2024-2025学年九年级数学中考二轮复习《圆》综合提升训练 （含答案）

2024~2025学年九年级数学中考二轮复习《圆》综合专题提升训练

一、单选题

1.如图，。。是等边△ABC的外接圆，若48=6,则。。的半径是（）

A.3B.V3C.2遮D.4V3

2.已知。。过正方形ABCD顶点4B,且与CD相切，若正方形边长为2,则圆的半

径为（）

A4c5V2rY

A.-B.—C.—D.1

342

3.如图所示，48为半圆。的直径，C、D、E、F是48上的五等分点，尸为直径上

的任意一点，若AB=4,则图中阴影部分的面积为（）

A

A3c2〃2r3

A.-7TB.-7TC.-71D.-7T

4352

4.如图，已知直线为交。。于/、3两点，NE是0。的直径，点C为。。上一点，

且NC平分过C作CD_LB4,垂足为D且。。+。/=12,。。的直径为20,

则AB的长等于（）

A.8B.12C.16D.18

5.如图，力B是。。的直径，力8=2,点C在。。上，/.CAB=30°,。为弧BC的中

点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为（）

6.如图，4B是。。的一条弦，点C是。。上一动点，且N4CB=30。，点E、F分别

是AC、BC的中点，直线与。。交于G、H两点，若。。的半径为7,贝I]GE+

7.如图，抛物线y=g/-久—|与坐标轴相交于点4B,D,顶点为E.以4B为直

径画半圆交y轴的正半轴于点C,圆心为M,P是半圆月8上的一动点，连接EP,N是

PE的中点，当点P沿半圆从点A运动至B时，点N运动的路径长为（）

二、填空题

8.如图，AB是。。的直径，CD是。。的弦，AB、CD的延长线交于点E.若AB=2DE,

NE=18。，贝!UC的度数为

9.如图，。。与x轴交于点N,B,与y轴交于点C,D,P为。。上一动点，。为弦

AP上一点，AQ=3PQ,若点D的坐标为（0,-4）,则CQ的最小值为

10.如图，已知半圆。。的直径AB=4,沿弦EF翻折弧EF,翻折后的弧EF与直径AB

相切于点。，且力D=3DB,则折痕EF的长度是；

11.如图，已知。。为等腰三角形力8c的外接圆，48=力。,£）为劣弧力8上一点，连

接CD交于点E,若BC=4V5,CE=9,tanzBCD=则tanN48。的值为.

12.如图，线段AB是。。的直径，弦CDJL4B于点“，点M是弧BC上任意一点（不

与B,C重合），AH=1,CH=2.延长线段BM交DC的延长线于点E,直线MH交。0

于点N,连结BN交CE于点F,则OC=,HE-HF=

E

13.如图,CD是。0的直径,AB是。。的弦,AB1CO,垂足为G,OG:OC=3:5,4B=8,

点E为圆上一点，Z.ECD=15°,将弧CE沿弦CE翻折，交CD于点F,图中阴影部分

的面积=.

14.如图，四边形48。为边长为4的正方形，的半径为2,尸是。3上一动点,

则PD+^PC的最小值为；V2PD+4PC的最小值为

三、解答题

15.如图，有两个同心半圆AC和半圆BD,其中半圆BD固定不动，半圆AC绕圆心。

沿顺时针方向转动一周，连接AB、CD,转动过程中，半圆BD与线段AC的交点记为

点、H,若AC=2BD=4.

⑴求证：AB=CD；

(2)在转动过程中，求△力8。面积的最大值；

⑶当4B与半圆BD相切时，求弧DH的长.

16.如图，48是圆O直径，C,。两动点在直径同侧，连接。C,作射线40IOC,交BC

的延长线于点H.

(1)求证：AB=AH.

(2)已知4B=10,

①若CD=2,求力。的长.

②若CD=x,AD=y,求了关于x的关系式，并求出四边形40CD周长的最大值.

17.如图1所示，已知AB,CD是。。的直径，T是CD延长线的一点，。。的弦4F

(1)如图1,求证：B7是。。的切线；

(2)在图1,连接CB,DB,若案=：，求黑的值；

DCZD1

(3)如图2,连接DF交4B于点G,过G作GPJ.CD于点P,若BT=6五,DT=6,

求DG的长.

18.圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形.

⑴如图1,四边形力BCD为等邻边圆内接四边形，AD=CD,^ADC=60°,贝(I

/.ABD=；

(2)如图2,四边形4BCD内接于O。，4B为O。的直径，AB=10,AC=6,若四边

形ABCD为等邻边圆内接四边形，求CD的长；

(3)如图3,四边形ABCD为等邻边圆内接四边形，BC=CD,AB为。0的直径，且AB=

48.设BC=x,四边形4BCD的周长为y,试确定y与比的函数关系式，并求出y的

最大值.

