2024-2025学年人教版九年级数学上册《中心对称》练习

专题二中心对称

核心考点一两个图形关于某点中心对称寻找对称中心

01.如图,在平面直角坐标系中.若△4BC与△关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是,

小

核心考点二利用两个图形关于某点中心对称作图

02.如图,防形ABCD和直角,AABE,^AEB=90。,将△48E绕点O旋转180。得至I」ACDF.

(1)在图中画出点0和4CDF,并简要说明作图过程；

⑵若AE=12,AB=13,求EF的长.

BC

核心考点三中心对称图形与倍长类全等

03.如图,RtAACB中,乙4cB=90°„。为AB的中点,AE=AO,BF=BO,OE=2VlOF=3,贝UAB的长为.

04.在正方形ABCD中，点F在AD延长线上,且DF=DC,,M为AB边上一点,N为MD的中点，点E在线段CF上,

BN=NE,求证:BN1NE.

AD

专题三旋转作图问题基本方法(1)—中心对称图形

核心考点一利用中心对称图形的对称中心构造8字型全等得等线段

01.如图，平行四边形ABCD,E在AD边上,且DE=CD,仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法.

⑴在图1中，画出/C的角平分线；

⑵在图2中，画出NA的角平分线.

核心考点二利用中心对称图形的对称中心得中点，再利用重心或者中位线的性质

02.只用直尺(不带刻度)作图按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.

(1)我们知道，三角形的三条中线交于一点，如图1,在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中

点F;

⑵我们知道，三角形的三条高交于一点，如图2,在由小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在小正方形

的顶点上，作△ABC的高AH.

图1图2

核心考点三利用过中心对称图形的对称中心的直线分割面积

03.请用直尺按要求在网格中作图，并标明字母(辅助线可用虚线作出，以下作图请勿超出网格范围).

⑴作出平行四边形ABDC;

(2)以AC为边，作出正方形ACMN;

(3)作出一条同时平分平行四边形ABDC与正方形ACMN面积的直线.

专题四旋转作图问题基本方法⑵——已知旋转中心

核心考点一旋转90。的线段，两个端点旋转后的对应点连线即可

0L请用无刻度直尺画出下列图形，并保留作图痕迹.

(1)将线段AB绕点B顺时针旋转90。,得到线段BD;A

(2)过C作线段AB的垂线段CE,垂足为E;

(3)作/ABD的角平分线BF.

02.如图,△ABC中，NB=90。,点D为边AC的中点,请按下列要求作图,并解决问题.

(1)作点D关于BC的对称点O;

(2)在(1)的条件下,将△ABC绕点O顺时针旋转90°.

MXttt

①画出旋转后的AEFG(其中A,B,C三点旋转后的对应点分别是点

工二1二匚工二工

E,F,G）;B：z-»：：：：

：：tU^t：..：J..：...L.：.

②右NC=a,则/BGC=.（用含a的式子表三）“…jii„,

;:;

核心考点二旋转180。的线段，两个端点旋转后的对应点连线即可

03.如图，在9x7网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A,B,C,

E,F均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图.

(1)将小ABC绕点O旋转180。得到△BAD,请画出点O和4BAD;

(2)将格点线段EF平移至格点线段MN(点E,F的对应点分别为M,N)，使得MN平分四边形ABCD的面积，

请画出线段MN；

(3)在线段AD上找一点P,使得/AOP=/BOD,请画出点P.

专题五旋转作图问题基本方法⑶一寻找旋转中心

方法总结：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上

01.如图，在边长为1的正方形网格中,A(1,7),B(5,5),C(7,5),D(5,1).

(1)将线段AB绕点B逆时针旋转，得到对应线段BE.当BE与CD第一次平行时，画出点A运动的路径，并

直接写出点A运动的路径长；

⑵线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个

角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标.

02如图,在边长为1的正方形网格中，点A坐标为(1,7),点B坐标为(5,5),点C坐标为(7,5),点P坐标为(5,4).

⑴如图1,将线段AB绕点P逆时针旋转90。，得到对应线段A'B',画出线段A'B1,并直接写出线段AB扫过

的面积；

⑵如图2,点D坐标为(5,1),将线段AB绕着某一点旋转一个角度得到线段CD,找出这个旋转中心并写出

旋转中心的坐标.

AA

图1图3

03.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,-4),B(-6,-1),C(-2,-1).

(1)把仆ABC向左平移2个单位，再向上平移4个单位得小A】BiJ,试画出图形，并直接写出点Ct的坐标；

⑵把仆ABC绕原点O逆时针旋转90。得小A2B2C2,试画出图形,并直接写出点C2的坐标；

(3)若⑵中的△可以看作由(1)中的△AiBiCi绕坐标平面内某一点P旋转而得到，试在图中标出点

P的位置，并直接写出旋转中心P的坐标；

(4)若(1)中的△AiBiCi内部有一点M(a,b),经过(3)中的旋转后与△/k&Cz中的点N对应，请直接写出点N

的坐标(用含a,b的式子表示).

