高考数学一轮复习题型与专项训练：三角函数题型战法

第四章三角函数与解三角形

4.1.1三角函数(题型战法)

知识梳理

一三角函数的概念与弧度制

1.任意角：

(1)角的分类：正角；负角；零角。

(2)象限角：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)

在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

2.弧度制与角度制的换算

(1)角度与弧度的关系：180°=^roJ

(2)设一个角的角度数为力弧度数为a,则1=——

180

3.特殊角的弧度数

角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

717171712713兀5兀3兀

弧度07127r

~6~4~2TT~6~2

4.弧长与扇形面积公式

(1)弧长公式：在半径为r的圆中，若弧长为/的弧所对的圆心角为arad,则a='，所以弧长公式为/=£儿

r

(2)扇形面积公式：若/是扇形的弧长，厂是扇形的半径，则扇形的面积公式是S=!"

2

二任意角的三角函数

1.任意角的正弦、余弦与正切的定义：

对于任意角a来说，设尸(x,y)是a终边上异于原点的任意一点，r=J任+/,称)为角a的正

YYX

弦，记作sina；称一为角。的余弦，记作cosa,因此sina=—,cosa=一.当角。的终边不在y轴

rrr

上时，称上为角a正切，记作tana,即tana=2,角a的正弦、余弦、正切都称为a的三角函数.

XX

2.同角三角函数的基本关系式:

sin2a+cos2a=l,

sinQ

tana=---------.

cosa

3.诱导公式口诀：奇变偶不变、符号看象限

三三角函数的图像与性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

y

yy3

=

11)*-smxycosj2

/A./1

图像iz

°1/lit—it°兀

一…2/-2

-1-l

-3

71

定义域RR{x\xkyi+—,keZ}

值域[-1,1][-1,1]R

对称中心仔,0）（左eZ）

对称轴X=k7T+^(keZ)对称轴x=k兀（keZ）

对称性

对称中心（左万+却）（左eZ）

对称中心(—0)(%GZ)

周期性T=2TTT=2兀T=71

单调增区间单调增区间单调增区间

ITTT

\2kjr—兀,2卜兀［*eZ）

［2^一至，2左"+工］伏eZ）单(kn--，上=H——)(kGZ)

2222

单调性单调减区间

调减区间

Ylk兀,2k?i+%］（左£Z）

［2k兀+—,2k;r+——］（左GZ）

22

奇偶性奇函数偶函数奇函数

题型战法

题型战法一扇形的弧长与面积公式

典例1.半径为2cm,圆心角为Irad的扇形的面积为（）

A.^cm2B.1cmC.21cm2D.2cm2

变式1-1.扇形的弧长为12,面积为24,则圆心角的弧度数为（）

A.4B.3C.2D.1

变式1-2.扇形的半径为10cm,面积为lOOcm"则扇形的弧所对的圆心角为（）

A.2弧度B.27r弧度C.10弧度D.2°

变式1-3.已知某扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为10,则该扇形的周长为（）

A•2B.盖C.热D.新

变式1-4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所

用的经验公式为：弧田面积=3（弦x矢+矢D,弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”

指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为夸，弧长等于F米的弧

田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是（）平方米.

题型战法二任意角的三角函数

典例2.已知角a的终边与单位圆交于点A\,一曰J,1则sina的值为（

A.-逅

B.--D.1

2222

变式2-1.已知角a的终边经过点P（T2）,则tana=()

A.2B.-2C.1D.-1

变式2-2.已知角a的终边经过（1，-3）,则costz-sina=()

A2MB.叵「A/10n2M

510105

变式2-3.若。为第四象限角，则（)

A.cosor>0,sincr>0B.COS6T>0,sinor<0

C.cos6Z<0,sincr>0D.cos«<0,sina<0

变式2-4.若sin，<0且tan”。，则角6所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

题型战法三同角三角函数的基本关系

典例3.已知sinc=；,且。为第一象限角，贝"cosa=（）

3

A.-BC.D._2

5-44~4

变式31已知cosa=——，tana=1,贝Usina=()

2

B,史25

A.-C.D.

