结构力学数值方法：矩阵位移法：结构静力学分析

结构力学数值方法：矩阵位移法：结构静力学分析1绪论1.1结构力学数值方法简介结构力学数值方法是现代工程分析中不可或缺的工具，它通过数学模型和计算机算法来预测结构在各种载荷下的行为。其中，矩阵位移法是一种广泛应用的数值方法，它基于能量原理和变分法，将结构的连续问题离散化为一系列节点和单元，通过建立节点位移与力之间的矩阵关系来求解结构的响应。1.1.1原理矩阵位移法的核心在于将结构的变形能表示为位移的函数，然后利用最小势能原理来求解结构的平衡状态。对于一个结构，其总势能可以表示为：Π其中，U是结构的变形能，W是外力做的功。在平衡状态下，总势能Π达到极小值，即：∂通过求解上述方程，可以得到结构的位移u，进而计算出结构的内力和应力分布。1.1.2内容离散化：将连续的结构模型离散为有限数量的节点和单元。单元分析：对每个单元建立其刚度矩阵和等效节点力向量。整体分析：将所有单元的刚度矩阵和等效节点力向量组合成整体结构的刚度矩阵和力向量。求解位移：利用整体刚度矩阵和力向量求解节点位移。后处理：根据节点位移计算单元的内力和应力。1.2矩阵位移法的历史与发展矩阵位移法的发展可以追溯到20世纪50年代，随着计算机技术的兴起，这种方法逐渐成为结构分析的主流。最初，它主要用于线性静力分析，但随着理论和技术的进步，矩阵位移法被扩展到非线性分析、动力分析、热分析等多个领域。1.2.1历史1950s：矩阵位移法的初步概念被提出，主要用于解决线性静力问题。1960s-1970s：随着计算机的普及，矩阵位移法开始在工程实践中广泛应用，形成了较为成熟的理论体系。1980s至今：非线性分析、动力分析等高级应用逐渐被纳入矩阵位移法的框架中，使其成为现代结构工程分析的基石。1.2.2发展矩阵位移法的发展不仅体现在理论的深化，还包括算法的优化和软件的开发。现代结构分析软件如ANSYS、ABAQUS等，都基于矩阵位移法的原理，提供了强大的分析功能和用户友好的界面。1.3结构静力学分析的重要性结构静力学分析是评估结构在静载荷作用下安全性和稳定性的关键步骤。它可以帮助工程师预测结构的变形、应力和应变，从而确保设计的结构能够承受预期的载荷而不发生破坏。1.3.1应用建筑设计：评估建筑物在自重、风载、地震载荷等作用下的安全性。桥梁工程：分析桥梁在车辆载荷、温度变化等影响下的应力分布。机械设计：确保机械部件在工作载荷下的强度和刚度。1.3.2例子假设我们有一个简单的梁结构，需要分析其在集中力作用下的变形和应力。使用Python和NumPy库，我们可以构建一个简单的矩阵位移法模型来求解这个问题。importnumpyasnp

#定义材料属性和截面属性

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=0.05**4/12#截面惯性矩，单位：m^4

#定义节点和单元

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[2,0]])#节点坐标

elements=np.array([[0,1],[1,2]])#单元节点编号

#定义外力

F=np.array([0,-10000])#集中力，单位：N

#定义边界条件

boundary_conditions=np.array([0,0,0,0,1,1])#节点自由度约束，0表示固定，1表示自由

#计算单元刚度矩阵

defelement_stiffness_matrix(element,E,I):

L=np.linalg.norm(nodes[element[1]]-nodes[element[0]])#单元长度

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#组合整体刚度矩阵

K=np.zeros((6,6))

forelementinelements:

k=element_stiffness_matrix(element,E,I)

foriinrange(4):

forjinrange(4):

K[2*element[i],2*element[j]]+=k[i,j]

K[2*element[i]+1,2*element[j]+1]+=k[i+2,j+2]

K[2*element[i],2*element[j]+1]+=k[i,j+2]

K[2*element[i]+1,2*element[j]]+=k[i+2,j]

#应用边界条件

K=K[np.ix_(boundary_conditions==1,boundary_conditions==1)]

F=F[boundary_conditions==1]

#求解位移

u=np.linalg.solve(K,F)

