辽宁省营口市大石桥市水源九一贯制校2024年中考数学模拟试卷（含解析）

辽宁省营口市大石桥市水源九一贯制校2024年中考数学模拟精编试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图是二次函数y=ax?+bx+c的图象，有下列结论：①acVl；②a+bVl；③4ac>b?；@4a+2b+c<l.其中正确的

个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列命题中错误的有（）个

（1）等腰三角形的两个底角相等

（2）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

（3）对角线相等的四边形为矩形

（4）圆的切线垂直于半径

（5）平分弦的直径垂直于弦

A.1B.2C.3D.4

3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE平分NBAD,分别交BC、BD于点E、P,连接OE,

ZADC=60°,AB=-BC=1,则下列结论：

2

①NCAD=30°②BD="③S平行四娜ABCD=AB・AC④OE=；AD⑤SAAPO=M，正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

4.神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）

A.2.8xl03B.28x103c.2.8xl04D.0.28xl05

5.不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4y2+6x-4y+ll的值（）

A.总不小于1B.总不小于11

C.可为任何实数D.可能为负数

6.如图，AB/7CD,点E在CA的延长线上.若NBAE=40。，则NACD的大小为（）

A.150°B.140°C.130°D.120°

7.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原计

划每天施工X米，所列方程正确的是()

1000100010001000

A.—2B.-=2

xx+30x+30X

1000100010001000

C.-------------=2D.-------=2

xx-30x—30X

8.如图，四边形ABCD内接于OO,AB为。O的直径,点C为弧BD的中点，若NDAB=50。，则NABC的大小是

()

/

A.55°B.60°C.65°D.70°

9.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若N1=4（F，则N2的度数为（）

A.50°B.40°C.30°D.25°

10.如图，BC平分/ABE,AB〃CD,E是CD上一点，若/C=35。，则NBED的度数为（）

A-----------------------

CED

A.70°B.65°C.62°D.60°

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D,若OD=2,tanZOAB=-,

2

则AB的长是.

12.因式分解：3x2-6xy+3y2=

13.分解因式：xy2-4x=

14.若m、n是方程X2+2018X-1=0的两个根，贝Um2n+mn2-mn=

15.阅读下面材料：

在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题:

已知：NAC3是△A5C的一个内角.

求作：ZAPB^ZACB.

小明的做法如下：

如图

①作线段A3的垂直平分线机；

②作线段BC的垂直平分线n,与直线m交于点O；

③以点O为圆心，OA为半径作小ABC的外接圆；

④在弧AC3上取一点P,连结AP,BP.

所以

老师说：“小明的作法正确.”

请回答：

(1)点。为△ABC外接圆圆心(即。4=05=00的依据是

(2)的依据是.

图1

16.分解因式：2x2_8xy+8y2=_.

17.分解因式：ab2-9a=.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注，某校计划将这种学习

方式应用到教育学中，从全校1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查，并绘

制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：本次接受随机抽样调查的学生人数为,图①中m

的值为;求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；根据样本数据，估计该校1500名学生家庭中

拥有3台移动设备的学生人数.

19.（5分）我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用.张先生以每股5元的价格买入

“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确

到0.01元）

20.（8分）如图①，二次函数的抛物线的顶点坐标C,与x轴的交于A（1,0）、B（-3,0）两点，与y轴交于点D

（0,3）.

（1）求这个抛物线的解析式;

（2）如图②，过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为-2,若直线PQ为抛物线的对

称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存

在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图③，连接AC交y轴于M,在x轴上是否存在点P,使以P、C、M为顶点的三角形与AAOM相似？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（10分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀.“从中任意抽取1

个球不是红球就是白球”是事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是事件；从中任意抽取1个球恰好是红

球的概率是;学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球,

若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙.你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明.

22.(10分)如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一个动点(不与点AC重合)，连接必过点P作竹，依，

交直线。。于点尸.作PELAC交直线。。于点E,连接AE,3b.

(1)由题意易知，AADC且AABC,观察图，请猜想另外两组全等的三角形/_____四A；A_______；

(2)求证：四边形AEEB是平行四边形；

(3)已知AB=20，APEB的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

23.(12分)对于平面直角坐标系中的点。(羽y)(x/O),将它的纵坐标V与横坐标x的比上称为点Q的“理想

X

2

值”，记作名.如。(-1,2)的“理想值"％=[=-2.

