北京市通州区2025届高三数学上学期期中试题（含解析）

北京市通州区2025届高三数学上学期期中试题(含解析)

第一部分(选择题共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合〃={—2,—N={x,2+x—2<0},贝()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{0,1}

【答案】C

【解析】

【分析】

先计算集合N,再计算McN得到答案.

【详解】N=+%-2<oj-=^x|-2<x<l},M={-2,-1,0,1,2}

则McN={_1,0}

故选：C

【点睛】本题考查了交集的运算，属于简洁题型.

2.等比数列{4}中，q=1,%=8.则%,=().

A.2‘TB.2nC.2"iD.2n+2

【答案】A

【解析】

【分析】

干脆利用等比数列公式计算得到答案.

【详解】等比数列{4}中，q=1,%=%/=8\q=2,4=2"」

故选：A

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题型.

3.下列函数中为偶函数且在(0,+8)上为增函数的是()

A.yB.J=lg|x|C.y=COSXD.y=2工

【答案】B

【解析】

【分析】

依次推断每个选项的奇偶性和单调性，推断得到答案.

【详解】A.y=L,是奇函数，解除；B.y=lg|x|,是偶函数，x>0时，y=lgx,单调

X

递增，正确；

C.y=COSX,偶函数，x>0时，是周期函数，解除；D.>=2",非奇非偶函数，解除;

故选：B

【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，记忆常规函数的奇偶性和单调性是解题的关键.

4.“sin2a〉0”是“tana>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

依据角度的范围依次推断充分性和必要性，推断得到答案.

71

【详解】sin2cif>0/.Ik7i<2a<2k7i+71k7i<a<k7r+—>0,充分性；

2

tana>02k兀<a<2左万+乙或2k?i+7r<a<2kji+—

22

...2左乃<2。<2左4+乃或4左乃+2»<2。<4左万+3万，故sin2o>0,必要性.

故选：C

【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断实力.

5.直线/经过点A(0,b),且与直线y=x平行，假如直线/与曲线>=必相切，那么匕等于

()

1111

A.——B.一一C.-D.-

4242

【答案】A

【解析】

【分析】

先表示出直线方程为y=x+b,求导计算切点为(工,工)，代入直线方程得到答案.

24

【详解】直线/经过点A(0/),且与直线丁=%平行，则直线方程为：y=x+b

直线/与曲线y=_相切，y=2%=l\%=;，切点为(g1)代入直线方程

解得：b=—

4

故选：A

【点睛】本题考查了切线问题，也可以联立方程利用A=0计算答案.

6.在//回中，角4B,。所对的边分别为a,b,c.若A=?,a=亚,b=&，则//回

的面积等于()

1-31正3

A.一或一B.—C.---D.一

22222

【答案】D

【解析】

【分析】

利用余弦定理得到c=3,代入面积公式计算得到答案.

【详解】利用余弦定理得到：片=从+-2bcc一45=2+c?—2c,c=3或c=—1(舍

去)

13

^=2^81114=2

故选：D

【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算实力.

9%<1

7.设函数/■(%)='~'若方程/(尤)—左=0有且只有一个根，则实数上的取值范围

log2X,X>1,

是()

A.(0,2)B.(2,+oo)C.[2,+oo)D.[0,2]

【答案】B

【解析】

【分析】

方程/■(%)-左=0有且只有一个根，等价于/(%)=左图像有一个交点，画出函数图像得到

答案.

2X<1

【详解】/"(%)='X一'方程/'(%)—左=0有且只有一个根，等价于/(%)=左图像有

log2%,%>!,

一个交点.

画出函数图像:

依据图像知：k>2

故选：B

【点睛】本题考查了方程的解的问题，转化为函数的图像的交点是解题的关键.

8.2014年6月22日，卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上宣布：中国大运输河项

目胜利入选世界文化遗产名录,成为中国第46个世界遗产项目.随着对大运输河的爱护与开

发，大运输河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的巡游目的的.

今有一旅游团乘游船从奥体公园码头动身顺流而下至漕运码头，又马上逆水返回奥体公园码

头.已知游船在顺水中的速度为匕，在逆水中的速度为“(匕工匕)，则游船此次行程的平

均速度I与七以的大小关系是()

A,b山B.三二c.D.