#输出结果

print("节点位移：",u)1.3.3描述上述代码示例中，我们首先定义了梁的材料属性、截面属性、节点坐标、单元节点编号和外力。然后，我们计算了每个单元的刚度矩阵，并组合成整体结构的刚度矩阵。通过应用边界条件，我们求解了节点位移，从而可以进一步分析梁的变形和应力。通过结构静力学分析，工程师可以确保设计的结构在静载荷作用下不会发生过大的变形或应力集中，从而避免潜在的安全隐患。2基本概念2.1结构力学的基本原理结构力学是研究结构在各种外力作用下变形和内力分布的学科。其基本原理包括平衡方程、变形协调方程和材料本构关系。平衡方程描述了结构在力的作用下处于平衡状态的条件；变形协调方程确保结构各部分的变形连续；材料本构关系则关联了材料的应力和应变，反映了材料的力学性能。2.2位移法与力法的对比2.2.1位移法位移法是一种直接求解结构位移的方法，通过建立节点位移与单元内力之间的关系，进而求解整个结构的内力和位移。这种方法在现代结构分析中应用广泛，尤其是在有限元分析中。2.2.2力法力法则是基于结构的变形协调条件，通过求解未知的多余约束力来确定结构的内力和位移。这种方法在处理连续结构时较为复杂，但在某些特定结构分析中仍具有优势。2.2.3对比位移法：更适用于计算机编程，易于处理复杂结构，但需要较大的计算资源。力法：在处理简单结构时计算效率高，但对复杂结构的分析较为繁琐。2.3节点与单元的概念2.3.1节点在结构分析中，节点是结构的离散化点，是单元的连接点。节点处可以定义位移、力等边界条件，是结构分析的基本单元。2.3.2单元单元是结构的最小分析单元，可以是梁、板、壳或实体等。每个单元通过节点连接，单元内部的力学行为由单元的几何形状、材料属性和边界条件决定。2.4示例：使用Python进行简单梁的位移法分析#导入必要的库

importnumpyasnp

#定义单元刚度矩阵

defunit_stiffness_matrix(E,I,L):

"""

计算梁单元的刚度矩阵

:paramE:材料的弹性模量

:paramI:截面惯性矩

:paramL:单元长度

:return:单元刚度矩阵

"""

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#定义全局刚度矩阵

defglobal_stiffness_matrix(units,nodes):

"""

组装所有单元的刚度矩阵为全局刚度矩阵

:paramunits:单元列表，每个单元包含节点编号、弹性模量、惯性矩和长度

:paramnodes:节点列表，每个节点包含坐标

:return:全局刚度矩阵

"""

n_nodes=len(nodes)

n_dof=2*n_nodes#每个节点有两个自由度：垂直位移和转角

K=np.zeros((n_dof,n_dof))

forunitinunits:

node1,node2=unit[0],unit[1]

E,I,L=unit[2],unit[3],unit[4]

k=unit_stiffness_matrix(E,I,L)

#转换局部坐标系下的刚度矩阵到全局坐标系

#假设所有梁单元沿x轴方向，因此无需转换

K[2*node1:2*node1+2,2*node1:2*node1+2]+=k[:2,:2]

K[2*node1:2*node1+2,2*node2:2*node2+2]+=k[:2,2:]

K[2*node2:2*node2+2,2*node1:2*node1+2]+=k[2:,:2]

K[2*node2:2*node2+2,2*node2:2*node2+2]+=k[2:,2:]

returnK

#示例数据

nodes=[(0,0),(0,1),(0,2)]#节点坐标

units=[(0,1,200e9,1e-6,1),(1,2,200e9,1e-6,1)]#单元信息：节点编号、弹性模量、惯性矩、长度

#计算全局刚度矩阵

K=global_stiffness_matrix(units,nodes)

print("全局刚度矩阵:\n",K)2.4.1示例描述上述代码示例展示了如何使用Python进行简单梁的位移法分析。首先，定义了一个函数unit_stiffness_matrix来计算单个梁单元的刚度矩阵。然后，通过global_stiffness_matrix函数组装所有单元的刚度矩阵为全局刚度矩阵。在示例数据中，我们定义了三个节点和两个梁单元，每个单元的弹性模量为200GPa，惯性矩为1e-6m^4，长度为1m。最后，输出了计算得到的全局刚度矩阵。通过这个例子，我们可以看到位移法分析的基本步骤：定义单元属性、计算单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵。这些步骤是结构静力学分析中使用矩阵位移法的核心。3矩阵位移法原理3.1刚度矩阵的建立刚度矩阵是结构力学中用于描述结构在受力作用下变形特性的关键矩阵。在矩阵位移法中，刚度矩阵反映了结构各节点位移与作用力之间的关系。对于一个结构，刚度矩阵的元素表示当结构在某节点施加单位力时，其他节点的位移量。刚度矩阵的建立通常基于弹性力学的基本方程，如胡克定律和平衡方程。3.1.1示例：建立一个简单的梁的刚度矩阵假设我们有一个简单的梁，两端固定，中间有一个节点。梁的长度为L，截面的弹性模量为E，截面惯性矩为I。我们可以通过以下步骤建立该梁的刚度矩阵：定义局部坐标系下的刚度矩阵：对于梁的每一部分，局部坐标系下的刚度矩阵为4其中，每一行和每一列分别对应于梁的两个端点的弯矩和剪力。转换到全局坐标系：如果梁不是沿全局坐标系的轴线放置，需要将局部坐标系下的刚度矩阵转换到全局坐标系下。这通常通过旋转矩阵实现。组装整体刚度矩阵：将所有局部刚度矩阵组装成一个整体刚度矩阵。对于两端固定的梁，整体刚度矩阵为123.1.2Python代码示例importnumpyasnp

#定义梁的参数

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=0.05#截面惯性矩，单位：m^4

L=1.0#梁的长度，单位：m

#定义局部坐标系下的刚度矩阵

k_local=np.array([[4,-4,2,-2],

[-4,8,-4,4],

[2,-4,4,-2],

[-2,4,-2,4]])