-1

(1)①若点Q(l,a)在直线y=x-4上，则点。的“理想值等于；

②如图，。的半径为1.若点。在。上，则点。的“理想值”4的取值范围是.

(2)点。在直线y=—#%+3上，一。的半径为1,点Q在。上运动时都有求点。的横坐标和的

取值范围；

(3)M(2,m)(m>0),。是以r为半径的M上任意一点，当夜时，画出满足条件的最大圆，并直接

写出相应的半径厂的值.(要求画图位置准确，但不必尺规作图)

24.（14分）如图山坡上有一根旗杆AB,旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为6痴米，斜坡BC的坡度i=l：下）.小

明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45。，

旗杆底部B的仰角为20°.

（1）求坡角/BCD；

（2）求旗杆AB的高度.

（参考数值：sin20°=0.34,cos20°=0.94,tan20°~0.36）

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=l

时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】

解：①根据图示知，该函数图象的开口向上，•••”>1；该函数图象交于y轴的负半轴，

c<l；ac<0故①正确；

b

②）对称轴x-....-1,..b——2a,

2a

b

：・—<0,

2a

a+b=a=2a=-a<0,故②正确；

③根据图示知，二次函数与“轴有两个交点，所以=〃—4a>0,即方2>4〃C,故③错误

@4a+2b+c=4a-4a+c=c<0,故本选项正确.

正确的有3项

故选C.

【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数的关系.二次项系数。决定了开口方向，一次项系数万和二次项系数。共同决定了对称

轴的位置，常数项c决定了与y轴的交点位置.

2、D

【解析】分析：根据等腰三角形的性质、正方形的判定定理、矩形的判定定理、切线的性质、垂径定理判断即可.

详解：等腰三角形的两个底角相等，（1）正确；

对角线相等、互相平分且互相垂直的四边形是正方形，（2）错误；

对角线相等的平行四边形为矩形，（3）错误；

圆的切线垂直于过切点的半径，（4）错误；

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，（5）错误.

故选D.

点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉

课本中的性质定理.

3、D

【解析】

①先根据角平分线和平行得：ZBAE=ZBEA,则AB=BE=1,由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE

是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：ZACE=30°,最后由平行线的性质可作判断；

②先根据三角形中位线定理得：OE=；AB=；,OE〃AB,根据勾股定理计算和OD的长，可

得BD的长；

③因为/BAC=90。，根据平行四边形的面积公式可作判断；

④根据三角形中位线定理可作判断；

⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：SAAOE=SAEOC=-OE-OC==:,代入可得结论.

28SAOP2

【详解】

@VAE平分/BAD,

.\ZBAE=ZDAE,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC,ZABC=ZADC=60°,

ZDAE=ZBEA,

/.ZBAE=ZBEA,

；.AB=BE=1,

/.△ABE是等边三角形,

/.AE=BE=1,

VBC=2,

/.EC=1,

/.AE=EC,

:.ZEAC=ZACE,

ZAEB=ZEAC+ZACE=60°,

.,.ZACE=30°,

VAD//BC,

/.ZCAD=ZACE=30o,

故①正确；

②；BE=EC,OA=OC,

/.OE=-AB=-,OE〃AB,

22

ZEOC=ZBAC=60°+30°=90°,

V四边形ABCD是平行四边形,

/.ZBCD=ZBAD=120°,

.\ZACB=30°,

.\BD=2OD=V7.故②正确;

③由②知：NBAC=90。,

：•SoABCD=AB*AC,

故③正确；

④由②知：OE是△ABC的中位线,

XAB=-BC,BC=AD,

2

/.OE=-AB=-AD,故④正确；

24

⑤；四边形ABCD是平行四边形，

AOA=OC=—,

2

111J372

：,SAAOE=SAEOC=-OE*OC=—x—x=——

22228

VOE/7AB,

.EP_OE_1

**AP-AB_2>

V1

・°POE_

••♦一，’

SAAOP=—SAAOE=—X=---,故⑤正确;

33812

本题正确的有：①②③④⑤，5个，

故选D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算;

熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系.

4、C

【解析】

试题分析：28000=1.1x1.故选C.

考点：科学记数法一表示较大的数.

5、A

【解析】

利用配方法，根据非负数的性质即可解决问题；

【详解】

解：,.,x2+4y2+6x-4y+ll=(x+3)2+(2y-l)2+1,

又；(x+3)2>0,(2y-l)2>0,

/.x2+4y2+6x-4y+ll>l,

故选：A.

