2025高考数学一轮复习：二项分布与正态分布 专项训练【原卷版】

2025高考数学一轮复习70.8-二项分布与正态分布-专项训练【原卷版】

1.已知随机变量X服从二项分布8（〃，p）.若E（X）=2,。⑶=*则P=（）

32

A.-B.-

43

C.-D.-

34

2.某高三学生进行心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为:，则连续

测试4次，至少有3次通过的概率为（）

A512256

A.——B.

625625

「6464

C.——D.

625125

3.为加强体育锻炼，让运动成为习惯，某校进行了一次体能测试，这次体能测试满分

为100分，从高三年级抽取1000名学生的测试结果，已知测试结果。服从正态分布N（70,

o2）.若。在（50,70）内取值的概率为0.4,贝晦在90分以上取值的概率为（）

A.0.05B.0.1

C.0.2D.0.4

a

4.已知随机变量统〃满足忑〜3（2,p）,〃+2。=1,且尸则£＞（〃）的值为（）

A.0B.1

C.2D.3

5.（多选）袋子中有2个黑球，I个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球

记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X,贝ij（）

1)B.P(X=2)=[

A.X〜从

QO

C.E(X)=^D.W)十

6.侈选）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（〃i，/），NQii,或），其

态分布密度曲线E布密度曲线是函数加户二''CL8'+叼的图象］

如图所示，则下列说法正确的是（）

A.甲类水果的平均质量为0.4kg

B.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右

C.平均质量分布在［0.4,0.8］时甲类水果比乙类水果占比大

D.<72=1.99

7.已知随机变量。〜8(6,p),且E(0=2,则。(3。+2)=.

8.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数/=向血氏血扇，其

中/的各位数字中，ai=l,四%=2,3,4,5)出现0的概率为慧出现1的概率为:，则启动一

次出现的数字N中恰有两个0的概率为.

9.在某市2021年6月的高中质量检测考试中，高二年级学生的数学成绩服从正态分布

M98,100).已知参加本次考试的全市高二年级学生约100000人.某学生在这次考试中的数

学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第名.

(参考数值：PQ/—+6827,P^i-+2^)0.9545,PQi一

3o<XW〃+3G-0.9973)

10.羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小

型球类的室内运动项目.羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜,

3局2胜.每回合中，取胜的一方加1分.每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局

获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜.某次羽毛球比

赛中，甲选手在每回合中得分的概率为3,乙选手在每回合中得分的概率为L

44

(1)在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18,求再经过4回合比赛甲获胜的概

率；

(2)在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X,求X的分布列及数学期望E(X).

11.假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中

至多命中一次的概率是迈，则该射手每次射击的命中率为()

12.如图，在网格状小地图中，一机器人从/(0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到

相应顶点，已知向上的概率度向右的概率是』,则

6)

A-琮

243

420

C.D.

729243

13.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作

检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，

再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为

p(0g<l),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为加)，求加)的最大值点依；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的o作为p的值.已

知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付

25元的赔偿费用.

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求

£⑶；

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检

验？

2025高考数学一轮复习70.8-二项分布与正态分布-专项训练【解析版】

1.已知随机变量X服从二项分布8(〃，p).若E(X)=2,。⑶=*则P=()

32

A.-B.-

43

C.-D.-

34

解析：C由随机变量X服从二项分布8(",p).又£(X)=2，。⑶=：,所以叩=2,必1

—/?)=-,解得p=l,故选C.

33

2.某高三学生进行心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为:，则连续

测试4次，至少有3次通过的概率为()

512256

A.B.

625625

6464

C.D.

625125

1

解析：A4次独立重复实验，故概率为

5(0625

3.为加强体育锻炼，让运动成为习惯，某校进行了一次体能测试，这次体能测试满分

为100分，从高三年级抽取1000名学生的测试结果，已知测试结果忑服从正态分布N(70,

o2).若。在(50,70)内取值的概率为0.4,贝晦在90分以上取值的概率为()

A.0.05B.0.1

C.0.2D.0.4

2

解析：B•"服从正态分布以70,0),二正态曲线的对称轴是直线;(;=70,."在(70,100)

内取值的概率为0.5.I二在(50,70)内取值的概率为0.4,在(70,90)内取值的概率为0.4,

则忑在90分以上取值的概率为0.5-0.4=0.1.故选B.

a

4.已知随机变量。〃满足4〜5(2,2)，什24=1,且尸(<W1)=2,则0(〃)的值为()

4

A.0B.1

C.2D.3

a

解析：C因为随机变量。满足^〜5(2,p),尸CWl)=j,所以有PCW1)=C9(1一2)2+

C加(1—P)=l—p2=(,即p=：则D©=2X；x[l〃=1—2。,C(〃)=4Z)©=2.故

选C.