#转换到全局坐标系（假设梁沿x轴放置，无需旋转）

k_global=k_local

#考虑梁的长度和截面特性，调整刚度矩阵

k_global*=(E*I)/L**3

#输出刚度矩阵

print(k_global)3.2载荷向量的定义载荷向量包含了作用在结构上的所有外力和力矩的信息。在矩阵位移法中，载荷向量的每一个元素对应于结构的一个节点上的外力或力矩。载荷向量的建立需要考虑结构的几何形状、材料特性以及外力的分布情况。3.2.1示例：定义一个梁的载荷向量假设在上述梁的中间节点上施加了一个垂直向下的力F，载荷向量可以定义为03.2.2Python代码示例#定义外力

F=1000#单位：N

#定义载荷向量

P=np.array([0,F,0,0])

#输出载荷向量

print(P)3.3位移向量的求解位移向量的求解是矩阵位移法的核心步骤。通过求解刚度矩阵和载荷向量的线性方程组，可以得到结构在受力作用下的节点位移。位移向量的每一个元素对应于结构的一个节点的位移或转角。3.3.1示例：求解梁的位移向量假设我们已经建立了上述梁的刚度矩阵K和载荷向量P，并且知道梁的两端固定，即两端的位移和转角为零。我们可以通过求解线性方程组KU=P来得到位移向量U，其中U为未知的位移向量。3.3.2Python代码示例#定义边界条件

U_fixed=np.array([0,0,0,0])#固定端的位移和转角

#应用边界条件，修改刚度矩阵和载荷向量

K_mod=np.copy(k_global)

P_mod=np.copy(P)

#固定端的行和列置零，对角线置为极大值

K_mod[0,:]=0

K_mod[:,0]=0

K_mod[0,0]=1e20

K_mod[2,:]=0

K_mod[:,2]=0

K_mod[2,2]=1e20

#求解位移向量

U=np.linalg.solve(K_mod,P_mod)

#输出位移向量

print(U)在上述代码中，我们首先定义了边界条件，即梁的两端固定。然后，我们修改了刚度矩阵和载荷向量，以反映边界条件。最后，我们使用numpy.linalg.solve函数求解线性方程组，得到位移向量U。4有限元方法4.1维杆件的有限元分析4.1.1原理一维杆件的有限元分析主要基于弹性力学的基本方程，通过将连续的杆件离散为多个有限长的单元，每个单元的力学行为可以用简单的数学模型描述。对于杆件，我们通常考虑轴向力的影响，忽略横向力和剪切力。每个单元的位移和力的关系可以通过单元刚度矩阵来表达，而整个结构的力学行为则通过组装所有单元的刚度矩阵形成全局刚度矩阵来描述。4.1.2内容单元离散化：将杆件分割成多个小段，每段称为一个单元。单元分析：确定每个单元的位移和力的关系，建立单元刚度矩阵。全局分析：将所有单元的刚度矩阵组装成全局刚度矩阵，考虑边界条件，求解整个结构的位移和力。4.1.2.1示例：一维杆件的有限元分析假设我们有一根长度为10m的杆件，两端固定，中间受到100N的集中力作用。杆件的横截面积为0.01m²，弹性模量为200GPa。我们将杆件离散为10个单元，每个单元长度为1m。#导入必要的库

importnumpyasnp

#定义单元刚度矩阵函数

defunit_stiffness_matrix(E,A,L):

"""

计算一维杆件单元的刚度矩阵

:paramE:弹性模量

:paramA:横截面积

:paramL:单元长度

:return:单元刚度矩阵

"""

k=E*A/L

returnnp.array([[k,-k],[-k,k]])

#定义全局刚度矩阵组装函数

defassemble_global_stiffness_matrix(units):

"""

组装所有单元的刚度矩阵形成全局刚度矩阵

:paramunits:单元列表

:return:全局刚度矩阵

"""

n=len(units)+1#节点数

K=np.zeros((n,n))

fori,unitinenumerate(units):

K[i:i+2,i:i+2]+=unit

returnK

#定义求解位移函数

defsolve_displacements(K,F,boundary_conditions):

"""

求解结构的位移

:paramK:全局刚度矩阵

:paramF:荷载向量

:paramboundary_conditions:边界条件

:return:位移向量

"""

#应用边界条件

fornode,valueinboundary_conditions.items():

ifvalue==0:

K[node,:]=0

K[:,node]=0

K[node,node]=1

F[node]=0

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F)

returnU

#杆件参数

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

A=0.01#横截面积，单位：m²

L=1#单元长度，单位：m

F=np.array([0,100,0])#荷载向量，单位：N

boundary_conditions={0:0,2:0}#边界条件，单位：m

#计算单元刚度矩阵

units=[unit_stiffness_matrix(E,A,L)for_inrange(10)]

#组装全局刚度矩阵

K=assemble_global_stiffness_matrix(units)

#求解位移

U=solve_displacements(K,F,boundary_conditions)

