考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷1（共178题）

考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷1（共6套）（共178题）考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第1套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、当x→0时，下列无穷小中，哪个是比其他三个更高阶的无穷小()．A、x2B、1-cosxC、D、x-tanx标准答案：D知识点解析：所以x-tanx是比其他三个无穷小阶数更高的无穷小，选D．2、设f(x)=∫01-cosxsint2dt，g(x)=，则当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：B知识点解析：g(x)～因为所以f(x)是g(x)的高阶无穷小，选B．3、设f(x)=，则x=0是f(x)的()．A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、不能判断连续性的点标准答案：B知识点解析：当X＞0时，f(x)==1；当x=0时，f(x)=；当x＜0时，f(x)=x．因为f(0+0)=1，f(0)=，f(0-0)=0，所以x=0为f(x)的第一类间断点，选B．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)4、=______.标准答案：4知识点解析：5、=______.标准答案：知识点解析：6、设在点x=0处连续，则a=_______，b=________．标准答案：1，-1知识点解析：因为f(x)在x=0连续，所以f(0-0)=f(0+0)=f(0)=1，故a=1，b=-1．7、=_______.标准答案：知识点解析：由xex=x[1+x+o(x)]=x+x2+o(x2)，ln(1+c)=x-+o(x2)，得xex-ln(1+x)～-x2，故8、=_______.标准答案：知识点解析：9、=________.标准答案：知识点解析：10、=________.标准答案：知识点解析：11、若(cosx-b)=5，则a=______，b=________．标准答案：1；-4知识点解析：12、设f(x)连续可导，f(0)=0且f’(0)=b，若在x=0处连续，则A=______．标准答案：a+b知识点解析：=f’(0)+a=a+b．因为F(x)在x=0处连续，所以A=a+b．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)13、设f(x)=，求f(x)的间断点，并对其进行分类．标准答案：x=0，x=1，x=π为f(x)的间断点．由f(0-0)≠f(0+0)得x=0为跳跃间断点；由f(π-0)≠f(π+0)得x=π为跳跃间断点；由f(1-0)=0，f(1+0)=-∞得x=1为第二类间断点．知识点解析：暂无解析14、求标准答案：知识点解析：暂无解析15、求标准答案：知识点解析：暂无解析16、已知0＜a＜b＜c，求标准答案：由cn≤an+bn+cn≤3cn得c≤(an+bn+因为知识点解析：暂无解析17、求标准答案：知识点解析：暂无解析18、求标准答案：因为所以由12+22+…+n2=得，根据夹逼定理得知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、若标准答案：由sinx=x-+o(x3)得sin6x==6x-+o(x2)=6x-36x3+o(x3)，于是由得=36．知识点解析：暂无解析21、设f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x-sinx，当x→0时，比较这两个无穷小的关系．标准答案：因为g(x)=x-sinx=x2，所以当x→0时，f(x)=∫0tanxarctant2dt与g(x)=x-sinx是同阶非等价的无穷小．知识点解析：暂无解析22、求下列极限：标准答案：(1)(2)当x→0时，由于是(3)(4)知识点解析：暂无解析23、求标准答案：而所以知识点解析：暂无解析24、求标准答案：由1-cosax～x2得因为sinax=ax-x3+o(x3)，asinx=a-[x-+o(x3)=ax-x3+o(x3)，所以故知识点解析：暂无解析25、确定常数a，c的值，使得，其中c为非零常数．标准答案：由洛必达法则，故a=1，c=知识点解析：暂无解析26、设是连续函数，求a，b的值．标准答案：因为f(x)是连续函数，所以f(-1-0)=-1=f(-1)=(a-b-1)=f(-1+0)=a-b，f(1-0)=a+b=f(1)=(a+b+1)=f(1+0)=1，解得a=0，b=1．知识点解析：暂无解析27、设a1=4，an+1=an存在，并求此极限．标准答案：先证明an≥2．a1=4≥2，设ak≥2，则ak+1==2，由数学归纳法，对任意的自然数n有an≥2；由an+1-an=≤0得数列{an}单调递减，即数列{an}单调递减有下界，故数列{an}收敛，极限an存在．令an=A，对an+1=两边取极限得A=解得A=-1(舍去)，A=2．知识点解析：暂无解析28、设，求f(x)的间断点，并判断其类型．标准答案：显然函数f(x)的间断点为x=0和x=1．