抛物线-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第8课时抛物线

［考试要求］1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程2掌握抛物线的简单

几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.4.理解数

形结合的思想.

［链接教材•夯基固本】落实主干•激活技能

©梳理•必备知识

1.抛物线的概念

把平面内与一个定点/和一条定直线/(/不经过点F)的距离相笠的点的轨迹叫做

抛物线，点尸叫做抛物线的焦点,直线/叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程与几何性质

y2=2px(p>0)y2=~2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=~2py(p>0)

标准方程

夕的几何意义：焦点厂到准线/的距离

1L「/r

\j.___A\|F/

图形F\Ox7/£

\yF

11\/1\\

顶点。(0,0)

对称轴J=ox=0

隹占式二H)S)

八'、八、、唱°)「(3-0

离心率6=1

_p_V.

准线方程X2X2L—5

范围xNO,y£R

［常用结论］

1.与焦点弦有关的常用结论

如图，倾斜角为a的直线4s与抛物线产=22x(p>0)交于Z,B两点、,尸为抛物线

的焦点,设N(xi,yi),5(x2,J2).则有

口2

(1)X1X2=Y>=

(2)焦点弦长：\AB\=xi+x2+p=^<a为弦AB的倾斜角)；

(3)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2；

(4)焦半径：\AF\=-^F\=-^—,

1—cosa1+cosa

特别地」-+工=z；

\AF\\BF\U

(5)以弦AB为直径的圆与准线粗切;

(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切;

(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；

(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S^AQB=-^=kOF\•|V1-V2|.

2.若Z,5为抛物线产=22x(p>0)上异于原点。的两点，则是直线Z8

过定点(2p,.0)的充要条件.

O激活•基本技能

一'易错易混辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)平面内与一个定点厂和一条定直线/的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.

()

(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()

⑶方程了="2伍中0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是

&0),准线方程是x=一泉()

(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)X

二、教材经典衍生

1.(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线>=32的准线方程是

()

A.y=_1B.y——2

C.x=—1D.x=-2

22

A［Vj/=ix,/.x=4yf.,・准线方程为y=­1.］

2.（人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编）若抛物线y=4N上的一点M到

焦点的距离为1,则点M的纵坐标是（）

A.—B.—

1616

C.；7D.0

B［初到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为产一七，设M（x，M，

11E

则y+a=l,.,•产R.］

3.（人教A版选择性必修第一册P135例4改编）过抛物线俨=4x的焦点的直线I

交抛物线于尸（xi,yi）,0（x2,力）两点，如果XI+X2=6,则|PQ|等于（）

A.9B.8

C.7D.6

B［抛物线俨=4x的焦点为网1,0）,准线方程为x=—1.根据题意可得，|P0|

\PF\-\~\QF\=x\-\~1+%2+1=xi+%2+2=8.］

4.（人教A版选择性必修第一册P134例3改编）已知抛物线的顶点是原点，对称

轴为坐标轴，并且经过点尸（一2,-4）,则该抛物线的标准方程为.

俨=一8x或/=—v［设抛物线方程为俨=22W0）或x2=2眇（/?W0）.将尸（一2,

-4）代入，分别得方程为俨=—8x或炉=-，］

［典例精研•核心考点］重难解惑・直击高考

□考点一抛物线的定义及应用

考向1动点轨迹的判定

［典例1］（1）在平面直角坐标系Oxy中，动点尸（x,历到直线x=l的距离比它到

定点（一2,0）的距离小1,则尸的轨迹方程为（）

A.y2=2xB.y2=4x

C.y2=~4xD.y2=~8x

（2）动圆与定圆N：（x+2）2+V=i外切，且和直线》=1相切，则动圆圆心的轨迹

是（）

A.直线B.椭圆

C.双曲线D.抛物线

(1)D(2)D[⑴由题意知动点尸(x,y)到直线x=2的距离与定点(一2,0)的距离

相等，由抛物线的定义知，尸的轨迹是以(一2,0)为焦点，x=2为准线的抛物线，

所以夕=4,轨迹方程为V=一网.故选D.

