考研数学三（级数）模拟试卷1（共196题）

考研数学三（级数）模拟试卷1（共7套）（共196题）考研数学三（级数）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、级数(a＞0)()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、收敛性与a有关标准答案：C知识点解析：因为收敛，即原级数绝对收敛，选C．2、设常数k＞0，则级数()．A、发散B、绝对收敛C、条件收敛D、敛散性与k有关标准答案：C知识点解析：因为条件收敛，所以条件收敛，选C．3、设un收敛，则下列级数必收敛的是()．A、B、un2C、(u2n-1-u2n)D、(un+un+1)标准答案：D知识点解析：(un+un+1)收敛，因为Sn=2(u1+u2+…+un)-u1+un+1，而级数un收敛，所以(u1+u2+…+un)存在且un+1=0，于是Sn存在，由级数收敛的定义，(un+un+1)收敛，选D．4、设级数un与vn都发散，则()．A、(un+vn)一定发散B、unvn一定发散C、un2与vn2都发散D、(｜un｜+｜vn｜)一定发散标准答案：D知识点解析：因为(｜un｜+｜vn｜)为正项级数，若(｜un｜+｜vn｜)收敛，由0≤｜un｜≤｜un｜+｜vn｜，0≤｜vn｜≤｜un｜+｜vn｜，根据正项级数的比较审敛法知，｜un｜与｜vn｜都收敛，即un与vn都绝对收敛，与已知矛盾．选D．5、下列叙述正确的是()．A、若un一定收敛B、若un收敛，则(-1)nun一定收敛C、若正项级数un收敛，则un2一定收敛D、若un收敛，则vn一定收敛标准答案：C知识点解析：A不对，例如：un=(-3)n-1，显然un发散；B不对，例如：un=un收敛，但(-1)nun发散；C正确，因为un收敛，所以un=0，存在N＞0，当n＞N时，0≤un＜1，从而0≤un2≤un＜1，由比较审敛法得un2收敛；D不对，例如：un=vn发散．6、设幂级数anxn与bnxn的收敛半径分别为R1，R2，且R1＜R2，设(an+bn)xn的收敛半径为R0，则有()．A、R1=R2B、R0=R1C、R0＜R2D、R0＞R2标准答案：B知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)7、=________.标准答案：知识点解析：由8、级数收敛，则p的范围为______．标准答案：知识点解析：则收敛的充分必要条件是9、幂级数的和函数为_______．标准答案：(2x+1)ex知识点解析：显然幂级数的收敛半径为R=+∞，收敛域为(-∞，+∞)．10、=_______．标准答案：3e知识点解析：令S(x)=(-∞＜x＜+∞)，则=(x2+x+1)ex，故=S(1)=3e．11、级数的收敛域为_______，和函数为_________．标准答案：[-2，2)知识点解析：由，得收敛半径为R=2，当x=2时级数收敛，当x=2时级数发散，故级数的收敛域为[-2，2)．令S(x)=则12、级数在-1＜x＜1内的和函数为________．标准答案：xln(1-x2)+x3-x3ln(1-x2)(-1＜x＜1)知识点解析：而=-ln(1-x2)(-1＜x＜1)，=-ln(1-x2)-x2(-1＜x＜1)，所以=xln(1-x2)+x3-x3ln(1-x2)(-1＜x＜1)．13、=______.标准答案：10知识点解析：令S(x)=(n2+2n)xn，显然级数(n2+2n)xn的收敛域为(-1，1)；S(x)=(n2+2n)xn=[n(n-1)+3n]xn=x2n(n-1)xn-2+3xnxn-1三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)14、将f(x)=展开成(x-2)的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析15、求的和函数．标准答案：由得R=1，当x=±1时，因为收敛，所以x=±1时，原级数收敛，故收敛域为[-1，1]．S(0)=0；当x≠0时，当x=1时，由Sn=1得S(1)=1，故知识点解析：暂无解析16、设S0=∫02f(x)e-xdx，S1=∫23f(x-2)e-xdx，…，Sn=∫2n2n+2f(x-2n)e-xdx，求Sn．标准答案：S0=∫02f(x)e-xdx=∫01xe-xdx+∫12(2-x)e-xdx=(1-)2，令t=x-2，则S1=e-2∫02f(t)e-tdt=e-2S0，令t=x-2n，则Sn=e-2n∫02f(t)e-tdt=e-2nS0，S=Sn=S0e-2n=知识点解析：暂无解析17、判断级数的敛散性．标准答案：令因为根据比值审敛法，级数收敛．知识点解析：暂无解析18、判断级数的敛散性．标准答案：因，所以级数收敛．知识点解析：暂无解析19、判断级数的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛?标准答案：为单调减少的数列，又，所以级数收敛．因为发散，故级数发散，即级数条件收敛．知识点解析：暂无解析20、设正项级数un收敛，证明收敛，并说明反之不成立．标准答案：因为(un+un+1)，而(un+un+1)收敛，所以根据正项级数的比较审敛法知收敛，反之不一定成立，例如：级数1+0+1+0+…发散，因为un，un+1=0(n=1，2，…)，所以收敛．知识点解析：暂无解析21、设un＞0(n-1，2，…)，Sn=u1+u2+…+un．证明：收敛．标准答案：令S’n=，则又{S’n}n=1∞单调增加，所以S’n存在，于是收敛．知识点解析：暂无解析22、设bn为两个正项级数．证明：(1)若bn收敛，则an收敛；(2)若an发散，则bn发散．标准答案：(1)取ε0=1，由=0，根据极限的定义，存在N＞0，当n＞N时，，即0≤an＜bn，由bn收敛得bb收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得ab收敛，从而ab收敛(收敛级数添加有限项不改变敛散性)．(2)根据(1)，当n＞N时，有0≤ab＜bb，因为ab发散，所以ab发散，由比较审敛法，bb发散，进一步得bb发散．知识点解析：暂无解析23、求幂级数的收敛域．标准答案：令x-1=t，显然级数的收敛半径为R=1，又当t=±1时，由收敛，得级数绝对收敛，所以级数的收敛区间为[-1，1]，故原级数的收敛域为[0，2]．知识点解析：暂无解析24、求幂级数xn-1的和函数．标准答案：由得收敛半径为R=4，当x=±4时，因为(±4)n-1→∞(n→∞)，所以幂级数的收敛域为(-4，4)．于是S(x)=，x∈(-4，4)．知识点解析：暂无解析25、求幂级数xn的和函数．标准答案：幂级数的收敛半径为R=+∞，收敛区间为(-∞，+∞)．令S(x)=，则S(x)=xn+ex=xn-1+ex=(x+1)ex(-∞＜x＜+∞)．知识点解析：暂无解析26、求幂级数xn-1的收敛域，并求其和函数．标准答案：，则收敛半径为R=2，当x=-2时，收敛；当x=2时，发散，故幂级数的收敛域为[-2，2)．令S(x)=xn-1，当x=0时，S(0)=当x≠0时，所以知识点解析：暂无解析27、(1)验证满足微分方程(1-x)y’+y=1+x；(2)求级数的和函数．标准答案：(1)显然级数的收敛域为[-1，1]．即级数满足微分方程(1-x)y’+y=1+x(-1≤x≤1)．(2)由(1-x)y’+y=1+x得即，两边积分得+ln(1-x)+C或y=2+(1-x)ln(1-x)+C(1-x)，由y(0)=0得C=-2，故y=2x+(1-x)ln(1-x)(-1≤x＜1)．又y(1)=[2x+(1-x)ln(1-x)]知识点解析：暂无解析28、将f(x)=lnx展开成x-2的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（级数）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设条件收敛，且＝r，则()．