#输出位移结果

print("位移向量：",U)4.1.3解释在上述代码中，我们首先定义了计算单元刚度矩阵的函数unit_stiffness_matrix，然后定义了组装全局刚度矩阵的函数assemble_global_stiffness_matrix。最后，我们定义了求解位移的函数solve_displacements，该函数考虑了边界条件，使用numpy的linalg.solve函数求解线性方程组。4.2维梁单元的有限元分析4.2.1原理二维梁单元的有限元分析考虑了梁的弯曲和剪切变形。梁单元的位移包括横向位移和转角位移，因此单元刚度矩阵是4x4的。梁单元的力学行为可以通过欧拉-伯努利梁理论或蒂莫申科梁理论来描述，具体取决于梁的几何尺寸和荷载条件。4.2.2内容单元离散化：将梁分割成多个小段，每段称为一个单元。单元分析：确定每个单元的位移和力的关系，建立单元刚度矩阵。全局分析：将所有单元的刚度矩阵组装成全局刚度矩阵，考虑边界条件，求解整个结构的位移和力。4.2.2.1示例：二维梁单元的有限元分析假设我们有一根长度为10m，宽度为1m的梁，两端固定，中间受到100N/m的均布荷载作用。梁的厚度为0.1m，弹性模量为200GPa，泊松比为0.3。我们将梁离散为10个单元，每个单元长度为1m。#导入必要的库

importnumpyasnp

#定义单元刚度矩阵函数

defbeam_unit_stiffness_matrix(E,I,L,G,A,nu):

"""

计算二维梁单元的刚度矩阵

:paramE:弹性模量

:paramI:惯性矩

:paramL:单元长度

:paramG:剪切模量

:paramA:横截面积

:paramnu:泊松比

:return:单元刚度矩阵

"""

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

k+=G*A/L*np.array([[1,0,-1,0],

[0,1,0,-1],

[-1,0,1,0],

[0,-1,0,1]])

returnk

#定义全局刚度矩阵组装函数

defassemble_global_stiffness_matrix(units):

"""

组装所有单元的刚度矩阵形成全局刚度矩阵

:paramunits:单元列表

:return:全局刚度矩阵

"""

n=len(units)*2+2#节点数

K=np.zeros((n,n))

fori,unitinenumerate(units):

K[2*i:2*i+4,2*i:2*i+4]+=unit

returnK

#定义求解位移函数

defsolve_displacements(K,F,boundary_conditions):

"""

求解结构的位移

:paramK:全局刚度矩阵

:paramF:荷载向量

:paramboundary_conditions:边界条件

:return:位移向量

"""

#应用边界条件

fornode,valueinboundary_conditions.items():

ifvalue==0:

K[node,:]=0

K[:,node]=0

K[node,node]=1

F[node]=0

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F)

returnU

#梁参数

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=0.01*0.1**3/12#惯性矩，单位：m⁴

L=1#单元长度，单位：m

G=E/(2*(1+nu))#剪切模量，单位：Pa

A=0.01#横截面积，单位：m²

nu=0.3#泊松比

F=np.array([0,0,100,0])#荷载向量，单位：N/m

boundary_conditions={0:0,2:0,1:0,3:0}#边界条件，单位：m

#计算单元刚度矩阵

units=[beam_unit_stiffness_matrix(E,I,L,G,A,nu)for_inrange(10)]

#组装全局刚度矩阵

K=assemble_global_stiffness_matrix(units)

#求解位移

U=solve_displacements(K,F,boundary_conditions)

#输出位移结果

print("位移向量：",U)4.2.3解释在二维梁单元的分析中，我们考虑了梁的弯曲和剪切变形。单元刚度矩阵的计算使用了欧拉-伯努利梁理论，同时考虑了剪切变形的影响。通过组装所有单元的刚度矩阵形成全局刚度矩阵，并应用边界条件，我们求解了整个结构的位移。4.3维实体单元的有限元分析4.3.1原理三维实体单元的有限元分析考虑了实体在三个方向上的变形。实体单元的位移包括三个方向的位移，因此单元刚度矩阵是6x6的。实体单元的力学行为可以通过三维弹性力学方程来描述。4.3.2内容单元离散化：将实体分割成多个小块，每块称为一个单元。单元分析：确定每个单元的位移和力的关系，建立单元刚度矩阵。全局分析：将所有单元的刚度矩阵组装成全局刚度矩阵，考虑边界条件，求解整个结构的位移和力。4.3.2.1示例：三维实体单元的有限元分析假设我们有一个边长为1m的立方体，受到均匀的体应力作用。立方体的弹性模量为200GPa，泊松比为0.3。我们将立方体离散为8个单元，每个单元为一个正方体。#导入必要的库

importnumpyasnp

#定义单元刚度矩阵函数

defsolid_unit_stiffness_matrix(E,nu,L):

"""

计算三维实体单元的刚度矩阵

:paramE:弹性模量

:paramnu:泊松比

:paramL:单元边长

:return:单元刚度矩阵

"""

#计算拉梅常数

lam=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

mu=E/(2*(1+nu))

#计算刚度矩阵

k=np.array([[2*mu+lam,lam,lam,0,0,0],

[lam,2*mu+lam,lam,0,0,0],

[lam,lam,2*mu+lam,0,0,0],

[0,0,0,mu,0,0],

[0,0,0,0,mu,0],

[0,0,0,0,0,mu]])

returnk/L**3

#定义全局刚度矩阵组装函数

defassemble_global_stiffness_matrix(units):

"""