5.(多选)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球

记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X,贝ij()

A.X〜JB.尸(X=2)=S

81

oo

C.E(X)=3D.D(㈤=：

解析：ACD从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到

的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机

变量X服从二项分布X〜/4'1),故A正确；X=2,则其概率为P(X=2)=C£)282=*

故B错误；因为X〜5卜1),所以X的期望£(X)=4X；=：,故C正确；因为X〜8k3,

所以X的方差£>(X)=4X；X；=；,故D正确.故选A、C、D.

6.(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(〃i,*)，N(〃2,/)，其

正态分布密度曲线

『止态分布密度曲线是函数兀0=-」,xG(-8,+8)的图象

I72TleJ如图所不，则下列

说法正确的是()

A.甲类水果的平均质量为0.4kg

B.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右

C.平均质量分布在［0.4,0.8］时甲类水果比乙类水果占比大

D.。2=1.99

解析：ABC由题图可知，甲类水果的平均质量为〃i=0.4kg,故A正确；由图可知,

甲类水果的质量分布比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；由图可看出平均

质量分布在［0.4,0.8］时甲类水果比乙类水果占比大，故C正确；乙类水果的质量服从的正

1

态分布的参数满足=1.99,则eWl.99,故D错误，故选A、B、C.

也71(72

7.已知随机变量。〜8(6,p),且£(。=2,则。(3忑+2)=.

解析：因为〜3(6,p),所以£(<0=/rp=69=2,解得p=:,又因为。©=/rp-(l—p)

74

=2•工,所以0(30+2)=90©=12.

答案：12

8.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5

中/的各位数字中，ai=l,。履左=2,3,4,5)出现0的概率为；，出现1的概率为5则启动一

次出现的数字N中恰有两个0的概率为.

解析：根据题意，/中恰有两个0的概率，即在02,。3,。4,05四个数中恰好有2个0,2

个1,则A中恰有两个0的概率P=C4l

9.在某市2021年6月的高中质量检测考试中，高二年级学生的数学成绩服从正态分布

M98,100).已知参加本次考试的全市高二年级学生约100000人.某学生在这次考试中的数

学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第名.

(参考数值：—cWXW〃+G-O.6827,+9545,P^~

3<rWXW〃+3o•尸0.9973)

解析：因为考试的成绩X服从正态分布N(98,100),所以〃=98,£7=10,

所以，108=〃+。，则P(X2108)二尸(X+〃+o~)=1一.〃_-；XW〃+c)=0.15865,数

学成绩为108分的学生大约排在全市第100000X0.15865=15865名.

答案:15865

10.羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小

型球类的室内运动项目.羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜,

3局2胜.每回合中，取胜的一方加1分.每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局

获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜.某次羽毛球比

赛中，甲选手在每回合中得分的概率为支乙选手在每回合中得分的概率为L

44

(1)在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18,求再经过4回合比赛甲获胜的概

(2)在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X,求X的分布列及数学期望E(X).

解：(1)记再经过4回合比赛，甲获胜为事件/,

可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以尸(4)=3xc3d><0=@-.

4256

(2)易知X的取值为0,1,2,3,4,且X〜BB'J,

尸(X=O)=cQl4=-^-,P(X=l)=C|^3X-=—,P(x=2)=C?^]2X^)2=

—27,P(X=

256464128

3)=a口x03=?zp(x=4)=aE)4=—,

64256

所以X的分布列为

X01234

13272781

P

2566412864256

数学期望£(X)=〃p=4X：=3.

11.假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中

至多命中一次的概率是纹，则该射手每次射击的命中率为()

解析：C设该射手射击命中的概率为P，两次射击命中的次数为X,则X〜2(2,p),

由题可知：P(X=O)+P(X=1)=1|,即C如。(1—p>+C加(1—p)=!|,解得p=g.故选C.

12.如图，在网格状小地图中，一机器人从/(0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到

相应顶点，已知向上的概率是2,向右的概率是1,则6

)

3

A

-1243

20

0729D.

243

解析：D根据题意可知，机器人每秒运动一次，则6秒共运动6次，若其从4(0,0)点

出发，6秒后到达8(4,2)