222

建工

2

【答案】C

【解析】

【分析】

先计算平均速度v=^，再计算v_=-(%—岭)<0得到答案.

Vl+V22匕+匕

-_2S_2vlv2

【详解】设两码头距离为S,则.一»+»―匕+岭

匕%

V)+v_2Vly2vi+v2_4Vly2一(V1+v2)一(%-4)

2<0(%w%)即v<"+"

2匕+岭22(%+%)2(%+岭)

故选：C

【点睛】本题考查了不等式的应用，意在考查学生的应用实力.

其次部分（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.已知。+历（i为虚数单位，a,Z?eR）,则

【答案】-3；

【解析】

【分析】

化简复数得到再计算G+6得到答案.

【详解】a+bi=——=—l—2ia=-l,b=—2a+b=—3

故答案为：-3

【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型.

3

10.已知a=log27,6=2-3,C=33，则三个数的大小关系是—

【答案】c〉a〉b；

【解析】

【分析】

依次推断三个数与1和3的大小关系，推断得到答案.

【详解】1=log22<a=log27<log28=3；

匕=2-3<2°=1；

c=32>3'=3

故答案为：c>a>b

【点睛】本题考查了数的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用实力.

11.设等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若$=22,%=1,则数列｛an｝的公差等于.

【答案】—1；

【解析】

分析】

依据S1]=22计算得到%+%=4,再计算%=3得到答案.

【详解】Su=—-----=22%+a”=4.,.%+%=4

%=1%=3d=—1

故答案为：-1

【点睛】本题考查了等差数列的公差，也可以依据数列公式联立方程组解得答案.

12.定义在7?上的函数/（尤），给出下列三个论断：

①f（x）在月上单调递增；②x>l；③

以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：.

【答案】①②推出③；

【解析】

【分析】

写出答案，再依据函数单调性得到证明.

详解】①②推出③；

证明：/（尤）在人单调递增且当时，有了。）>〃1）,得证.

故答案为：①②推出③

【点睛】本题考查了利用函数单调性推断命题，意在考查学生的推断实力.

13.若函数/（尤）=acosx+sin尤在区间（巴，巴）上单调递减，则实数。的取值范围是—.

64―

【答案】a2-\/3；

【解析】

【分析】

求导依据函数单调递减得到吗<a恒成立，计算函数8（%）=出日的最大值为百，得

sinxsinx

到答案.

兀兀_

【详解】/（x）=acosx+sinx/./'（%）=-asinx+cosx«。在（一,一）恒成立

64

即止恒成立，8（均=2在（5,巴）的最大值为石，即a2G

sinxsinx64

故答案为：a>43

【点睛】本题考查了函数的单调性，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.

14.设A是整数集的一个非空子集，对于左wA,若左—10A,且左+1史A,则称上是A的

一个“孤立元”.集合T={1,2,3,5}元素中7的“孤立元”是；对给定集合

S={1,2,3,4,5,6},由S中的3个元素构成的全部集合中，含“孤立元”的集合有—

个

【答案】(1).5(2).16.

【解析】

【分析】

(1)依次推断每个元素是否为孤立元得到答案.

(2)3个元素构成的全部集合为C；=20个，解除不满意的状况得到答案.

【详解】(1)依次推断每个元素是否为孤立元：对于1,2eA，不是孤立元；对于2,

1GA,3GA,不是孤立兀；对于3,2wA，不是孤立兀；对于5,4A,6A,是孤立

元；

故答案为：5

(2)3个元素构成的全部集合为C；=20个

不含孤立元的集合有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5}{4,5,6}4个

故含“孤立元”的集合有16个

故答案为：16

【点睛】本题考查了集合的新定义问题，集合个数问题，意在考查学生的应用实力.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.己知函数/'(%)=J^sin2x+2cos2尤一1.

(1)求/((f)的值；

(2)求/(尤)的最小正周期及单调增区间.

【答案】⑴0⑵最小正周期兀，〃龙)的单调增区间为两-当(左eZ)

【解析】

【分析】

(1)干脆代入数据计算得到答案.

71

(2)化简得到/'(x)=2sin(2x+—),再计算周期和单调增区间.