3279

变式32.已知sina+cosa=,则sin2a的值为（)

2

V3D.-也

B-r

A.三22

—.L八，p2cos6-sin6

变式3-3.已知tan6=4,则一八°.八=()

cos6+2sme

12-42

A.—B.——C.——D.——

3399

变式3-4.已知tan6=；,贝!jcos2e+cos6sine=()

A.2心口3+V3

D.--------------c.-D.-

2256

题型战法四诱导公式

典例4.cos225。的值为（）

72

A.一直B.一比rD.B

2222

变式4-1.cos2040°=()

D.-3

A.1B.--

222

若sin[a+?)=g，则c°s[a+g、（）

变式4-2.

411-77

A.-B.—C.-D.—

3399

已矢口2＜：0$］］一4+$也（/+々］=

变式4-3.0,则tcm(7r—a)=()

D--I

A.2B.—2Jc-2

、.,一sin(7r—e)+cos(。一2兀)1

变式4-4.右一sin。+cos(无+0)—"5'贝ijtan*()

]_

A.BC.-3D.3

3-4

题型战法五三角函数的图像与性质

典例5.若函数〃x）=2sin[2x_（+，是奇函数，则。的值可以是

)

A.~B.gC.--D.7t

623~2

变式5-1.已知函数〃x）=tan（s-1（0>°）的图像与直线>=1的相邻两个交点的距离为六，则

的图像的一个对称中心是（）

变式5-2.函数〃尤）=318-向（。>0）的图像关于直线》4对称，则。可以为（）

A.-11B.y2C.ID.1

3/J

变式5-3.函数/（x）=sin（2呜）在[-若）上的值域为（）

A.（0,1]B._^~,0C._^~,1D.[—1,1]

\2）I2」

变式5-4.函数"x）=sin（5+W（o>0）的周期为2,下列说法正确的是（）

,71

A.o）=—

2

B.是奇函数

C./（无）在《4，75上单调递增

D.y=〃x）的图像关于直线x=-g对称

题型战法六三角函数图像的变换

典例6.为得到函数#=泌45.*怎的图象，只需要把函数；二sm二•的图象上所有的点

A.向左平移:个单位长度B.向右平移!个单位长度

一■

C.向左平移I个单位长度D.向右平移1个单位长度

变式6-1.已知函数.八；二sn:、-ES的图象，则把函数Ax）的图象上每个点的横坐标扩大到原来

的2倍，再向右平移?，得到函数g（x）的图象，则函数g（无）的一条对称轴方程为（）

A-%=?B-%=iC.x"D.户?

变式62将函数y=sin（6x+£|的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再

将所得图象向右平移营个单位，得到函数y=的图象，则的一个对称中心是（）

O

变式6-3.已知函数/（尤）=40«8+三卜乂。＞0）的图象向右平移*个单位长度后与原图象重合，

则。的最小值是（）

变式6-4.将函数〃x）=cos（x-?j的图象向左平移:个单位后得到函数g（元）的图象，则g（x）（）

A.为奇函数，在］上单调递减B.最大值为1,图象关于y轴对称

C.周期为万，图象关于点（I，。）对称D.为偶函数，在，上单调递增

题型战法七由图像求解析式

典例7.若函数/（x）=sin（8+0）（0＞O,网＜与的图象（部分）如图所示，则Ax）的解析式为（）

兀

B./(x)=sin(2x+—)

]兀冗

C./(x)=sin(-x+j)D./(%)=sin(2x+—)

6

变式7-1.若〃x）=Asin（ox+9）的图像如下图所示，且白和是最小的两个正零点，若

10lo

f⑼=4,则/（x）的解析式可以是（）

A.f(^)=-sin+—

C.〃x)=sin]-4x+?

变式72函数〃力=45皿西+协（4＞0,。＞0,帆＜万）部分图像如图所示,则函数八》）解析式为（）

33%

B./(x)=2sin-x-\-----

24.

