2024-2025学年人教版八年级数学上册 旋转变换的应用 专项训练

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

旋转变换的应用能用旋转的知识解决问题

二、核心纲要

1.旋转变换的基本性质

①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等.

②对应边所夹的角等于旋转角.

2.常见的几种基本旋转图形

Z5+ZD=|80°.^\EF=BE+Di

3.常见的添加辅助线的方法

旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等规则的图形上，其功能还是把分散的条件相对集中，以便

于条件的综合与推演.常用的方法有：

(1)图形中出现等边三角形、等腰直角三角形和正方形，通常旋转60。或90。.

(2)图形中有线段的中点，通常旋转180°.

(3)图形中出现有公共端点且相等的线段，通常旋转夹角的度数.

⑷共端点或共线的三条线段转化到同一个三角形，通常考虑旋转.

本节重点讲解：一个性质、常用基本图形、常用的辅助线.

三、全能突破

基础演练

1.若点A的坐标为(6,3),O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90。得到OA，,则点A，的坐标是().

A.(3,-6)B.(-3,6)C.(-3,-6)D.(3,6)

2.如图2321所示，等腰直角三角形ABC中,NB=90o,AB=a,O为AC中点.EO_LOF则BE+BF=_,四边形BEOF的面

积为一.

3.(1)如图23-2-2所示，在四边形ABCD中,/BAD=/BCD=9(T,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是

____cm.

⑵如图23-2-3所示，在四边形ABCDZADC=ZABC=90°,AD=CD,DP±AB于点P,若四边形ABCD的面积是4

9,贝UDP的长为—.

图23-2-1图23-2-2图23-2-3

4.⑴如图2324(a)所示,△ABC和4CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接AD、BE相交于点P,求证:BE

=AD.

(2)如图2324(b)所示，在△BCD中,.ABC。＜120。,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、

等边三角形CDE和等边三角形BDF,连接AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是_____(只填序

号即可).

①AD=BE=CF②/BEC=/ADC®ZDPE=ZEPC=ZCPA=60°

⑶如图2324(b)所示，在⑵的条件下,求证:PB+PC+PD=BE.

图23-2-4

5.阅读下列材料：

问题:如图2325(a)所示,已知点P为等边△ABC内一点，且/APB=15O。,试探究线段PA、PB、PC之间的数量关

系.

明明同学的想法是：问题中的线段比较分散，可以通过旋转变换将分散的线段集中在一起，从而解决问题.于是

他将△ABP绕点B顺时针旋转60。得到了△CBP,然后连接PP'.

请你参考明明同学的思路，解决下列问题：

(1)图23-2-5(b)中的PA、PB、PC之间的数量关系为.

⑵如图23-2-5(c)所示，点P在等边△ABC的外部(在直线AB左侧)，满足NAPB=30。。)中的结论仍成立吗？说明你

的理由.

(3)如图2325(d)所示，点P在等边△ABC的外部(在直线BC下方)，满足/BPC=120。,请探究线段PA、PB、PC之

间的数量关系，并证明你的结论.

(4)如图23-2-5(e)所示，点P在等边△ABC的外部(在直线BC下方)，满足NBPC¥120。,©)中的结论仍成立吗？请直接

写出PA、PB、PC之间的数量关系，不用证明.

图23-2-5

能力提升

6.如图23-2-6所示,0是正△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段B0以点B为旋转中心逆时针旋转60。得到线段

BO,下列结论:①△BCTA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60。得到;②点O与。'的距离为4；circle3^A0B=150

°；circZe4S=6+3曲;circleSSMa+SM0B=6+乎其中正确的结论是().

四也形AURO4

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

7.在等边4ABC中，P为BC边上一点，则以AP、BP、CP为边组成的新三角形的最大内角为。，则().

A.0>90°B.0<12O°C.0=12O°D.0=135°

8.如图23-2-7所示，等腰直角三角形ABC中,NB=9(T,AB=a,0为AC中点,/£(^=45。贝必BEF的周长为.

9.如图23-2-8所示，在△ABC中,NBAC=9(T,AB=AC=22点D是直线BC上一点,BD=1,将射线AD绕点A逆时针旋

转45。得到射线AE,交直线BC于点E,则DE=.

图23-2-6图23-2-7图23-2-8

10.如图2329所示,正方形ABCD的边长为1,点F在线段CD上运动,AE平分/BAF交BC边于点E.

⑴求证:AF=DF+BE.

⑵设DF=x(0WxWl)CADF与公ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时

不存在，请说明理由.