A、｜r｜＜1B、｜r｜＞1C、r＝－1D、r＝1标准答案：C知识点解析：因为un条件收敛，所以级数un一定不是正项或负项级数，故r≤0．若｜r｜＜1，则＝｜r｜＜1，级数un绝对收敛，矛盾；若｜r｜＞1，＝｜r｜＞1，存在充分大的N，当n＞N时，{｜un｜}单调增加，un≠0，于是un发散，矛盾，故｜r｜＝1，再由r≤0得r＝－1，选C．2、设un＝(－1)nln(1＋)，则()．A、un与u2n都绝对收敛B、un条件收敛，u2n收敛C、un与u2n都发散D、发散，u2n收敛标准答案：B知识点解析：显然un条件收敛，u2n＝ln@(1＋)，因为ln2(1＋)－，而收敛，所以u2n收敛，选B．3、设幂级数an(x－2)n在x＝6处条件收敛，则幂级数(x－2)2n的收敛半径为()．A、2B、4C、D、无法确定标准答案：A知识点解析：因为an(x－2)n在x＝6处条件收敛，所以级数anxn的收敛半径为R＝4，又因为级数xn与anxn有相同的收敛半径，所以xn的收敛半径为R＝4，于是(x－2)2n的收敛半径为R＝2，选A．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、＝_____________．标准答案：2S()2(1－ln2)知识点解析：令S(x)＝xn＋1(－1＜x＜1)，则S’(x)＝nxn＝xnxn－1＝x(xn)’＝x(xn)’＝x()’＝，因为S(0)＝0，所以S(x)＝S(x)－S(0)＝dt＝dt＝ln｜t－1｜＝ln｜x－1｜－(＋1)＝ln｜x－1｜－，则＝2S()2(1－ln2)．5、设级数条件收敛，则p的取值范围是＝_____________．标准答案：－＜p≤知识点解析：，因为(－1)n＋1条件收敛，所以0＜p＋≤1，即p的范围是－＜p≤．三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)6、对常数P，讨论幂级数的收敛域．标准答案：由＝1，得幂级数的收敛半径为R＝1．(1)当P＜0时，记q＝－P，则有＝＋∞，因而当x＝±1时，发散，此时幂级数的收敛域为(－1，1)；(2)当0≤p＜1时，对，因为＝＋∞，所以x＝1时，级数发散，当x＝－1时，显然收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1)；(3)p＝1时，发散，收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1)；(4)当p＞1时，对，因为，而收敛，所以级数收敛，当x＝－1时，显然绝对收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1]．知识点解析：暂无解析7、设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un＝f(un－1)(n＝1，2，…)，u0∈[a，b]，证明：级数(un＋1－un)绝对收敛．标准答案：因为｜un＋1－un｜＝｜f(un)－f(un－1)｜＝｜f’(ξ1)｜un－un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜且qn收敛，所以｜un＋1－un｜收敛，于是(un＋1－un)绝对收敛．知识点解析：暂无解析8、设f(x)在(－∞，＋∞)内一阶连续可导，且＝1．证明：(－1)nf()收敛，而f()发散．标准答案：由＝1得f(0)＝0，f’(0)＝1，于是f()＝f’(ξ)(0＜ξ＜)．因为f’(x)＝f’(0)＝1，所以存在δ＞0，当｜x｜＜δ时，f’(x)＞0，于是存在N＞0，当n＞N时，＜δ，f()＞f(0)＝0，f()＜f()，且＝0，由莱布尼茨审敛法知(－1)nf()收敛，因为f()＝f’(ξ)且发散，所以发散．知识点解析：暂无解析9、设f(x)在x＝0的某邻域内二阶连续可导，且＝0．证明：级数f()绝对收敛．标准答案：由＝0，得f(0)＝0，f’(0)＝0．由泰勒公式得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋x2＝x2，其中ξ介于0与x之间．又f”(x)在x＝0的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有｜f”(x)｜≤M，其中M>0为f”(x)在该闭区间上的界．所以对充分大的n，有｜f()｜≤因为收敛，所以收敛，即绝对收敛．知识点解析：暂无解析10、设y＝y(x)满足y’＝x＋y，且满足y(0)＝1，讨论级数的敛散性．标准答案：由y’＝x＋y得y”＝1＋y’，再由y(0)＝1得y’(0)＝1，y”(0)＝2，根据麦克劳林公式，有y()＝y(0)＋y’(0)y”(0)()2＋o()＝1＋，因为｜y()－1且收敛，所以绝对收敛．知识点解析：暂无解析11、求幂级数的收敛域．标准答案：，幂级数的收敛半径为R1＝，当x＝±(1/2)时，发散，所以的收敛域为()．幂级数的收敛半径为R2＝，当x＝±时，发散，所以的收敛域为()，故的收敛域为()．知识点解析：暂无解析12、求函数f(x)＝ln(1－x－2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．标准答案：f(x)＝ln(1－x－2x2)＝ln(x＋1)(1－2x)＝ln(1＋x)＋ln(1－2x)，因为ln(1＋x)＝xn(－1＜x≤1)，1n(1－2x)＝－xn(－≤x＜)，所以f(x)＝xn，收敛域是()．知识点解析：暂无解析13、求幂级数x2n的和函数．标准答案：级数x2n的收敛半径为R＝＋∞，收敛区间为(－∞，＋∞)．令S(x)＝x2n，则S(x)＝x2n＝2x2n＋＝2x2x(2n－1)＋－1＝2x2x2n＋－1＝(2x2＋1)－1(－∞＜x＜＋∞)．知识点解析：暂无解析14、求幂级数的和函数．标准答案：显然该幂级数的收敛域为[－1，1]，令S(x)＝，则S(x)＝，而＝－xln(1－x)(－1≤x＜1)，－x＝－x－ln(1－x)(－1≤x＜1)，则S(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)(－1≤x＜1)．当x＝1时，S(1)＝＝1，所以S(x)＝知识点解析：暂无解析15、求幂级数xn”的和函数．标准答案：由＝0，得收敛半径R＝＋∞，该幂级数的收敛区间为(－∞，＋∞)，令S(x)＝xn，则S(x)＝xn＋xn＝xn＋ex＝xn＋ex＝xn＋xn＋ex＝xn＋xx(n－1)＋ex＝xn－2＋xex＋ex＝x2ex＋xex＋ex＝(x2＋x＋1)ex(－∞＜x＜＋∞)知识点解析：暂无解析16、求的和．标准答案：令S(x)＝n(n－1)xn－2，显然其收敛域为(－1，1)，则S(x)＝n(n－1)xn－2＝n(n－1)xn－2＝()”＝()”＝，于是．知识点解析：暂无解析设f(x)的一个原函数为F(x)，且F(x)为方程xy’＋y＝ex的满足y(x)＝1的解．17、求F(x)关于x的幂级数；标准答案：由xy’＋y＝ex得，解得y＝(dx＋C)，因为y(x)＝1，所以C＝－1，于是F(x)＝＝1＋＋…＋＋…(－∞＜x＜＋∞且x≠0)．知识点解析：暂无解析18、求的和．标准答案：＝[F(x)]’｜x＝1＝1．知识点解析：暂无解析19、将函数f(x)＝arctan展开成x的幂级数．标准答案：f(0)＝，f’(x)＝(－1)nx2n(－1＜x＜1)，由逐项可积性得f(x)－f(0)＝f’(x)dx＝x2n＋1，所以f(x)＝x2n＋1(－1≤x＜1)．知识点解析：暂无解析设f(x)＝xn，且a0＝1，an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．20、求f(x)满足的微分方程；标准答案：f’(x)＝xn－1＝xn－1＝xn－1＋＝xn＋x＝f(x)＋xex．则f(x)满足的微分方程为f’(x)－f(x)＝xex，f(x)＝(xexdx＋C)＝ex(＋C)，因为a0＝1，所以f(0)＝1，从而C＝1，于是f(x)＝ex(＋1)．知识点解析：暂无解析21、求标准答案：＝f(1)＝．