2025高考数学一轮复习：双曲线 专项训练

2025高考数学一轮复习-86双曲线-专项训练

A级•基础达标

1.方程之一£=1表示双曲线，则m的取值范围是（）

2+ml-m

B.m>l

C.m<-2

22

2.己知双曲线C：3一方=1（a>。，6>0）,离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=B.y=V3x

C.y=±V^xD.y=±V3x

3.若双曲线C（40,4。）满足｝当且与椭圆方41有公共焦点，则双曲线C的

方程为（）

A.U1BW

45810

且_丈=D.J£=1

1

443

4.已知点A(0,2),B(0,一2),C(3,2),若动点M(x,y)满足1A£4I+1NCI=1MS1+1

5C1,则点M的轨迹方程为（）

AA./2一『/1B.y2—9=1(户一I)

C/一JD.x2——=1(xW—1)

33

5.已知双曲线C：捺一，=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为尸i,反，点4是圆。：x2-\~y2=/上

一点，线段尸2/交双曲线C的右支于点2,1尸2AI=a,胡=3用，则双曲线C的离心率为（)

.V6B%

A

-T2

「3V6

C-D.V6

6.（多选）已知双曲线C的方程为捻一二=1,则下列说法正确的是（）

ioy

A.双曲线。的实轴长为8B.双曲线C的渐近线方程为y=i|x

C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为g

7.双曲线片一2=1（加>0,〃>0）的渐近线方程为>=与，实轴长为2,则他一〃=______.

mn2

8.试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=±2x的双曲线方程

为.

9.设双曲线5一，=1（«>0,6>0）的右焦点为尸，如图所示，直线/：与两条渐近线交于尸,

。两点，N为P。的中点，如果△尸。尸是直角三角形，则双曲线的离心率e=.

10.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点B，F2,且1乃凡I=2713,椭圆

的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为3：7.

（1）求这两个曲线的方程；

（2）若P为这两个曲线的一个交点，求cosNB尸尸2的值.

B级•综合应用

11.如图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐•金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工,

是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：［一W=1（。>0,6>0）的

右支与y轴及平行于X轴的两条直线围成的曲边四边形绕>轴旋转一周得到的几何体，若该

金杯主体部分的上口外直径为竽，下底座外直径为等，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底

座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（)

A.2V27TB.3兀

C.2岳D.4TI

12.（多选）双曲线C：。一<=1的右焦点为尸，点尸在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点,

42

则下列说法正确的是（）

A.双曲线C的离心率为半B.双曲线。一<=1与双曲线C的渐近线相同

Z4o

C.若POLPF,则△PFO的面积为/D.IPFI的最小值为2

13.已知双曲线捻一4=1的左、右焦点分别为尸2.

164

（1）若点M在双曲线上，且而；丽=0,求点M到x轴的距离；

（2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（3V2,2）,求双曲线。的方程.

C级♦能力提升

14.已知外，凡分别是双曲线C：5一，=1（。>0,b>0）的左、右焦点，点尸在双曲线右支上且不

与顶点重合，过仍作/尸1P尸2的平分线的垂线，垂足为4,。为坐标原点，若ICMI=«6,则该

双曲线的离心率为.

22

15.已知双曲线/一方=1（a>0,b>0）的右焦点为尸（c,0）.

（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程；

（2）以原点。为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为/,过/作圆的切线，斜

率为一次，求双曲线的离心率.

参考答案与解析

22

1.A因为方程—一一——=1表不双曲线，所以（2+冽）,（1—m）>0,即（加+2）（m—1）<0,

2+m1—m

解得一2〈冽VI.故选A.

2.D?=J，2a202=_\=W,故双曲线。的渐近线方程为：J=iV3x.

3.A由题意可得椭圆的焦点坐标为（一3,0）,（3,0）,则在双曲线。中，有«c=3,解得

[c2=a2+b2,

（a2=4,

1^=5,所以双曲线C的方程为1-%=1.

L2=9,

4.B设因为+=+\MA\+3=\MB\+

心+[2-(-2)E即1M4I—IM5I=2<4.故点/(x,y)的轨迹是以/(0,2),B(0,—2)

为焦点的双曲线的下支，且。=1,C=2.故62=c2­。2=3.故方程为y2—^_=1(j<—1).