11.⑴如图23210(a)所示，点P为正三角形ABC内一点，且满足PA=4,PB=3,PC=5厕/APB=-

⑵如图23210(b)所示，点P为正方形ABCD内一点，且满足PA=®PB=电,PC=1,,求NBPC的度数和正方

形的边长.

(3)如图23210(c)所示，点P为正六边形ABCD内一点，且满足PA=g,P8=2,PC=1,,请直接写出ZBPC的

度数及正六边形的边长.

图23-2-10

12.已知:AD=2,BD=4,以AB为一边作等边三角形ABC,使C、D两点落在直线AB的两侧.

⑴如图23-2-11所示当NADB=60。时，求AB及CD的长.

(2)当/ADB变化,且其他条件不变时,求CD的最大值及相应NADB的大小.

13.在平行四边形ABCD中,E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF在EF上取一点G,使得/EGB=/EAB,连

接AG.

⑴如图23212(a)所示当EF与AB相交时，若/EAB=60。.求证:EG=AG+BG.

⑵如图23212(b)所示，当EF与CD相交时，目NEAB=90。,请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证

明你的结论.

⑶当EF与AB相交时，若NEAB=120。,请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系.

(a)(b)

图23-2-12

14.在口ABCD中./BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.

(1)在图23-2-13(a)中，证明:CE=CF.

⑵若/ABC=9(F,G是EF的中点(如图23213(b)所示)，直接写出/BDG的度数.

(3)若/ABC=120。,FG〃CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图23213(c)所示)，求/BDG的度数.

图23-2-13

15.如图23214(a)所示在正方形ABCD中点M、N分别在AD、CD上，若/MBN=45。,易证:MN=AM+CN.

⑴如图23214(b)所示,在梯形ABCD中,BC〃AD,AB=BC=CD,点M、N分别在AD、CD上，若乙MBN=34ABC

，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明.

(2)如图23214(c)所示，在四边形ABCD中,AB=BC,NABC+/ADC=180。,点M、N分别在DA、CD的延长线上,

若=试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系?请直接写出猜想，不需证明.

(b)(c)

图23-2-14

16.若点P为4ABC所在平面上一点，且乙4PB=乙BPC=^CPA=120。,则点P叫做△ABC

的费马点.如图23215所示，在锐角小ABC的外侧作等边△ACB\连接BB：求证:BB'过公

ABC的费马点P,且.BB'=PA+PB+PC.

C

图23-2-15

17.阅读下面材料：

小雨遇到这样一个问题：如图23216(a)所示,直线与12之间的距离是1,12与13之间的距离是2,

试画出一个等腰直角三角形ABC,使三个顶点分别在直线小G伍上，并求出所画等腰直角三角形ABC的面

积.

小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋

转的方法构造全等三角形解决问题.具体作法如图23-2-16(b)所示：在直线11任取一点A，作ADL12于点D,作

“AH=90。,,在AH上截取.AE=4D,过点E作EB1AE交13于点B,连接AB,作4BAC=90。,交直线12于点

C,连接BC,即可得到等腰直角三角形ABC.

请你回答：图23216(b)中等腰直角三角形ABC的面积等于.

参考小雨同学的方法，解决下列问题：

如图23216(c)所示直线h与12之间的距离是2,12与b之间的距离是1,试画出一个等边三角形A

BC,使三个顶点分别在直线L上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积(保留画图痕迹).

/2

(a)b

(c)

图23-2-16

18.请阅读下列材料：

问题如图23217(a)所示在菱形ABCD和菱形BEFG中点A,B,E在同一：

直线上,P是线段DF的中点，连接PG,PC.若4ABC=乙BEF=60。,，探究PG\

与PC的位置关系及案的值.\

小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H,构造全等三角形，经过推理使"B

\a/

问题得到解决.nC

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：/\

⑴写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及案的值.\

⑵将图23217(a)中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角\

线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条)代

件不变(如图23-2-17(b)所示).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写(b)

出你的猜想并加以证明.

图23-2-17

19如图23218所示,P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90。到BP,已知./K

AP'B=135°,P'A:P'C=1:3,则P'A:PB=().

71.1:V2B.l:2C./3:2D.l:/3------1

20.在△ABC中,AB=AC,NBAC=a(0o<a<60。),将线段BC绕点B逆时针旋转6犬得到线段BD.；

⑴如图23219(a)所示，直接写出/ABD的大小(用含a的式子表示).A/V\

⑵如图23219(b)所示,/BCE=15(T,NABE=60。,判断△ABE的形状并'/。\

以证明.y\

⑶在⑵的条件下，连接DE若NDEC=45。,求ot的值.BCB~C

图23-2-19

巅峰突破

21.已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为近+逐,求此正方形的边长.