C.〃x）=2sin生+?’33%

D./(x)=2sin—x+——

44

变式73已知函数"x）=Asin（s+。）｝＞0,。＞0,闸＜]J的部分图像如图所示，则将的图像

向左平移合个单位后，所得图像的函数解析式为（）

B.y=—cos4x

4

3

D.y=——cos4x

4

变式74已知函数/(x)=Asin(s+e)(A>0,@>0,|°|<U的部分图象如图所示，则下列说法正确的

是()

A.该图象对应的函数解析式为〃x)=2sin[2x+^

B.函数>=/(尤)的图象关于直线x=1|对称

C.函数y=/(x)的图象关于点„对称

D.函数y=/(x)在区间-刀厂工上单调递减

3。

题型战法八比较大小

典例8.^a=tanl,b=tan2,c=tan3,则Q,b,c的大小关系为()

A.a>c>bB.a<b<c

C.a>b>cD.a<c<b

变式8-l・^4Z=sin47,Z?=cos37,c=cos47则大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

变式8-2.已知a=sinl60。，Z?=cos50°,c=tanllO0,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

SIT

变式8-3.已知。=sin二，Z?=sin—,=sin—,则。也。的大小关系是（）

576

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

1TT_

变式8-4.已知。=sin不Z?=cos：,c=tan2,则a、c的大小关系为（）

26

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

第四章三角函数与解三角形

4.1.1三角函数(题型战法)

知识梳理

一三角函数的概念与弧度制

1.任意角：

(1)角的分类：正角；负角；零角。

(2)象限角：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的

终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

2.弧度制与角度制的换算

(1)角度与弧度的关系：180°=mzzJ

rijr

(2)设一个角的角度数为小弧度数为a,则1=——

180

3.特殊角的弧度数

角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

717171712九3兀3%

弧度071

~6~4~2T~6~22%

4.弧长与扇形面积公式

(1)弧长公式：在半径为，的圆中，若弧长为/的弧所对的圆心角为arad,则&=,，所以

r

弧长公式为I=ar.

(2)扇形面积公式：若/是扇形的弧长，厂是扇形的半径，则扇形的面积公式是

2

二任意角的三角函数

1.任意角的正弦、余弦与正切的定义：

对于任意角a来说，设P(x,y)是a终边上异于原点的任意一点，厂=)任+用,称工

■Xyx

为角a的正弦，记作sina；称一为角a的余弦，记作cosa,因此sina=—,cosa=—.

rrr

当角。的终边不在y轴上时，称上为角。正切，记作tana,即tana=2,角。的正

xx

弦、余弦、正切都称为a的三角函数.

2.同角三角函数的基本关系式:

sin2a4-cos2a=l»

sina

tana=------.

cosa

3.诱导公式口诀：奇变偶不变、符号看象限

三三角函数的图像与性质

函数y=sin九y=cosxy=tanx

y

3

y,=1：v=tanxI

1)smx产cosJ

图像2

I

--------------1-------------

金—nO"„

-1-1'-2

-3

定义域71

RR{x\x^k7i+—,keZ}

值域[-1,1]r-i,uR

对称轴x=k兀（k）

对称轴x=k7i+eZ对称中心（幺,0）（左eZ）

2

对称性对称中心（立+/,O）（AeZ）

对称中心（k哂（kwZ）

周期性T=2»T=2TTT=7T

单调增区间单调增区间单调增区间

[2左万—7r,2k7i]（k£Z）7171

[2^-1,2^+1](^GZ)<（左»—5,左》十万）（女EZ）

单调性单调减区间

调减区间

[2左万,2左4十万]（左£Z）

TT37r

[2题+—,2br+—](%£Z)

22

奇偶性奇函数偶函数奇函数

题型战法

题型战法一扇形的弧长与面积公式

典例1.半径为2cm,圆心角为Irad的扇形的面积为（）

A.乃cm?B.1cm2C.2^-cm2D.2cm2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可.

【详解】

扇形的弧长/=R&=1x2=2,

则扇形的面积S=g/R=:x2x2=2c〃?2.

故选：D.

变式1-L扇形的弧长为12,面积为24,则圆心角的弧度数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据扇形面积与弧长公式列式求解即可

【详解】

由扇形面积与弧长公式可得，S=ga产=24,l=ra=12,故r=4,解得弧度数a=3

故选：B.

变式1-2.扇形的半径为10cm,面积为lOOcn?,则扇形的弧所对的圆心角为（）

A.2弧度B.2兀弧度C.10弧度D.2。

【答案】A

【解析】

【分析】

根据扇形的面积公式求解即可.