(2)设动圆的圆心为点C,半径为r,则点C到定圆Z:(》+2)2+产=1的圆心的

距离等于尸+l.又动圆的圆心到直线x=l的距离等于人所以动圆的圆心到直

线x=2的距离为r+1.根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线.故选

D.]

考向2抛物线上的点到定点的距离及最值

[典例2](1)(2023•北京高考)已知抛物线C：j2=8x的焦点为R点河在C上,

若/到直线x=—3的距离为5,则|四川=()

A.7B.6

C.5D.4

(2)已知点MQ0，40)不在抛物线C：y2=2px(p>0)±.,抛物线C的焦点为E若对

于抛物线上的一点P,+的最小值为41，则p的值等于.

(1)D(2)42或22[(1)如图所示，因为点/到直线》=一3的距离|画|=5,所

以点拉到直线x=—2的距离|〃M=4.

又抛物线上点M到准线x=—2的距离和到焦点E的距离相等，ii.\MF\=\MN\=

4.故选D.

(2)当点MQ0,40)位于抛物线内时，如图1,过点尸作抛物线准线的垂线，垂足

为D,则|=|尸。|,

\PM\+\PF\=\PM\+\PD\.

当点P,。三点共线时，的值最小.

由最小值为41,得20+1=41,解得夕=42.

当点MQ0,40)位于抛物线外时，如图2,当点尸，M,尸三点共线时，PM+FE

的值最小.

由最小值为41,得J402+(20—5=41,

解得夕=22或2=58.

当夕=58时，V=u6x,点M(20,40)在抛物线内，故舍去.

综上，2=42或2=22.

名师点评抛物线定义的应用规律

抛物线上的点到抛物线的焦点的距离

|定义应用i

与到准线的距离相互转化

I抛物线|____________________________

I厂।几何法i图象，数形结各碉

।最值问题一

T代数法一转化为函数最值问题

或不等式解决

［跟进训练］

1.(1)(2024•广东珠海模拟)已知抛物线炉=%的焦点为八准线/与坐标轴交

于点N,又是抛物线上一点，若回M=FM，则△FW的面积为()

A.4B.2V3

C.2V2D.2

(2)已知尸为抛物线俨=4x上的一个动点，0为圆4)2=1上的一个动点,

那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是.

(1)D(2)V17-1［(1)由x2=4y,得P=2,则|河=|尸M=2,

根据抛物线的定义知幽F|=州/+々=加+1=2,

解得yw=1,代入炉=4p，得XM=±2,

所以△8心的面积为］X2X2=2.故选D.

(2)由题可知，抛物线产=以的准线方程为x=—1,焦点坐标为尸(1,0),圆/

+0—4)2=1的圆心坐标为£(0,4),半径为R=l,设点尸到抛物线准线的距离

为1Ppi,则\PP'\=\PF\,it\PP'\+\PQ\=\PF\+\PQ\,所以当动点。,尸位于线段

E/上时，点尸到点0的距离与点尸到抛物线准线的距离之和最小，此时|尸尸'|

+\PQ\=\EF\-R=y[r7-1.]

【教师备选资源】

(2024•浙江金丽衢十二校模拟)已知直线/1：3x-4y-6=0和直线/2：歹=一2,

则抛物线x2=4j上一动点P到直线3直线h的距离之和的最小值是()

A.2B.3

C.—D.—

516

B[抛物线》2=4卜的焦点F(o,1),准线/：y=—l,

设动点尸到直线/,Z1,/2的距离分别为d,d\,d2,

点F到直线Zi的距离为dJ；：..：?

则di=d+\=\PF\+\,

可得力+"2=%+|尸6+1三d3+1=3,

当且仅当点尸在点尸到直线/i的垂线上且尸在尸与人之间时，等号成立，动点

尸到直线/1、直线/2的距离之和的最小值是3.故选B.]

II考点二抛物线的标准方程与几何性质

[典例3](1)(多选)过点(1,—2)的抛物线的标准方程可能是()

A.j2=4xB.y2=—4x

c.x2=—D.x2=iy

(2)(2021•新高考I卷)已知。为坐标原点，抛物线C：俨=22伞>0)的焦点为F,

尸为C上一点，尸尸与x轴垂直，。为x轴上一点，且尸0，。尸.若尸0|=6,则C

的准线方程为

(1)AC(2)x=--[(1)点(1,—2)满足俨=4x,好=一歹，

所以过点(1,-2)的抛物线的标准方程可能是V=4x,/=-%.故选AC.