基础演练

1.A2.a14a

3.(1)473(2)

4.⑴证明：：AABC和4CDE都是等边三角形.

BC=AC,CE=CD,ZACB=ZDCE=60°

ZBCE=ZACD.

ABCE^AACD(SAS).，BE=AD.

(2)①②③

⑶如下图所示.在PE上截取PM=PC,连接CM,由⑴可知,△BCE也△ACD,；.Z1=Z2设CD与BE交于点G,,在

ACGE^CJAPGD中

VZ1=Z2,ZCGE=ZPGD,

/DPG=/ECG=60°同理NCPE=60°.

.••△CPM是等边三角形.

CP=CM,ZPMC=60°..\ZCPD=ZCME=120°.

VZ1=Z2,.\ACPD^ACME.

PD=ME.BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD.即PB+PC+PD=BE.

5.(1)PC2=PA2+PB2.

(2)仍成立，即PC2=PA2+PB2,

方法一：如图(a)所示，作乙PAP'=60。,且P'A=P4连接PP、PC,易证4APP为等边三角形，且AACP1^A

ABP,又：，NAPB=30°,•••乙PP'C=60°+30°=90°

APC2=PP'2+P'C2.即PC2=PA2+PB2.

方法二:如图(b)所示，将△ABP绕点B顺时针旋转60。至小CBP：得等边△BPP和RtAP'PC.

方法三:如图(c)所示，将△BCP绕点C顺时针旋转60。至小ACP得等边△CPP和RtAP'PA.

⑶如图(d)所示，延长PC至P.使CP'=BP,连接AP,易证△ABP^AACP',HAAPP为等边三角形.于是PC+C

P'=4P.即PA=PB+PC.

(4)不成立，结论是:PA<PB+PC.

(C)(d)

能力提升

513

6.A7.C8.a9-—

333

10.(1)延长CB至点G,使得BG=DF,连接AG.

ABCD是正方形,AD=AB.

ZADF=ZABG=90°,DF=BG.

/.RtAADF^RtAABG.

AF=AG,ZDAF=ZBAG.

又：AE是/BAF的平分线ZEAF=ZBAE,

ZDAF+ZEAF=ZBAG+ZBAE.

即/EAD=/GAE.

VAD/7BC,.*.ZGEA=ZEAD,/.ZGEA=ZGAE,

；.AG=GE.即AG=BG+BE.

AF=BG+BE.AF=DF+BE.

(2)S=SADF+SABE=^DF-AD+lBE-AB

■：AD=AB=1,S=久。尸+BE).

由⑴知,AF=DF+BE,所以S=|XF.

在RtAADF中,AD=l,DF=x,；.AF=/x2+l,•••S=1Vx2+1.

由上式可知，当x2达到最大值时，S最大而0SXW1,所以，当x=l时，S最大值为科值不I=当

11.(1)150°;~

(2)如下图所示，过点B作BP1±BP且.BP，=BP连接AP、PP,易证△PP'B为等腰直角三角形，目△PCB0P'AB

PP'=42BP=2,AP'=PC=1,

在4APP，中”.l2+22=(Vs)P'A2+P'P2=PA2^AP'P=90°,

又丫ZPP'B=45°,.\ZAP'B=ZBPC=135°.

过点B作BELAP交AP的延长线于点E,易证△P'EB是等腰直角三角形.

P'B=PB=VX

...P'E=BE=^P'B=1.

在RtAABE中，

AB2=AE2+BE2,AE=AP'+P'E=1+1=2.

AB=yjAE2+BE2=V22+l2=V5.

AD

BC

(3)NBPC=120。.边长为/7.

12.⑴如下图所示，过点A作AG±BC于点G.

ZADB=60°,AD=2,

・・・DG=1,AG邛,・・.GB=3,・・.AB=2/3.

AZABG=30°.

・・・AABC是等边三角形,JZDBC=90°,BC=V3

由勾股定理得：CD=y/DB2+BC2=J42+(2V3)2=2/7.

DGB

⑵如下图所示作NEAD=60。,且使AE=AD,连接ED、EB.

.•.△AED是等边三角形，

AABC是等边三角形,，AB=AC,/BAC=60。.

