高考数学一轮复习题型与专项训练：对数函数题型战法

第二章函数

2.5.1对数函数(题型战法)

知识梳理

一对数的概念指数式对数式

指数对数

1.(1)logn1=0；(2)10gfla=1(3)=N真数

bII

a=NlogaN=b

2.log10N简记作1gN.logeN简记作InN.I------------——---------------1

底数

二对数的运算法则

⑴积log“(M2V)=log“V+log“N(2)商log.《=log“〃-log“N

logM

(3)募log〃AT=alog〃M(4)换底公式：—(c>0,cwl),

logj

三对数函数的图像与性质

(1)定义域是(0,+8),因此函数图象一定在y轴的右边.

(2)值域是实数集R.

(3)函数图象一定过点(1,0).

(4)当a>l时，>=log“x是增函数；当0<a<l时，y=log〃x是减函数.

(5)对数函数的图象

n,x=i

x=ly=logax(a>l)

。卜二嚏。/G，0)展

：y=logox(0<a<l)

(6)对数函数y=log“x和y=iog[X的图象关于X轴对称.

a

题型战法

题型战法一对数与对数的运算

典例1.计算：

7

(I)lgl4-21g-+lg7-lgl8；

(2)求尤的值：log5(lgx)=L

变式1-1.计算求值

3

(1)(痒加『一］了一(一8)。；

(2)1g^-+lg2+log224+log3^/27-log23；

⑶已知6"=2"=3,求的值.

ab

Q^3-log2xlog27+(lgV2+lgT5).

变式1-2.计算:34

变式1-3.计算：

In2+ln3

(1)n^;

(2)lg22+lg25+21g21g5；

(3)log291og34；

(4)log428+logi56；

4

⑸lge+l°gl9-logs125-10gq；

J-V-zVz3J

(6)logs*+lg班而；

(7)71n23+ln9e;

(8)log2士,噫~,logs~・

ZjOy

变式1-4.计算:

22

⑴图：2e。+lg2-+lg5-+log34xlog49；

⑵若xlog32=l,求2*+2T的值.

题型战法二对数函数的概念

1；(§)y=log(x+l).

典例2.已知函数①y=4*；②y=log.2；③"-log3x；④j=log02«；⑤y=log32

其中是对数函数的是（）

A.①②③B.③④⑤

C.③④D.②④⑥

变式2-1.给出下列函数：

①尸现产:②y=iog3（x-i）；③y=ioga+i）尤；@y=iogex.

3

其中是对数函数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式2-2.下列函数是对数函数的是（）

A.y=lnxB.y=ln(x+l)

C.y=logxeD.j=logxv

变式2-3.函数"x）=（"+a一5）log〃x为对数函数，则等于（）

A.3B.-3C.-log36D.-log38

变式2-4.对数函数的图像过点M（125,3）,则此对数函数的解析式为（）

B.y=l°g[xC.y=10gix

A.y=log5XD.y=log3X

/53

题型战法三对数函数的图像

典例3.在同一坐标系中，函数y=2*与y=logzx的大致图象是（）

变式3-1.函数）=h与g（x）=-log°x在同一坐标系中的图像可能是（）

变式3-2.如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（）

C.c>a>bD.a>c>b

变式3-3.已知函数y=log，（x+3）+l（。>。且awl）,则函数恒过定点（）

A.（1,0）B.（-2,0）C.（0,1）D.（-2,1）

变式3-4.函数y=log“（2x-3）+1的图象恒过定点p,则点尸的坐标是（）

题型战法四对数函数的定义域

典例4.函数/（x）=«+ln（2-x）的定义域为（）

A.[0,2）B.（-«>,2）C.[0,+动D.（0,2）

变式4-1.使式子log0.T（3-x）有意义的x的取值范围是（）

112

A.x>3B.x<3C.-<x<3D.一<工<3且xw—

333

变式4-2.函数y=Jl°g；（xT）的定义域为（）

A.[2,+>»）B.（-<»,2]