【详解】(1)/(x)=A/3sin2%+2cos2x-1

f[2]=Gsin(2x2)+2cos2(||^)—1=6sin(2x1^)+cos(2x

=A/3sin(—)+cos(—)=0

66

(2)/(x)=A/3sin2x+2cos2x-1=A/3sin2x+cos2x=2sin(2x+—)

6

27r

所以/(x)最小正周期7二万=兀.

11V/\I

令2kit——<2x-\——<2kn+—,角星得ku——<x<kn+—{kGZ)

26236

所以/(%)的单调增区间为［E-¥,E+当(左eZ)

36

【点睛】本题考查了三角函数求值，三角函数的周期和单调区间，意在考查学生对于三角函

数公式和性质的敏捷运用.

16.在AABC中，NB=60°,cosC=-,AC=7,〃是48边的中点.

7

(1)求48的长；

(2)求切的长.

【答案】(1)8(2)国

【解析】

【分析】

(1)先计算sinC=逑，依据正弦定理得到答案.

7

(2)先计算c0sA=+'再利用余弦定理得到答案.

ArAB

【详解】(1)cosC=工则sinC由正弦定理得到：-----

7sin5sinC

7473

7x---

解得：AB=-"-=8

2

(2)cosA=—cos(B+C)=—cos(60°+C)=—gcosC+sinC="

因。是中点，则AO=4,在AADC中，由余弦定理得：

CZ>2=AC2+AD2-2AC-AD-cosA=72+42-2x7x4x—=21

14

解得:C庐国.

【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，意在考查学生的计算实力.

17.已知数列｛4｝的前6项依次成等比数列，设公比为数列从第5项起先各项

依次为等差数列，其中4=%=7,数列｛%｝的前〃项和为S”.

(1)求公比1及数列｛4｝的通项公式；

(2)若S.20,求项数〃的取值范围.

32.(二)"T,“<4

【答案】(1)q=--，%2(2)n<9neN*

2

—3〃+17,n>5

【解析】

【分析】

(1)设等比数列的公比为°,%=-4-4，。6=-4-/,代入/=%=-4,解得q=l,再探

讨〃W4和5两种状况得到答案.

37

(2)先计算数列前4项的和为20,构造数列｛纵｝,前必项和图=-万加+万用计算不等式

得到答案.

【详解】(1)设等比数列的公比为<?,则％=-4/,。6=-4•/

,/从第5项起先各项依次为等差数列，二%+%=2&

\'a7--4,2q'-q-1-0,解得q=］或q=

V数列｛an｝为特别数列，...q=—；

当“W4时，a„=32.(-1r1

当〃25时，%=2,4=—1,=2+(〃—5),(―3)=—3n+17

—3n+17,n>5

⑵易知数列前4项的和为20,从第5项起先为等差数列，

当〃25时，数列为2,-1,-4,-7,

37

可令数列｛狐｝为2,-1,-4,-7,数列｛鬣｝的前〃项和*=-鼻/+万机，

37

依题意，—MT—机+2020,0<7775

22

综上所述：〃<9,

【点睛】本题考查了数列的通项公式，先N项和，意在考查学生对于数列公式和方法的驾驭

状况.

18.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面/皿为菱形，且NN吐60°,平面/夕必，

PA=AB,点、E,F为PC,处的中点.

*

(1)求证：平面劭欧L平面/灰力；

(2)二面角—汉一尸的大小；

(3)设点〃在加(端点除外)上,试推断◎/与平面戚是否平行，并说明理由.

兀

【答案】(1)证明见解析(2)-(3)"与平面叱不平行，详见解析

4

【解析】

【分析】

(1)连接2C与9设交点为。，连接刀。证明平面”卬，得到答案.

（2）以。为原点，以如，0C,%'为x,y,z轴建立空间直角坐标系，计算坐标得到平面的法

向量，计算夹角得到答案.

⑶假设存在，设PM=2P8（O<；1<1）,计算得到COS〈M,CM〉H0,所以不存在.

【详解】（1）证明：连接/C与初，设交点为。，连接户

由已知£,。分别为尸C,4c中点，可得EO//PA,

又因为平面4腼,

所以EOJ_平面力及力，EOu平面8应

所以平面〃力_L平面ABCD.