⑵法一(解直角三角形法)：由题易得尸尸会闸=p,ZOPF=ZPQF,所以tan

p

ZOPF=tanZPQF,所以"=粤，即？=£解得P=3,所以C的准线方程为

IP川\FQ\P6厂

3

法二(应用射影定理法)：由题易得|。回=今\PF\=p,(|PF|2)=|OF|•\FQ\,即p2

=1X6,解得夕=3或P=0(舍去)，所以C的准线方程为x=一|.]

名师点评1.求抛物线的标准方程的方法

(1)定义法.

(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在

的位置，将抛物线的标准方程设为产=ax(aW0)或》2=即(°三0).

2.抛物线性质的应用要树立两个意识

(1)转化意识：“见准线想焦点，见焦点想准线”.

(2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算.

[跟进训练]

2.(1)(2023•湖北武汉二模)设抛物线俨=6x的焦点为R准线为/,尸是抛物

线上位于第一象限内的一点，过尸作/的垂线，垂足为0,若直线。尸的倾斜角

为120。，则尸目=()

A.3B.6

C.9D.12

(2)如图所示，过抛物线廿=2.3>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点

A,B,C,若15cl=2|8/|,且0回=4,则抛物线的方程为()

A.j2=8x

C.y2=2xD.y1=x

(3)。为坐标原点，咒为抛物线C：V=4x的焦点，尸为C上一点，若甲回=4,则

△P。尸的面积为.>——

(1)B(2)B(3)V3[⑴设准线/与X轴交于点8(图略)，依题意N0切=60。，因川

=3,|2^=3V3,\QF\=6,又|尸尸|=|00ZPQF=60°,

则4PQF为等边三角形，|PF|=6.

故选B.

(2)如图，分别过点2,8作准线的垂线，交准线于点E,D,设准线与x轴交于

点G,设尸|=a,则由已知得15cl=2a,由定义得故N5CQ=30。，

则在Rt^ZCE中，20£|=|2。|,又|4F|=4,

：.\AQ=4+3a,|ZE|=4,.*.4+30=8,从而得a=：「：AE〃FG,.,.等=生,即巳

3AEAC4

=g,p=2,.,.抛物线的方程为V=4x.故选B.

(3)法一(通性通法)：由V=以可得抛物线的焦点/(1,0),准线方程为》=一1,

如图，过点尸作准线x=-1的垂线，垂足为点拉，根据抛物线的定义可知

=|PF|=4,设尸(x,j),则x—(—1)=4,解得x=3,将x=3代入俨=4x,可得了

=±2V3,所以△POE的面积为力|•Qp=1x2百Xl=b.

法二（巧用结论）：设N尸71=仇则|尸尸|=\D.=1乞八=4,/.cos0=^,即。=60°.

1—cos。1—cos02

设尸（x,历，则例=|Ppsine=4X?=2b.

••.5APOF=|X|OF|X[y|=ixiX2V3=V3.]

【教师备选资源】

（2023•广东佛山二模）已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0,其中

ZNBNOQ'E'E现有四位同学对该方程进行判断，提出了四个命题：

甲：可以是圆的方程；

乙：可以是抛物线的方程；

丙：可以是椭圆的标准方程；

T：可以是双曲线的标准方程.

其中真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

C[因为方程Zf+协2+加+9+切+/=0,其中NNBNCNQNENE,

所以当Z=8=l—方程为始十廿一1=0,即+俨=]

是圆的方程，故方程可以是圆的方程；

当Z=1三5=C=D=0>E=—1三尸=—2时，方程为f—y—2=0,即y=x2—2

是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；

Y2

当2=2三8=1NC=D=£=O三/=—1时，方程为2炉+了2—1=0,即俨+丁=1

2

是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；

若方程为双曲线的标准方程，则有4BV0,C=D=E=0,F<0,这与

A?B》C?D》E》F矛盾,故方程不可以是双曲线的标准方程.

所以真命题有3个.故选C.]