C.[1,2]D.d,2]

变式4-3.函数〃x）=ln（e，-2）+矍L定义域为（）

A.(1,2)B.(In2,2)C.(ln2,l)u(l,2)D.[In2,l)u(l,2]

变式4-4.已知函数〃司=10殳9，〃x+l）的定义域为M〃2x）的定义域为N,则（）

A.M=NB.McN=0C.MJND.NNM

题型战法五对数函数的值域

典例5.函数y=ln（x-2）+l的值域为（）

A.RB.（1,+℃）C.口,+℃）D.(2,+<»)

变式5-1.函数y=log?Q'+1）的值域是（）

A.口,+8)B.(0,1)C.SOD.(0,+oo)

变式52函数〃力=/4，-2，，11）的最小值是（）.

A.10B.1C.11D.IgU

变式5-3.若函数小）=］一旷?'+"：：'的值域为卜3,+动，则a的取值范围是（）

—x+2x,0<x<3

变式5-4.已知函数丁二1。83（炉+时的值域为［2,+8）,则实数用的值为（）

A.2B.3C.9D.27

题型战法六对数函数的单调性

典例6.函数y=i°g°尤-尤2）的单调减区间为（）

3

A.（0,1]B.（0,2）C.（1,2）D.[0,2]

变式6-1.函数”%）=1叫（*+%+6）的单调递增区间是（

1

D.—,+00

2

变式62已知函数〃尤）=1吗（尤2-4元-5）在5,+0））上单调递增，则。的取值范围是（）

A.（-oo,-l]B.（-oo,2]

C.[2,+8）D.[5,+8）

变式6-3.已知函数〃尤）=log〃（3-ax）在[0,1]上是减函数，则“的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,3）

C.（0,3）D.。收）

变式64已知"到='：；,；）；）+；；，.2是（—,小）上的减函数，那么°的取值范围是（）

A.■|，6B.C.[1,6]D.1,|

题型战法七比较大小与解不等式

lt11

典例7.右4=23,b=log兀3,c=log2§,则（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<b<c

2

变式7-1.设a=log20.3,^=logi-,c=0.4%则()

23

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

变式7-2.若。=0.6%&=log068,c=log080.2,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

变式7-3.不等式bg2(3x+l)<l成立的一个充分不必要条件是()

A.—<x<—B.x<0C.—1<x<-D.0<x<—

3333

131ry<1

变式7-4.设函数〃无）=（_厩-尤］>］，则满足*x）W3的尤的取值范围是（）

A.[0,+oo)B.[L+s)C.S，0)D.[0,1)

题型战法八对数函数的应用

典例8.人们常用里氏震级表示地震的强度，纭表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地

2

表示为此=§炮耳-4.8,2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏4.2级地震，2021年9月16

日四川省泸州市泸县发生里氏6。级地震，则后者释放的能量大约为前者的（）倍.（参考数据：

10°3-2.00,10°7=5.01）

A.180B.270C.500D.720

变式8-1.中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取

决于信道带宽W,经科学研究表明：C与W满足C=Wlog2（l+1）,其中S是信道内信号的平均功

q

率，N是信道内部的高斯噪声功率，?为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略

N

q

不计.若不改变带宽W,而将信噪比后从1000提升至4000,则。大约增加了（）（附：1g2«0.3010）

A.10%B.20%C.30%D.40%

变式8-2.中国的5G技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：。=卬1。8（1+5].它表

示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C（单位：bit/s）取决于信道宽度W（单位：HZ）

、信道内信号的平均功率S（单位：dB）、信道内部的高斯噪声功率N（单位：dB）的大小，其中?

