七年级数学上册-8.3实际问题与二元一次方程组 解析版

.3实际问题与二元一次方程组【考点梳理】考点一：根据实际问题列方程组 考点二：行程问题考点三：工程问题 考点四：数字问题考点五：分配问题 考点六：销售、利润问题考点七：和差倍分问题 考点八：方案问题考点九：表格或者图示信息题 考点十：古代问题考点十一：年龄问题 考点十二：几何问题知识点一、利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程：审题并找出数量关系式—>设元（设未知数）—>根据数量关系式列出方程组—>解方程组—>检验并作答（注意：此步骤不要忘记）知识点二、列方程组解应用题的常见题型：（1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量-较小量=相差量，总量=倍数×倍量；（2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例；（3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程=速度×时间，包括相遇问题、追及问题等；（4）、航速问题：①、顺流（风）：航速=静水（无风）时的速度+水（风）速；②、逆流（风）：航速=静水（无风）时的速度–水（风）速；（5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量=工作效率×工作时间，（有时需把工作总量看作1）；（6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1-减少率）=减少后的量；（7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量；（8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示；（9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式；（10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。题型一：根据实际问题列方程组1．（23-24九年级下·江苏扬州）“践行垃圾分类•助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了列二元一次方程组；根据米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”列出方程组即可．【详解】解：根据题意得：，故选：A．2．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）甲、乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时追乙，那么在乙出发4小时后两人相遇，求甲、乙两人的速度．设甲的速度是千米/小时，乙的速度为千米/小时，依题意可列方程组（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知行程问题的等量关系．设甲的速度是千米/小时，乙的速度为千米/小时，根据题意可列出二元一次方程组即可．【详解】解∶根据题意，得，即，故选：B．3．（2024·浙江温州·模拟预测）某校九年级师生共496人，准备组织去某地参加综合社会实践活动．现已预备了46座和52座两种客车共10辆，刚好坐满．设46座客车x辆，52座客车y辆，根据题意可列出方程组为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据两种客车共10辆，可得方程，根据496人刚好坐满，可得方程，据此列出方程组即可．【详解】解：设46座客车x辆，52座客车y辆，由题意得，，故选：C题型二：行程问题4．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速．解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为．(1)用含x，y的代数式表示：①顺风速度为____；②逆风速度为____；(2)根据题意，列出方程组解决问题．【答案】(1)①；②；(2)这架飞机无风时的平均速度为，风速为【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的实际应用．（1）根据顺风速度=飞机速度+风速．逆风速度=飞机速度风速，即可解答；（2）根据路程=速度×时间，列出方程组求解即可．【详解】（1）解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为，则风速度为；逆风速度为．故答案为：，；（2）解：根据题意得：，解得：．答：这架飞机无风时的平均速度为，风速为．5．（22-23七年级下·重庆渝中·期中）甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车，(1)求小车和摩托车的速度．(2)求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？【答案】(1)小汽车和摩托车速度分别为135千米/小时，45千米/小时(2)小时或小时或小时或小时【分析】（1）小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，利用路程速度时间，结合两车速度间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出小车和摩托车的速度；（2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，利用路程速度时间，结合两车相距30千米，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：1小时20分小时．设小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，根据题意得：，解得：．答：小车的速度为135千米时，摩托车的速度为45千米时；（2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，根据题意得：或或或，解得：或或或．答：相遇后，摩托车继续行驶小时或小时或小时或小时两车相距30千米．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是对于（2）要用分类讨论的思想求解，注意不要漏解．题型三：工程问题6．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）宿鸭湖是亚洲面积最大平原人工水库，位于河南省驻马店市汝南县罗店镇东2公里处，为打造驻马店宿鸭湖沿岸的风景带，有一段长为720米的水库清淤扩容工程由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治48米，B工程队每天整治32米，共用20天．(1)根据题意，小华和小军分别列出了尚不完整的方程组如下：根据小华、小军所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，并在表格中补全两人所列的方程组．小华：x表示_______________，y表示_____________；小军：x表示_______________，y表示____________．(2)求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？【答案】(1)见解析(2)甲方程的解为，乙方程的解为，A队整治河道120米，B队整治河道240米【分析】（1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可；（2）根据二元一次方程组的解法求解方程组甲．