13考点三直线与抛物线的位置关系

[典例4](1)(多选X2023•新高考n卷)设。为坐标原点，直线y=—K(x—1)过

抛物线C：V=22如＞0)的焦点，且与。交于N两点，/为。的准线，则()

A.2=2

B.\MN\=^

C.以跖V为直径的圆与/相切

D.为等腰三角形

⑵抛物线£：俨=2x上存在两点关于直线y=k(x—2)对称，则上的取值范围是

(1)AC(2)(-V2,V2)[(1)由题意，易知直线＞=—K(x—1)过点(1,0).

因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1,0),所以5=1,即夕=2,

A正确.

不妨设M(X1,Jl),N(X2,J2),Xl＜X2,联立方程"(久1)'消去y并整理

(y，=4%,

得3/—10工+3=0,解得xi="|,%2=3.由抛物线的定义得，|AW|=XI+X2+夕=£

+2=?，B错误.

/的方程为x=—1,以跖V为直径的圆的圆心坐标为6，—竽)，半径

=|=|+1,所以以"N为直径的圆与/相切，C正确.

由两点间距离公式可得QM=?，\ON\=421,又弓，D错误.故选AC.

(2)当k=Q时，显然成立.

当左W0时，设两对称点为5(x1,yi),C(%2,j2),8c的中点为M(xo,yo),由资

=2%i，y1=2x2,两式相减得⑴+—)•⑴-P2)=2(XL⑼，则直线8c的斜率届c

=左二也=，_=2_=J_,由对称性知&c=—；,点/在直线y=Z:(x—2)上，所以

yo=~k,yo=k(xo—2),所以xo=l.由点M在抛物线内，得%v2xo,即(一上＞＜2,

所以一声＜左＜迎，且左?0.

综上，上的取值范围为(一鱼，V2).]

名师点评解决直线与抛物线位置关系问题的方法

(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物

线的焦点，可直接使用公式|/8|=xi+x2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公

式.

(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，

采用“设而不求”“整体代入”等解法.

提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.

(3)重视在选择、填空题中有关结论的灵活应用.

［跟进训练］

3.(1)(2024•广东深圳模拟)已知尸为抛物线C：j?=4x的焦点，直线/：y=k(x

+1)与C交于48两点(Z在8的左边)，则4|4F|+|AF|的最小值是()

A.10B.9

C.8D.5

⑵(多选)(2022•新高考I卷)已知。为坐标原点，点省1,1)在抛物线C：x2=2py(p

>0)上，过点8(0,—1)的直线交C于尸，0两点，则()

A.C的准线为了=—1

B.直线4g与C相切

C.\OP\•|02|>|<9^|2

D.\BP\•\BQ\>\BA^

⑴B(2)BCD［(1)由题知。的焦点尸(1,0),准线为x=-1,如图，作

准线，8N,准线，/:y=k(x+l)过定点(-1,0),设N(xi,ji),5(X2,#),联立

(y2—4x,

y-k(x+1),

&2

得敏/+2x+1)—4x=0,即左2-+(2左2—4)x+左2=0,.，.X1X2=^=1.

又|ZF|=WM=X1+1，内/I==X2+1,

.,.4|^F|+|J8F|=4x1+4+x2+l=4xi+x2+5^2A/4%p^+5=2X2+5=9,

当且仅当4XI=X2时取等号.故选B.

(2)将点Z的坐标代入抛物线方程得1=2夕，所以抛物线方程为》2=了，故准线方

程为,v=A错误；

丘=所以直线的方程为1,

'二1(——0？=2,ABy=2x-

V—2%_1

――'可得2x+l=0,解得》=1,即直线Z8与。相切于点Z,

(/=y,

故B正确；

设过8的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线C只有一个交点，

所以直线/的斜率存在，设其方程为y=丘一1,P(xi,vi),0(X2,/),

联立得/_区+]=0,

Ix2-y,

p=/-4>0,

所以《x1+x2-k,

=1,

所以左>2或左V—2,J1J2=(X1X2)2=1,

又Q尸尸J/+y§=Jyi+比,Q0尸J%]+%=』2+%,

所以尸「|。。|=&/2(1+%)(1+、2)=办％1•&=附>2=|。4肉故c正确;

因为|AP|=WFF|XI|,\BQ\=Vm^\x2\,

所以囚尸|•|3Q|=(l+r)|xiX2|=l+F>5,而18a2=5,故D正确.故选BCD.]