19.已知：。。是A/IBC的外接圆，连接B。并延长交4C于点D/CDB=3N4BD.

⑴如图1,求证：AC=AB；

(2)如图2,点E是弧AB上一点，连接CE,力尸_LCE于点尸,且乙BAF=^ACE,求tanzBCf

的值；

⑶在(2)的条件下，若EF=2,BC=8V2,求线段AB的长.

20.抛物线丫=/-2。久+1(£1>1)与乂轴交于4,B两点(4在B的左侧)，与y轴

交于点C,顶点为D.

(2)如图1,若乙4cB=45。，求a的值；

(3)如图2,过点C作CEIIAB交抛物线于另一点£,以CE为直径作。P,求证：直线

与OP相切.

参考答案

1.解：ABC是等边三角形,

：.^ABC=4ACB=Z.BAC=60°,

如图所示，连接。4OB,过点。作。DJL4B于D,

--------

是等边AZBC的外接圆,48=6,

：.OA=OB,OA,OB平分NBHC/ABC,。。是弦AB的垂直平分线，

：.^OAD=^OBD=-^BAC=-x60°=30°,

22

.•.在RtzktMD中，AD=^AB=^x6=3,

设。。=无，则。4=2x,

222

：.OA=OD+AD,即（2久）2=/+32,解得，打=一百（舍去），x2=V3,

.\。力=2x=2V3

,。。的半径是2旧，

故选：C.

2.解：如图，作。M14B于点M,连接。B,设圆的半径是x,

D--'C

则在直角AOBM中，OM=2—久，BM=1,

OB2=OM2+BM2,

x2=(2—%)2+1,

解得x="

4

故选：B.

3.解：如图所示，连接。。，OE,DE,

VC.D、E、F是弧AB上的五等分点，

12

.,.ZDO£,=^X180°=36°,/.BOE=1x180°=72°,

VOD=OE,

：.Z.DEO=(180°-36°)+2=72°,

;•4DEO=乙BOE,

：.DE//AB,

：.△ODE和aPDE是等底等高，AB=4,

-1i

J半径OD=OE=^AB=x4=2

・,S阴影一2X薪•兀-即

故选：C.

4.解：过。作。b_L45,垂足为巴连接。C,

：.ZOCA=ZOACf

,・ZC平分NB4E,

・•・ZDAC=ZCAO,

：.ZDAC=ZOCA,

：.PB//OC,

U：CDA.PA,

：.OC±CD,

：.ZOCD=ZCDA=ZOFD=90°,

・・・四边形DC。b为矩形，

：・OC=FD,OF=CD,

9：DC+DA=12,

设贝1J。代CZ)=12-x,

VOO的直径为20,

：.DF=OC=W,

•*.AF=W-x,

在中，由勾股定理得/产+。产=CM2,

即(10-x)2+(12-%)2=1()2,

解得：%I=4,%2=18(不合题意，舍去)，

•\AD=^,

OF=8,

：.AF=y/AO2-OF2=6,

9：OFLAB,由垂径定理知，尸为45的中点，

,*.AB=2AF=12.

故选：B

5.解：如图所示，作点。关于的对称点。'，连接CD',交于力B于点P,止匕时PC+PD

的值最小，HPPC+PD=PC+PD=CD,

连接OC,。。'/。'，

:点C在。。上，^CAB=30°,D为弧BC的中点,

.,.弧CD=MBD=MB。'，

乙BAD'=-Z-BAC=工x30。=15°,

22

C.Z.CAD=45°,

：.^LCOD=2Z.CAD=2x45°=90°,

OC,OD‘是o0的半径，即OC=OD'=^AB=3x2=1,

.•.△C。。'是等腰直角三角形，

CD'=V2OC=V2,

：.PC+PD的最小值为

故选：B.

6.解：连接。4OB,

■■Z.ACB=30°,

Z.AOB=60°,

是等边三角形，

AB=7,

当GH为。。的直径时，GE+FH有最大值.

当G”为直径时，E点与。点重合，

・•・AC也是直径，AC^14.

・•・”BC是直径上的圆周角，

•••4ABC=90°,

ZC=30°,

AB=-AC=7.

2

・・・点E、F分别为AC、8c的中点，

1

・•・EF=-AB=3.5,

2

・•.GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5.

故选：B.

