七年级数学上册-6.1平方根 解析版

.1平方根【考点梳理】考点一：算术平方根的非负性解题 考点二：算术平方根的取值范围考点三：算术平方根的整数部分和小数部分 考点四：算术平方根有关的规律探索题考点五：平方根有关的问题 考点六：平方根的综合问题知识点一、平方根算术平方根：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方根是0。平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a（x可能为正数，也可能为负数），那么x就叫做a的平方根(二次方根).开平方：求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算。知识点二：平方根的表示方法:如果x2=a(a≥0),那么x=，读作“正负根号a”。表示a的正的平方根。表示a的负的平方根。规定：正数a的正的平方根叫做a的算数平方根；0的算数平方根是0.技巧归纳：1、正数有两个平方根，它们互为相反数；2、0的平方根是0；3、负数没有平方根。题型一：算术平方根的非负性解题1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）若，则的值是（

）A． B．1 C． D．2024【答案】A【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键．根据算术平方根和绝对值的非负性可求出，，再代入中求值即可．【详解】解：∵，∴，，解得：，，∴．故选A．2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若，为实数，且满足，则的值为（

）A．2 B．0 C． D．以上都不对【答案】C【分析】本题主要考查了非负数的应用，先根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可．掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．【详解】解：∵，∴，解得，∴．故选：C．3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中），则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出x，y，z的值，进而得出答案．【详解】解：∵，∴，解得：，∴．故选：D．题型二：算术平方根的取值范围4．（22-23七年级下·安徽池州·期中）估算在（

）A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间【答案】B【分析】估算的值，即可求解．【详解】解：∵∴∴；故选：B【点睛】本题考查无理数的估算．确定“”是解题关键．5．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）面积为20的正方形的边长为a，则a的值在（

）A．3和之间 B．和4之间 C．4和之间 D．和5之间【答案】C【分析】根据正方形的面积公式求得的值，然后进行估算即可求得答案．【详解】解：由题意可得，，，，，即的值在4和之间，故选：．【点睛】本题考查无理数的估算，先估算出在哪两个连续整数之间是解题的关键．6．（2023·重庆九龙坡·三模）若一个正方形的面积是20，则它的边长最接近的整数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】通过算数平方根的算法，计算出正方形边长，再根据估算得出结果．【详解】解：正方形的面积是20，正方形的边长为，，故，则更接近4．故选A．【点睛】本题考查了求算数平方根、以及估算算数平方根，其中准确算出算数平方根是关键．题型三：算术平方根的整数部分和小数部分7．（2021·河南·一模）如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为．【答案】1【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论．【详解】解：拼剪后的正方形的面积，∴，∵，即∴，∴的整数部分是1，故答案为：1．【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是．小数部分是．【答案】3【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴的整数部分为3，∴的小数部分为；故答案为3，．【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．9．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键．由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可．【详解】解：∵正方形墙的面积为，∴正方形墙的边长为，∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点，∴石雕的面积为；∴石雕的边长为，∵，∴，∴石雕边长的整数部分为2．故答案为：B．题型四：算术平方根有关的规律探索题10．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知：，，则（

）A．0.1536 B．15.36 C．0.04858 D．48.58【答案】C【分析】本题考查积的算术平方根的性质，理解“被开方数向一个方向移动位，对应的算术平方根的小数点向相同的方向移动位”是解题的关键．【详解】解：，故选C．11．（22-23七年级下·福建厦门·期中）根据表中的信息判断，下列结论中错误的个数是（）15①；②235的算术平方根比小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大A．一个 B．两个 C．三个 D．四个【答案】C【分析】根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可．【详解】解：①，故本选项正确，不符合题意；②235的算术平方根比15.3大，故本选项错误，符合题意；③，故本选项错误，符合题意；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大3.15，故本选项错误，符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．12．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）请同学们观察下表：已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的倍，其算术平方根相应的扩大为原来的倍，据此求解可得．【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的倍，其算术平方根相应的扩大为原来的倍，∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查计算器—数的开方和数字的变化规律，解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的倍，其算术平方根相应的扩大为原来的倍的规律．掌握数的开方和数字的变化规律是解题的关键．题型五：平方根有关的问题13．（22-23七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）下列说法：①；②，③是的平方根；④的算术平方根是；⑤的平方根是．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查平方根、算术平方根，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．【详解】解：①.，则①不正确；②，因此②不正确；③是的一个平方根，因此③不正确；④，则的算术平方根是，因此④正确；⑤，负数没有平方根，因此⑤不正确；综上所述，正确的结论有④，故选：A．14．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列各式计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根．根据平方根、算术平方根的性质进行求解即可．【详解】解：A、，本选项不符合题意；B、，本选项符合题意；C、，本选项不符合题意；D、没有意义，本选项不符合题意；故选：B．15．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知一个正数的两个平方根为和，则a的值为（