拓展视野4抛物线中的阿基米德三角形

如图，假设抛物线方程为炉=2眇①>0),过抛物线准线y=—修上一点尸(xo,

次)向抛物线引两条切线，切点分别记为aB,其坐标为(XI,yi),(X2,竺)，则以

点尸和两切点Z,8围成的△口5中，有如下的常见结论：

(1)抛物线在/处的切线方程：xix=p(y+yi),抛物线在8处的切线方程：X2%=

夕0+了2)，直线48的方程：xox=2//y^=7?(yo+j);

(2)直线AB过抛物线的焦点；

(3)过尸的直线与抛物线交于48两点，以48分别为切点作两条切线，则这

两条切线的交点P(xo,/)的轨迹即为抛物线的准线;

(5)4PU5；

(6)直线48的中点为则PM平行于抛物线的对称轴.

[典例1](多选)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数

学之神”的称号.若抛物线上任意两点48处的切线交于点P,则称△B45为

“阿基米德三角形”.已知抛物线/=87的焦点为R过抛物线上两点45的

直线的方程为x—了+2=0,弦幺5的中点为C,则关于“阿基米德三角形”E45,

下列结论正确的是()

A.点尸(E,-2)B.PClxtt

C.PALPBD.PFLAB

X8'消去y可得A2—8%一16=0.

BCD[由

.y-x+2,

令Z(X1,J1),8(X2,J2),则X1+.X2=8,X1X2=-16,

2

•y一百O，-4-jk4pA——,

尸子(％一打)+蔗=■一*PB:尸―

XiXi“x+x

y=­x——-,X=-1---2=4,

2

联立，-4B解得

—2,

748

即尸(4,-2),A错误；

xc=生产=弘,\pc±x^,B正确；

kpF=J^=—l,kAB=l,kpF-kAB=-l,:.PF1AB,D正确；kPA-kPB=^

4—U16

=-l,：.PA±PB,C正确.故选BCD.]

[典例2](2021•全国乙卷)已知抛物线C：N=2"v(p>0)的焦点为R且尸与圆

M：/+。+4)2=1上点的距离的最小值为4.

⑴求P的值；

(2)若点P在圆〃上，PA,05是抛物线C的两条切线，A,8是切点，求△B45

面积的最大值.

［解］⑴由题意知M（0，-4）,尸（0,Q,圆〃的半径r=l,所以幽用一尸=4,

即々+4—1=4,解得夕=2.

（2）由（1）知，抛物线方程为9=4/

由题意可知直线48的斜率存在，设Zg,B），B&2,f）,直线48的方程为

y^kx~\~b,

v—kxH-b

'消去y得4点一4b=0,

（x2=4y,

贝14=16-+16b>0,阳

=

XI+%2=4攵，xiX2-4b,

222

所以\AB\=V1+fc2|xi—%2|=V1+/c•J+%2尸—4%］%2=4V1+fc•Vfc+b.

因为，=4»即所以v=2,则抛物线在点4处的切线斜率为生，在点/

处的切线方程为y一子=£（%—xi）,即—

同理得抛物线在点B处的切线方程为y=这%-反，

24

联立'

即尸（2左，—b）.因为点尸在圆〃上，所以4左2+（4—6）2=1,①

11

且一1W2左W1,—5W—6W—3,即一左W；,3W6W5,满足（※〉

设点P到直线AB的距离为d,则d=与幽，

7i+/c2

所以S△物卜d=4j（H+匕）3.

由①得，左2=上正之=一房+8人15,

44

令/=F+b,则I="+了—15,且3W6W5.

4

因为1=一"+：2"竺在［3,5］上单调递增，所以当6=5时，/取得最大值，/max=5,

4

此时左=0,所以△E45面积的最大值为20V5.