因为x→0时，=-1，即x=0为f(x)的第一类间断点中的可去间断点；因为f(1-0)=，所以x-1为f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第2套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设则f{f[f(x)])等于()．A、0B、1C、D、标准答案：B知识点解析：因为｜f(x)｜≤1，所以f[f(x)]=1，于是f{f[f(x)]}=1，选B．2、设α=∫05xdt，β=∫0sinx，当x→0时，α是β的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：D知识点解析：由得α～5x；由得β～ex．故α和β是同阶但非等价的无穷小，选D．3、设f(x)连续且F(x)=∫axf(t)dt，则为()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在标准答案：B知识点解析：[2x∫axf(t)dt+x2f(x)]=a2f(a)，选B．4、设，其中a，b为常数，则()．A、a=1，b=1B、a=1，b=-1C、a=-1，b=1D、a=-1，b=-1标准答案：B知识点解析：因为，即a=1，又=-1，选B．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)5、=______.标准答案：知识点解析：6、=_______.标准答案：知识点解析：因为所以由夹逼定理，得7、设a＞0，且，则a=_____，b=________．标准答案：4；1知识点解析：由，故a=4．8、=_______.标准答案：知识点解析：9、=_______.标准答案：1知识点解析：10、=________.标准答案：知识点解析：因为sinx=x-+o(x3)，所以(1+x2)sinx-x～x3，故原式=11、=________.标准答案：知识点解析：由ln(1+x)=x-+o(x2)得x2-xln(1+x)=+o(x3)～则12、若在x=0处连续，则a=________．标准答案：2知识点解析：因为f(x)在x=0处连续，所以1+=a，故a=2．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)13、当x→0时，(1+xsin2x)a-1～1-cosx，求a．标准答案：由(1+xsin2x)a-1～axsin2x～2ax2，1-cosx～x2得2a=，故a=知识点解析：暂无解析14、求下列极限：标准答案：(1)(2)(3)(4)(5)当x→0时，x2，由sinx=x+o(x2)，ex=1+x++o(x2)得sinx-ex+1～故(6)由ln(1+x)=x-+o(x2)得ln(1-2x)=-2x-2x2+o(x2)，于是当x→0时，arctan2x[2x+ln(1-2x)]～-2x4．又由+o(x4)得(7)x4，由(1+x)a=1+ax+x2+o(x2)得(8)知识点解析：暂无解析15、求标准答案：知识点解析：暂无解析16、求标准答案：知识点解析：暂无解析17、已知an=an．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求标准答案：令=an，则而根据夹逼定理知识点解析：暂无解析19、已知标准答案：知识点解析：暂无解析20、求标准答案：知识点解析：暂无解析21、求标准答案：由得=e-1．知识点解析：暂无解析22、求标准答案：知识点解析：暂无解析23、求标准答案：而=e-1．知识点解析：暂无解析24、设曲线y=xn在点(1，1)处的切线交x轴于点(ξn，0)，求ξn2n．标准答案：y=xn在点(1，1)处的切线方程为y-1=n(x-1)，令y=0得ξn=1-=e-2．知识点解析：暂无解析25、设，求a，b的值．标准答案：由ln(1-2x+3x2)=(-2x+3x2)-+o(x2)=-2x+x2+o(x2)得则a=2，b+1=2，即a=2，b=1．知识点解析：暂无解析26、设an=，证明：{an}收敛，并求an．标准答案：显然{an}单调增加，现证明：an≤3，当n=1时，a1=≤3，设n=k时，ak≤3，当n=k+1时，ak+11==3．由归纳法原理，对一切的自然数n，有an≤3，所以数列{an}收敛．令an=A，对an+1=两边取极限，得A=，解得A=3，即an=3．知识点解析：暂无解析27、讨论函数的连续性．标准答案：当x≠0时，函数f(x)连续，f(0)=1，x=0为函数f(x)第一类间断点中的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析28、设，求f(x)的间断点，并判断其类型．标准答案：当x=0及x=±1时f(x)间断．由f(0-0)=0，f(0+0)=-∞得x=0为f(x)的第二类间断点．由f(1-0)=，f(1+0)=得x=1为f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点，同理x=-1也为f(x)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、当x→0+时，下列无穷小中，阶数最高的是()．