专题六旋转作图问题基本方法(4)—作图与计算

01.如图,正方形ABCD和直角△ABE,^AEB=90。,将△4BE绕点O旋转180。得到△CDF.

(1)在图中画出点。和△CDF,并简要说明作图过程；

(2)若4E=12,AB=13,求EF的长.

02.如图,E是正方形ABCD中CD边上任意一点.

(1)以点A为中心,把△4DE顺时针旋转90。,，画出旋转后的图形；

⑵在BC边上画一点F,使△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，请简要说明你取该点的理由.

03.已知正方形ABCD,点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹).

(1)在图1中，分别画出另外三边的中点；

(2)在图2中.连接AE,将△AEC绕着点A顺时针旋转90。,，画出旋转后的三角形.

专题七旋转作图问题基本方法⑸一综合训练

01.如图，△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图.

⑴在图1中，将线段AB绕点B顺时针旋转90。得到线段BM,画出线段BM；在小ABC内部找一点P,使/

APC=2/ABC,连接PA,PC;

⑵在图2中,M为线段AB的中点作M关于BC的对称点O,再以O为旋转中心,将4ABC顺时针旋转90。得

到AAiBia,画出△A】BiCi(点A,B,C分别对应点Ai,Bi,Ci力若/ABC的度数为a。，则NBB】C的

度数为(直接用含a的式子写出答案).

图1图2

02.如图，在9x9网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A,B,C,

D,E,F,P均为格点，请按要求仅用无刻度的直尺作图.

(1)将ADEF绕点P逆时针旋转90。得到△DiEiFx,请画出△DxE】Fx;

⑵将小ABC绕点O旋转180。得到△BAG,请画出点O和4BAG;

⑶将格点线段EF平移至格点线段MN(点E,F的对应点分别为M,N),使得MN平分四边形ACBG的面积,

请画出线段MN(线段MN画1条即可);

(4)在线段AG上找一点Q,使得NAOQ=NBOG,请画出点Q.

03.请按以下要求用无刻度直尺作图：

(1)如图1,线段AB和线段AE关于点M成中心对称,画出点M;

⑵如图2,将4ABC绕点O逆时针旋转90。得4AiBig,画出△AtBxCx;

(3)如图3,设/BAC=a,将4ABC绕点C顺时针旋转a得4A'B'C,画出△A'B'C.

图1图2图3

专题八旋转模型（1）—手拉手①一遇90。构造90。（新热点）

核心考点一构造等腰直角三角形得手拉手，利用对应角和边进行勾股计算

01.如图,在四边形ABCD中，ZABC=ZADC=45°,AB=AC,BDA/41CD=3,贝！AD=

02.如图，点P是正方形ABCD内一点,且P4=2V3,PB=y[2,PC=4,则正方形ABCD的面积是.

核心考点二构造等腰直角三角形得手拉手，结合共边双勾股计算

03.如图,D是△4BC内一点，Z.BDC=90。乃。==20,AC=21,AD=竽，则BC的长是____.

核心考点三构造等腰直角三角形得手拉手，利用特殊角解三角形

04.如图，若点O是等腰）RtAABC的斜边AB的中点，M为BC下方一点，且。M=学,CM=7,NBMC=45。,则

BM=

M

专题九旋转模型⑵一手拉手②——遇（60。构造60。

01如图，已知△48c中，4=90°,AC=BC=VX将△4BC绕点A顺时针方向旋转60。到小ABC”的位置连接

CB,则CB的长为

02如图在RtAABC中，ZACB=90°,分别以AC,AB为边,作等边△4CD和等边△ABE.连接ED,并延长交BC于

点F,连接BD.若BDXBC,求々的值.

03.如图,在四边形ABCD中,AC,BD是对角线,AABC是等边三角形，乙4DC=30°,AD=3,BD=4,则CD的长为

04.如图，点D是等边△48c内部的一点，ZXDC=120°,AB2=19,^=|,则线段BD的长度是_____

B

专题十旋转模型⑶一手拉手③一遇120。构造120°

01.如图，在△ABC中,N4CB=30°,AB=4c点P是△4BC内一点，且.PA=2,PB=何,PC=3,求/APC的度数

02.如图,等腰△ABC中,.NB4C=120°,AB=AC,,D是AB上一点,AD=2,BD=4,E是边BC上的动点，若点E绕点

D逆时针旋转30。的对应点是F,连CF,则CF的最小值为.

03.如图,AABC中,AB=AC,点P为AABC内一点,乙4PB=ABAC=120°..若AP+BP=4,则PC的最小值为()

A

A.2B.2V3

C.V5D.3Rr

04.如图,在△ABC中,^BAC=120。,AB+AC=a(a>0)将CB绕C顺时针旋转1120。得CD,当DA的最小值为

削寸,a的值为.

/D

A

BC

专题十一旋转模型⑷一夹半角与夹半角的构造

01.如图,等边,AABC中,D,E为BC边上的点,BD=2CE,ZDAE=30°,DE=3,贝!]CE的长为.