）A．0 B．0或 C． D．1【答案】C【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可解答．【详解】解：∵一个正数的两个平方根为和，∴，解得：，故选：C．【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数．题型六：平方根的综合问题16．（2024七年级下·全国·专题练习）一个正数的两个不同的平方根分别是和．(1)求和的值．(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键．（1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案；（2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和，∴，解得，∴；（2）解：将代入中，得，∵的平方根为，∴的平方根为．17．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）已知．(1)求；(2)若的算术平方根是它的本身，求的值．【答案】(1)(2)0或6【分析】本题考查整式加减运算、代数式求值、算术平方根，熟练掌握整式加减运算法则是解答的关键．（1）根据整式的加减运算法则求解即可；（2）求得m值，再代入（1）中求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：由题意得：或1，当时，；当时，．18．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：…0.00010.01110010000……0.01x1y100…表格中，．（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向移动位．（3）规律运用：①已知，则；②已知，，则．【答案】（1）0.1，10；（2）右，1；（3）22.4，50【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题：（1）直接计算即可；（2）观察（1）中表格数据，找出规律；（3）利用（2）中找出的规律求解．【详解】解：（1），，故答案为：，10；（2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．故答案为：右，1；（3）①已知，则，②已知，，则，故答案为：22.4，50．一、单选题19．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．根据平方根的性质列方程求解即可；【详解】∵与是同一个正数的两个平方根，∴与互为相反数，∴，∴，故选：C．20．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）已知，则的值约为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了算术平方根，根据即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：，，故选：B．21．（23-24七年级上·浙江金华·期末）“a的算数平方根”表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据算术平方根的定义解答即可．【详解】解：“a的算数平方根”表示为．故选C．22．（23-24七年级下·全国·假期作业）给出下列各数：，，0，，，，．其中有平方根的数共有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【解析】略23．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知，则的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】略24．（23-24七年级上·浙江温州·期中）十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，则这个大正方形的边长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查算术平方根的应用．利用算术平方根的定义分别求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长，继而求得其左边两个小正方形的边长之和，大正方形中左下角和右下角两个正方形的边长，继而求得答案．结合已知条件求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长是解题的关键．【详解】解：∵图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，∴可得三个正方形的边长分别为，，，∴最中间的小正方形的边长为，∴面积为的正方形左下角小正方形的边长为，∴面积为的正方形的左边两个小正方形的边长之和为，∴大正方形中左下角的正方形的边长为，∴大正方形中右下角的正方形的边长为，∴大正方形的边长为，故选：C．25．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如果正数的平方根为和,则x的值是．【答案】1【分析】此题考查的是平方根的性质，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决此题的关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可求出x的值，然后根据平方根的定义即可求出结论．【详解】解：正数的平方根为和，则，．26．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知，，则等于．【答案】1【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，据此求出a、b的值即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．27．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）已知：，求的值．【答案】【分析】本题考查了算术平方根的非负性及乘方、代数式求值，根据题意得，，进而可得，，再将其代入即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：依题意得：，，即：，，．28．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知一个正数的两个平方根是和．(1)求代数式的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义，利用一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，是解答本题的关键．（1）根据题意得到，进而得到，由此得到答案．（2）根据题意，得到正数的一个平方根，由此得到．【详解】（1）解：根据题意得：，解得：，，代数式的值为．（2）由（1）得：，，．一、单选题29．（23-24七年级上·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是．若，，，则c的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解．【详解】解：∵，，，∴，，，∴，，∴，∴，故选：C．30．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知，，且，则的值为（

）A．或 B．或5 C．或1 D．1或5【答案】A【分析】本题考查绝对值，平方根，代数式求值，先根据确定a，b的值，再代入求解即可．【详解】解：，，，，，，或，当，时，，当，时，，的值为或，故选A．31．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图是一个数运算工作流程图，根据该流程图输入值x为16时，输出的y值是（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了程序流程图与有理数计算，算术平方根，根据运算规则即可求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．【详解】解：输入值x为16时，，，即，故选：C．32．（23-24八年级上·广东深圳·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为．则小正方形的边长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了弦图的计算，熟练掌握图形的面积分割法计算，会求算术平方根是解题的关键.根据小正方形的面积=大正方形的面积一个直角三角形的面积，求得小正方形的面积，再计算其算术平方根即可.【详解】解：因为小正方形的面积，所以小正方形的边长为：.故选：.二、填空题33．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）若，，则．【答案】【分析】此题主要考查了算术平方根，依据被开方数小数点向左或向右移动位，对应的算术平方根的小数点向左或向右移动位求解即可，正确把握相关规律是解题关键．【详解】解：∵，∴，故答案为：．34．（23-24七年级上·浙江金华·期末）若a是最大的负整数，b的算术平方根是，m与n互为倒数，则的值为【答案】【分析】本题考查了代数式求值，本题关键是运用最大的负整数，算术平方根，m与n互为倒数倒数概念以及整体代入的思想．【详解】解：由题意可知．，故答案为：．35．（2024八年级·全国·竞赛）若a，b为实数，且，那么的值是．【答案】或【分析】本题考查平方根和绝对值的非负性，裂项法求式子的值．先由非负性求得a，b的值，再代入式子中，采用裂项法即可求解．【详解】∵，，且，∴，，∴，，∴，或，，①当，时，；②当，时，；∴的值是或．故答案为：或．三、解答题36．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或．(1)根据上述平方根的意义，试求方程的解．(2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间．【答案】(1)或(2)秒【分析】本题考查平方根及应用，（1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解；（2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出t的值即可；熟练掌握平方根的定义是解题的关键．【详解】（1）解：，，∴或；（2）根据题意，得：，∴，∴或（负值不符合题意，舍去），答：这个物体到达地面所需的时间为秒．37．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．（1）求图甲中阴影