列联表与独立性检验 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.3列联表与独立性检验1.分类变量在现实生活中，人们经常需要回答一定范围内的两种现象或性质之间

是否存在关联性或互相影响的问题.例如：就读不同学校是否对学生的成绩有影响，不同班级学生用于体育锻炼的时间是否存在区别,吸烟是否会增加患肺癌的风险等。在讨论上述问题时,为了表述方便,

我们经常会使用一种特殊的随机变量,

以区别

不同的现象或性质

，

这类随机变量称为分类变量.分类变量:用实数表示不同的现象或性质.如：班级:1、2、3，

男生、女生：0、1.本节主要讨论取值于{0,1}的分类变量的关联性问题1:为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查.全校生

的普查数据如下:523名女生中有331名经常锻炼，601名男生中有473名经常锻炼.你能利

用这些数据,说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗?解1：比较经常锻炼的学生在女生和男中的比率.f0

=

经常

生数，f1

=

经常

生数.

≈

0.633，f1

=

≈

0.787.

f1

0

=

0.787-0.633=0.

154.男生经常锻炼的比率比女生高出15.4个百分点,所以该校的女生和男生在体育锻

炼的经常性方面有差异,而且男生更经常锻炼.男生总数锻炼的男女生总数锻炼的女若性别对体育锻炼的经常性没有影响，可描述为

P

(Y

=

1

X

=

0)

=

P(Y

=

1

X

=

1)若性别对体育锻炼的经常性有影响，可描述为

P

(Y=1X=0)

≠P(Y=1X=1)性别锻炼合计不经常（Y

=0）经常（Y

=1）女生（X

=0）192331523男生（X

=1）128473601合计3208041124P(Y

=

1X

=

1)>P(Y

=

1X

=

0)[0,该生不经常锻炼，Y

=

{0,该生为女生，1，该生为男生，，解2：

对于Ω中的每一名学生，分别令∴性别对体育锻炼的经常性有影响l1

，该生经常锻炼，[X

=

{lXY合计Y

=0Y=1X

=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb

+dn

=a+b

+c+d2.2×2列联表的概念分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表2×2列联表给出成对分类变量数据的交叉分类频数例1.为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生.通过测验得到了如下数据:甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名

数学成绩优秀.试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异.解：用Ω表示两所学校的全体学生构成的集合.考虑以Ω为样本空间的古典概型.对

于Ω中每一名学生，定义分类变量X和Y如下：因此,甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为

≈

0.7674，

≈

0.2326.乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为

≈

0.8444，

≈

0.

1556.学校数学成绩合计不优秀

Y=优

=甲校

(乙校（X

1）387合计7117[0,

该生数学成绩不优秀，Y

=

{0,

该生来

自

甲校，1，该生来

自

乙校，，l

1

，该生数学成绩优秀，[X

={l两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法：(1)频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频

率大小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系.(2)图形分析法：与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是

否互相影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？有可能“两校学生的数学成绩优秀率存在差异

”这个结论是根据两个频率间存在差异推断出

来的.有可能出现这种情况：在随机抽取的这个样本中，两个频率间确实存在差异，但

两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的.对于随机样本而言，因为频率具有随

机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，

犯错误的可能性会较大.因此，需要找到一种更为合理的推断方法，

同时也希望能对出

现错误推断的概率有一定的控制或估算.独立性检验方法假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如果零假设H0成立，则应满足

≈

,

即ad-bc≈0.因此在列联表中|ad-bc|越小,说明两个分类变量之间关系越弱

;

|ad-bc|越大，说明两个分类变量之间关系越强.为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准

基于上述分析我们构造一个随机变量

用χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成

立，否则认为H0成立。这种利用χ2

的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2

独立性检验，读作“卡方独立性检验

”，简称独立性检验（test

of

independence）.3.独立性检验公式及定义提出零假设(原假设)H0

：分类变量X和Y独立4.临界值的定义对于任何小概率值α

,

可以找到相应的正实数xα

,

使得P(x≥xα)=α成立，我们称xα

为

α

的临界值，这个临界值可作为判断χ2大小的标准，概率值α越小，临界值xα越大.χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.基于小概率值

α

的检验规则：当

χ2

≥x

α

时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α

,

即大约有（1-α)

的可能性认为X和Y有关系；当

χ2

<x

α

时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828例2

某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈

15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名,其中未治愈6名,治愈63名.试根据小概

率值α=0.005的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.解:零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369合计21115136没有充分证据推断H0不成立,

因此可以认为

H0成立，即认为

两种疗法效果没有差异.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

0.00152,60则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱A.8

B.9

√C.14

D.19解析由10×26≈18m

，解得m

≈14.4

，所以当m

＝14时，X与Y的关系最弱.y1y2x11018x2m26在列联表中|ad-bc|越小,说明两个分类变量之间关系越弱

;

|ad-bc|越大，

说明两个分类变量之间关系越强.3.假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1

，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为XY合计Y

=0Y=1X

=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb

+dn

=a+b

+c+d因为|ad－bc|的值越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，故选A.5.在2×2列联表中，两个比值相差越大

，

两个分类变量有关系的可能性就越大

，那么这两个比值为

√6.(1)为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算的χ2为5.003

，又已知P(χ2

≥3.841)

＝0.05

，P(χ2

≥6.635)

＝0.01

，则下列说法正确的是

(

)√A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“X和Y有关系

”B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“X和Y没有关系

”C.依据小概率值α

=0.01的独立性检验，认为“X和Y有关系

”D.依据小概率值α

=0.01的独立性检验，认为“X和Y没有关系

”解：

∵

3.841

＝x0.05<χ2

＝5.003<6.635

＝x0.01

，又P(χ2

≥3.841)

＝0.05，:依据小概率值α

=0.05的独立性检验，在犯错误的概率不超过5%的前提

下，即大约95%的可能性认为“X和Y有关系

”.xαα0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(2)有关独立性检验的四个命题，其中不正确的是

(

)A.两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积之差的绝对值越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大B.对分类变量X与Y的随机变量χ2来说，χ2越小，认为“X与Y有关系

”的犯错误的概率越大√C.由独立性检验可知：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病D.依据小概率值α

=0.01的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概

率不超过1%的前提下，即大约有99%的可能性认为吸烟与患肺癌有关√

√xαα0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解析由题意可知

a>5

，且15－a>5

，a∈Z，8.(多选)针对时下的“抖音热

”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关

”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的

，女生喜欢抖音

的人数占女生人数的

，若在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为是否喜欢抖音和性别

有关，则调查人数中男生可能有（

）人A.25

√B.45

√C.60

D.75解析设男生的人数为5n(n

∈N*)