【详解】（1）解：由题意得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量；甲：，乙：；（2）解：得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程组的解为，则，，∴A队整治河道120米，B队整治河道240米；，整理得，得：，把代入③得：，解得，∴方程组的解为，∴A队整治河道120米，B队整治河道240米．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解．7．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问：(1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．）【答案】(1)甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元(2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，进行计算即可得；（2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得．【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，解得，答：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元．（2）解：甲单独完成：（元）乙单独完成：（元）甲、乙两队完成：（元），∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算．题型四：数字问题8．（22-23七年级下·河北唐山·期中）某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数．(1)列一元一次方程求解．(2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组．(3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组．【答案】(1)原两位数为38(2)(3)（1）中求得的结果满足（2）中的方程组【分析】（1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意，列出方程组即可求解；（3）结合（1），可知：，，进而即可求解．【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为，依题意，得：，解得：，∴．答：原两位数为38；（2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，依题意，得：；（3）结合（1）可知，，，∴，，∴（1）中求得的结果满足（2）中的方程组．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键．9．（21-22七年级下·重庆铜梁·期末）对于一个四位自然数N，满足十位数字与百位数字之和等于个位数字与千位数字之和的两倍，则称这个数为“相映数”．例如，对于3621，∵，∴3621是“相映数”；再如，对于4271，∵，∴4671不是“相映数”；(1)判断2532，5461是否是“相映数”，并说明理由；(2)已知“相映数”N＝3000＋100b＋10c＋2，其中，，满足，求所有符合条件的N．【答案】(1)2532是“相映数”，5461不是“相映数”，理由见解析(2)3372或3282【分析】（1）根据“相映数”的定义即可作出判断；（2）由题意知，N的千位数字为3，百位与十位数字分别为b与c，个位数字为2，由“相映数”的定义可得关于b、c的等式，结合，即可确定b、c，从而求得符合条件的数N．【详解】（1）∵5+3=2×（2+2），∴2531是“相映数”；∵4+6≠2×（5+1），∴5461不是“相映数”；（2）∵“相映数”N＝3000＋100b＋10c＋2，∴N的千位数字为3，百位与十位数字分别为b与c，个位数字为2，∴b+c=2×（3+2），即b+c=10，∵，∴或，分别解方程组及，得及，所以满足条件的“相映数”N分别为：3372或3282．题型五：分配问题10．（21-22七年级下·广西桂林·阶段练习）某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖）(1)如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片张，正方形纸片张；(2)现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？【答案】(1)7；3(2)可以做成甲乙两种小盒各40个，80个【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数加法的实际应用：（1）分别求出1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片即可得到答案；（2）设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可．【详解】（1）解：由题意可知，1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片，∴制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片7张，正方形纸片3张，故答案为：7；3；（2）解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，由题意得，，解得，答：可以做成甲乙两种小盒各40个，80个．11．（22-23七年级下·贵州·阶段练习）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．(2)租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．【分析】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据租用的两种车载满货物一次可运货34吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金每辆车的租金租车辆数，可分别求出三种租车方案所需租金，比较后即可得出结论．【详解】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，依题意，得：，解得：．答：1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．（2）依题意，得：，．，均为非负整数，，，，该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用型车10辆，型车1辆；方案2：租用型车6辆，型车4辆；方案3：租用型车2辆，型车7辆．方案1所需租金：（元，方案2所需租金：（元，方案3所需租金：（元．，方案3租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程，并利用总租金每辆车的租金租车辆数，分别求出三种租车方案所需租金．题型六：销售、利润问题12．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品．若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡共需230元；若买25杯A款咖啡，25杯B款咖啡共需450元．(1)A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少？(2)若购买A、B两种款式的咖啡（两种都要）刚好花费200元，那么有几种购买方案？