组装所有单元的刚度矩阵形成全局刚度矩阵

:paramunits:单元列表

:return:全局刚度矩阵

"""

n=len(units)*6#节点数

K=np.zeros((n,n))

fori,unitinenumerate(units):

K[6*i:6*i+6,6*i:6*i+6]+=unit

returnK

#定义求解位移函数

defsolve_displacements(K,F,boundary_conditions):

"""

求解结构的位移

:paramK:全局刚度矩阵

:paramF:荷载向量

:paramboundary_conditions:边界条件

:return:位移向量

"""

#应用边界条件

fornode,valueinboundary_conditions.items():

ifvalue==0:

K[node,:]=0

K[:,node]=0

K[node,node]=1

F[node]=0

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F)

returnU

#实体参数

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

nu=0.3#泊松比

L=1#单元边长，单位：m

F=np.array([0,0,0,0,0,0])#荷载向量，单位：N/m³

boundary_conditions={0:0,6:0,12:0,18:0,24:0,30:0}#边界条件，单位：m

#计算单元刚度矩阵

units=[solid_unit_stiffness_matrix(E,nu,L)for_inrange(8)]

#组装全局刚度矩阵

K=assemble_global_stiffness_matrix(units)

#求解位移

U=solve_displacements(K,F,boundary_conditions)

#输出位移结果

print("位移向量：",U)4.3.3解释在三维实体单元的分析中，我们考虑了实体在三个方向上的变形。单元刚度矩阵的计算使用了三维弹性力学方程，通过组装所有单元的刚度矩阵形成全局刚度矩阵，并应用边界条件，我们求解了整个结构的位移。由于本例中没有施加荷载，位移向量为零，这符合边界条件的预期结果。5边界条件与约束5.1固定边界条件的处理在结构静力学分析中，固定边界条件的处理是至关重要的。固定边界意味着在该点结构不能发生任何位移或转动，这在数学上表现为位移向量的某些分量被设定为零。在矩阵位移法中，我们通过修改全局刚度矩阵和荷载向量来实现这一约束。5.1.1修改全局刚度矩阵对于一个固定边界，假设在节点i处，x方向的位移被固定，那么在全局刚度矩阵[K]中，与节点i的x方向位移相关的行和列将被修改。具体来说，这些行和列将被替换为零，除了对角线元素，它将被设置为一个非常大的数，以表示该自由度被约束。5.1.2修改荷载向量同样，如果节点i的x方向位移被固定，那么在全局荷载向量{F}中，与节点i的x方向位移相关的项将被设置为零，因为没有外力作用于该方向。5.1.3示例假设我们有一个简单的梁，两端固定，中间受到一个集中力的作用。我们使用Python和NumPy库来处理这个例子。importnumpyasnp

#定义全局刚度矩阵

K=np.array([[4,2,0,0],

[2,6,2,0],

[0,2,4,2],

[0,0,2,4]])

#定义全局荷载向量

F=np.array([0,0,-10,0])

#处理固定边界条件

#假设节点1和节点4在x方向被固定

K[0,:]=0

K[:,0]=0

K[0,0]=1e10

K[3,:]=0

K[:,3]=0

K[3,3]=1e10

F[0]=0

F[3]=0

#解方程

#由于固定边界，我们只需要解内部节点的位移

u=np.linalg.solve(K[1:3,1:3],F[1:3])

print(u)在这个例子中，我们首先定义了一个4x4的全局刚度矩阵[K]和一个4x1的全局荷载向量{F}。然后，我们修改了矩阵和向量以反映节点1和节点4在x方向的固定边界条件。最后，我们使用NumPy的linalg.solve函数来解内部节点的位移。5.2铰接与滑动约束的实现铰接和滑动约束在结构分析中也很常见。铰接允许结构在连接点处旋转，但不允许平移，而滑动约束允许结构在某个方向上平移，但不允许在垂直方向上平移或旋转。5.2.1铰接约束在铰接约束下，我们只需要将与旋转相关的自由度设置为零。例如，如果节点i是一个铰接点，那么在全局刚度矩阵[K]中，与节点i的旋转相关的行和列将被修改为零，除了对角线元素，它将被设置为一个非常大的数。5.2.2滑动约束滑动约束通常应用于基础或支撑，允许结构在支撑方向上自由移动，但在垂直方向上被约束。在全局刚度矩阵[K]中，与滑动方向垂直的自由度将被设置为零，而滑动方向的自由度保持不变。5.2.3示例我们继续使用上述的梁的例子，但现在假设节点2在y方向可以自由滑动。#定义全局刚度矩阵

K=np.array([[4,2,0,0],

[2,6,2,0],

[0,2,4,2],

[0,0,2,4]])

#定义全局荷载向量

F=np.array([0,0,-10,0])