【点睛】

本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握配方法.

6、B

【解析】

试题分析：如图，延长DC到F,则

VAB/7CD,ZBAE=40°,ZECF=ZBAE=40°.

ZACD=180°-ZECF=140°.

故选B.

考点：1.平行线的性质；2.平角性质.

7、A

【解析】

分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工(x+30)米，根据：原计划所用时间-实际所用时间=2,列出方程即

可.

详解：设原计划每天施工x米,则实际每天施工(x+30)米,

10001000

根据题意，可列方程:-------------------=2,

xx+30

故选A.

点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程.

8、C

【解析】

连接OC,因为点C为弧BD的中点，所以NBOC=NDAB=50。，因为OC=OB,所以NABC=NOCB=65。，故选C.

9、A

【解析】

由两直线平行，同位角相等，可求得N3的度数，然后求得N2的度数.

【详解】

如图，

VZ1=4O°,

,,.Z3=Z1=4O°,

.,.Z2=90°-40°=50°.

故选A.

【点睛】

此题考查了平行线的性质.利用两直线平行，同位角相等是解此题的关键.

10、A

【解析】

由AB〃CD,根据两直线平行，内错角相等，即可求得NABC的度数，又由BC平分NABE,即可求得NABE的度

数，继而求得答案.

【详解】

；AB〃CD,NC=35。，

.\ZABC=ZC=35°,

；BC平分NABE,

:.ZABE=2ZABC=70°,

VAB//CD,

/.ZBED=ZABE=70°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质进行解答.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、8

【解析】

nr

如图，连接OC,在在RtAACO中，由tanNOAB=—,求出AC即可解决问题.

AC

【详解】

解：如图，连接OC.

；AB是。O切线，

/.OC±AB,AC=BC,

在RtZkACO中，VZACO=90°,OC=OD=2

,OC

tanZOAB=-----,

AC

*12

••__一—__，

2AC

/.AC=4,

.\AB=2AC=8,

故答案为8

【点睛】

本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考

常考题型.

12、3(x-y)1

【解析】

试题分析：原式提取3,再利用完全平方公式分解即可，得到3炉-6xy+3y1=3(x1-Ixy+y1)=3(x-y)L

考点：提公因式法与公式法的综合运用

13、x(y+2)(y-2)

【解析】

原式提取x,再利用平方差公式分解即可.

【详解】

原式=x(y2-4)=x(y+2)(y-2),

故答案为x(y+2)(y-2).

【点睛】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

14、1

【解析】

根据根与系数的关系得到m+n=-2018,mn=T,把m2n+mm2-mn分解因式得到mn(m+n-1),然后利用整体

代入的方法计算.

【详解】

解：；m、n是方程X2+2018X-1=0的两个根,

二+二=

'二二一7,

则原式=mn(m+n-1)

=-lx(-2018-1)

=-lx(-1)

=1,

故答案为：L

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别

为-与-，则解题时要注意这两个关系的合理应用.

15、①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换同弧所对的圆周角相等

【解析】

（1）根据线段的垂直平分线的性质定理以及等量代换即可得出结论.

（2）根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论.

【详解】

（1）如图2中，

〈MN垂直平分AB,EF垂直平分BC,

.-.OA=OB,OB=OC（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）,

.\OA=OB=OC（等量代换）

故答案是：

(2)•AB=AB，

/.ZAPB=ZACB(同弧所对的圆周角相等).

故答案是：(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等和等量代换；(2)同弧所对的圆

周角相等.

【点睛】

考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质.

16、1(x-ly)1

【解析】

试题分析：lx1-8xy+8yl

=1(x1-4xy+4yD

=1(x-ly)i.

故答案为：1(x-ly)i.

考点：提公因式法与公式法的综合运用

17、a(b+3)(b-3).

【解析】

根据提公因式，平方差公式，可得答案.

【详解】

解：原式=a(b2-9)

=a(b+3)(b-3),

故答案为：a(b+3)(b-3).

【点睛】

本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(I)50、31；(II)4；3；3.1;(III)410人.

【解析】

(I)利用家庭中拥有1台移动设备的人数除以其所占百分比即可得调查的学生人数，将拥有4台移动设备的人数除

以总人数即可求得m的值；(n)根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；(ni)将样本中拥有3台移动设备

的学生人数所占比例乘以总人数1500即可求解.

【详解】

4

解：(I)本次接受随机抽样调查的学生人数为：—=50(人)，

8%

16

■:——xl00=31%,

50

•*.图①中m的值为31.

