AC=x/3(2)CE:AE=-(3

'''CE-.AE=-,PB=2BC,/.CE:AE=CB:PB./.BEllAP..-.A0±AP.「.PA为。0的切线

2

5.(1)ADllOC,证明略(2)连结BD,在3BD和-OCB中,/AB是直径,..zADB=

zOBC=900.又：NOCB=zBAD,Rt△ABD-Rt△OCB.

—=—.S=AD^JC=ABg)B=2r&=2r2,：.S=2r2(3)AD=4",QC=2出

OBOC3

(W)动态几何综合题

【简要分析】

函数是中学数学的一个重要概念.加强对函数概念、图象和性质，以及函数思想方法的

考查是近年中考试题的一个显著特点.大量涌现的动态几何问题，即建立几何中元素的函数

关系式问题是这一特点的体现.这类题目的三乱扣帽子解法是抓住变化中的"不变".以"不

变"应"万变”.同时，要善于利用相似三角形的性质定理、勾股定理、圆幕定理、面积关

系，借助议程为个桥梁，从而得到函数关系式，问题且有一定的实际意义，因此，对函数解

析式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件.

【典型考题例析】

例1:如图2-4-37,在直角坐标系中,0是原点,A、B、(：三|y

C

点的坐标分别为A(18,0),B(18,6),C(8,6),四边形//---------BD

OABC是梯形.点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其-----卜二

图2-4-37

中点P沿0A向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿0C、

CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.

(1)求出直线0C的解析式.

(2)设从出发起运动了1秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标,

并写出此时r的取值范围.

(3)设从出发起运动了1秒，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周

长的一半时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出「的值；

如不可能，请说明理由.

例2:如图2-5-40,在RtWMN中，zP=9Oo,PM=PN,MN=8cm,矩形ABCD

的长和宽分别为8cm和2cm,C点和M点重合，BC和MN在一条直线上.令RtWMN不

动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(图2-4-41),直到C点与N

点重合为止.设移动x秒后，矩形ABCD与WMN重叠部分的面积为ycm2.求y与x之间

的函数关系式.

PP

BM2F*TCN

图2-4-43图2-4-44

说明：此题是一个图形运动问题，解答方法是将各个时刻的图形分别画出，将图形则

"动"这"静"，再设法分别求解.这种分类画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可

帮我们理清思路，各个击破.

【提高训练4】

Y

1.如图2-4-45,在ABCD中，NDAB=6OO,AB=5,BC=3,鼎足之势P从起点D出

发，沿DC、CB向终点B匀速运动.设点P所走过的路程为x,点P所以过的线段与绝无

仅有AD、AP所围成图形的面积为y,y随x的函数关系的变化而变化.在图2-4-46中，

能正确反映y与x的函数关系的是()

2.如图2-4-47,四边形AOBC为直角梯形，OC=f,OB=%AC,

0c所在直线方程为y=2x，平行于0C的直线/为'y=2x+tzI是

由A点平移到B点时,1与直角梯形AOBC两边所转成的三角形的

面积记为S.(1)求点C的坐标.(2)求「的取值范围.(3)求出S与r之间的函数关系式.

3.如图2-4-48,在3BC中，zB=9Oo,点P从点A开始沿AB边

向点B以1cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点(：以2

m

cm/秒的速度移动.(