#处理滑动约束

#假设节点2在y方向可以自由滑动

K[1,1]=0

F[1]=0

#解方程

#由于滑动约束，我们只需要解其他节点的位移

u=np.linalg.solve(K[[0,2,3],[0,2,3]],F[[0,2,3]])

print(u)在这个例子中，我们修改了全局刚度矩阵[K]和全局荷载向量{F}，以反映节点2在y方向的滑动约束。然后，我们解除了节点2在y方向的位移，只解其他节点的位移。5.3预应力与温度效应的考虑预应力和温度效应是结构分析中需要考虑的两个重要因素。预应力是在结构加载前就存在的应力状态，而温度效应则是因为温度变化引起的结构变形。5.3.1预应力预应力可以通过修改全局刚度矩阵[K]来考虑。具体来说，预应力将产生一个预应力刚度矩阵[Kp]，它需要被加到全局刚度矩阵[K]上。5.3.2温度效应温度效应可以通过修改全局荷载向量{F}来考虑。温度变化将产生一个温度荷载向量{Ft}，它需要被加到全局荷载向量{F}上。5.3.3示例假设我们有一个预应力的梁，两端固定，中间受到一个集中力的作用。同时，由于温度变化，梁的长度发生了变化。我们使用Python和NumPy库来处理这个例子。importnumpyasnp

#定义全局刚度矩阵

K=np.array([[4,2,0,0],

[2,6,2,0],

[0,2,4,2],

[0,0,2,4]])

#定义全局荷载向量

F=np.array([0,0,-10,0])

#定义预应力刚度矩阵

Kp=np.array([[0,0,0,0],

[0,1,0,0],

[0,0,0,0],

[0,0,0,0]])

#定义温度荷载向量

Ft=np.array([0,5,0,0])

#处理预应力和温度效应

K+=Kp

F+=Ft

#处理固定边界条件

K[0,:]=0

K[:,0]=0

K[0,0]=1e10

K[3,:]=0

K[:,3]=0

K[3,3]=1e10

F[0]=0

F[3]=0

#解方程

u=np.linalg.solve(K,F)

print(u)在这个例子中，我们首先定义了一个4x4的全局刚度矩阵[K]和一个4x1的全局荷载向量{F}。然后，我们定义了一个预应力刚度矩阵[Kp]和一个温度荷载向量{Ft}。我们修改了全局刚度矩阵[K]和全局荷载向量{F}，以反映预应力和温度效应。最后，我们处理了固定边界条件，并解出了所有节点的位移。通过这些步骤，我们可以有效地处理结构静力学分析中的边界条件和约束，包括固定边界条件、铰接与滑动约束，以及预应力与温度效应。这些处理方法是矩阵位移法在实际工程应用中的关键部分。6结构静力学分析步骤6.1结构模型的建立在进行结构静力学分析之前，首先需要建立结构的数学模型。这一步骤包括定义结构的几何形状、材料属性、边界条件以及载荷。在数值分析中，结构被离散化为多个单元，每个单元的几何形状、材料属性和边界条件都需要明确。6.1.1例子：建立一个简单的梁模型假设我们有一个简单的梁，长度为10米，两端固定，中间承受一个集中载荷。我们可以使用Python的numpy库来定义这个模型的基本参数。importnumpyasnp

#定义梁的长度

length=10.0

#定义材料属性，如弹性模量和截面惯性矩

E=2.1e11#弹性模量，单位：帕斯卡

I=0.0785#截面惯性矩，单位：平方米^4

#定义单元的长度

element_length=length/10

#定义载荷

load=10000.0#单位：牛顿

#定义节点和单元

nodes=np.arange(0,length+1,element_length)

elements=np.array([(nodes[i],nodes[i+1])foriinrange(len(nodes)-1)])

#定义边界条件

boundary_conditions={0:{'ux':0,'uy':0,'rz':0},

length:{'ux':0,'uy':0,'rz':0}}6.2单元分析与组装一旦结构模型建立，接下来的步骤是对每个单元进行分析，然后将这些单元的刚度矩阵组装成整个结构的全局刚度矩阵。单元分析涉及到计算单元的内力和变形，而组装则是将所有单元的贡献合并到一个矩阵中。6.2.1例子：计算梁单元的刚度矩阵对于梁单元，其刚度矩阵是一个4x4的矩阵，描述了单元在不同方向上的刚度。我们可以使用以下公式来计算：K其中，E是弹性模量，I是截面惯性矩，L是单元长度。defcalculate_stiffness_matrix(E,I,L):

"""

计算梁单元的刚度矩阵

:paramE:弹性模量

:paramI:截面惯性矩

:paramL:单元长度

:return:单元刚度矩阵

"""

k=E*I/L**3

K=k*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnK

#计算每个单元的刚度矩阵

stiffness_matrices=[calculate_stiffness_matrix(E,I,element_length)for_inrange(len(elements))]

#组装全局刚度矩阵

global_stiffness_matrix=np.zeros((len(nodes)*2,len(nodes)*2))

fori,(node1,node2)inenumerate(elements):

K=stiffness_matrices[i]

global_stiffness_matrix[2*node1:2*node1+2,2*node1:2*node1+2]+=K[:2,:2]

global_stiffness_matrix[2*node1:2*node1+2,2*node2:2*node2+2]+=K[:2,2:]

global_stiffness_matrix[2*node2:2*node2+2,2*node1:2*node1+2]+=K[2:,:2]

global_stiffness_matrix[2*node2:2*node2+2,2*node2:2*node2+2]+=K[2:,2:]6.3求解线性方程组结构静力学分析的核心是求解线性方程组，通常形式为Ku=F，其中K是全局刚度矩阵，u6.3.1例子：求解梁的位移在求解位移之前，需要将边界条件应用到全局刚度矩阵和外力向量中。然后，使用numpy的linalg.solve函数来求解线性方程组。defapply_boundary_conditions(K,F,boundary_conditions):