5.A如图，由题意可知IFzBI=%IABI=多由双曲线的定义可知I5FiI.+2°=冬易得

/尸〃凡=90。，则在△N8R中，由勾股定理可得I=代°,在凡中，（花a）2+°2=（2c）

2,所以e=当故选A.

6.ABC因为小=16,所以a=4,2a=8,故A正确；因为a=4,b=3,所以双曲线。的渐近线方

程为y=±?x=±|x,故B正确；因为c=Ja2+b2=«16+9=5,所以焦点坐标为（-5,0）,（5,0）,

焦点（5,0）到渐近线3x—4y=0的距离为J।=3,故c正确；双曲线。上的点到焦点距离

&+（一4）2

的最小值为c—。=1,故D错误.

7.-1解析：因为双曲线的实轴长为2标，所以2而=2,所以加=1,又渐近线方程为夕=塔,

所以粤=手，解得〃=2,所以加一〃=—1.

7n2

8.N—9=1(答案不唯一)解析：因为渐近线方程为2xiy=0,设双曲线方程为47一/=加4W0,

所以双曲线的方程可以为x2-^=l.

4

2(x=-2

9.V2解析：由题意知右焦点尸(c,0),直线/：x",渐近线尸旦.联立广一丁；可得Pl,

cauI=土.ybc

一),Q(7,\FP\=\FQ\,即△PQF是等腰三角形.•••△尸0尸是直角三角形，.../尸尸。

=90°,N为尸。的中点，IP7VI=IWI,即,=<^一?，：.a=b,e=V2.

10.解：(1)由已知c=g,设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a,b,双曲线的实半轴长、虚半

(4

a—m=4,

轴长分别为次，儿则｛713V13解得。=7,m=3,所以6=6,n=2.

7,-=3,-，

\am

2222

所以椭圆的方程为2+5=1,双曲线的方程为三一9=1.

493694

(2)不妨设为，尸2分别为左、右焦点，尸是第一象限的一个交点，

则IPEI+IPF2I=14,IPF1I-IPF2I=6,

所以IPFxI=10,IPF2I=4,

2222

又I3I=2E,所以c°s"户2=

ll.C该金杯主体部分的上口外直径为竽，下底座外直径为等，且杯身最细之处到上杯口的距离

___2513

是到下底座距离的2倍，可设M("，2m),N粤,—m),代入双曲线方程可得吃一萼=1,予

33aLbLaL

225112—

—3=1，即专一方2=+，亳一3=1，作差可得写=|，解得标=3,a=V3,所以杯身最细处的周长为

2次兀.故选C.

22

12.ABC因为Q=2,b=y/2,所以c=[a+b=V6f所以e=*=如，故A正确;双曲线匕一七=1

的渐近线方程为了=串，双曲线C的渐近线方程为了=串，故B正确；因为点尸(逐，

0)到渐近线迎x—2y=0的距离d=lV^'=V2,所以IPF1=&，所以=

/_2i-21t—t—

J(V6)-(V2)=2,所以的面积为〈X鱼X2=/，故C正确；I尸尸I的最小值即为点尸

到渐近线的距离，即=故D不正确.

13.解：(1)不妨设〃在双曲线的右支上，”点到x轴的距离为九

VMF1-MF2=09：.MF1±MF2.

设IMF\I=m,IMF2I=n,

由双曲线的定义知m—n=2a=^.①

在RtZ\B〃F2中，由勾股定理得加+层=（2。）2=80,②

由①②得冽例=8.

・••S2\MFF2="〃=4=gx2c〃，:・h=-^~

即点M到X轴的距离为等.

（2）设双曲线C的方程为高一二=1（一4〈九<16）.

16—入4+入

:双曲线。过点（3V2,2）,二旦一士=1,

16—入4+入

22

解得2=4或%=—14（舍去），，双曲线C的方程为巳一卷=1.

1Zo

14.y解析:如图，记直线交PF1于点。，因为以是/BP尸2的平分线，所以\AQ\=\AF2\,\

尸0I=IPgI.又O是后尸2的中点，所以。尸1〃/。，且I0FM=2ICMI=2a6.由双曲线的定

义，知2a=I尸外|-I尸乃I=I尸尸1I-IP。I=IQEI,所以2a=2<2b,即a=<2b,，=2〃

=2（c2—a2）,3a2—2c2,所以该