ZEAD+ZDAB=ZBAC+ZDAB,gpZEAB=ZDAC,.*.AEAB^ADAC..,.EB=DC.

当点E、D、B在同一直线上时，EB最大，

；.EB=2+4=6,

•••CD的最大值为6,此时/ADB=120。.

13.⑴如下左图所示作/GAH=/EAB交GE于点H.

ZGAB=ZHAE.

ZEAB=ZEGB,ZAPE=ZBPG,

/.ZABG=ZAEH.

又AB=AE,.\△ABG丝AAEH.

BG=EH,AG=AH.

ZGAH=ZEAB=60°,Z.AAGH是等边三角形.

AG=HG.EG=AG+BG.

(2)EG=立AG-BG.

如下右图所示，作NGAH=/EAB交GE的延长线于点H.

ZGAB=ZHAE.

*.•/EGB=/EAB=90。，

ZABG+ZAEG=ZAEG+ZAEH=180°.

ZABG=ZAEH.

又AB=AE,.\△ABG丝AAEH.

/.BG=EH,AG=AH.

,/ZGAH=ZEAB=90°,

AAAGH是等腰直角三角形.

五AG=HG.：.EG=V2AG-BG.

(3)EG=V3XG+BG.

14.(1)：AF平分/BAD,；.ZBAF=ZDAF.

四边形ABCD是平彳亍四边形,；.AD//BC,AB//CD.

ZDAF=ZCEF,ZBAF=ZF.ZCEF=ZF.

/.CE=CF.

(2)ZBDC=45°.

(3)分别连接GB、GE、GC(如下图所示).

*.•AB〃DC,/ABC=120。,，ZECF=ZABC=120°.

：FG〃CE且FG=CE,

四边形CEGF是平行四边形.

由(1)得CE=CF.,.口CEGF是菱形.

•••EG=EC/GCF=AGCE=jzECF=60°,

AECG是等边三角形.，EG=CG.①NGEC=NEGC=60。.；.ZGEC=ZGCF.

/.ZBEG=ZDCG.②

由AD〃BC及AF平分NBAD可得/BAE=/AEB.

，AB=BE.

在口ABCD中,AB=DC".BE=DC.③

由①②③得△BEG^ADCG.BG=DG,Z1=Z2.

ZBGD=Z1+Z3=Z2+Z3=ZEGC=6O°.

.NBDG=180~BGD=60

2

15.(1)MN=AM+CN.

理由如下：

如下左图所示，：BC//AD,AB=BC=CD,

/.梯形ABCD是等腰梯形，

/A+/BCD=180。,作/CBM，=NABM,且BM'=BM,连接CM',

AB=BC,.\△ABM^ACBM,.

.*.AM=CM',ZA=ZBCM'.

.­./.BCM'+乙BCD=180。....点M;C、D三点共线.

•••Z.MBN=-^ABC,

2

/.ZM'BN=ZM'BC+ZCBN=ZABM+ZCBN=^ABC-乙MBN=-/.ABC,：.乙MBN=4M'BN.

2

BN=BN,△BMN之△BM'N.MN=M'N.

又M'N=CM'+CN=AM+CN,MN=AM+CN.

(2)MN=CN-AM.

理由如下:如下右图所示，作NCBM，=NABM交CN于点M；

VZABC+ZADC=180°,

••・Z.BAD+ZC=360°-180°=180。，

又「ZBAD+ZBAM=180°,ANONBAM,

AB=BC,JAABM^ACBM；

i

•・•乙MBN=-^LABC,

2

：.ZM'BN=ZABC-(ZABN+ZCBM')=ZABC-(ZABN+ZABM)=ZABC-ZMBN|2zABC

.\ZMBN=ZM'BN,

,?BN=BN,；.AMBN^AM'BN..*.MN=M'N,

M'N=CN-CM'=CN-AM,AMN=CN-AM.

16.设点P为锐角△ABC的费马点即/APB=NBPC=/CPA=120。.

如下图所示，把△ACP绕点C顺时针旋转60°gljABCE,连接PE,则小EPC为正三角形.

"?ZB'EC=ZAPC=120°,ZPEC=60°,

AB'EC+乙PEC=180°.

即P、E、B，三点在同一条直线上

/BPC=120°,NCPE=60°,；.ZBPC+ZCPE=180°.

即B、P、E三点在同一直线上

，B、P、E、B，四点在同一直线上，即BB，过△ABC的费马点P.又PE=PC,B，E=PA,

BB'=EB'+PB+PEPA+