"""

应用边界条件到刚度矩阵和外力向量

:paramK:全局刚度矩阵

:paramF:外力向量

:paramboundary_conditions:边界条件字典

:return:修改后的刚度矩阵和外力向量

"""

fornode,conditionsinboundary_conditions.items():

fori,conditioninconditions.items():

ifcondition==0:

K=np.delete(K,2*node+i,axis=0)

K=np.delete(K,2*node+i,axis=1)

F=np.delete(F,2*node+i)

returnK,F

#定义外力向量

forces=np.zeros(len(nodes)*2)

forces[len(nodes)//2]=load

#应用边界条件

K_mod,F_mod=apply_boundary_conditions(global_stiffness_matrix,forces,boundary_conditions)

#求解位移

displacements=np.linalg.solve(K_mod,F_mod)6.4后处理与结果解释最后一步是后处理，包括从位移向量中提取应力、应变和内力等信息，以及可视化结果。这有助于理解结构在载荷作用下的行为。6.4.1例子：计算梁的弯矩弯矩是梁结构分析中的一个重要参数，可以使用位移向量和单元刚度矩阵来计算。defcalculate_bending_moment(displacements,elements,E,I):

"""

计算梁的弯矩

:paramdisplacements:位移向量

:paramelements:元素列表

:paramE:弹性模量

:paramI:截面惯性矩

:return:弯矩列表

"""

bending_moments=[]

fori,(node1,node2)inenumerate(elements):

u1=displacements[2*node1:2*node1+2]

u2=displacements[2*node2:2*node2+2]

K=stiffness_matrices[i]

M=-E*I/element_length*(K[2:,:2]@u1+K[2:,2:]@u2)

bending_moments.append(M)

returnbending_moments

#计算弯矩

bending_moments=calculate_bending_moment(displacements,elements,E,I)

#可视化结果

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.figure()

plt.plot(nodes,bending_moments,label='BendingMoment')

plt.xlabel('Length(m)')

plt.ylabel('BendingMoment(Nm)')

plt.legend()

plt.show()通过以上步骤，我们完成了结构静力学分析的基本流程，从模型建立到结果解释，每一步都通过具体的代码示例进行了说明。这为理解和应用矩阵位移法提供了实用的指导。7实例分析7.1简单桁架结构分析桁架结构由一系列直杆组成，这些直杆在节点处连接，形成一个稳定的结构。在矩阵位移法中，我们首先定义结构的自由度，然后建立结构的刚度矩阵，最后求解力和位移。7.1.1数据样例假设我们有一个简单的桁架结构，由两个节点和两根杆组成，杆的长度为10米，弹性模量为200GPa，截面积为0.01平方米。7.1.2代码示例importnumpyasnp

#材料属性

E=200e9#弹性模量，单位：帕斯卡

A=0.01#截面积，单位：平方米

#几何属性

L=10#杆长，单位：米

#刚度矩阵计算

k=(E*A)/L*np.array([[1,-1],[-1,1]])

#节点坐标

nodes=np.array([[0,0],[10,0]])#节点1和节点2的坐标

#杆件连接节点

elements=np.array([[1,2]])#杆件连接节点1和节点2

#外力

F=np.array([0,-10000])#节点2受到的垂直向下的力，单位：牛顿

#约束条件

boundary_conditions=np.array([1,0])#节点1在x和y方向上固定

#组装全局刚度矩阵

K=np.zeros((4,4))

foreinelements:

i,j=e[0]-1,e[1]-1

K[2*i:2*i+2,2*i:2*i+2]+=k

K[2*i:2*i+2,2*j:2*j+2]+=k[:2,2:]

K[2*j:2*j+2,2*i:2*i+2]+=k[2:,:2]

K[2*j:2*j+2,2*j:2*j+2]+=k[2:,2:]

#应用边界条件

K=np.delete(K,[0],axis=0)

K=np.delete(K,[0],axis=1)

F=np.delete(F,[0])

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F)

#计算杆件内力

N=np.zeros(len(elements))

fori,einenumerate(elements):

i,j=e[0]-1,e[1]-1

N[i]=k[0,0]*(U[2*i-1]-U[2*j-1])

print("节点位移：",U)

print("杆件内力：",N)7.1.3解释上述代码首先定义了桁架结构的材料属性和几何属性，然后计算了单根杆的刚度矩阵。接着，定义了节点坐标、杆件连接节点、外力和约束条件。通过组装全局刚度矩阵，应用边界条件，求解位移，最后计算了杆件内力。7.2复杂框架结构分析框架结构由梁和柱组成，可以承受平面内和外的荷载。在矩阵位移法中，我们同样需要定义结构的自由度，建立结构的刚度矩阵，求解力和位移，但框架结构的刚度矩阵更为复杂。7.2.1数据样例假设我们有一个由四个节点和六根杆组成的框架结构，杆的长度、弹性模量和截面积与简单桁架结构相同。7.2.2代码示例#假设我们有以下节点坐标和杆件连接节点

nodes=np.array([[0,0],[10,0],[10,10],[0,10]])

elements=np.array([[1,2],[2,3],[3,4],[4,1],[1,3],[2,4]])