【详解】

S=-lr=-ar2,

22

1

crxlO9=100,

2

解得a=2（弧度），

故选：A

变式1-3.已知某扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为10,则该扇形的周长为（）

A.也B•也C•型D.生

sin2sinlsin2sinl

【答案】D

【解析】

【分析】

由弦长和圆心角可求得扇形半径，由扇形弧长公式可求得弧长/,进而得到周长.

【详解】

由题意得：扇形的半径，=三，则该扇形的弧长r=£,

sin1sinl

,该扇形的周长为-2厂=含20.

sinl

故选：D.

变式1-4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计

算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=g（弦X矢+矢2）,弧田（如图）由圆弧

和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距

离之差，现有圆心角为券，弧长等于3米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧

田面积是（）平方米.

C.4+2拒D.2+4追

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知求得矢和弦长，再由公式计算.

【详解】

设半径为「，贝|丝="乙r=4,所以弦长为2rsin2=2x4x且=4括，

3332

JT1

矢为r-rcos—=4—4x—=2,

32

所以弧田面积为S=gx(2x46+22)=4道+2.

故选：D.

题型战法二任意角的三角函数

典例2.已知角。的终边与单位圆交于点则sina的值为()

A.一昱B.--C.BD.1

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义即可求出.

【详解】

根据三角函数的定义可知，sina=y=-#.

故选：A.

变式2-1.已知角C的终边经过点尸(T2),则tana=()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】

由正切函数的定义计算即可求解.

【详解】

2

解：由题意得tana=—7=-2.

故选：B.

变式2-2.已知角a的终边经过(1,-3),贝ljcosa-sina=()

A2aB.叵n2屈

510"uF5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正余弦的定义分别求解a的正余弦，再求解即可

【详解】

1-342M

由pb星越思页，coscc—sincc――师f百7—/——^-----5---

故选：A

变式2-3.若a为第四象限角，则()

A.cos6/>0,sina>0B.cosor>0,sincr<0

C.cosa<0,sin>0D.cosavO,sina<0

【答案】B

【解析】

【分析】

依据三角函数定义和象限角定义去判断cosa、sina的符号即可解决

【详解】

a为第四象限角，依据三角函数定义，则有cos(z>0,sina<0

故选：B

变式24若sin6<0且tand<0,则角。所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角函数的正负，确定角。所在的象限.

【详解】

sin6<0,则角。在第三，四象限，tan6<0,则角。在第二，四象限,

所以满足sin6<0且tandvO,角6在第四象限.

故选：D

题型战法三同角三角函数的基本关系

3

典例3.已知sina=《，且。为第一象限角，则cosa=()

A.-B.--C.-D.--

5544

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系即可解出.

【详解】

因为a为第一象限角，sina=|,所以cose=Jl-sin2a=*

故选：A.

变式3-1.已知cosa二正，tana=l,贝!Jsina=()

2

A.-B.走C.-D.-

3279

【答案】B

【解析】

【分析】

结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【详解】

.•72.41

sina=cosaxtana=x1=----.

22

故选：B

变式3-2.已知sine+cose=-逅，则sin2a的值为()

2

A.1B.--C.昱D.一立

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

对siwc”-半平方后，结合同角三角函数平方关系及正弦的二倍角公式进行求

解.

【详解】

sincr+cos«=-逅平方得:

sin2a+cos2cr+2sinacosa,

22

3」

即1+sin2。=],解得:sin2a

2

故选：A

I2cos。一sin。

变式3-3.已知tan6=4,n()

、cose+2sin6

22

AB.cD.

--I3-49

【答案】D

【解析】

【分析】

根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得;

【详解】

生匚2cos夕一sin。2-tan2-42

解：因为tan〃=4,所以——

cos9+2smel+2tan。1+2x49

故选：D.

变式3-4.已知tan^=则cos?。+cosOsin。=()

B3+百5

A.cD.

2.2-I6

【答案】C

【解析】

【分析】

利用三角齐次式求解即得.

【详解】

因为tang=；

2。1+—

故..-c-os--e--+-s-in-O--c-o-s-=--1+--t--a-=-n----7=—6

sin20+cos201+tan20l+Jp5

故选:C.