【答案】(1)A款咖啡的销售单价为元，B款咖啡的销售单价为元；(2)有4种购买方案，方案一：购买5杯A款咖啡，16杯B款咖啡；方案二：购买10杯A款咖啡，12杯B款咖啡；方案三：购买15杯A款咖啡，8杯B款咖啡；方案四：购买20杯A款咖啡，4杯B款咖啡．【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找准等量关系，根据题意正确列出方程（组）是解题的关键．（1）设A款咖啡和B款咖啡的销售单价分别为元和元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解．（2）设购买A款咖啡杯，购买B款咖啡杯，根据题意列出二元一次方程，进而根据整数解求解即可．【详解】（1）解：设A款咖啡和B款咖啡的销售单价分别为元和元，由题意可得，，解得，答：A款咖啡的销售单价为元，B款咖啡的销售单价为元；（2）解：设购买A款咖啡杯，购买B款咖啡杯，由题意可得，，，、都为正整数，为的倍数，，，，，共有4种购买方案：方案一：购买5杯A款咖啡，16杯B款咖啡；方案二：购买10杯A款咖啡，12杯B款咖啡；方案三：购买15杯A款咖啡，8杯B款咖啡；方案四：购买20杯A款咖啡，4杯B款咖啡．13．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表：类型进价（元/个）售价（元/个）A款m120B款n90若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元．(1)求m和n的值；(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？【答案】(1)m的值为80，n的值为60(2)该商场可获利1200元(3)该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．（1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出，再将其代入中即可求出结论；（3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，利用总利润=每个足球的销售利润×销售数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．【详解】（1）依题意得：，解得：．答：m的值为80，n的值为60．（2）依题意得：，∴，∴．答：该商场可获利1200元．（3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，依题意得：，又∵a，b均为正整数，b为3的倍数，∴或．答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个．题型七：和差倍分问题14．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某班举行了演讲活动，班长安排淇淇去购买奖品，下图是淇淇与班长的对话：请根据淇淇与班长的对话，解答下列问题：(1)若找回55元钱，则淇淇买了两种笔记本各多少本？(2)可能找回68元钱吗？若能，求出此时买了两种笔记本各多少本；若不能，说明理由．【答案】(1)淇淇买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本．(2)不能找回68元，理由见解析【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．（1）设买x本5元的笔记本，则买本8元的笔记本，根据题意列方程求解即可；（2）设买y本5元的笔记本，则买本8元的笔记本，根据题意列方程求解即可．【详解】（1）设买x本5元的笔记本，则买本8元的笔记本，根据依题意，得，

解得，

则（本）．

答：淇淇买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本．（2）不能，理由如下；设买y本5元的笔记本，则买本8元的笔记本，根据题意，得，

解得，∵不是整数，∴不能找回68元．15．（22-23七年级下·河北沧州·期中）庚子鼠年，疫情肆虑，口罩成为生活必需品．甲、乙两厂分别有4条和5条口罩生产线，两厂计划用3天时间赶制1000箱口罩支援疫情．若甲厂启用1条乙厂启用2条生产线，一天可以生产口罩112箱；若甲厂启用2条乙厂启用3条口罩生产线，一天可以生产口罩189箱．(1)甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量各是多少箱？(2)两厂满负荷生产，是否可以如期完成任务？【答案】(1)甲厂每条口罩生产线每天的产量是42箱，乙厂每条口罩生产线每天的产量是35箱(2)能如期完成任务【分析】（1）设甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量分别为箱和箱，根据甲厂启用1条乙厂启用2条生产线，一天可以生产口罩112箱；甲厂启用2条乙厂启用3条口罩生产线，一天可以生产口罩189箱，列出方程组进行求解即可；（2）求出满负荷生产时，3天能够生产的总量，即可得出结论．【详解】（1）解：设甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量分别为箱和箱，则，解得；答：甲厂每条口罩生产线每天的产量是42箱，乙厂每条口罩生产线每天的产量是35箱．（2）∵，∴能如期完成任务．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．题型八：方案问题16．（23-24七年级下·重庆·期中）为实现“乡村振兴”战略目标，某乡镇制定了“以产业带动发展”的策略，开发出了某新型农产品，计划租用，两种型号的货车将该农产品运往外地销售，已知用1辆型车和2辆型车载满该农产品一次可运11吨；用2辆型车和1辆型车载满该农产品一次可运10吨．现有该农产品31吨，计划一次运完，且每辆车都满载．(1)1辆型货车和1辆型货车满载时一次分别运该农产品多少吨？(2)若1辆型货车需租金100元/次，1辆型货车需租金120元/次，请问有几种租车方案？并算出最少费用？【答案】(1)1辆型货车载满该农产品一次可运送3吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送4吨；(2)租用1辆型车，7辆型车最省钱．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．（1）设1辆型货车载满该农产品一次可运送吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆型车和2辆型车载满洋葱一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解之即可；（2）设租用型货车辆，型货车辆，根据一次运送31吨该农产品，即可得出关于，的二元一次方程，解之，均为非负整数，即可得出各租车方案；【详解】（1）解：设1辆型货车载满该农产品一次可运送吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送吨，由题意可得：，解得：，答：1辆型货车载满该农产品一次可运送3吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送4吨．（2）解：设租用型货车辆，型货车辆，由题意可得：，，又，均为非负整数，或或，该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆型车，1辆型车，方案2：租用5辆型车，4辆型车，方案3：租用1辆型车，7辆型车，方案1的费用：元，方案2的费用：元，方案3的费用：元，，方案3最省钱．题型九：表格或者图示信息题17．（2024七年级下·全国·专题练习）元旦期间，若干名家长和学生去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题：景区票价成人票：每张90元学生票：按成人票价5折优惠团体票：按成人票价8折优惠（10张及以上）咱们一行9人，购票需要多少元？