知识点解析：暂无解析22、证明：S(x)＝满足微分方程y(4)－y＝0，并求和函数S(x)．标准答案：显然级数的收敛域为(－∞，＋∞)，S’(x)＝，S”(x)＝，S’”(x)＝，S(4)(x)＝＝S(x)，显然S(x)满足微分方程y(4)－y＝0．y(4)－y＝0的通解为y＝C1ex＋C2e－x＋C3cosx＋C4sinx，由S(0)＝1，S’(0)＝S”(0)＝S’”(0)＝0得C1＝，C2＝，C3＝，C4＝0，故和函数为S(x)＝cosx．知识点解析：暂无解析23、设un＞0,且＝q存在．证明：当q＞l时级数un收敛，当q＜1时级数un发散．标准答案：当q＞1时，取ε0＝＞0，因为＝q，所以存在N＞0，当n＞N时，，从而有＝r(＞1)，所以有0≤un＜，而收敛，所以un收敛，故un收敛．当q＜1时，取ε0＝＞0，因为＝q，所以存在N＞0，当n＞N时，，从而有＝r(＜1)，所以有un＞，而发散，所以un发散，故un发散．知识点解析：暂无解析24、设级数(an－an＋1)收敛，且bn绝对收敛．证明：anbn绝对收敛．标准答案：令Sn＝(a1－a0)＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)，则Sn＝an－a0．因为级数(an－an－1)收敛，所以Sn存在，设Sn＝S，则有an＝S＋a0，即an存在，于是存在M＞0，对一切的自然数n有｜an｜≤M．因为bn绝对收敛，所以正项级数｜bn｜收敛，又0≤｜anbn｜≤M｜bn｜，再由M｜bn｜收敛，根据正项级数的比较审敛法得｜anbn｜收敛，即级数anbn绝对收敛．知识点解析：暂无解析25、设an＝tannxdx，对任意的参数λ，讨论级数的敛散性，并证明你的结论．标准答案：由an＋an＋2＝sec2xtannxdx＝，an＋an－2＝sec2xtann－2xdx＝，得≤an≤(n≥2)，即an～(n→∞)，所以(n→∞)．(1)当λ＞0时，因为级数收敛，所以级数收敛；(2)当λ≤0时，因为级数发散，所以级数发散．知识点解析：暂无解析设函数f0(x)在(－∞，＋∞)内连续，fn(x)＝fn－1(t)dt(n＝1，2，…)．26、证明：fn(x)＝[*]f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)；标准答案：n＝1时，f1(x)＝f0(t)dt，等式成立；设n＝k时，fk(x)＝f0(t)(x－t)k－1dt，则n＝k＋1时，fk＋1(x)＝fk(t)dt＝f0(u)(t－u)k－1du＝f0(u)(t－u)k－1dt＝f0(u)(x－u)kdu，由归纳法得fn(x)＝f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)．知识点解析：暂无解析27、证明：[*]fn(x)绝对收敛．标准答案：对任意的x∈(－∞，＋∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上连续，于是存在M＞0(M与x有关)，使得｜f0(t)｜≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是｜fn(x)｜≤(x－t)n－1dt｜＝｜x｜n，因为＝0，所以｜x｜n收敛，根据比较审敛法知fn(x)绝对收敛．知识点解析：暂无解析28、设a0＝1，a1＝－2，a2＝，an＋1＝－(1＋)an(n≥2)．证明：当｜x｜＜1时，幂级数anxn收敛，并求其和函数S(x)．标准答案：由＝1，得幂级数的收敛半径R＝1，所以当｜x｜＜1时，幂级数anxn收敛．由an＋1＝－(1＋)an，得an＝(－1)n(n＋1)(n≥3)，所以S(x)＝anxn＝1－2x＋x2＋(－1)n(n＋1)xn＝1－2x＋x2－．知识点解析：暂无解析考研数学三（级数）模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设条件收敛，且＝r，则()．A、｜r｜＜1B、｜r｜＞1C、r＝－1D、r＝1标准答案：C知识点解析：因为un条件收敛，所以级数un一定不是正项或负项级数，故r≤0．若｜r｜＜1，则＝｜r｜＜1，级数un绝对收敛，矛盾；若｜r｜＞1，＝｜r｜＞1，存在充分大的N，当n＞N时，{｜un｜}单调增加，un≠0，于是un发散，矛盾，故｜r｜＝1，再由r≤0得r＝－1，选C．2、设un＝(－1)nln(1＋)，则()．A、un与u2n都绝对收敛B、un条件收敛，u2n收敛C、un与u2n都发散D、发散，u2n收敛标准答案：B知识点解析：显然un条件收敛，u2n＝ln@(1＋)，因为ln2(1＋)－，而收敛，所以u2n收敛，选B．3、设幂级数an(x－2)n在x＝6处条件收敛，则幂级数(x－2)2n的收敛半径为()．A、2B、4C、D、无法确定标准答案：A知识点解析：因为an(x－2)n在x＝6处条件收敛，所以级数anxn的收敛半径为R＝4，又因为级数xn与anxn有相同的收敛半径，所以xn的收敛半径为R＝4，于是(x－2)2n的收敛半径为R＝2，选A．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、＝_____________．标准答案：2S()2(1－ln2)知识点解析：令S(x)＝xn＋1(－1＜x＜1)，则S’(x)＝nxn＝xnxn－1＝x(xn)’＝x(xn)’＝x()’＝，因为S(0)＝0，所以S(x)＝S(x)－S(0)＝dt＝dt＝ln｜t－1｜＝ln｜x－1｜－(＋1)＝ln｜x－1｜－，则＝2S()2(1－ln2)．5、设级数条件收敛，则p的取值范围是＝_____________．标准答案：－＜p≤知识点解析：，因为(－1)n＋1条件收敛，所以0＜p＋≤1，即p的范围是－＜p≤．三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)6、对常数P，讨论幂级数的收敛域．标准答案：由＝1，得幂级数的收敛半径为R＝1．(1)当P＜0时，记q＝－P，则有＝＋∞，因而当x＝±1时，发散，此时幂级数的收敛域为(－1，1)；(2)当0≤p＜1时，对，因为＝＋∞，所以x＝1时，级数发散，当x＝－1时，显然收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1)；(3)p＝1时，发散，收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1)；(4)当p＞1时，对，因为，而收敛，所以级数收敛，当x＝－1时，显然绝对收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1]．知识点解析：暂无解析7、设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un＝f(un－1)(n＝1，2，…)，u0∈[a，b]，证明：级数(un＋1－un)绝对收敛．标准答案：因为｜un＋1－un｜＝｜f(un)－f(un－1)｜＝｜f’(ξ1)｜un－un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜且qn收敛，所以｜un＋1－un｜收敛，于是(un＋1－un)绝对收敛．知识点解析：暂无解析8、设f(x)在(－∞，＋∞)内一阶连续可导，且＝1．证明：(－1)nf()收敛，而f()发散．标准答案：由＝1得f(0)＝0，f’(0)＝1，于是f()＝f’(ξ)(0＜ξ＜)．因为f’(x)＝f’(0)＝1，所以存在δ＞0，当｜x｜＜δ时，f’(x)＞0，于是存在N＞0，当n＞N时，＜δ，f()＞f(0)＝0，f()＜f()，且＝0，由莱布尼茨审敛法知(－1)nf()收敛，因为f()＝f’(ξ)且发散，所以发散．知识点解析：暂无解析9、设f(x)在x＝0的某邻域内二阶连续可导，且＝0．证明：级数f()绝对收敛．标准答案：由＝0，得f(0)＝0，f’(0)＝0．由泰勒公式得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋x2＝x2，其中ξ介于0与x之间．