N

q

叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度w变为原来2倍，而将信噪比会从WOO提升至4000,则C

大约增加了（）（附：1g2。0.3）

A.110%B.120%C.130%D.140%

变式83声音的等级/（x）（单位：dB）与声音强度无（单位：W/m2）满足/（》）=10*3丁乙.喷

1x10

气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB,那么喷气式飞机起

飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）

A.倍B.108倍c.IO1。倍D.IOI？倍

变式8-4.某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产20%,从哪一

年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771）（）

A.2019年B.2020年C.2021年D.2022年

题型战法九反函数

典例9.已知函数〃x）=log2x,其反函数为（）

A.”尤）=gjB./（x）=log21

C.=«D.〃x）=2，

变式9-1.函数/（%）=；/+1。<-2）的反函数是（）

A.y=J2x-2（1<x<3）B・y=J2%-2（x>3）

C.y=一、2%-2(1<x<3)D.y=-，2%-2(%>3)

变式9-2.设函数/（尤）=4+6（a>0,且awl）的图象过点（0,1）,其反函数的图象过点（2,1）,贝Ua+b

等于（）

A.2B.3C.4D.5

变式93已知函数/（力=豌3彳与g（x）的图像关于V=x对称，则g（T）=（）

A.3B.-C.1D.-1

3

变式9-4.与函数y=，j的图象关于直线V=x对称的函数是（）

x

A.y=4B.>=4一%

C."log/D.y=log4x

4

第二章函数

2.5.1对数函数(题型战法)

知识梳理

一对数的概念

指数式对数式

指数对数

o&aN

1.(1)logfl1=0；(2)10gfla=1(3)a=N

事真数

2.log]。N简记作IgN.logeN简记作InN.f=zlogaN=b

二对数的运算法则底数

⑴积loga(MV)=logaM+logaN⑵商logfl=logaM-logflN

(3)幕log"""=alog〃M(4)换底公式：

logM

]ogaM=-^—(c〉0,cwl),

log。。

,,1

推论：log06=^-------：

log/

三对数函数的图像与性质

(1)定义域是(o,+8),因此函数图象一定在y轴的右边.

(2)值域是实数集R.

(3)函数图象一定过点(1,0).

(4)当a>l时，y=log〃x是增函数；当0<a<l时，y=log“x是减函数.

(5)对数函数的图象

(6)对数函数y=log“X和y=loglX的图象关于左轴对称.

a

题型战法

题型战法一对数与对数的运算

典例1.计算：

7

⑴Igl4-21g§+lg7-lgl8；

(2)求x的值：log5(lgx)=l.

【答案】(1)0;

(2)105.

【解析】

【分析】

(1)根据对数的运算法则计算即可；

(2)根据对数的概念将对数式改为指数式即可求解.

⑴原式=lg(2*7)-2(lg7Tg3)+lg7-IggxZ)

=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3-Ig2

=0；

5

(2)log5(lgx)=l=>lg.x=5=>x=10.

变式1-1.计算求值

_3

(2)1g1+lg2+log224+log3V27-log23；

⑶已知6"=2"=3,求,的值.

ab

【答案】(1)44

⑵？

2

(3)1

【解析】

【分析】

(1)由指数的运算法则计算

(2)由对数的运算法则计算

(3)将指数式转化为对数式后计算

(2)lg1+lg2+log224+log3病-log23

3

2

=-lg2+lg2+log2(3x8)+log33-log23

39

=log23+3+--log23=—；

(3)a=log63,/?=log23,

则L=log36,y=log32；

ab

所以，-：=log36-log32=log33=l.

ab

i

变式12计算：J-log32xlog427+(lgV2+lg75).

【答案】

【解析】

【分析】

根据指数与对数的运算性质即可求解.

【详解】

/1\33/1「

lo35

原式=2-S32xlog223+Ig2+lg52

131

x1

=---(og32xlog23)+-xlglO

131

~2~2+2

=_]_

~~2,

变式1-3.计算:

In2+ln3

(2)lg22+lg25+21g21g5；

(3)log29-log34；

(4)log428+logj56；

(5)lg+logi9-log5125-log4.

.Lx_zK_/3J

(6)log8—+lgA/100；

(7)71n23+ln9e;

⑻l°g22.log3~~•

ZJOy

【答案】⑴3

⑵1

(3)4

(4)-；

(5)-j

(6)-1

(7)ln3e

(8)-12

【解析】

【分析】

根据指数累的运算性质及换底公式逐一计算即可.