课时分层作业（五十八）抛物线（一）

一、单项选择题

1.（2024•广东中山模拟）抛物线y=—1?的焦点坐标为（）

A.（-1,0）B.0）

C.（0,-1）D.（0,

D[抛物线的标准方程为/=—2y，所以焦点坐标为（0,故选D.]

2.（2024•新疆模拟）已知抛物线俨=2"x（p>0）上任意一点到焦点F的距离比到

了轴的距离大1,则抛物线的标准方程为（）

A.B.~~

C.y2=4xD.y2=8x

C[根据题意，抛物线V=2/x（p>0）的准线方程为》=一会与了轴平行，若抛

物线产=28。>0）上任意一■点到焦点E的距离比到y轴的距离大1,则该抛物线

上任意一点到准线的距离比到y轴的距离大1,故与=1,解得P=2,故抛物线的

标准方程为y=4乂故选C.]

3.（2023•江西南昌一模）“米”是象形字.数学探究课上，某同学用抛物线G：

俨=—2夕xg>0）和C2：俨=2夕x（p>0）构造了一个类似“米”字形的图案，如图所

示，若抛物线Cl,C2的焦点分别为E,尸2,点尸在抛物线C1上，过点尸作X

轴的平行线交抛物线G于点0,若|PE|=2|P。=4,则P=（）

A.2B.3

C.4D.6

D[因为2|尸。|=4,即|P0|=2,由抛物线的对称性知刀尸=一1,由抛物线定义可

知，\PFI\=^-XP,即4=/（一1）,解得夕=6.故选D.]

4.过抛物线俨=2.30）的焦点/作直线/,交抛物线于48两点，若阿=3|印,

则直线/的倾斜角等于（）

A.30。或150°B.45。或135°

C.60。或120°D.与夕值有关

C[如图所示，抛物线产=28。＞0)的焦点为/，准线方程为X=一多分别过Z,

8作准线的垂线，垂足为4,B',直线/交准线于点C,作垂足为

则|44'|=|4F|,=又因4|=3|用|,所以|2M|=2|BF|,\AB\=4\BF\,

所以N/AW=30。，即直线/的倾斜角等于NZEx=60。，同理可得直线/的倾斜角

为钝角时即为120°,故选C.]

5.已知点尸为抛物线》2=4y上任意一点，点/是圆》2+任-6)2=5上任意一点，

则|我|的最小值为()

A.V5B.2V5

C.3V5D.6-V5

A[圆》2+任-6)2=5的圆心为C(0,6),半径尸=迷.设P(%o，笺)，贝"尸CF=焉十

222

(+6)=高焉—2焉+36=(那一4)+20,

当焉=16时，|PC|2有最小值20,数形结合可知(|pa|min)=『Gmin一花=2瓶一遍

=V5.]

6.如图所示，点厂是抛物线产=8x的焦点，点45分别在抛物线俨=8x及圆

(x—2)2+产=16的实线部分上运动，且Z5总是平行于x轴，则△9台的周长的

取值范围是()

C.[6,8]D.[8,12]

B[抛物线产=8%的准线方程/：x=-2,焦点n(2,0),由抛物线的定义可得|4F|

=XA+2,圆(》-2)2+产=16的圆心(2,0),半径氏=4,

所以AFAB的周长为|ZF|+081+\BF\=XA+2+(XB-XA)+4=6+XS,

V2=8%

联立'r'消去y得r+以-12=0,解得x=2(x=—6舍去),

-%2+y2-4%—12=0,

即交点的横坐标为2,

所以XB@(2,6),所以6+XBG(8,12),

所以△£48的周长的取值范围是(8,12).

故选B.]

7.(2024•河北张家口模拟)设抛物线E：V=8x的焦点为后过点M(4，0)的直

线与E相交于48两点，与E的准线相交于点C,点8在线段ZC上，|防|=3,

则△BCF与△ZCF的面积之比评”=()

SAACF

1

A.B

4-1

C.1D

6-1

C[如图，过点5作AD垂直准线x=—2于点。，则由抛物线定义可知：\BF\

=\BD\=3,

设直线4s的方程为x=7町+4,A(xi,ji),8(x2,J2),C(—2,vc),不妨设机>0,

则yi>0,j2<0,

所以》2+2=3,解得X2=l,

则％=8x2=8,解得/=一2鱼，则5(1,-2V2),

所以一2V2m+4=1,解得加=a2,

4

则直线AB的方程为》=。+4,

所以当x=-2时，即当+4=—2,

解得加=—4让，则。(一2,-4V2),

X4>+4，消去x得；1^_67^_32=0,则川”二—32,

联立,

y2—8x,

所以力=8奁，其中产=*=上"=券胃

SRACFACyi~yc12V26

故选C.]