又f”(x)在x＝0的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有｜f”(x)｜≤M，其中M>0为f”(x)在该闭区间上的界．所以对充分大的n，有｜f()｜≤因为收敛，所以收敛，即绝对收敛．知识点解析：暂无解析10、设y＝y(x)满足y’＝x＋y，且满足y(0)＝1，讨论级数的敛散性．标准答案：由y’＝x＋y得y”＝1＋y’，再由y(0)＝1得y’(0)＝1，y”(0)＝2，根据麦克劳林公式，有y()＝y(0)＋y’(0)y”(0)()2＋o()＝1＋，因为｜y()－1且收敛，所以绝对收敛．知识点解析：暂无解析11、求幂级数的收敛域．标准答案：，幂级数的收敛半径为R1＝，当x＝±(1/2)时，发散，所以的收敛域为()．幂级数的收敛半径为R2＝，当x＝±时，发散，所以的收敛域为()，故的收敛域为()．知识点解析：暂无解析12、求函数f(x)＝ln(1－x－2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．标准答案：f(x)＝ln(1－x－2x2)＝ln(x＋1)(1－2x)＝ln(1＋x)＋ln(1－2x)，因为ln(1＋x)＝xn(－1＜x≤1)，1n(1－2x)＝－xn(－≤x＜)，所以f(x)＝xn，收敛域是()．知识点解析：暂无解析13、求幂级数x2n的和函数．标准答案：级数x2n的收敛半径为R＝＋∞，收敛区间为(－∞，＋∞)．令S(x)＝x2n，则S(x)＝x2n＝2x2n＋＝2x2x(2n－1)＋－1＝2x2x2n＋－1＝(2x2＋1)－1(－∞＜x＜＋∞)．知识点解析：暂无解析14、求幂级数的和函数．标准答案：显然该幂级数的收敛域为[－1，1]，令S(x)＝，则S(x)＝，而＝－xln(1－x)(－1≤x＜1)，－x＝－x－ln(1－x)(－1≤x＜1)，则S(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)(－1≤x＜1)．当x＝1时，S(1)＝＝1，所以S(x)＝知识点解析：暂无解析15、求幂级数xn”的和函数．标准答案：由＝0，得收敛半径R＝＋∞，该幂级数的收敛区间为(－∞，＋∞)，令S(x)＝xn，则S(x)＝xn＋xn＝xn＋ex＝xn＋ex＝xn＋xn＋ex＝xn＋xx(n－1)＋ex＝xn－2＋xex＋ex＝x2ex＋xex＋ex＝(x2＋x＋1)ex(－∞＜x＜＋∞)知识点解析：暂无解析16、求的和．标准答案：令S(x)＝n(n－1)xn－2，显然其收敛域为(－1，1)，则S(x)＝n(n－1)xn－2＝n(n－1)xn－2＝()”＝()”＝，于是．知识点解析：暂无解析设f(x)的一个原函数为F(x)，且F(x)为方程xy’＋y＝ex的满足y(x)＝1的解．17、求F(x)关于x的幂级数；标准答案：由xy’＋y＝ex得，解得y＝(dx＋C)，因为y(x)＝1，所以C＝－1，于是F(x)＝＝1＋＋…＋＋…(－∞＜x＜＋∞且x≠0)．知识点解析：暂无解析18、求的和．标准答案：＝[F(x)]’｜x＝1＝1．知识点解析：暂无解析19、将函数f(x)＝arctan展开成x的幂级数．标准答案：f(0)＝，f’(x)＝(－1)nx2n(－1＜x＜1)，由逐项可积性得f(x)－f(0)＝f’(x)dx＝x2n＋1，所以f(x)＝x2n＋1(－1≤x＜1)．知识点解析：暂无解析设f(x)＝xn，且a0＝1，an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．20、求f(x)满足的微分方程；标准答案：f’(x)＝xn－1＝xn－1＝xn－1＋＝xn＋x＝f(x)＋xex．则f(x)满足的微分方程为f’(x)－f(x)＝xex，f(x)＝(xexdx＋C)＝ex(＋C)，因为a0＝1，所以f(0)＝1，从而C＝1，于是f(x)＝ex(＋1)．知识点解析：暂无解析21、求标准答案：＝f(1)＝．知识点解析：暂无解析22、证明：S(x)＝满足微分方程y(4)－y＝0，并求和函数S(x)．标准答案：显然级数的收敛域为(－∞，＋∞)，S’(x)＝，S”(x)＝，S’”(x)＝，S(4)(x)＝＝S(x)，显然S(x)满足微分方程y(4)－y＝0．y(4)－y＝0的通解为y＝C1ex＋C2e－x＋C3cosx＋C4sinx，由S(0)＝1，S’(0)＝S”(0)＝S’”(0)＝0得C1＝，C2＝，C3＝，C4＝0，故和函数为S(x)＝cosx．知识点解析：暂无解析23、设un＞0,且＝q存在．证明：当q＞l时级数un收敛，当q＜1时级数un发散．标准答案：当q＞1时，取ε0＝＞0，因为＝q，所以存在N＞0，当n＞N时，，从而有＝r(＞1)，所以有0≤un＜，而收敛，所以un收敛，故un收敛．当q＜1时，取ε0＝＞0，因为＝q，所以存在N＞0，当n＞N时，，从而有＝r(＜1)，所以有un＞，而发散，所以un发散，故un发散．知识点解析：暂无解析24、设级数(an－an＋1)收敛，且bn绝对收敛．证明：anbn绝对收敛．标准答案：令Sn＝(a1－a0)＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)，则Sn＝an－a0．因为级数(an－an－1)收敛，所以Sn存在，设Sn＝S，则有an＝S＋a0，即an存在，于是存在M＞0，对一切的自然数n有｜an｜≤M．因为bn绝对收敛，所以正项级数｜bn｜收敛，又0≤｜anbn｜≤M｜bn｜，再由M｜bn｜收敛，根据正项级数的比较审敛法得｜anbn｜收敛，即级数anbn绝对收敛．知识点解析：暂无解析25、设an＝tannxdx，对任意的参数λ，讨论级数的敛散性，并证明你的结论．标准答案：由an＋an＋2＝sec2xtannxdx＝，an＋an－2＝sec2xtann－2xdx＝，得≤an≤(n≥2)，即an～(n→∞)，所以(n→∞)．(1)当λ＞0时，因为级数收敛，所以级数收敛；(2)当λ≤0时，因为级数发散，所以级数发散．知识点解析：暂无解析设函数f0(x)在(－∞，＋∞)内连续，fn(x)＝fn－1(t)dt(n＝1，2，…)．26、证明：fn(x)＝[*]f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)；标准答案：n＝1时，f1(x)＝f0(t)dt，等式成立；设n＝k时，fk(x)＝f0(t)(x－t)k－1dt，则n＝k＋1时，fk＋1(x)＝fk(t)dt＝f0(u)(t－u)k－1du＝f0(u)(t－u)k－1dt＝f0(u)(x－u)kdu，由归纳法得fn(x)＝f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)．知识点解析：暂无解析27、证明：[*]fn(x)绝对收敛．标准答案：对任意的x∈(－∞，＋∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上连续，于是存在M＞0(M与x有关)，使得｜f0(t)｜≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是｜fn(x)｜≤(x－t)n－1dt｜＝｜x｜n，因为＝0，所以｜x｜n收敛，根据比较审敛法知fn(x)绝对收敛．知识点解析：暂无解析28、设a0＝1，a1＝－2，a2＝，an＋1＝－(1＋)an(n≥2)．证明：当｜x｜＜1时，幂级数anxn收敛，并求其和函数S(x)．标准答案：由＝1，得幂级数的收敛半径R＝1，所以当｜x｜＜1时，幂级数anxn收敛．由an＋1＝－(1＋)an，得an＝(－1)n(n＋1)(n≥3)，所以S(x)＝anxn＝1－2x＋x2＋(－1)n(n＋1)xn＝1－2x＋x2－．知识点解析：暂无解析考研数学三（级数）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、若正项级数an收敛，则()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不确定标准答案：C知识点解析：因为收敛，于是绝对收敛，选C．