令y=0,贝！J0=|x2一%—I，

解得，=-L%2=3,

Z(—L。)，8(3,0),

AB=4,

・・・M(2,0),

：.EM1%轴.EM=MA=MB=2f

・••点E在OM上，

•:EN=NP,

：.MN1EP,

・"MNE=90。，

・••点N的运动轨迹是以EM为直径的半圆,

・・•点N运动的路径长是7TX2X1=7T.

故选：D

连接OD,

是。。的直径，AB=2DE,

：.OD=DE,

:.乙E=乙EOD=18°,

在小EDO中，乙ODC=ZF+乙EOD=18°+18°=36°,

VOC=0D,

；.ZC=乙ODC=36°.

故答案为：36。.

9.解:

连接P。，过0作QMIIOP,交4。于以M为圆心，为半径作圆，连接MC交OM

于。，

：.AM:AO=AQ:AP,

•••AQ=3PQ,

：.AQ:AP=3:4,

■:D的坐标是(0,-4),

0A=0D=4,

=±4。="4=3,

44

V0A=0P,

：.^.MAQ=乙P,

・.•QMWOP,

：./.MQA=ZP,

：./LMAQ=£.MQA,

：.MQ=MA=3,

・，・0在G)M上，

.••当。与Q'重合时，CQ最小，

*：0M=AO-AM=4-3=1,0C=4,

：.MC=70M2+。。2=V42+l2=V17,

：.CQ'=CM-MQ=V17-3,

：.CQ的最小值是旧一3.

故答案为：V17-3.

10.解：设折叠后的圆弧所对的圆心为。'，连接。'。，OD,OE,。'。与EF交于点如图

：.00与EF互相垂直平分，

：.OM=-OO',EF=2EM,

2

u：AB=4,

：.OA=OB=OE=2,

以点。'为圆心的圆半径也是2,

O'D=2,

VXD=3DB,

i

：.DB=-AB=1,

4

：.OD=1,

・•・O'O=+。为2="2+22=V5,

：,OM=—

29

：.EM=y/OE2-OM2=4--=—,

q42

：.EF=2EM=VTl,

即折痕EF的长为“1,

故答案为：Vil.

11.W：过点E分别作EG1BC,EILAC,垂足分别为G,l,过点B作BF1EC,垂足为F,

过点A作AHIBC,垂足为H,

BC=4V5,tanzBCD=

.,.在Rt△BCF中，CF=2BF,

由勾股定理得，BF2+CF2=BC2,

2

即BF2+（2B尸）2=（4V5）,

・・・BF=4,CF=8,

・・・CE=9,

AEF=1,

由勾股定理得，BE=W,

设BG-x,则CG=4A/5—x,

在ABEG和△CEG中，

EG2=BE2-BG2,EG2=EC2-CG2,

____27

-（V17）—%2=92—（4A/5—%）

解得x=|V5,即BG=|V5,

•・•AB=AC,AH1BC,

・・・BH=^BC=2V5,

.BGBH

COS/.ABC--=——

BEAB

・•・AB=AC=5V17,

■■■AE=4V17,

设C/=y,则4/=5g-y,

在△力£7和4CEI中，

El2=AE2-Al2,EI2=EC2-Cl2,

____2____7

即（4g）_（5旧一力=92-y2,

痴34日1175/17日口_.117V17

在RtACE/中，由勾股定理得E/二空四,

85

•*«tsmZ-DCA————f

CI13

•・・Z-ABD=Z-ACD,

・••tanZ.ACD=—■

13

故答案为：!|，

12.解：连接。C.

E

CD1AB,

・•・(CHO=90°,

设。。=7，则。〃二丁一1.,

在Rt^COH中，

•••CH=2,

•••r2=22+(r—I)2,

/.r=2.5,即OC=2.5；

连接AM.

vAB是直径，

・•・AAMB=90°,

・••乙MAB+Z.ABM=90°,

•・•ZE+Z.ABM=90°,

・•・(E=Z-MAB,

・•・Z-MAB=乙MNB=ZE,

•••LEHM=乙NHF,

LEHMfNHF,

HEHM

HNHF

•••HE•HF=HM,HN,

•••乙AMN=乙ABN

△AHMNHB

.AH_HM

•.NH-HB

即HM,NH=AH,HB,

・•・HE•HF=AH•HB=1x(5—1)=4,

-------/

故答案为：2.5,4

13.W：如图，连接Z。，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M,过点M作MNLCD

于点N,

CD为。0的直径，AB1CD,AB=8,

1

AG=-AB=4,

2

,：OG-.OC=3:5,AB1CD,垂足为G,

.•・设。0的半径为5k,则OG=3k,

，(3k)2+42=(5k)2,解得：卜=1或々=一1(舍去),

5k=5,即。。的半径是5,

连接0M,贝=60。,

•••AMOC=120°,

过点M作MN1CD于点N,

:.MN=MO-sin60°=5x—,

2

.q_sqi-t120TTX2525V3_257r25V3

••3阴影=3弓形0MC-b^OMC，即厂=不二，

即图中阴影部分的面积是：竽—苧.