（2）以。为原点，以OB,0C,在'为x,y,z轴建立空间直角坐标系

设/比2因为底面/aZ?为菱形，且NZ叱60°,PA=AB，则〃BO=—a

2

。,0,0),C(0,-^,0),D(—^^~a,0,0),E(0,0,g,

贝！JFB=（—^。,鼻,一费，。3=（氐,0,0）.

设平面BFD的法向量为m=（x,y,z）.

y/3ax=0

x=0

m-DB—0,即《

则有《N3ad,即＜

m-FB=0——ax+—y—z=0y=z

I222

令y=l,则〃2=(0』,1)

m-OC

又由⑴可知OC=（0,■!，（））为平面叱的法向量，卜os〈私。。〉卜=也

m||0C

71

所以二面角E—BD—夕的大小为一

4

（3）因为点〃在阳（端点除外）上，设PM=/IP8（O<；1<1）,

则尸（0,—,。），Aa,---,a-Aa),CM«--,/l6Z-6Z)

2222

|cos(m,CAf)

所以〃与平面不平行.

【点睛】本题考查了面面垂直，二面角和线面平行，意在考查学生的计算实力和空间想象实

力.

19.设函数/(x)=x3-(b+l)x2+bx.

(1)当为0时，求函数/(无)的微小值；

(2)若已知垃1且函数/(x)与直线尸-x相切，求6的值；

(3)在(2)的条件下，函数/'(x)与直线产-x+0有三个公共点，求"的取值范围.(干脆写

出答案)

432

【答案】(1)——(2)为3(3)0<m<—

T127

【解析】

分析】

(1)求导得到函数的单调区间，再计算微小值.

2

r(x0)=3x0-(2Z2+2)x0+&=-l

(2)设切点是(毛,%),求导，依据条件得到(为=一/计算得

=x3z?+1

y0o-()V+H

到答案.

(3)化简得到机=X3—4/+4%,设g(x)=x3—4/+4x,画出函数图象得到答案.

2

【详解】(1)当先0时，/(%)=%3—必则/，(元)=3元2—2%，由1(x)=0得％=0,9=§，

22

当％<0或％〉耳时，f\x)>0；当0<%<9时，f\x)<0,

则当x=g时，Mx)取得微小值=_]|]=~

(2)因/(x)=--bx?-炉,则/'(x)=31一(2沙+2)x+b

设函数f(x)与直线产-x相切的切点是(毛，%)，

因为/'(。)=人>1，所以与w0,

/(%)=3/2_(26+2儿+8=-1

所以有%=f

%=%3-(6+1)/2+皿

又3/2—(2Z?+2)%o+Z?=—1,相减得级。？—(Z?+1)%。=0,

b+1Z?+l

所以笠，所以T=(三一1)答一匕)，解得於3.

(3)/(x)=x3-4%之+3x=-x+mm=x3-4x2+4x

设g(x)=x3-4x2+4x,g'(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2)

【点睛】本题考查了函数的单调性，切线问题，零点，意在考查学生的计算实力和转化实力.

20.已知函数/(x)=x—〃lnx(a>0).

(1)求函数/(1)的单调区间；

(2)求函数g(x)=gx2一双一/(%)的零点个数；

(3)当。=1时，求证不等式/(x)<2土解集为空集.

x

【答案】(1)/(尤)的单调增区间为3+8),单调减区间为(0,。)(2)g(x)在(0,+8)上只

有一个零点(3)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)求导得到尸(x)=l-@==，计算得到答案.

XX

(2)求导得至i]g'(x)=^W”二D,分类探讨a>1,。=1和0<。<1三种状况得到答案.

X

(3)原题等价于"(%)=工+工-111犬-1>0恒成立，求导得到函数的单调区间，计算最小值

X

力(@±1)〉0得到证明.

2

【详解】(1)的定义域为(o,+s).r(x)=i—q==

XX

令/'(x)=0,得x=a

当x>a时，有/'(x)>0,所以/Xx)在(a,y)上单调递增.

当0(尤<a时，有/'(x)<0,所以f(x)(0,。)上单调递减.

综上所述：f(x)的单调增区间为3,+8),单调减区间为(0,。)

(2)函数