#外力

F=np.array([0,-10000,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0])

#约束条件

boundary_conditions=np.array([1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0])

#组装全局刚度矩阵

K=np.zeros((12,12))

foreinelements:

i,j=e[0]-1,e[1]-1

#计算局部刚度矩阵

k_local=(E*A)/L*np.array([[1,0,-1,0],[0,0,0,0],[-1,0,1,0],[0,0,0,0]])

#转换局部刚度矩阵到全局坐标系

T=np.array([[np.cos(theta),np.sin(theta),0,0],

[-np.sin(theta),np.cos(theta),0,0],

[0,0,np.cos(theta),np.sin(theta)],

[0,0,-np.sin(theta),np.cos(theta)]])

k_global=T.T@k_local@T

#将全局刚度矩阵添加到K中

K[2*i:2*i+4,2*i:2*i+4]+=k_global

K[2*i:2*i+4,2*j:2*j+4]+=k_global[:4,4:]

K[2*j:2*j+4,2*i:2*i+4]+=k_global[4:,:4]

K[2*j:2*j+4,2*j:2*j+4]+=k_global[4:,4:]

#应用边界条件

K=np.delete(K,[0,1,2,3],axis=0)

K=np.delete(K,[0,1,2,3],axis=1)

F=np.delete(F,[0,1,2,3])

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F)

#计算杆件内力

N=np.zeros(len(elements))

fori,einenumerate(elements):

i,j=e[0]-1,e[1]-1

#计算局部位移

u_local=np.array([U[2*i-4],U[2*i-3],U[2*j-4],U[2*j-3]])

#转换局部位移到全局坐标系

u_global=T@u_local

#计算杆件内力

N[i]=k_global[0,0]*(u_global[0]-u_global[2])

print("节点位移：",U)

print("杆件内力：",N)7.2.3解释在复杂框架结构分析中，我们首先定义了节点坐标和杆件连接节点，然后定义了外力和约束条件。由于框架结构的复杂性，我们需要计算局部刚度矩阵，并将其转换到全局坐标系中，然后组装全局刚度矩阵。应用边界条件后，求解位移，最后计算了杆件内力。7.3连续梁结构分析连续梁是一种由多个支撑点连接的梁结构，可以承受各种荷载。在矩阵位移法中，我们同样需要定义结构的自由度，建立结构的刚度矩阵，求解力和位移，但连续梁的刚度矩阵和位移向量更为复杂。7.3.1数据样例假设我们有一个由三个节点组成的连续梁结构，梁的长度、弹性模量和截面积与简单桁架结构相同。7.3.2代码示例#假设我们有以下节点坐标和梁的连接节点

nodes=np.array([[0,0],[10,0],[20,0]])

elements=np.array([[1,2],[2,3]])

#外力

F=np.array([0,-10000,0,0,-10000,0])

#约束条件

boundary_conditions=np.array([1,0,1,0,1,0])

#组装全局刚度矩阵

K=np.zeros((6,6))

foreinelements:

i,j=e[0]-1,e[1]-1

#计算局部刚度矩阵

k_local=(E*I)/L*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

#将局部刚度矩阵添加到K中

K[2*i:2*i+4,2*i:2*i+4]+=k_local

K[2*i:2*i+4,2*j:2*j+4]+=k_local[:4,4:]

K[2*j:2*j+4,2*i:2*i+4]+=k_local[4:,:4]

K[2*j:2*j+4,2*j:2*j+4]+=k_local[4:,4:]

#应用边界条件

K=np.delete(K,[0,2,4],axis=0)

K=np.delete(K,[0,2,4],axis=1)

F=np.delete(F,[0,2,4])

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F)

#计算梁的内力

M=np.zeros(len(elements))

fori,einenumerate(elements):

i,j=e[0]-1,e[1]-1

#计算局部位移

u_local=np.array([U[2*i-3],U[2*i-2],U[2*j-3],U[2*j-2]])

#计算梁的内力

M[i]=k_local[0,0]*u_local[0]+k_local[0,1]*u_local[1]+k_local[0,2]*u_local[2]+k_local[0,3]*u_local[3]

print("节点位移：",U)

print("梁的内力：",M)7.3.3解释在连续梁结构分析中，我们首先定义了节点坐标和梁的连接节点，然后定义了外力和约束条件。由于连续梁的复杂性，我们需要计算局部刚度矩阵，并将其添加到全局刚度矩阵中。应用边界条件后，求解位移，最后计算了梁的内力。注意：在上述代码中，我们假设了梁的惯性矩I为常数，但在实际应用中，I可能随梁的截面形状和尺寸而变化。此外，我们假设了梁的荷载为集中力，但在实际应用中，荷载可能为分布力或弯矩。因此，上述代码仅为示例，实际应用中需要根据具体情况进行修改。8高级主题详解8.1非线性静力学分析8.1.1原理与内容非线性静力学分析是结构力学中一个复杂但至关重要的领域，它涉及结构在非线性条件下的响应分析。非线性可以由材料非线性、几何非线性或边界条件非线性引起。在材料非线性中，应力与应变的关