2、若级数un收敛(un＞0)，则下列结论正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令Sn=u1+u2+…+un，因为un收敛，所以Sn存在，且un=0，令S’n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2Sn-u1+un+1，于是Sn-u1存在，选C，A，B，D都不对．3、设un=(-1)nln，则()．A、un与un2都收敛B、un与un2都发散C、un收敛，而un2发散D、un发散，而un2收敛标准答案：C知识点解析：由交错级数审敛法，un收敛，而un2=ln2un2发散，选C．4、下列说法正确的是()．A、若级数un与vn都发散，则(un+vn)一定发散B、若级数un与vn都发散，则unvn一定发散C、若un收敛，则un2一定收敛D、若级数un与vn一个收敛一个发散，则(un+vn)一定发散标准答案：D知识点解析：令un=(un+vn)收敛，A不对；令un=vn=vn都发散，但unvn收敛，B不对；令un=un收敛，但发散，C不对；若un收敛，且(un+vn)收敛，则vn一定收敛，若(un+vn)收敛，则un收敛，故若un与vn一个收敛另一个发散，则(un+vn)一定发散，选D．5、下列命题正确的是()．A、若un收敛，而vn发散，则unvn一定发散B、若un与vn都发散，则unvn一定发散C、若un与vn都收敛，则unvn一定收敛D、若un收敛，且正项级数vn收敛，则unvn绝对收敛标准答案：D知识点解析：取un=，vn=，显然un收敛，而vn发散，但unvn=收敛，A不对；取un=vn都发散，但收敛，B不对；取un=vn=vn都收敛，但发散，C不对；因为un收敛，所以un=0，从而存在M＞0，使得｜un｜≤M，于是｜unvn｜≤Mvn，因为正项级数vn收敛，根据比较审敛法，｜unvn｜收敛，即unvn绝对收敛．选D．6、级数()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不确定标准答案：知识点解析：因为又单调减少且以零为极限，由Leibniz审敛法，级数收敛．而条件收敛，选B．7、设anx2n+1的收敛半径为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：=2｜x｜2，当｜x｜＜时，级数anx2n+1绝对收敛；当｜x｜＞时，级数anx2n+1发散，故其收敛半径为，选D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、级数=________.标准答案：2知识点解析：令S(x)=nxn，显然该级数的收敛半径为R=1；当x=±1时，级数发散，故该幂级数的收敛域为(-1，1)．9、将函数f(x)=展开为(x+1)的幂级数为_______，收敛域为_______．标准答案：；-2＜x＜0知识点解析：；-2＜x＜0而故(x+1)n，收敛域为-2＜x＜0．10、幂级数的收敛域为_______．标准答案：知识点解析：由的收敛半径为R1=1，当x=±1时，级数的收敛域为(-1，1)；由x2n的收敛半径为R2=当故原级数的收敛域为11、设，则f(n)(0)=______．标准答案：知识点解析：12、幂级数x2n-1的收敛半径为________．标准答案：知识点解析：由得三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)13、判断级数的敛散性．标准答案：由ln(1+x)＜x(x＞0)得，则原级数为正项级数，由收敛，由正项级数的比较审敛法得收敛．知识点解析：暂无解析14、求幂级数(n2+1)xn的和函数．标准答案：由得收敛半径为R=1，又当x=±1时，得级数发散，则收敛域为(-1，1)．知识点解析：暂无解析15、求级数的和函数．标准答案：由得收敛半径为R=1，当x=±1时，因为(±1)2n≠0，所以当x=±1时，级数发散，故幂级数的收敛域为(-1，1)．令S(x)=x2nS(0)=3；当x≠0时，故知识点解析：暂无解析16、判断级数的敛散性．标准答案：因为且，所以根据级数收敛的定义知收敛．知识点解析：暂无解析17、判断级数的敛散性．标准答案：因为发散，由比较审敛法的极限形式得级数发散．知识点解析：暂无解析18、判断级数的敛散性．标准答案：因为所以级数收敛．知识点解析：暂无解析19、判断级数的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛?标准答案：因为发散，所以发散．又当n充分大时，单调减少，且所以级数条件收敛．知识点解析：暂无解析20、设an为发散的正项级数，令S1=a1+a2+…+an(n=1，2，…)．证明：收敛．标准答案：显然(Sn}n=1∞单调增加，因为级数an发散，所以an=+∞．对交错级数单调减少，且收敛．知识点解析：暂无解析21、若正项级数an与正项级数bn都收敛，证明下列级数收敛：标准答案：(1)因为收敛．(2)因为收敛．知识点解析：暂无解析22、求幂级数的收敛域．标准答案：由得收敛半径为R=1，当x=-1时，发散；当x=1时，收敛，故幂级数的收敛域为(-1，1]．知识点解析：暂无解析23、求幂级数的收敛域．标准答案：由=3得收敛半径为R=当收敛，当发散，所以级数的收敛域为知识点解析：暂无解析24、求幂级数nxn+1的和函数．标准答案：幂级数nxn+1的收敛半径为R=1，收敛区间为(-1，1)．令S(x)=nxn+1，则S(x)=nxn+1=x2nxn+1=x2(xn)’=x2(xn)’=x2(-1＜x＜1)．知识点解析：暂无解析25、求幂级数(x+1)n的和函数．标准答案：令x+1=t，由得收敛半径为R=1，当t=±1时，因为(±1)n≠0，所以收敛区间为(-1，1)，从而-2＜x＜0．令S(t)=tn，则S(t)=令S1(t)=，当t=0时S1(0)=0，当t≠0时S1(t)=ln(1-t)，所以知识点解析：暂无解析26、求级数的收敛域与和函数．标准答案：令x2+x+1=t，则级数化为，所以级数的收敛半径为R=1，注意到t=x2+x+1=，又t=1时，级数收敛，所以级数的收敛域为由x2+x+1≤1得-1≤x≤0，故级数的收敛域为[-1，0]．令S(x)=，x=-1，0时，S(-1)=S(0)=1，x∈(-1，0)时，知识点解析：暂无解析27、将f(x)=arctanx展开成x的幂级数．标准答案：由f’(x)=(-1)nx2n(-1＜x＜1)，f(0)=0，得f(x)=f(x)=f(0)=∫0xf’(x)dx=∫0x(-1)nx2n]dx，由逐项可积性得f(x)=x2n+1，显然x=±1时级数收敛，所以arctanx=x2n+1(-1≤x≤1)．知识点解析：暂无解析28、将f(x)=展开成x的幂级数．标准答案：f(0)=0，f(x)=f(x)-f(0)=∫0xf’(x)dx=∫0x(｜x｜＜1)．知识点解析：暂无解析考研数学三（级数）模拟试卷第5套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设条件收敛，且＝r，则()．A、｜r｜＜1B、｜r｜＞1C、r＝－1D、r＝1标准答案：C知识点解析：因为un条件收敛，所以级数un一定不是正项或负项级数，故r≤0．若｜r｜＜1，则＝｜r｜＜1，级数un绝对收敛，矛盾；若｜r｜＞1，＝｜r｜＞1，存在充分大的N，当n＞N时，{｜un｜}单调增加，un≠0，于是un发散，矛盾，故｜r｜＝1，再由r≤0得r＝－1，选C．2、设un＝(－1)nln(1＋)，则()．A、un与u2n都绝对收敛B、un条件收敛，u2n收敛C、un与u2n都发散D、发散，u2n收敛标准答案：B知识点解析：显然un条件收敛，u2n＝ln@(1＋)，因为ln2(1＋)－，而收敛，所以u2n收敛，选B．3、设幂级数an(x－2)n在x＝6处条件收敛，则幂级数(x－2)2n的收敛半径为()．