我算了一下，家长和学生分别购买成人票和学生票共需630元．(1)求这次参加游玩的家长和学生各多少人？(2)通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分别购票更省钱？若省钱省多少？若不省钱，多花多少？【答案】(1)家长5人，学生4人(2)家长和学生一起购买团体票，不能比分别购票更省钱，理由见解析【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘法的实际应用，（1）设游玩的家长为x人，学生为y人，由题意列方程组，求出x，y即可；（2）求出团体购票需要花费的钱数，然后求出团体购票需要花费的钱数比家长和学生分别购买成人票和学生的钱数多多少即可．【详解】（1）设参加游玩的家长为x人，学生为y人，由题意列方程组得：，化简得：，得：，把代入①得：，∴，答：家长5人，学生4人；（2）家长和学生一起购买团体票，不能比分别购票更省钱，理由如下：∵购买团体票需要买10张或10张以上，家长和学生共9人，∴团体购票需要购买10张，∴花费的钱数为：（元），（元），∵如果家长和学生一起购买团体票，费用至少为720元，∵，∴家长和学生一起购买团体票，不能比分别购票更省钱，多花了90元．18．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表：甲种货车/辆乙种货车/辆总量（吨）第一次4531第二次3630(1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？(2)该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？(3)在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？【答案】(1)甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨；(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车．(3)方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车，所需费用最少，最少费用是元．【分析】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．（1）根据题意，设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，然后列出方程组，解方程组即可；（2）根据题意，设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，然后列出方程，根据m，n均为非负整数，解出m，n，即可得到租车的方案；（3）分别求出每个方案的费用，然后进行比较，即可得到答案．【详解】（1）解：设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，依题意有：，解得：，答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨；（2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，依题意有：，∴．∵m，n均为正整数，∴或或，∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车．（3）方案1所需费用：（元）；方案2所需费用：（元）；方案3所需费用：（元）．∵，∴方案3所需费用最少，最少费用是元．题型十：古代问题19．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）今年“五一”期间，桐柏水帘洞火爆桐柏，打卡次数之多，位居桐柏首位，实现了416万左右的收入．某游客购买了三种桐柏特色商品，因不小心污染了相关信息，导致部分信息无法识别，根据下表解决问题：商品名称单价（元）数量（袋/件）金额（元）桐柏山板栗15桐柏豆筋40乐神康a290合计5185(1)某游客购桐柏山板栗，桐柏豆筋各几袋？(2)某游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共多少钱？【答案】(1)购买桐柏山板栗1袋，购买桐柏豆筋2袋(2)游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共340元【分析】（1）设购买桐柏山板栗袋，购买桐柏豆筋袋，根据题意联立二元一次方程组并解方程组即可求解．（2）利用，即可求解．【详解】（1）解：设购买桐柏山板栗袋，购买桐柏豆筋袋，由题意得：，解得：，答：购买桐柏山板栗1袋，购买桐柏豆筋2袋．（2）（元），答：游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共340元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理清题意，根据等量关系列出二元一次方程组是解题的关键．20．（2024七年级下·江苏·专题练习）《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料．下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一．原题如下：令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？【答案】鸡有23只，兔有12只【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用；根据总头数和总脚数得到两个等量关系是解决本题的关键．设鸡有只，兔有只，根据：鸡的头数兔的头数；鸡的头数兔的头数，列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案．【详解】解：设鸡有只，兔有只，由题意得：，解得．答：鸡有23只，兔有12只．题型十一：年龄问题21．（22-23七年级下·江苏南通·期末）我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？(2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．【答案】(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子(2)购买头牛，只羊；购买头牛，只羊．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程．（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买头牛，只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的倍，得，然后求出满足条件的正整数解即可．【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，依题意得：，解得：，答：每头牛值两银子，每只羊值两银子；（2）设购买头牛，只羊，依题意得：，整理得：，、均为正整数，为的倍数，羊的数量不少于牛数量的倍，，或，商人有种购买方法：购买头牛，只羊；购买头牛，只羊．22．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．．解得：答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；（2）（年）（年）小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．题型十二：几何问题23．