J4

故答案为：竽—竽.

04

14.解：①如图，连接网、在3c上取一点E,使得8£=1,连接尸E,DE,

•；PB2=4,BE・BC=4,

：.PB12=BE»BC,

.PB_BE

・・BC-PB'

NPBE=/CBP,

：.APBEs^CBP,

.PB_PB_1

・.PC-BC-2’

1

：.PD+-PCPD+PE,

2

"：PE+PD<DE,

在Rt/\DCE中，。E=V32+42=5,

；.PD+赳的最小值为5.

②连接DB,PB,在8。上取一点£,使得BE=?,连接EC,作EFLBC于F,

D

'：PB2=4,BE-BD=yX4V2=4,

；.BP2=BE・BD,

.BP_BE

•・访一'BP9

,/ZPBE=ZPBD,

：.APBEs8DBP,

.PE_PB_y/2

••PD-BD_4f

：.PE=—PD,

4

AV2PD+4PC=4(yP£>+PC)=4(PE+PC),

:PE+PCWEC,

在比ZkEFC中，EF=3,FC=T，根据勾股定理得，

AEC=7EF2+FC2=J(|)2+(1)2="，

.•.&PD+4PC的最小值为：4x第=10应，

故答案为5,IOA/2.

15.(1)证明：:两个半圆圆心为。,

A0A=OC,OB=0D,

又・・ZOB=乙COD,

•••△AOBwZkCOD(SAS),

：.AB=CD.

(2)SMOB=：B0.h,只有〃取到最大值，面积最大，〃为点/到BD的距离,

当B。14。，点/到BD的距离最大为。4如图,

7/

此时面积最大S-OB=\A0•BO.

u：AC=2BD=4

：.AC=4fBD=2,

1i

：.AO=-AC=2,BO=-BD=1,

22

ii

1•SNOB=-BO=-x2xl=l.

(3)当48与半圆BO相切时，AABO=90°,如下图:

在Rt△AOB中，

cosZ-AOB=—=

OA2

C.Z.AOB=60°,

：.Z.DOH=乙408=60°,

当3在AC左侧时，如下图,

,•IB与半圆8。相切,

：.Z.ABO=90°

Rt△AOB中,

4八cOB1

cos乙AOB=—=一,

OA2

：.A.AOB=60°,

:•乙DOH=180°-乙AOB=120°,

综上，弧。”长弓或

16.(1)证明：9：OC=OB,

:•乙OCB=(OBC,

U：AD\\OC,

：.Z,H=乙B,

：.AB=AH.

(2)解：①连接AC,

又XB是直径，

；・AC1BH,

U：AB=AH,

:・HC=CB,

・・•四边形/BCD是圆。的内接四边形,

：ZHDC=乙B,

・•・(HDC=NH=

又,；OC=OB,

Z.OCB=Z-B,

：.CD=CH=CB=2f

•・•Z.HDC=乙B,(HDC=Z.OCB,

C.LHDCCBO,

•.•HD_—BC_,DH—_—2,

HCOC25

4

；.DH=刍

：.AD=y.

②•：AHDCCBO,

••——,-一一,

HCOCx5

：.DH=^,

・・・y=10

/5

四边形AOCD周长=10+10--~~x————+x+20,

v-i<0,

•・•当x=2.5时，四边形AOCD周长的最大值为21.25.

17.(1)证明：：CD是。。的直径，。。的弦AF交CD于点E,且4E=EF,

•­•CDLAF,即。DE。=90。,

,/OA2=OE-OT,AB是圆的直径，

_AO_OT

"OE-OB'

又NAOE=ABOT,

■,.AAOEsXTOB,

乙OBT=AAEO=90°,

又OB是半径，

・•.BT是O。的切线；

图1

乙CBD=90°,

又上OBT=90°,

•••Z-CBO=Z-DBT,

•••OB=OC,

zf=Z.OBC,

•••Z.C=Z-DBT,

•・,zT=zT,

DBTBCT,

.DT_BT_DB_1

“BT~CT~BC~2；

(3)解：VZOBT=90°,

OB2+BT2=OT2,

设半径为r,

又BT=6/，DT=6,

r2+(6V2)2=(r+6)2,

解得：r=3,

■■OA2=OE-OT,OT=OD+DT=9,

CLOA2Y

•••OE=—=1,

OT

：.AE=2V2,

•••GP1CD于点P,/.AEO=90°,

•••Z-AEO=乙GPO,

又2AOE=乙GOP,

:.bAOEGOP,

OP_OE_1

'''PG~~AE~玄’