A、2B、4C、D、无法确定标准答案：A知识点解析：因为an(x－2)n在x＝6处条件收敛，所以级数anxn的收敛半径为R＝4，又因为级数xn与anxn有相同的收敛半径，所以xn的收敛半径为R＝4，于是(x－2)2n的收敛半径为R＝2，选A．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、＝_____________．标准答案：2S()2(1－ln2)知识点解析：令S(x)＝xn＋1(－1＜x＜1)，则S’(x)＝nxn＝xnxn－1＝x(xn)’＝x(xn)’＝x()’＝，因为S(0)＝0，所以S(x)＝S(x)－S(0)＝dt＝dt＝ln｜t－1｜＝ln｜x－1｜－(＋1)＝ln｜x－1｜－，则＝2S()2(1－ln2)．5、设级数条件收敛，则p的取值范围是＝_____________．标准答案：－＜p≤知识点解析：，因为(－1)n＋1条件收敛，所以0＜p＋≤1，即p的范围是－＜p≤．三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)6、对常数P，讨论幂级数的收敛域．标准答案：由＝1，得幂级数的收敛半径为R＝1．(1)当P＜0时，记q＝－P，则有＝＋∞，因而当x＝±1时，发散，此时幂级数的收敛域为(－1，1)；(2)当0≤p＜1时，对，因为＝＋∞，所以x＝1时，级数发散，当x＝－1时，显然收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1)；(3)p＝1时，发散，收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1)；(4)当p＞1时，对，因为，而收敛，所以级数收敛，当x＝－1时，显然绝对收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1]．知识点解析：暂无解析7、设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un＝f(un－1)(n＝1，2，…)，u0∈[a，b]，证明：级数(un＋1－un)绝对收敛．标准答案：因为｜un＋1－un｜＝｜f(un)－f(un－1)｜＝｜f’(ξ1)｜un－un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜且qn收敛，所以｜un＋1－un｜收敛，于是(un＋1－un)绝对收敛．知识点解析：暂无解析8、设f(x)在(－∞，＋∞)内一阶连续可导，且＝1．证明：(－1)nf()收敛，而f()发散．标准答案：由＝1得f(0)＝0，f’(0)＝1，于是f()＝f’(ξ)(0＜ξ＜)．因为f’(x)＝f’(0)＝1，所以存在δ＞0，当｜x｜＜δ时，f’(x)＞0，于是存在N＞0，当n＞N时，＜δ，f()＞f(0)＝0，f()＜f()，且＝0，由莱布尼茨审敛法知(－1)nf()收敛，因为f()＝f’(ξ)且发散，所以发散．知识点解析：暂无解析9、设f(x)在x＝0的某邻域内二阶连续可导，且＝0．证明：级数f()绝对收敛．标准答案：由＝0，得f(0)＝0，f’(0)＝0．由泰勒公式得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋x2＝x2，其中ξ介于0与x之间．又f”(x)在x＝0的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有｜f”(x)｜≤M，其中M>0为f”(x)在该闭区间上的界．所以对充分大的n，有｜f()｜≤因为收敛，所以收敛，即绝对收敛．知识点解析：暂无解析10、设y＝y(x)满足y’＝x＋y，且满足y(0)＝1，讨论级数的敛散性．标准答案：由y’＝x＋y得y”＝1＋y’，再由y(0)＝1得y’(0)＝1，y”(0)＝2，根据麦克劳林公式，有y()＝y(0)＋y’(0)y”(0)()2＋o()＝1＋，因为｜y()－1且收敛，所以绝对收敛．知识点解析：暂无解析11、求幂级数的收敛域．标准答案：，幂级数的收敛半径为R1＝，当x＝±(1/2)时，发散，所以的收敛域为()．幂级数的收敛半径为R2＝，当x＝±时，发散，所以的收敛域为()，故的收敛域为()．知识点解析：暂无解析12、求函数f(x)＝ln(1－x－2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．标准答案：f(x)＝ln(1－x－2x2)＝ln(x＋1)(1－2x)＝ln(1＋x)＋ln(1－2x)，因为ln(1＋x)＝xn(－1＜x≤1)，1n(1－2x)＝－xn(－≤x＜)，所以f(x)＝xn，收敛域是()．知识点解析：暂无解析13、求幂级数x2n的和函数．标准答案：级数x2n的收敛半径为R＝＋∞，收敛区间为(－∞，＋∞)．令S(x)＝x2n，则S(x)＝x2n＝2x2n＋＝2x2x(2n－1)＋－1＝2x2x2n＋－1＝(2x2＋1)－1(－∞＜x＜＋∞)．知识点解析：暂无解析14、求幂级数的和函数．标准答案：显然该幂级数的收敛域为[－1，1]，令S(x)＝，则S(x)＝，而＝－xln(1－x)(－1≤x＜1)，－x＝－x－ln(1－x)(－1≤x＜1)，则S(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)(－1≤x＜1)．当x＝1时，S(1)＝＝1，所以S(x)＝知识点解析：暂无解析15、求幂级数xn”的和函数．标准答案：由＝0，得收敛半径R＝＋∞，该幂级数的收敛区间为(－∞，＋∞)，令S(x)＝xn，则S(x)＝xn＋xn＝xn＋ex＝xn＋ex＝xn＋xn＋ex＝xn＋xx(n－1)＋ex＝xn－2＋xex＋ex＝x2ex＋xex＋ex＝(x2＋x＋1)ex(－∞＜x＜＋∞)知识点解析：暂无解析16、求的和．标准答案：令S(x)＝n(n－1)xn－2，显然其收敛域为(－1，1)，则S(x)＝n(n－1)xn－2＝n(n－1)xn－2＝()”＝()”＝，于是．知识点解析：暂无解析设f(x)的一个原函数为F(x)，且F(x)为方程xy’＋y＝ex的满足y(x)＝1的解．17、求F(x)关于x的幂级数；标准答案：由xy’＋y＝ex得，解得y＝(dx＋C)，因为y(x)＝1，所以C＝－1，于是F(x)＝＝1＋＋…＋＋…(－∞＜x＜＋∞且x≠0)．知识点解析：暂无解析18、求的和．标准答案：＝[F(x)]’｜x＝1＝1．知识点解析：暂无解析19、将函数f(x)＝arctan展开成x的幂级数．标准答案：f(0)＝，f’(x)＝(－1)nx2n(－1＜x＜1)，由逐项可积性得f(x)－f(0)＝f’(x)dx＝x2n＋1，所以f(x)＝x2n＋1(－1≤x＜1)．知识点解析：暂无解析设f(x)＝xn，且a0＝1，an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．20、求f(x)满足的微分方程；标准答案：f’(x)＝xn－1＝xn－1＝xn－1＋＝xn＋x＝f(x)＋xex．则f(x)满足的微分方程为f’(x)－f(x)＝xex，f(x)＝(xexdx＋C)＝ex(＋C)，因为a0＝1，所以f(0)＝1，从而C＝1，于是f(x)＝ex(＋1)．知识点解析：暂无解析21、求标准答案：＝f(1)＝．知识点解析：暂无解析22、证明：S(x)＝满足微分方程y(4)－y＝0，并求和函数S(x)．标准答案：显然级数的收敛域为(－∞，＋∞)，S’(x)＝，S”(x)＝，S’”(x)＝，S(4)(x)＝＝S(x)，显然S(x)满足微分方程y(4)－y＝0．y(4)－y＝0的通解为y＝C1ex＋C2e－x＋C3cosx＋C4sinx，由S(0)＝1，S’(0)＝S”(0)＝S’”(0)＝0得C1＝，C2＝，C3＝，C4＝0，故和函数为S(x)＝cosx．知识点解析：暂无解析23、设un＞0,且＝q存在．证明：当q＞l时级数un收敛，当q＜1时级数un发散．标准答案：当q＞1时，取ε0＝＞0，因为＝q，所以存在N＞0，当n＞N时，，从而有＝r(＞1)，所以有0≤un＜，而收敛，所以un收敛，故un收敛．