（2022八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．【答案】大头儿子现在的年龄为10岁【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，由题意得：，解得：，答：大头儿子现在的年龄为10岁．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．24．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成．(1)求一块长方形墙砖的长和宽；(2)求该电视背景墙的面积．【答案】(1)长方形墙砖的长为，宽为(2)【分析】（1）设长方形墙砖的长为x米，宽为y米，根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案；（2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案．此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解答此题的关键．【详解】（1）设长方形墙砖的长为x米，宽为y米，由题意得：，解得答：长方形墙砖的长为，宽为；（2）答：电视墙的面积是．25．（2024七年级·全国·竞赛）如图1，一张正方形纸板可以裁成甲、乙2种长方形纸板，分别用4个甲、乙纸板可以拼成图2、图3所示的中间有方孔的正方形框架．已知图2、图3中框架的内正方形方孔的周长之比为，且图3中正方形框架的外围边长为36厘米．求图1中原正方形纸板的面积．【答案】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设甲纸板的宽为厘米，乙纸板的宽为厘米，根据图形找准等量列方程是解题的关键．【详解】解：设甲纸板的宽为厘米，乙纸板的宽为厘米，则由题意得，解得，原正方形纸板的边长为（厘米），面积为（平方厘米）．答：图1中原正方形纸板的面积为平方厘米．一、单选题26．（2024七年级下·全国·专题练习）《九章算术》中记载：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙买东西，每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人有x人，物价为y钱，则可列方程组为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．设合伙人有x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：依题意得：．故选：A．27．（23-24七年级下·全国·课后作业）某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表：需甲种材料需乙种材料1件A型工艺品1件B型工艺品(1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？(2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？【答案】(1)制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件(2)306元，264元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，另外还涉及有理数混合运算的应用；（1）设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件，根据等量关系：两种工艺品所需甲种材料为，两种工艺品所需乙种材料为，列出二元一次方程组，并求解即可；（2）分别计算出制作1件两种型号的工艺品需要的费用，则可计算出制作A，B两种型号的工艺品各需材料费．【详解】（1）解：设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件，由题意，得，解得；答：利用这些材料能制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件．（2）解：制作1件A种型号的工艺品需要（元），则制作A种型号的工艺品需材料费（元）；制作1件B种型号的工艺品需要（元），则制作B种型号的工艺品需材料费（元）．答：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费306元，264元．28．（23-24七年级下·浙江·期中）某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人．(1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？(2)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好送完学生，并且租车费用最少？【答案】(1)型车每辆载学生30人，型车每辆载学生40人(2)租用1辆型8辆型车花费最少，为10600元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．（1）设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人，根据题意列方程组求解即可；（2）设租用型辆，型辆，根据题意列方程求解即可．【详解】（1）解：设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人，可得：解得：，答：型车每辆载学生30人，型车每辆载学生40人．（2）解：设租用型辆，型辆，可得：，因为，为正整数，所以方程的解为：，，方案一：型1辆，型8辆，费用：元；方案二：型5辆，型5辆，费用：元；方案三：型9辆，型2辆，费用：元；所以租用1辆型8辆型车花费最少，为10600元．29．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）已知：用3辆型车和2辆型车载满货物一次可运货17吨；用2辆型车和3辆型车载满货物一次可运货18吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货多少吨?(2)该物流公司有哪几种租车方案?(3)若型车每辆需租金200元/次；型车每辆需租金250元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货3吨、4吨(2)该物流公司有三种租车方案：型车1辆、型车8辆或型车5辆、型车5辆或型车9辆、型车2辆；(3)租型车1辆、型车8辆最省钱，最少租车费为2200元【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程、有理数的四则混合运算的应用，理解题意是关键．（1）设1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货x吨，y吨，根据题意列出方程组并正确求解即可；（2）根据题意，得，根据a、b为正整数求解出a、b值即可；（3）分别求得（2）中每个方案的租车费用，然后比较大小即可求解．【详解】（1）解：设1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货x吨，y吨，根据题意，得，解得，答：1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货3吨、4吨；（2）解：由题意，，∵a、b为正整数，∴或或，故该物流公司有三种租车方案：型车1辆、型车8辆或型车5辆、型车5辆或型车9辆、型车2辆；（3）解：当租型车1辆、型车8辆时，租车费用为（元），当租型车5辆、型车5辆时，租车费用为（元），当租型车9辆、型车2辆时（元）∵，∴租型车1辆、型车8辆最省钱，最少租车费为2200元．30．