设：OP=a,贝!JPG=2V^z,PD=OD—OP=3—a,

VGP1CD,AFLCD,

：.GP||AF,

△PDGEDF,

则竺=—,

DEEF

日n3-a2V2a

岗」：—7^，

42V2

解得：。=春，

12D「6A/2

•••PnDn=PG=

在Rt△PDG中，

DG=VPD2+PG2=等.

18.(1)解：'：AD=CD,

，MAD=弧CD,

：.AABD=^CBD=-^CBA

2

又・・ZDC=60°,

：.^ABC=180°-60°=120°,

.•.乙4BD=2BC=60。；

(2)解：为。。的直径，AB=10,4C=6,

：./.ACB=乙ADB=90°,BC=y/AB2-AC2="00-36=8

①当AC=4。时，连接CD,如图：

,：AC=AD,AB为。。的直径，

RtAACB=Rt△ADB(HV),

：.BC=BD,AB垂直平分CD.

'S四边形4DBC=■jo。*"B=力。XBC

②当AD=8。时，连接CD,过点力作力H_LCD,交CD于点H.如图:

A

D

此时△ADB为等腰直角三角形，AD=BD=5鱼.

在Rt△力"C中，'：^ACH=AABD=45°,AC=6,

..,AHAHV2

..smZ.AACrHu=——=—=——

AC62

：.CH=AH=3V2

在Rt△力HD中，'：AH=3V2,AD=5V2,

：.DH=4V2,

CD=CH+DH=7V2.

综上可知，。。=?或。。=7应；

(3)如图，连接。C,BD.

'：BC=CD,OB=OD,

；.oc垂直平分BD

•.•。为AB中点，

；.0F为ABIM的中位线，有=OF11AD.

设OF=t,

则CF=24—t,AD=23y=48+%+%+2t=2t+2%+48,

在Rt△BFC中，BF2=BC2-CF2=x2-(24-t)2

在Rt△BFO中，BF2=BO2-OF2=242-t2

于是有：x2—(24—t)2=242—t2

整理得，t=--x2+24,

48

=_#+2x+96=_=(x-24)+120

当X=24时，＞max=120

19.(1)证明：连接。C,如图所示：

A

•・•乙CDB=/-DAB+乙ABD,Z.CDB=3Z-ABD,

・•.Z,DAB=2乙ABD,即NG4B=2乙ABD,

弧BC=弧BC,

・•・乙COB=2Z.CAB,

・••乙COB=4乙ABD,JffjZ.COB=Z.CDO+Z.DCO,

・•・44ABD=Z.CDB+Z-ACO=3Z-ABD+Z-ACO,

A.ACO=乙ABD,

•・•OC=OB,

Z.OCB=Z-OBC,

•••Z-ACB=Z.ACO+Z,OCB=(ABD+Z.OBC=乙ABC,

AC=AB；

(2)解：设SB与CE交于G点，如图所示：

•••/.AGF+/.AFG+/.GAF=180°=ZCGB+ZGBC+乙BCG,且Z71GF=乙CGB,

Z-AFG+Z.GAF=Z-GBC+乙BCG,

vAF1CE,

・•.匕AFG=90°,

•••90°+/.GAF=乙GBC+乙BCG,

由(1)知NZCB=2ABC=2GBC,

••・Z.GBC=Z-ACE+乙BCE,

・••90°+2LGAF=/LACE+乙BCE+乙BCG,

•・•乙BAF=/-ACE,即NGZF=zXCE,

•••90°=乙BCE+乙BCG,即2乙BCE=90°,

・•.ZBCE=45°,

••・tanZ-BCE=tan45°=1；

(3)解：过A作4N_LBC于N,连接AE,如图所示:

由(1)知AC=AB,由(2)知NBCE=45。，

...NM=NC=NB=^BC=4vL

vAAMF=乙CMN=45°,AF1CE

AAFM是等腰直角三角形，即FA=FM,

设=FM=x,则AM=V2x,

•••乙ABC=乙4cB=乙E,乙ANC=Z.AFE=90°,

ANCAFE,

3=竺，即&*=延，解得％=4,

AFFEx2

•••在等腰RtAAFM中，E4=FM