当q＜1时，取ε0＝＞0，因为＝q，所以存在N＞0，当n＞N时，，从而有＝r(＜1)，所以有un＞，而发散，所以un发散，故un发散．知识点解析：暂无解析24、设级数(an－an＋1)收敛，且bn绝对收敛．证明：anbn绝对收敛．标准答案：令Sn＝(a1－a0)＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)，则Sn＝an－a0．因为级数(an－an－1)收敛，所以Sn存在，设Sn＝S，则有an＝S＋a0，即an存在，于是存在M＞0，对一切的自然数n有｜an｜≤M．因为bn绝对收敛，所以正项级数｜bn｜收敛，又0≤｜anbn｜≤M｜bn｜，再由M｜bn｜收敛，根据正项级数的比较审敛法得｜anbn｜收敛，即级数anbn绝对收敛．知识点解析：暂无解析25、设an＝tannxdx，对任意的参数λ，讨论级数的敛散性，并证明你的结论．标准答案：由an＋an＋2＝sec2xtannxdx＝，an＋an－2＝sec2xtann－2xdx＝，得≤an≤(n≥2)，即an～(n→∞)，所以(n→∞)．(1)当λ＞0时，因为级数收敛，所以级数收敛；(2)当λ≤0时，因为级数发散，所以级数发散．知识点解析：暂无解析设函数f0(x)在(－∞，＋∞)内连续，fn(x)＝fn－1(t)dt(n＝1，2，…)．26、证明：fn(x)＝[*]f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)；标准答案：n＝1时，f1(x)＝f0(t)dt，等式成立；设n＝k时，fk(x)＝f0(t)(x－t)k－1dt，则n＝k＋1时，fk＋1(x)＝fk(t)dt＝f0(u)(t－u)k－1du＝f0(u)(t－u)k－1dt＝f0(u)(x－u)kdu，由归纳法得fn(x)＝f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)．知识点解析：暂无解析27、证明：[*]fn(x)绝对收敛．标准答案：对任意的x∈(－∞，＋∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上连续，于是存在M＞0(M与x有关)，使得｜f0(t)｜≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是｜fn(x)｜≤(x－t)n－1dt｜＝｜x｜n，因为＝0，所以｜x｜n收敛，根据比较审敛法知fn(x)绝对收敛．知识点解析：暂无解析28、设a0＝1，a1＝－2，a2＝，an＋1＝－(1＋)an(n≥2)．证明：当｜x｜＜1时，幂级数anxn收敛，并求其和函数S(x)．标准答案：由＝1，得幂级数的收敛半径R＝1，所以当｜x｜＜1时，幂级数anxn收敛．由an＋1＝－(1＋)an，得an＝(－1)n(n＋1)(n≥3)，所以S(x)＝anxn＝1－2x＋x2＋(－1)n(n＋1)xn＝1－2x＋x2－．知识点解析：暂无解析考研数学三（级数）模拟试卷第6套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设条件收敛，且＝r，则()．A、｜r｜＜1B、｜r｜＞1C、r＝－1D、r＝1标准答案：C知识点解析：因为un条件收敛，所以级数un一定不是正项或负项级数，故r≤0．若｜r｜＜1，则＝｜r｜＜1，级数un绝对收敛，矛盾；若｜r｜＞1，＝｜r｜＞1，存在充分大的N，当n＞N时，{｜un｜}单调增加，un≠0，于是un发散，矛盾，故｜r｜＝1，再由r≤0得r＝－1，选C．2、设un＝(－1)nln(1＋)，则()．A、un与u2n都绝对收敛B、un条件收敛，u2n收敛C、un与u2n都发散D、发散，u2n收敛标准答案：B知识点解析：显然un条件收敛，u2n＝ln@(1＋)，因为ln2(1＋)－，而收敛，所以u2n收敛，选B．3、设幂级数an(x－2)n在x＝6处条件收敛，则幂级数(x－2)2n的收敛半径为()．A、2B、4C、D、无法确定标准答案：A知识点解析：因为an(x－2)n在x＝6处条件收敛，所以级数anxn的收敛半径为R＝4，又因为级数xn与anxn有相同的收敛半径，所以xn的收敛半径为R＝4，于是(x－2)2n的收敛半径为R＝2，选A．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、＝_____________．标准答案：2S()2(1－ln2)知识点解析：令S(x)＝xn＋1(－1＜x＜1)，则S’(x)＝nxn＝xnxn－1＝x(xn)’＝x(xn)’＝x()’＝，因为S(0)＝0，所以S(x)＝S(x)－S(0)＝dt＝dt＝ln｜t－1｜＝ln｜x－1｜－(＋1)＝ln｜x－1｜－，则＝2S()2(1－ln2)．5、设级数条件收敛，则p的取值范围是＝_____________．标准答案：－＜p≤知识点解析：，因为(－1)n＋1条件收敛，所以0＜p＋≤1，即p的范围是－＜p≤．三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)6、对常数P，讨论幂级数的收敛域．标准答案：由＝1，得幂级数的收敛半径为R＝1．(1)当P＜0时，记q＝－P，则有＝＋∞，因而当x＝±1时，发散，此时幂级数的收敛域为(－1，1)；(2)当0≤p＜1时，对，因为＝＋∞，所以x＝1时，级数发散，当x＝－1时，显然收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1)；(3)p＝1时，发散，收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1)；(4)当p＞1时，对，因为，而收敛，所以级数收敛，当x＝－1时，显然绝对收敛，此时幂级数的收敛域为[－1，1]．知识点解析：暂无解析7、设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un＝f(un－1)(n＝1，2，…)，u0∈[a，b]，证明：级数(un＋1－un)绝对收敛．标准答案：因为｜un＋1－un｜＝｜f(un)－f(un－1)｜＝｜f’(ξ1)｜un－un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜且qn收敛，所以｜un＋1－un｜收敛，于是(un＋1－un)绝对收敛．知识点解析：暂无解析8、设f(x)在(－∞，＋∞)内一阶连续可导，且＝1．证明：(－1)nf()收敛，而f()发散．标准答案：由＝1得f(0)＝0，f’(0)＝1，于是f()＝f’(ξ)(0＜ξ＜)．因为f’(x)＝f’(0)＝1，所以存在δ＞0，当｜x｜＜δ时，f’(x)＞0，于是存在N＞0，当n＞N时，＜δ，f()＞f(0)＝0，f()＜f()，且＝0，由莱布尼茨审敛法知(－1)nf()收敛，因为f()＝f’(ξ)且发散，所以发散．知识点解析：暂无解析9、设f(x)在x＝0的某邻域内二阶连续可导，且＝0．证明：级数f()绝对收敛．标准答案：由＝0，得f(0)＝0，f’(0)＝0．由泰勒公式得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋x2＝x2，其中ξ介于0与x之间．又f”(x)在x＝0的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有｜f”(x)｜≤M，其中M>0为f”(x)在该闭区间上的界．所以对充分大的n，有｜f()｜≤因为收敛，所以收敛，即绝对收敛．知识点解析：暂无解析10、设y＝y(x)满足y’＝x＋y，且满足y(0)＝1，讨论级数的敛散性．标准答案：由y’＝x＋y得y”＝1＋y’，再由y(0)＝1得y’(0)＝1，y”(0)＝2，根据麦克劳林公式，有y()＝y(0)＋y’(0)y”(0)()2＋o()＝1＋，因为｜y()－1且收敛，所以绝对收敛．知识点解析：暂无解析11、求幂级数的收敛域．标准答案：，幂级数的收敛半径为R1＝，当x＝±(1/2)时，发散，所以的收敛域为()．幂级数的收敛半径为R2＝，当x＝±时，发散，所以的收敛域为()，故的收敛域为()．