In2+In3In61

⑴解:

ln36-21n6-2；

(2)解：lg22+lg25+21g21g5=(1g2+lg5)2=1；

⑶解：log29-log34=21og23-(21og32)=4；

-1

(4)^：log428+logi56=log428-log456=log4|=log222=-1log22=.

(5)解：lg+logi9-log5125-log4

=lgl0_2+logi

3

=-2-2-3+-

2

9

=-2；

(6)解：log8^-+lgV100

5

=log232-+lgl03

(7)解：Vin23+In9e=71n23+21n3+l=^(l+ln3)2=1+In3=In3e；

(8)解：log2^-log31logi

ZJOV

232

=log25-.log32-.log53-

=-12log25-log32-log53=-12.

变式1-4.计算:

_2

⑴&3_2eo+lg2-2+1g5-2+Iog34Xlog49；

(2)若xlog32=l,求2*+2-*的值.

【答案】(1)；

⑵W

3

【解析】

【分析】

(1)根据分数指数嘉、对数的运算法则及换底公式计算可得;

(2)根据换底公式的性质得到％=1空23,再根据指数对数恒等式得到23即可得解;

_2

32-2

(1)解：-2e°+lg2~+lg5+log34xlog49

22

-2-21g2-21g5+log32xlog223

Q1

-2-2(lg2+lg5)+21og32-log23=--2-2+2=-

l

(2)解:xlog32=l,x=-—=log23,

/.2X=2log23=3,/.2X+2~x=3+-=—.

--33

题型战法二对数函数的概念

典例2.已知函数①y=4,；②y=log,2；③y=-log3x；④y=log02&；⑤y=log3x+l；

⑥y=log2（尤+1）.其中是对数函数的是（）

A.①②③B.③④⑤

C.③④D.②④⑥

【答案】C

【解析】

【分析】

依据对数函数的定义即可判断.

【详解】

根据对数函数的定义，只有符合y=log,x（a>0且。片1）形式的函数才是对数函数，

其中X是自变量，。是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位

置，不是对数函数；③中y=7°g3X=loggX,是对数函数；④中y=log02&=log°gx，

是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.

故选：C.

变式2-1.给出下列函数：

①3=够/;②y=log3（x-l）;③y=loga+i）x；@y=logex.

3

其中是对数函数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对数函数的特征判断即可得答案.

【详解】

①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；

③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数.

故选:A.

变式2-2.下列函数是对数函数的是（）

A.y=lnxB.y=ln（x+l）

C.y=logxeD.y=logxx

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对数函数的定义判断.

【详解】

A是对数函数，B中真数是x+1,不是x,不是对数函数，C中底数不是常数，不是

对数函数，D中底数不是常数，不是对数函数.

故选：A.

变式23函数〃尤）=（片-5）logK为对数函数，则7]]等于（）

A.3B.-3C.-log36D.-log38

【答案】B

【解析】

【分析】

可以先根据对数函数的性质来确定。的取值范围，再带入:得出结果.

O

【详解】

因为函数/（X）为对数函数，

所以函数“X）系数为1,即片一5=1,即。=2或一3,

因为对数函数底数大于0,

所以4=2,/（x）=log2x,

所以

【点睛】

对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1.

变式2-4.对数函数的图像过点M（125,3）,则此对数函数的解析式为（）

A.y=log5XB.y=^oglxC.y=loglxD.y=log3X

【答案】A

【解析】

【分析】

设对数函数y=logax（a>0,且时1）,将点代入即可求解.

【详解】

设函数解析式为＞=logax（6Z＞0,且存1）.

由于对数函数的图像过点MQ25,3）,

所以3=logal25,得a=5.

所以对数函数的解析式为y=log5X.

故选：A.

题型战法三对数函数的图像

典例3.在同一坐标系中，函数y=2,与y=log2》的大致图象是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.