故答案为50、31；

(II)•••这组样本数据中，4出现了16次，出现次数最多，

，这组数据的众数为4；

•.•将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为3,有奇=3,

这组数据的中位数是3；

这组数据的平均数是3.1.

(III)1500x18%=410(人).

答：估计该校学生家庭中；拥有3台移动设备的学生人数约为410人.

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

19、至少涨到每股6.1元时才能卖出.

【解析】

根据关系式：总售价-两次交易费N总成本+1000列出不等式求解即可.

【详解】

解：设涨到每股x元时卖出，

根据题意得lOOOx-(5000+1000x)x0.5%>5000+1000,

解这个不等式得转与黑，

199

即x>6.1.

答：至少涨到每股6.1元时才能卖出.

【点睛】

本题考查的是一元一次不等式在生活中的实际运用，解决本题的关键是读懂题意根据“总售价-两次交易费之总成本

+1000”列出不等关系式.

20、【小题1】设所求抛物线的解析式为：，,尸博产需融吟化，将A(l,0)、B(-3,0)、D(0,3)代入，得

Ki=TJ剑=.................................2分

即所求抛物线的解析式为：；=-L-2、-3...........................................3分

【小题2】如图④，在y轴的负半轴上取一点L使得点F与点I关于x轴对称，

在x轴上取一点H,连接HF、HI、HG、GD、GE,贝!JHF=HI............................①

设过A、E两点的一次函数解析式为：y=kx+b(k#0),

•••点E在抛物线上且点E的横坐标为-2,将x=-2,代入抛物线=-、-二「，得=-->：-二-二十W

.•.点E坐标为(-2,3)....................................................................................................4分

又,抛物线二.图象分别与x轴、y轴交于点A(1,O)、B(-3,0)、

D(0,3),所以顶点C(-1,4)

二抛物线的对称轴直线PQ为：直线x=-L［中国教#&~@育出％版网］

.••点D与点E关于PQ对称，GD=GE.......................................................................②

分别将点A(1,0)、点E(-2,3)

代入y=kx+b,得：

二了解得：二_=

过A、E两点的一次函数解析式为：

y=-x+l

.,.当x=0时，y=l

•••点F坐标为（0,1）................................5分

:.二二|=2..............................................................③

又•••点F与点I关于x轴对称,

.•.点I坐标为(0,-1)

A|DD|=JH-T+PTFP=<?+r=N3....................................④

又；要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，

,只要使DG+GH+HI最小即可............................6分

由图形的对称性和①、②、③，可知，

DG+GH+HF=EG+GH+HI

只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小

设过E(-2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为：二=二二+二”二1；=。，

分别将点E(-2,3)、点I(0,-1)代入二二二二+二,，得：

「三一二…解得:

(一/!=—,lU2j==-31

过I、E两点的一次函数解析式为：y=-2x-l

.,.当x=-l时，y=l；当y=0时，x=上；

.•.点G坐标为(-1,1),点H坐标为(-S0)

/.四边形DFHG的周长最小为：DF+DG+GH+HF=DF+EI

由③和④，可知:

•••四边形DFHG的周长最小为二一八三7分

【小题3】如图⑤,

由⑵可知,点A(l,0),点C(-1,4),设过A(l,0),点C(-1,4)两点的函数解析式为：L=；'：v",得：二A二!•=6.

I—•+■;=-

解得：二二

过A、C两点的一次函数解析式为：y=-2x+2,当x=0时，y=2,即M的坐标为(0,2)；

由图可知，AAOM为直角三角形，且=:，............8分

要使，AAOM与APCM相似，只要使△PCM为直角三角形，且两直角边之比为1:2即可，设P(-,0),

CM==亚,且NCPM不可能为90。时，因此可分两种情况讨

论；............................................................9分

①当NCMP=90。时，CM=,1l_］：二卡,若'盘='•则~卓，可求的P(40)，则CP=5,

CP--凹广，即P(-4,0)成立，若竺=方由图可判断不成

剧0

立；..................................................................10分

7

②当NPCM=90。时，CM==„,'5，若'匕=•则PC-2-.：'，可求出

P(-3,0),则PM=4百，显然不成立，若京;=%,则pc=三，更不可能成立.……11分

综上所述，存在以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似，点P的坐标为(-4,0)12分

【解析】

⑴直接利用三点式求出二次函数的解析式；

(2)若四边形DFHG的周长最小，应将边长进行转换，利用对称性，要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一

个定值，只要使DG+GH+HI最小即可，

由图形的对称性和，可知，HF=HLGD=GE,

DG+GH+HF=EG+GH+HI

只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小，即

|二(-2-0)'-K+/=二、3,DF+EI=2+；Y3

即边形DFHG的周长最小为一-J-/3.