知识点解析：暂无解析12、求函数f(x)＝ln(1－x－2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．标准答案：f(x)＝ln(1－x－2x2)＝ln(x＋1)(1－2x)＝ln(1＋x)＋ln(1－2x)，因为ln(1＋x)＝xn(－1＜x≤1)，1n(1－2x)＝－xn(－≤x＜)，所以f(x)＝xn，收敛域是()．知识点解析：暂无解析13、求幂级数x2n的和函数．标准答案：级数x2n的收敛半径为R＝＋∞，收敛区间为(－∞，＋∞)．令S(x)＝x2n，则S(x)＝x2n＝2x2n＋＝2x2x(2n－1)＋－1＝2x2x2n＋－1＝(2x2＋1)－1(－∞＜x＜＋∞)．知识点解析：暂无解析14、求幂级数的和函数．标准答案：显然该幂级数的收敛域为[－1，1]，令S(x)＝，则S(x)＝，而＝－xln(1－x)(－1≤x＜1)，－x＝－x－ln(1－x)(－1≤x＜1)，则S(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)(－1≤x＜1)．当x＝1时，S(1)＝＝1，所以S(x)＝知识点解析：暂无解析15、求幂级数xn”的和函数．标准答案：由＝0，得收敛半径R＝＋∞，该幂级数的收敛区间为(－∞，＋∞)，令S(x)＝xn，则S(x)＝xn＋xn＝xn＋ex＝xn＋ex＝xn＋xn＋ex＝xn＋xx(n－1)＋ex＝xn－2＋xex＋ex＝x2ex＋xex＋ex＝(x2＋x＋1)ex(－∞＜x＜＋∞)知识点解析：暂无解析16、求的和．标准答案：令S(x)＝n(n－1)xn－2，显然其收敛域为(－1，1)，则S(x)＝n(n－1)xn－2＝n(n－1)xn－2＝()”＝()”＝，于是．知识点解析：暂无解析设f(x)的一个原函数为F(x)，且F(x)为方程xy’＋y＝ex的满足y(x)＝1的解．17、求F(x)关于x的幂级数；标准答案：由xy’＋y＝ex得，解得y＝(dx＋C)，因为y(x)＝1，所以C＝－1，于是F(x)＝＝1＋＋…＋＋…(－∞＜x＜＋∞且x≠0)．知识点解析：暂无解析18、求的和．标准答案：＝[F(x)]’｜x＝1＝1．知识点解析：暂无解析19、将函数f(x)＝arctan展开成x的幂级数．标准答案：f(0)＝，f’(x)＝(－1)nx2n(－1＜x＜1)，由逐项可积性得f(x)－f(0)＝f’(x)dx＝x2n＋1，所以f(x)＝x2n＋1(－1≤x＜1)．知识点解析：暂无解析设f(x)＝xn，且a0＝1，an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．20、求f(x)满足的微分方程；标准答案：f’(x)＝xn－1＝xn－1＝xn－1＋＝xn＋x＝f(x)＋xex．则f(x)满足的微分方程为f’(x)－f(x)＝xex，f(x)＝(xexdx＋C)＝ex(＋C)，因为a0＝1，所以f(0)＝1，从而C＝1，于是f(x)＝ex(＋1)．知识点解析：暂无解析21、求标准答案：＝f(1)＝．知识点解析：暂无解析22、证明：S(x)＝满足微分方程y(4)－y＝0，并求和函数S(x)．标准答案：显然级数的收敛域为(－∞，＋∞)，S’(x)＝，S”(x)＝，S’”(x)＝，S(4)(x)＝＝S(x)，显然S(x)满足微分方程y(4)－y＝0．y(4)－y＝0的通解为y＝C1ex＋C2e－x＋C3cosx＋C4sinx，由S(0)＝1，S’(0)＝S”(0)＝S’”(0)＝0得C1＝，C2＝，C3＝，C4＝0，故和函数为S(x)＝cosx．知识点解析：暂无解析23、设un＞0,且＝q存在．证明：当q＞l时级数un收敛，当q＜1时级数un发散．标准答案：当q＞1时，取ε0＝＞0，因为＝q，所以存在N＞0，当n＞N时，，从而有＝r(＞1)，所以有0≤un＜，而收敛，所以un收敛，故un收敛．当q＜1时，取ε0＝＞0，因为＝q，所以存在N＞0，当n＞N时，，从而有＝r(＜1)，所以有un＞，而发散，所以un发散，故un发散．知识点解析：暂无解析24、设级数(an－an＋1)收敛，且bn绝对收敛．证明：anbn绝对收敛．标准答案：令Sn＝(a1－a0)＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)，则Sn＝an－a0．因为级数(an－an－1)收敛，所以Sn存在，设Sn＝S，则有an＝S＋a0，即an存在，于是存在M＞0，对一切的自然数n有｜an｜≤M．因为bn绝对收敛，所以正项级数｜bn｜收敛，又0≤｜anbn｜≤M｜bn｜，再由M｜bn｜收敛，根据正项级数的比较审敛法得｜anbn｜收敛，即级数anbn绝对收敛．知识点解析：暂无解析25、设an＝tannxdx，对任意的参数λ，讨论级数的敛散性，并证明你的结论．标准答案：由an＋an＋2＝sec2xtannxdx＝，an＋an－2＝sec2xtann－2xdx＝，得≤an≤(n≥2)，即an～(n→∞)，所以(n→∞)．(1)当λ＞0时，因为级数收敛，所以级数收敛；(2)当λ≤0时，因为级数发散，所以级数发散．知识点解析：暂无解析设函数f0(x)在(－∞，＋∞)内连续，fn(x)＝fn－1(t)dt(n＝1，2，…)．26、证明：fn(x)＝[*]f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)；标准答案：n＝1时，f1(x)＝f0(t)dt，等式成立；设n＝k时，fk(x)＝f0(t)(x－t)k－1dt，则n＝k＋1时，fk＋1(x)＝fk(t)dt＝f0(u)(t－u)k－1du＝f0(u)(t－u)k－1dt＝f0(u)(x－u)kdu，由归纳法得fn(x)＝f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)．知识点解析：暂无解析27、证明：[*]fn(x)绝对收敛．标准答案：对任意的x∈(－∞，＋∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上连续，于是存在M＞0(M与x有关)，使得｜f0(t)｜≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是｜fn(x)｜≤(x－t)n－1dt｜＝｜x｜n，因为＝0，所以｜x｜n收敛，根据比较审敛法知fn(x)绝对收敛．知识点解析：暂无解析28、设a0＝1，a1＝－2，a2＝，an＋1＝－(1＋)an(n≥2)．证明：当｜x｜＜1时，幂级数anxn收敛，并求其和函数S(x)．标准答案：由＝1，得幂级数的收敛半径R＝1，所以当｜x｜＜1时，幂级数anxn收敛．由an＋1＝－(1＋)an，得an＝(－1)n(n＋1)(n≥3)，所以S(x)＝anxn＝1－2x＋x2＋(－1)n(n＋1)xn＝1－2x＋x2－．知识点解析：暂无解析考研数学三（级数）模拟试卷第7套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设级数an发散(an＞0)，令Sn=a1+a2+…+an，则()．A、发散B、收敛于C、收敛于0D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：因为正项级数an发散，所以an=+∞，令因为，所以选B．2、设un收敛，则下列正确的是()．A、un2一定收敛B、un2一定发散C、un绝对收敛D、若un是正项级数，则un2一定收敛标准答案：D知识点解析：A不对，例如：发散；B不对，例如：也收敛；C不对，例如：发散，选D．3、设an＞0(n=1，2，…)且an收敛，又0＜k＜，则级数a2n()．A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与志有关标准答案：A知识点解析：令un=(-1)na2n，因为｜un｜=a2n～ka2n，而an收敛，所以ka2n收敛，于是un绝对收敛，选A．4、下列结论正确的是()．A、若un2及vn2都收敛，则(un±vn)2收