【详解】

由指数函数与对数函数的单调性知：y=2"在R上单调递增，＞=1。82X在（0,+8）上单

调递增，只有B满足.

故选：B.

变式3-1.函数〃力=才'与g（x）=-log.x在同一坐标系中的图像可能是（）

A.B.

【解析】

分别讨论。＞1和。＜。＜1时函数/(x)=「与g(x)=-1呜x在的单调性和所过定点，利

用排除法即可求解.

【详解】

由对数和指数函数的性质可得。＞0且，

当。＞1时，，(%)=小过点(0,1)在R上单调递减，8(力=-108小过点。,0)在(0,+8)单

调递减，所以排除选项C,

当。＜°＜1时，"X)=/过点(0,1)在R上单调递增，g(x)=-log.x过点(1,0)在(0,+功

单调递增，所以排除选项AD,

故选：B.

变式3-2.如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是()

C.c'＞a＞bD.a＞c＞b

【答案】D

【解析】

【分析】

根据对数函数的图象与单调性确定大小.

【详解】

y=logor的图象在（0,+oo）上是上升的，所以底数。>1,函数y=logfct,y=logcx

的图象在（0,+oo）上都是下降的，因此。，（0,1）,又易知c>6,故a>c>

b.

故选：D.

变式3-3.已知函数>=1。8“（％+3）+1（。>。且“工1）,则函数恒过定点（）

A.（1,0）B.（-2,0）C.（0,1）D.（-2,1）

【答案】D

【解析】

【分析】

利用对数函数过定点求解.

【详解】

令x+3=l,解得x=-2,y=l,

所以函数恒过定点（-2,1）,

故选：D

变式34函数y=log.（2x-3）+l的图象恒过定点尸，则点尸的坐标是（）

A.（2,1）B.（2,0）C.（2,-1）D.（1,1）

【答案】A

【解析】

【分析】

令真数为1,求出x的值，再代入函数解析式可得定点尸的坐标.

【详解】

令2了-3=1,可得x=2,此时y=log/+l=l,故点尸的坐标为（2,1）.

故选：A.

题型战法四对数函数的定义域

典例4.函数/（x）=&+ln（2-x）的定义域为（）

A.[0,2）B.（F,2）C.[0,+功D.（0,2）

【答案】A

【解析】

【分析】

由对数函数的性质和二次根式的性质求解.

【详解】

由题意八，解得04尤<2.

故选：A.

变式4-1.使式子1。&31）（3-刈有意义的x的取值范围是（）

11r2

A.x>3B.x<3C.-<x<3D.一<尤<3且尤w—

333

【答案】D

【解析】

【分析】

对数函数中，底数大于。且不等于1,真数大于0,列出不等式，求出x的取值范围.

【详解】

3^-1>0

17

由题意得：3尤-1N1,解得：§<x<3且xq.

3-x>0

故选：D

变式4-2.函数y=Ji°g；（x_D的定义域为（）

A.[2,+oo）B.<-°o,2]

C.[1,2]D.（1,2]

【答案】D

【解析】

【分析】

根据根式、对数函数的性质有0<了-131,即可得定义域.

【详解】

由题设，陛3-1）2°,gpo<x-l<l,可得

2

所以函数定义域为（1,2].

故选：D

变式4-3.函数"x)=ln(e'_2)+詈L定义域为()

A.(1,2)B.(In2,2)C.(ln2,l)o(l,2)D.[ln2,l)u(l,2]

【答案】C

【解析】

【分析】

根据使函数有意义得到不等式组，解得即可；

【详解】

解：因为〃x)=ln(eJ2)+l!，

ex-2>0

所以IwO,解得In2vxv2且"1,

2-x>0

所以函数的定义域为(M2,1)U(1,2)；

故选：C

变式44已知函数〃x)=log2—,〃x+l)的定义域为M,f(2x)的定义域为N,

则()

A.M=NB.McN=。C.MJND.N=M

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出〃x+l)的定义域为M和〃2x)的定义域为N即可求解.