02如图.直线1上依次有B,E,C,D四点且BE=2CD,,以BC为边作等边△4BC,连接AE,AD,若/DAE=30'DE

=5,则BE的长是.

03.如图,在,△ABC中,点D是边BC上一点,ND"=AB=45。,AB=6,BC=4Vx则4ABD的面积是.

04如图，乙4。8=45。,PA1OA,PB1OB„连OP,C是CP上一点,(0C=PC,,连BC交OA于点D,若OD=4,AD=6,

则PB的值为.

ODA

专题十二旋转模型（5）——构造手拉手求最值

核心考点一构造手拉手转化为三边关系最值

01.如图，AABC中,AB=3,AC=4,以BC为边向三角形外作等边△BCD,,连AD,则当/BAC=度时，AD有

最大值是.

核心考点二构造手拉手转化斜垂关系最值

02.点P为等边△ABC内一动点,连接PA,PB,PC,若/BPC=105。,则普的最小值是.

核心考点三构造手拉手转化两点之间，线段最短

03.如图,在RtAABC中,N4CB=90°,AC=2,AABC=30。,,点O为Rt△ABCC内一点,连接AO,BO,CO,贝！jOA+

OB+OC的最小值为

核心考点四构造手拉手得定点轨迹，转化垂线段最短

04.如图,AOBC中,UCB=90。,乙4=30°,AC=6,D是AB上的动点，以DC为斜边作等腰直角.△DCE/CED=

90。,,点E和点A位于CD的两侧,连接BE,则BE的最小值为.

专题十三旋转模型(6)——中心对称与中点线段倍长

01.如图1,已知RtAABC^RtADCE,ZB=ZD=90°,BC=2AB.

⑴若AB=2,求点B到AC的距离；

⑵当RtADCE绕点C顺时针旋转，连AE,取AE中点H,连BH,DH,如图2,求证:BHXDH;

⑶在⑵的条件下,若AB=2,P是DE中点连接PH,当RtADCE绕点C顺时针旋转的过程中，直接写出PH

的取值范围.

图1图3

02如图,分别以△A8C的边AB,AC为底边向外作等腰△与等腰△EAC,^ADB=a,AAEC=180。-a,F为B

C的中点,连接DF,EF.

(1)如图1,作出.ACEF关于点F成中心对称的图形；

(2)如图2,猜想DF与EF的位置关系，并说明理由；

(3)如图3,当a=60。时，连接DE交AC于M,FE交AC于N,设AM=a,MN=b,NC=c,请直接写出a,b,c

之间的数量关系.

专题十四利用旋转的性质解几何综合题

01如图1,在小ABC中，点D,E分另在AB,AC上,DE〃BC,BD=CE.

(1)求证:ZB=ZC,AD=AE;

(2)若/BAC=90。,把4ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点,连接MN,

PM,PN.

①判断△PMN的形状，并说明理由；

②把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN的最大面积为t

BCBNC

图1图2

02.已知△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3.

(1)如图1,将4ABC绕点B逆时针旋转90。得△请直接写出的长；

⑵如图2,若把△ABC绕点B逆时针旋转a。角,其中0<a<90,直线.4©分别交AB,AC于点G,H,若小AGH恰

好为等腰三角形，求CH的长;

⑶如图3,将小ABC绕点B逆时针旋转一周得△4记的,点M为边41cl的中点，点N为AM的中点，试直接

写出CN的最大值.

图1图2图3

03.矩形ABCD中,AB=5,2。=3,,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EFCG(其中A,B,D分别与E,F,G对

应).

(1)如图1,当点G落在AB边上时，直接写出AG的长；

⑵如图2,当点G落在线段AE上时,AB与CG交于点H,求BH的长；

⑶如图3,记O为矩形ABCD的对角线交点，S为AOGE的面积，直接写出S的取值范围.

04.给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.

(1)以下四边形中，是勾股四边形的为.(填写序号即可)

①矩形；②有一个角为直角的任意凸四边形；③有一个角为(60。的菱形.

⑵如图1,将△4BC绕顶点C按顺时针方向旋转打。得到△EDC.

@n=60,ABAD=30。时，连接AD.求证：四边形ABCD是勾股四边形；

②如图2,将DE绕点E顺时针方向旋转得到EF,连接BF,AE交于点P,连接CP若乙DEF=(180-n)°,

CP=4,4E=10,求AC的长度.

专题十五中心对称与倍长类几何综合题

01.在△ABE和ACDE中,乙ABE=乙DCE=90°,AB=BE,CD=CE.

(1)连接AD,BC,点M,N分别为AD,BC的中点,连接MN.

①如图1,当B,E,C三点在一条直线上时,MN与BC关系是_____;

②如图2,当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；

如果不成立，请说明理由.

⑵如图3,当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时,连接AC,BD,点P,Q分别为BD,AC的中点,连接PQ,若.AB

=13,CD=5„则PQ的最大值是_，此时以A,