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）为了鼓励市民节约用水，盐城市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是盐城市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：用户每月用水量自来水单价（元/吨）污水处理费用（元/吨）17吨及以下a超过17吨不超过30吨的部分b超过30吨的部分（说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量，②水费自来水费污水处理费）已知小明家2015年2月份用水20吨，交水费66元；3月份用水35吨，交水费150元．(1)求a、b的值．(2)实行“阶梯水价”收费之后，该市一户居民用水多少吨时，其当月的平均水费为每吨元？【答案】(1)(2)该市一户居民用水20吨时，其当月的平均水费为每吨元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用：（1）根据所给的收费标准结合用水20吨，交水费66元；用水35吨，交水费150元，列出方程组求解即可；（2）设居民用水位x吨，根据（1）所求，分三种情况列出对应的方程求解即可．【详解】（1）解：由题意得，，解得；（2）解：设居民用水位x吨，当时，由题意得，，解得，不符合题意；当时，由题意得，，解得；当时，由题意得，，解得，不符合题意；综上所述，该市一户居民用水20吨时，其当月的平均水费为每吨元．一、单选题31．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，与的差为2，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（）A．26 B．25 C．24 D．23【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据“与的差为2，小长方形的周长为14”，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论．【详解】解：设小长方形的长为，宽为，根据题意得：，解得：，∴图中阴影部分的面积，故选：A．32．（2024·湖北襄阳·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器—小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斜斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛；问：1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组若设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，则列方程组是，故选：B．33．（2024七年级下·全国·专题练习）现用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套，设用x张纸板做盒身，y张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据“制作盒身和制作盒底的纸板共95张，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子（即制作的盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍）”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：∵制作盒身和制作盒底的纸板共95张，∴；∵每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，∴．∴根据题意可列方程组．故选：D．二、填空题34．（2024·陕西西安·一模）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为．【答案】9【分析】本题考查了九宫格的知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键．设九宫格中最中间的数为x，由于第3列中间数与第2行的最右边的数重合，建立方程，求得x，设第1列最下面的数为y，第2行最右边数为z，由第1列与其中一条对角线的数之和相等得：，再由最后一列和另一条对角线的数之和相等得：，最后解方程组，然后再计算m值．【详解】解：设九宫格中最中间的数为x，∵第3列中间数与第2行的最右边的数重合，∴解得：．设第1列最下面的数为y，第2行最右边数为z，则由题意得：，解得：，∴．故答案为：9．35．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为，．【答案】三人坐一辆车，则有两辆空车【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键；根据列出的方程，来反推题目条件即可求解．【详解】解：∵小明同学设有辆车，人数为，第二个方程右边是，说明车有两辆是空的，坐满人的车是辆，说明每辆车坐3人；故补充的条件为：三人坐一辆车，则有两辆空车；根据题意有：，解得，，故答案是：三人坐一辆车，则有两辆空车，．36．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）2023年杭州亚运会期间，吉祥物琮琮、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进x个玩偶，y个钥匙扣，根据题意列方程组．【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．利用总价单价数量，结合购进玩偶和钥匙扣数量间的关系，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣，购进钥匙扣的数量是购进宸宸玩偶数量的2倍，；一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，且店家共花费5000元，．根据题意可列出方程组．故答案为：．37．（2024·湖北·一模）明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么绳索长尺，竿长尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）【答案】2015【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设绳索长x尺，竿长y尺，由题意：绳索长=竿长+5尺，竿长=绳索长的一半+5尺，列出方程组，解方程组即可．【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺，由题意得：，解得：，即绳索长20尺，竿长15尺，故答案为：20，15．三、解答题38．（2024七年级下·全国·专题练习）已知用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货．某物流公司现有货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运辆B型车载满货物一次可运(2)见解析(3)租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：（1）设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货列出方程求解即可；（2）根据（1）所求可得，求出次方程的整数解即可得到答案；（3）根据（2）所求，分别计算出三种方案的运费即可得到答案．【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，依题意，得解得答：1辆A型车载满货物一次可运