【详解】

/(%+l)=log2-^-,则M=＜尤＜0},

,则。＜尤＜所以

/(2%)=log2^|^N=Mg1,McN=0,

故选：B.

题型战法五对数函数的值域

典例5.函数丁=111(彳-2)+1的值域为()

A.RB.(1,+®)C.[1,+＜»)D.(2,+o5)

【答案】A

【解析】

【分析】

由y=Inx的值域为R可得V=ln(x-2)+1的值域为R.

【详解】

由对数函数＞=In尤的值域为R,向右平移2个单位得函数％=ln(x-2)的值域为R,

则y=ln(x-2)+1的值域为R,

故选：A.

变式5-1.函数＞=1寒2(2'+1)的值域是()

A.口,+8)B.(0,1)C.(一*0)D.(0,”)

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指数函数的性质可求原函数的值域.

【详解】

设r=21+l,贝卜=2，+1＞1,故logzQ'+l)＞。，

A

故y=log2(2+1)的值域为(0,+oo),

故选：D.

变式52函数〃同=/4工-2印+11)的最小值是().

A.10B.1C.11D.IgU

【答案】B

【解析】

【分析】

利用换元法，令”4、-2句+11,则y=igr,先求出/的范围，从而可求出函数的最小

值

【详解】

设/=4工一2田+11,贝Uy=igf,

因为/=4工一2加+ll=Qx)2一2.2，+11=(2工-1)2+10210,

所以y=lg此lgl0=l,所以〃司=坨(4=2向+11)的最小值为1,

故选：B

变式53若函数“力=「仪：)'：；二，'的值域为[-3,+8),则4的取值范围是()

[-X+2x,0<x<3

A.[-e3,0)B.C.-e3,-|D.卜

【答案】C

【解析】

【分析】

求出当04x43和aWx<0时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可

【详解】

当04尤43时，/(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1e[-3,1]

当aW尤<0时，/(x)=-ln(-x)e[-ln(-«a),+co)

要使，(x)的值域为[-3,+8)

则-34-ln(-a)<l,-e3<a<--

e

故选：C

变式5-4.已知函数、=1鸣(炉+时的值域为[2,+8),则实数相的值为()

A.2B.3C.9D.27

【答案】C

【解析】

【分析】

根据对数型复合函数的性质计算可得；

【详解】

解：因为函数〉=1083(/+相)的值域为[2,+00),所以丁=/+比的最小值为9,所以加=9；

故选：C

题型战法六对数函数的单调性

典例6.函数y=i°gz(2x-x2)的单调减区间为()

3

A.(0,1]B.(0,2)C.(1,2)D.[0,2]

【答案】A

【解析】

【分析】

先求得函数的定义域，利用二次函数的性质求得函数的单调区间，结合复合函数单

调性的判定方法，即可求解.

【详解】

由不等式2元-/>0,BPx2-2x=x(x-2)<0,解得0cx<2,

即函数的定义域为(。，2),

令g(x)=2x-d,可得其图象开口向下，对称轴的方程为x=l,

当xe(0,l]时，函数g(x)单调递增,

又由函数>=l°g产在定义域上为单调递减函数，

3

结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数>=1°8](2》一/)的单调减区间为(0,1].

3

故选：A.

变式6-1.函数/(力=1。8/-1+犬+6)的单调递增区间是()

2

A.[川B,C,口.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出函数的定义域，进而根据“同增异减”求得答案.

【详解】

由题意，3+犬+6>0=犬2_犬_6<0=犬«-2,3),小)=呵-(x-J+y，按照“同

增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是，，3]

故选：A.

变式62已知函数〃同=1吗(尤2-435)在.,")上单调递增，则”的取值范围是

()

A.(-oo,-l]B.S，2]

C.[2,+co)D.[5,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】

复合函数单调性问题，第一步确定定义域，第二步同增异减，即可得到答案.