8.已知e为抛物线C：俨=4x的焦点，过尸作两条互相垂直的直线伍h,直线

/1与C交于a8两点，直线/2与。交于。，E两点，则|48|十|0£|的最小值为

()

A.16B.14

C.12D.10

A[由题意知，抛物线C:俨=心的焦点为网1,0),/i,/2的斜率存在且不为0.不

妨设直线/i的斜率为左，则直线L的斜率为一，，故人：了=左(x—1),L：y=一，(x

-1)•

由，7消去y得左2好一(2左2+4)X+F=0.

ly=k(x—1),

2“2444

设Z(xi,ji),5(X2,yi),所以XI+X2=F^=2+77,

由抛物线定义可知，\AB\=x\+x2+2=4+-^-.

同理得|£>E|=4+4F,

所以=8+4R+与28+2V16=16.

K

当且仅当劣=居，即左=±1时取等号.

k'

故0目十|。0的最小值为16.]

二、多项选择题

9.(2024•黑龙江大庆模拟)已知抛物线>=2好的焦点为RM(xi,yi),Ng,y2)

是抛物线上两点，则下列结论正确的是()

A.点尸的坐标为Q,0)

B.若直线"N过点R则xiX2=一卷

c.若市=7祈，则1MM的最小值为1

D.若幽F|+|NF|W，则线段跖V的中点0到x轴的距离为:

Zo

BCD[抛物线y=2/,即炉=3，

由抛物线方程知其焦点在了轴上，焦点为尸(0,，)，A错误；

依题意，直线跖V斜率存在，设其方程为

2

(x=-y,11

由《之消去y整理得12—卢—=o,

216

[y=kx+l9

所以Xl%2=-七X\+X2=^k,B正确；

若帝=而,则直线MV过焦点，

所以\MN\=\MF\-\-|NF尸yi+：+/2+==Axi+=+京2+=+

8888422

i

所以当k=0时四N|min=5，

,1

所以|肱V|的最小值为抛物线的通径长5,C正确；

因为此，+|诋|=6+:+竺+==之所以即尸点纵坐标为空也="

882H+H=4),28

所以尸到x轴的距离为之D正确.故选BCD.]

10.(2024•广东揭阳模拟)已知抛物线C：j2=4x的焦点为F,直线I绕点P(~2,

1)旋转，点。为C上的动点(。为坐标原点)，贝1)()

A.以0为圆心，10人为半径的圆与直线x=—1相切

B.若直线/与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线/有两条

C.线段尸尸的垂直平分线方程为3x—y+2=0

D.过点尸的直线交C于Z,8两点，若|48|=4,则这样的直线有2条

AC[由抛物线C:V=4x可知，。的焦点为网1,0),准线方程为x=-1.

由抛物线的定义可知以。为圆心，I。9|为半径的圆与直线x=—l相切，A正确；

当过点P(—2,1)的直线/的斜率不存在时，直线/与抛物线无公共点；

当直线/的斜率存在时，设斜率为左，则过点P(—2,1)的直线方程为/:7=人(%

+2)+1,当左=0时，直线/:7=1与抛物线有且只有一个公共点，

V—k(x+2)+]

―一'整理可得上2/+(4左2+2左一4)x+4R+4bM

(y2=4x,

=0,

所以/=(4左2+2左一4)2-4砍4『+4人+1)=0,化简得2F+左一1=0,解得左=—1

或k=g

所以此时直线/与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条，B错误；

线段尸尸的中点为（一；，又而尸=芸=一；，所以线段尸尸的中垂线方程为歹

-|=3（%+|）,即3x-y+2=0,C正确；

因为|43|=4=2/，此时线段48为抛物线的通径，所以这样的直线只有一条，D

错误.故选AC.]