题型战法四诱导公式

典例4.cos225。的值为()

A.-走B.一变C.正

222

【答案】B

【解析】

【分析】

由诱导公式直接化简求得结果即可.

【详解】

解:cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=一日.

故选：B

变式4-1.cos2040°=()

A.1B.--C.也V3

D.

2222

【答案】B

【解析】

【分析】

利用诱导公式结合特殊角的三角函数值可得正确的选项.

【详解】

cos2040°=cos(3x360°-120°)=cos120°=-cos60°=-1,

故选:B.

变式4-2.若sin(a+?]=g,贝！Jc°s[a+U=(

177

A.B.C.D.

3399

【答案】B

【解析】

【分析】

利用诱导公式计算可得；

【详解】

解：因为sin[a+?]=g,

(2式兀(兀\].(71\1

所以cosa-\---=--cos

I3.2(6)\16)3

故选：B.

变式4-3.已知2cosc-a)+sinC+a]=O,贝1位九(兀一。)二()

A.2B.—2C.JD.--

22

【答案】C

【解析】

【分析】

根据诱导公式五、六可得2sina+cosa=0,由同角三角函数的关系可得tana=-g,结

合诱导公式二计算即可.

【详解】

由已矢口得2sina+cosa=。,

c.1

/.2sma=-cosa,tana-——,

2

・Z、1

..tan(7T-a)=-ta.na=—.

2

故选：C

sin(兀一e)+cos(6-27i)11a(

变式4-4.若Une6和+e)则)

A-1B-4C.-3D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

利用诱导公式,弦化切进行计算.

【详解】

sin（7：-6^）+cos（^-27i）_sin6+cos6_1

sin6+cos（7i+e）sin0—cos02

分子分母同除以cose,

tan^+l_1

tan0-12'

解得：tan3=—3

故选:C

题型战法五三角函数的图像与性质

典例5.若函数〃x)=2sin(2x-^+力是奇函数，则夕的值可以是()

A.B.工C.-2D.-王

6232

【答案】C

【解析】

【分析】

由三角函数的性质求解

【详解】

若函数〃x)=2sin(2x-g+\是奇函数，

JTTT2冗

贝U一耳+夕=kn,keZ,得夕=耳+k兀,kjZnk=-l,(p=---

故选：C

变式5-1.已知函数=tan^x-^(®>0)的图像与直线y=1的相邻两个交点的距

离为］，则的图像的一个对称中心是()

A.［川B.］刊Ct，。］D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定信息，结合正切函数的性质求出。，再列出方程可求解.

【详解】

由函数〃x）=tan,x-£|（0>0）的图像与直线y=l的相邻两个交点的距离为（

则有〃无）的周期7=工=彳，解得。=2,

CD2

于是得〃x）=tan（2x-：J,

所以〃x）的图像的对称中心横坐标方程满足2X-?=当，（左eZ）,

解得尤=9+”，（丘z），可知俗,。]为其一个对称中心.

o4Vo）

故选：C

变式5-2.函数"x）=cosNx-m（o>0）的图像关于直线X、对称,则。可以为（）

A.jB.1C.ID.1

【答案】C

【解析】

【分析】

TTIT2

/（%）=cos（<»x--）（<«>0）的对称轴为=A%，化简得到0=2%+1（0>0）得到答案.

【详解】

71

f（x）-COS（S-§）（G>0）

TCTCTC2

对称轴为：ox--=k7i:^>—（o--=k7i^>CD=2k+—{cD>0]（k^Z）

当左=0时，。取值为《

故选:C.

变式5-3.函数〃x）=sin（2x+；）在仁高上的值域为（）

A.（0,1]B.--^-,0

CJ-#/D.[-1,1]

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.

【详解】

当时，2X+白(一]],当+时，即时，〃x)=sin(2x+与取

最大值1,当2'+方=4，即“=时，/(x)=sin(2x+1)取最小值大于一日，故值域

为一亏，1

故选：C

变式5-4.函数〃x)=sin[s+力(。>0)的周期为2,下列说法正确的是()

A兀

A.a>=—

2

B./(x+j是奇函数

47

c./(x)在K，芸上单调递增

D.、=〃力的图像关于直线片一对称

【答案】C

【解析】

【分析】

分别利用正弦函数周期公式，余弦函数的奇偶性，正