(3)要使△AOM与APCM相似，只要使APCM为直角三角形，且两直角边之比为1:2即可，设P(.,0),

CM=V：-_•-=,且NCPM不可能为90。时，因此可分两种情况讨论，①当NCMP=90。时，CM==、巧,

若二=2则力，可求的p(_4,o),则CP=5,CP：=(3/：即P(-4,0)成立，若±=能由

,_______磔胖-1|

图可判断不成立;②当NPCM=90。时,CM=J「一二上，若"三=工,.则一-，可求出P(-3,0),则PMjjC，

显然不成立，若'*=%,则匚，更不可能成立.即求出以P、c、M为顶点的三角形与AAOM相似的P的坐

阳，2

标(-4,0)

3

21、(1)必然，不可能；(2)(3)此游戏不公平.

【解析】

(1)直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案；

(2)直接利用概率公式求出答案；

(3)首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案.

【详解】

(1)“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件；

故答案为必然，不可能；

3

(2)从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是：-;

3

故答案为二；

(3)如图所示：

笑红2红3白1白2

'

,12小白1白2红1红3白1白，红1红2白1白2红1组组白2红1组组白2

Q2

由树状图可得：一共有20种可能，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：—=-；

205

3

则选择乙的概率为：

故此游戏不公平.

【点睛】

此题主要考查了游戏公平性，正确列出树状图是解题关键.

22、(1)PEF,PCB,ADE,BCF；(2)见解析；(3)存在，2

【解析】

(1)利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证明全等即可；

(2)由⑴可知APEFmAPCB,贝第所=及7,从而得到AB=EF,最后利用一组对边平行且相等即可证明；

(3)由(1)可知APEF当APCB,则=从而得到APB厂是等腰直角三角形，则当尸5最短时，APBF的

面积最小，再根据AB的值求出PB的最小值即可得出答案.

【详解】

解：(1)四边形A5C。是正方形，

AD=DC=BC,ZACD=ZACB=45°,

PE±AC,PB±PF,

NEPC=/BPF=90°>

ZEPF=NCPB/PEC=ZPCE=45°,

：.PE=PC,

在APEF和APCB中，

NPEF=NBCP

<PE=PC

NEPF=ZCPB

APEF^APCB(ASA)

.-.EF=BC=DC

..DE=CF

在AWE和ABCF中，

AD=BC

<ND=NBCF=90°,

DE=CF

MDE乌^BCF(SAS)

故答案为PEF,PCB,ADE,BCF；

(2)证明：由(1)可知APEF当APCB,

:.EF=BC,

AB=BC

:.AB=EF

AB//EF

四边形A£EB是平行四边形.

(3)解：存在，理由如下：

APEF^APCB

：.PF=PB

ZBPF=90°

...AP使是等腰直角三角形,

.•.尸3最短时，APM的面积最小,

,当依，AC时，必最短，此时P3=43・8545°=2逝\走=2,

2

.,.APBF的面积最小为-x2x2=2.

2

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是

解题的关键.

23、⑴①-3；②LQW瓜⑵孚＜%»42代；(3)V2

【解析】

(1)①把Q(1,a)代入y=x-4,可求出a值，根据理想值定义即可得答案；②由理想值越大，点与原点连线与犬轴夹

角越大，可得直线。。与。相切时理想值最大，。与x中相切时，理想值最小，即可得答案；(2)根据题意，讨

论。与x轴及直线＞=也x相切时，LQ取最小值和最大值，求出。点横坐标即可；(3)根据题意将点〃转化为直

线％=2,。点理想值最大时点。在y=2缶上，分析图形即可.

【详解】

(1)①•.•点Q。,。)在直线y=x—4上，

：•〃二1一4二一3,

点Q的“理想值"Lo=—=-3,

1

故答案为：-3.

②当点。在。与x轴切点时，点。的“理想值”最小为0.

当点。纵坐标与横坐标比值最大时，。的“理想值”最大，此时直线。。与。切于点Q,

设点Q(x,y),。与X轴切于A,与OQ切于Q,

VC(6，1),