11.已知抛物线C：》2=2眇防＞0）的焦点坐标为R过点P的直线与抛物线相交

于45两点，点（或，m在抛物线上，则（）

A.p=l

B.当轴时，|48|=4

c嵩+素为定值1

D.若方=2而，则直线AB的斜率为必

4

BCD[将点（鱼，代入抛物线方程，可得夕=2,A错误；

焦点F（0,1）,当轴时，点（一2,1）,点（2,1）在抛物线上，可得0回=4,

B正确；

由题意知，直线48的斜率存在，设直线45的方程为y=bc+l,A（xi,ji）,Bg

H）,联立方程广"

ly=fcx+1,

消去y后整理得x2—4Ax—4=0,

_2

可得XI+%2=4左，xiX2=4,ji+y2=k（xi+x2）+2=4k+2,yij2=-77^=1,\AF\

=yi+l,\BF\=y2+l,

.4---1---,1----1---_----1----,1----1--

\AF\\BF\yi+1y2+l

_yi+y2+2_yi+y2+2_J

yiyz+yi+yz+iyi+y2+2'

C正确；

由（一xi,l—yi）=2（x29/—I）,

x1+x2=4k,

xrx2=—4,

2X=-%I,

{2

得2一解得左=逐，D正确.故选BCD.]

「2靖=_4,4

12.已知尸为抛物线俨=4x的焦点，点尸在抛物线上，过点尸的直线/与抛物

线交于8,C两点，。为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为则下列说

法正确的是()

A.的最大值为：

B.若点4(4,2),则。|+|PF|的最小值为6

C.无论过点p的直线/在什么位置，总有NOW=N(WC

D.若点C在抛物线准线上的射影为。，则8,0,。三点共线

ACD[设直线M3的方程为x=—l+叼，与抛物线的方程y2=4x联立，可得

j2-4mv+4=0,

当且仅当Affi与抛物线相切时，N0M3取得最大值.

由/=16切2—16=0,即掰=±1,直线"3的斜率为±1,此时取得最大值工，

4

A正确；

设点幺在准线x=—1上的射影为©(—1,2),设尸到准线的距离为d,则|E4|十

\PF\=\PA\+d^\AA'\=5,

当且仅当Z,P,4三点共线时等号成立，B错误；

Af(-1,0),设直线8c的方程为x=〃.v+l,

代入抛物线的方程V=4x,可得y2-4ny-4=0,

设丫1)‘。(常’力)‘可得yi+Hu+z-ijk—4,则版B+左+

2+1T+1

=(yi+y2)(V+i)=Q^故MB,的倾斜角互补，所以/OMB=/OMC.

C正确;

=kOD,可得三点、B,0,。在同一条直线上.D正确.

故选ACD.］

三'填空题

13.(2023•北京丰台二模)在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎

片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域的边界和

该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示)，称该条抛物线为安全

抛物线.若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40m,碎片距离爆炸中心的

最远水平距离为80m,则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为

m.

80［以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为x轴，建立平面直角坐标系，

设抛物线方程为x2=-2py(p>0),

由题意得2(80,-40),将其代入抛物线方程得6400=80/7,解得夕=80,故安

全抛物线的焦点到其准线的距离为80m.

14.(2023•江苏南通、泰州等八市二模)已知点尸在抛物线C：y2=2px(p>0)±,

过尸作C的准线的垂线，垂足为〃，点尸为。的焦点.若/m野=60。，点尸的

横坐标为1,则P=.

|［如图所示，不妨设点尸在第一象限，

联立p2=2p"，可得即点尸（1,师）.

（%=1,3=±回，

易知PHLy轴，则PH//x轴，则ZxFP=ZHPF=60°,

所以直线PF的倾斜角为60°,易知点、FQ,0）,

所以上尸=曜=遮，整理可得2回=b（2—p）,且有2一夕＞0,故0＜pV2,

等式2j第=旧（2—p）两边平方可得322—202+12=0,即（32一2）防—6）=0,

解得?=|（p=6舍去）.]

15.设厂为抛物线俨=2x的焦点，A,B,C为抛物线上三点，若尸为△48。的

重心，^\\FA\+\FB\+\FC\=.

3