2019-2020学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系应用案巩固提升新人教B版必修第一册

PAGE6-2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系[A基础达标]1．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为()A．5 B．－1C．2 D．－5解析：选B.设方程的另一个根为x0，则－2＋x0＝－3，即x0＝－1.2．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为()A．－1 B．1C．－2或2 D．－3或1解析：选A.由x(x＋1)＋ax＝0，得x2＋(1＋a)x＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ＝0.所以a＝－1.3．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，则eq\f(β,α)＋eq\f(α,β)的值是()A.eq\f(4,27) B．－eq\f(4,27)C．－eq\f(58,27) D.eq\f(58,27)解析：选C.由题知α＋β＝－eq\f(2,3)，αβ＝－3，所以eq\f(β,α)＋eq\f(α,β)＝eq\f(（α＋β）2－2αβ,αβ)＝－eq\f(58,27).4．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋eq\f(m,4)＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝4m，则m的值是()A．2 B．－1C．2或－1 D．不存在解析：选A.由题知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝（m＋2）2－4m·\f(m,4)>0，))解得m>－1且m≠0.因为x1＋x2＝eq\f(m＋2,m)，x1x2＝eq\f(1,4)，所以eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(\f(m＋2,m),\f(1,4))＝4m，所以m＝2或－1.因为m>－1，所以m＝2.5．若a，b，c为△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程(c－b)x2＋2eq\r(2)(b－a)x＋2(a－b)＝0有两个相等的实数根，则这个三角形是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．不等边三角形解析：选A.根据题意，得c－b≠0，Δ＝[2eq\r(2)(b－a)]2－4(c－b)·2(a－b)＝0，(a－b)(a－b－c＋b)＝0，所以a－b＝0或a－c＝0，所以a＝b或a＝c，所以这个三角形为等腰三角形．6．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝10，则a＝________.解析：由题知x1＋x2＝5，x1x2＝a.因为xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，所以x1－x2＝2，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，所以a＝eq\f(21,4).答案：eq\f(21,4)7．设α，β是方程(x＋1)(x－4)＝－5的两个实数根，则eq\f(β3,α)＋eq\f(α3,β)＝________.解析：由题意，得α＋β＝3，αβ＝1，所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝7，α4＋β4＝(α2＋β2)2－2α2·β2＝47，所以eq\f(β3,α)＋eq\f(α3,β)＝eq\f(α4＋β4,αβ)＝47.答案：478．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则eq\f(1,2x1＋1)＋eq\f(1,2x2＋1)的值是________．解析：由题知x1＋x2＝2，x1x2＝－1，xeq\o\al(2,1)＝2x1＋1，xeq\o\al(2,2)＝2x2＋1，故原式＝eq\f(1,xeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,xeq\o\al(2,2))＝eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),（x1x2）2)＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,（x1x2）2)＝eq\f(22－2×（－1）,（－1）2)＝6.答案：69．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．(1)xeq\o\al(2,1)x2＋x1xeq\o\al(2,2)；(2)(x1－x2)2；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x1)))；(4)eq\f(1,xeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,xeq\o\al(2,2)).解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝3,x1x2＝\f(3,2)))，(1)原式＝x1x2(x1＋x2)＝eq\f(3,2)×3＝eq\f(9,2)；(2)原式＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－4×eq\f(3,2)＝3；(3)原式＝x1x2＋eq\f(1,x1x2)＋2＝eq\f(3,2)＋eq\f(2,3)＋2＝eq\f(25,6)；(4)原式＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,（x1x2）2)＝eq\f(9－3,\f(9,4))＝eq\f(8,3).10．已知关于x的方程(k－1)x2＋(2k－3)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两个实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－1≠0,Δ＝（2k－3）2－4（k－1）（k＋1）>0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≠1,k<\f(13,12)))，所以k<eq\f(13,12)且k≠1.(2)若x1＋x2＝0，即－eq\f(2k－3,k－1)＝0，k＝eq\f(3,2)，由(1)可知这样的k不存在．[B能力提升]11．已知m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0，且mn≠1，则eq\f(mn＋n＋1,n)的值为________．解析：由题知n≠0，则1＋eq\f(2,n)－eq\f(1,n2)＝0，即eq\f(1,n2)－eq\f(2,n)－1＝0.又m2－2m－1＝0，且mn≠1，即m≠eq\f(1,n)，故m，eq\f(1,n)是方程x2－2x－1＝0的两个根，则m＋eq\f(1,n)＝2.故eq\f(mn＋n＋1,n)＝m＋1＋eq\f(1,n)＝2＋1＝3.答案：312．已知方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为________．解析：设x1，x2为方程的两个根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(k＋1,2),x1x2＝\f(k＋3,2)))，|x1－x2|＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋1,2)))eq\s\up12(2)－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.检验当k＝9或k＝－3时，Δ＞0成立．答案：－3或913．已知关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0.(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程两根为x1，x2且满足eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝－eq\f(1,2)，求m的值．解：(1)证明：Δ＝(4m＋1)2－4(2m－1)＝16m2＋5>0，所以方程总有两个不相等的实数根．(2)因为x1＋x2＝－(4m＋1)，x1x2＝2m－1，eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(－（4m＋1）,2m－1)＝－eq\f(1,2)，所以m＝－eq\f(1,2).14．若x1，x2是关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个实数根，且x1，x2都大于1.(1)求实数k的取值范围；(2)若eq\f(x1,x2)＝eq\f(1,2)，求k的值．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1＞1,x2＞1))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1([－（2k＋1）]2－4（k2－1）≥0,x1＋x2－2＞0,x1x2－（x1＋x2）＋1＞0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋5≥0,2k＋1－2＞0,k2－1－（2k＋1）＋1＞0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≥－\f(5,4),k＞\f(1,2),k＞1＋\r(2)或k＜1－\r(2)))，所以k＞1＋eq\r(2).(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0,x1＋x2＝2k＋1①,x1x2＝k2－1②,x2＝2x1③))由①③得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(2k＋1,3),x2＝\f(2,3)（2k＋1）)).所以eq\f(2,9)(2k＋1)2＝k2－1，k2－8k－11＝0，k＝4＋3eq\r(3)或k＝4－3eq\r(3)，满足Δ>0.[C拓展探究]15．已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．(1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝eq\f(3,2)成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．(2)求使eq\f(x1,x2)＋eq\f(x2,x1)－2的值为整数的实数k的整数值．解：Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k(k≠0)，Δ≥0，k<0(因为k≠0)，(1)存在，x1＋x2＝1，x1x2＝eq\f(k＋1,4k)，由(2x1－x2)(x1－2x2)＝eq\f(3,2)得：2(x1＋x2)2－9x1x2＝eq\f(3,2).2－9×eq\f(k＋1,4k)＝eq\f(3,2)，所以k＝－eq\f(9,7).(2)e