【详解】

由*_4工_5>0,得x<-l或无>5,即函数/(x)的定义域为(Y°,T)I(5,+=O),

令Z=X2-4X-5,贝!)/=(尤-2)2-9,所以函数t在(-8,-1)上单调递减，

在(5,+8)上单调递增，又函数y=lgt在(0,")上单调递增，

从而函数fa)的单调递增区间为(5,+8),由题意知(a，+℃)q(5,+oo),.

故选：D.

变式63已知函数/(x)=log“(3-依)在[0』上是减函数，则。的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,3)

C.(0,3)D.(L+s)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复合函数的单调性同增异减求得•的取值范围.

【详解】

由于a>0且awl,所以y=3-a尤为减函数，

根据复合函数的单调性同增异减可知。>1.

3—axl>0

所以n1<a<3

a>\

故选：B

变式6-4.已知〃x)=-\"；+"；<2是(_00收)上的减函数，那么a的取值

-loga(2x-3),x>2

范围是()

A.|>6B.|■，+°°jC.[1,6]D.1,|

【答案】A

【解析】

【分析】

根据〃元)的单调性列不等式组，由此求得“的取值范围.

【详解】

.,/、1（,,,,、

L因为小）=[[x_1嗝-l（a2->\\3x）+,尤3>a,x<22总„z3，-x）上的减函数，

25

所以欠>1，解得广。46.

4-2（2a-l）+3a>0-

故选：A

题型战法七比较大小与解不等式

典例7.若a=23,b=logn3,c=log21,则（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<b<c

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对数函数和指数函数的单调性进行判断可.

【详解】

11

因为23>2°=1,0=log兀1<10gli3（log.K=l,log2-<log2l=0,

所以c<6<a,

故选：A

2

变式7-1.设。=1吗0.3,Z>=lo-,o.403,则（）

g2l3c=

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】

根据指数函数和对数函数的单调性进行求解判断即可.

【详解】

25

因为Q=log2（）.3<log21=0,b=log£-=log2->log22=1,0vc=0.4°3Vo.4°=1,

所以有

故选：B

变式7-2.若a=0.6*/,=log068,c=log080.2,则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【答案】D

【解析】

【分析】

根据对数函数与指数函数的性质判断.

【详解】

由对数函数和指数函数性质得：

08

log068<0,log080.2>log080.8=1,o<O,6<1,

所以匕<a<c.

故选：D.

变式7-3.不等式log2（3x+l）<l成立的一个充分不必要条件是（）

A.—<x<—B.x<0

33

C.—l<x<—D.0<JV<—

33

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用对数函数单调性解不等式，再判断出充分不必要条件.

【详解】

11

由log（3x+l）<1<^--<x<—由于0<尤=

233333333

故不等式log2（3x+l）<l成立的一个充分不必要条件是0<x<；,A选项是充要条件,

B选项是既不充分也不必要条件，C选项是必要不充分条件.

故选：D.

31TV<1

变式7-4.设函数〃x）=；2_；og，尤>1，则满足了（x）<3的x的取值范围是（）

A.[0,+«）B.[1收）C.2,0）D.[0,1）

【答案】A

【解析】

【分析】

分xWl和x>l两种情况解不等式即可

【详解】

当xWl时，由〃力<3,得3「，<3,得1-xWl,解得OWxWl,

当x>l时，由/（x）W3,得2-log3xV3,得无4，所以x>l,

综上，x>0,

故选：A

题型战法八对数函数的应用

典例8.人们常用里氏震级也表示地震的强度，4表示地震释放出的能量，其关系

2

式可以简单地表示为及-4.8,2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里

氏4.2级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震，则后者释放

的能量大约为前者的（）倍.（参考数据：10°3~2.00/（r=5.01）

A.180B.270C.500D.720

【答案】C

【解析】

【分析】

设前者、后者的里氏震级分别为M；、加「，前者、后者释放出的能量分别为£、E",

根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得.

【详解】

设前者、后者的里氏震级分别为M；、M；,前者、后者释放出的能量分别为£、E",

则其满足关系M；=]lg耳'-4.8和此"-4.