A、ln(1+x2)-x2B、C、∫0x2(1+t2)dtD、ex2-1-x2标准答案：C知识点解析：ln(1+x2)-x2～x4，+cosx-2=1+x4+o(x4)+1-x4+o(x4)-2～x4，由，得∫0x2ln(1+t2)dt～x4，ex2-1-x2=1+x2++o(x4)-1-x2～，则∫0x2ln(1+t2)dt为最高阶无穷小，选C．2、极限()．A、等于1B、为∞C、不存在但不是∞D、等于0标准答案：C知识点解析：因为当xn=(n=1，2，…)时，=∞，当yn=(n=1，2，…)时，极限不存在但不是∞，选C．3、设f(x)是不恒为零的奇函数，且f’(0)存在，则g(x)=()．A、在x=0处无极限B、x=0为其可去间断点C、x=0为其跳跃间断点D、x=0为其第二类间断点标准答案：B知识点解析：因为f’(0)存在，所以f(x)在x=0处连续，又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0，显然x=0为g(x)的间断点，因为=f’(0)，所以x=0为g(x)的可去间断点，选B．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)4、=______.标准答案：知识点解析：5、=______.标准答案：4知识点解析：6、=_______.标准答案：知识点解析：7、=_______.标准答案：e知识点解析：而所以8、=________.标准答案：知识点解析：当x→0时，因为所以9、=________.标准答案：知识点解析：10、设x→0时，lncosax～-2cb(a＞0)，则a=______，b=_______．标准答案：2，2知识点解析：因为ln(cosax)=ln[1+(cosax-1)]～cosax-1～x2，所以得到=-2，b=2，解得a=2，b=2．11、设f(x)连续，且=______.标准答案：-2知识点解析：由得=-2．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)12、求下列极限：标准答案：(1)(2)(3)知识点解析：暂无解析13、设f(x)=，求f(x)及其间断点，并判断其类型．标准答案：当x＜1时，f(x)=1；当x=1时，f(1)=；当x＞1时，f(x)=；即因为f(1-0)=1≠f(1+0)=，所以x=1为f(x)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析14、求标准答案：知识点解析：暂无解析15、求标准答案：知识点解析：暂无解析16、求标准答案：知识点解析：暂无解析17、求∫0x(t2+1)et2-x2dt．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求标准答案：知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、设标准答案：因为x→0时，所以知识点解析：暂无解析21、设f(x)连续，且=e3，f’(0)存在，求f’(0)．标准答案：由=e3得f(0)=0，则f’(0)=3．知识点解析：暂无解析22、求标准答案：=e0=1．知识点解析：暂无解析23、求标准答案：知识点解析：暂无解析24、求标准答案：令f(x)=ln(1+x)，f’(x)=，则其中故知识点解析：暂无解析25、设(x-3sin3x+ax-2+b)=0，求a，b的值．标准答案：(x-3sin3x+ax-2+b)由麦克劳林公式得sin3x=3x-+o(x3)=3x-x3+o(x3)，于是sin3x+ax+bx3=(3+a)x+(b-)x3+o(x3)，而知识点解析：暂无解析26、确定正数a，b的值，使得标准答案：显然b=1，且=2，故a=1．知识点解析：暂无解析27、设a1=1，a2=2，3an+2-4an+1+an=0，n=1，2，…，求an．标准答案：由3an+2-4sn+1+an=0，得3(aa+2-an+1)=an+1-an(n=1，2，…)．令bn=an+1-an，则bn+1／bn=1／3(n=1，2，…)，由b1=1，得bn=(n=1，2，…)，即知识点解析：暂无解析28、设，求f(x)的间断点，并判断其类型．标准答案：显然x=0，x=1为f(x)的间断点．因为f(0-0)≠f(0+0)，所以x=0为f(x)的跳跃间断点．因为f(1-0)≠f(1+0)，所以x=1为f(x)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、函数f(x)=｜xsinx｜ecosx(-∞＜x＜+∞)是()．A、有界函数B、单调函数C、周期函数D、偶函数标准答案：D知识点解析：显然函数为偶函数，选D．2、设f(x)=∫0x，g(x)=∫0xsin2(x-t)dt，则当x→0时，g(x)是f(x)的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价的无穷小D、等价无穷小标准答案：A知识点解析：由又g(x)=∫0xsin2(x-t)dt∫x0sin2u(-du)=∫0xsin2udu，由故g(x)是f(x)的高阶无穷小，选A．3、设y=f(x)由cos(xy)+lny-x=1确定，则=()．A、2B、1C、-1D、-2标准答案：A知识点解析：将x=0代入已知等式得y=1，对cos(xy)+lny-x=1两边关于x求导得-sin(xy)=0．将x=0，y=1代入上式得=1，即f’(0)=1，于是=2f’(0)=2，选A．4、f(x)在[-1，1]上连续，则x=0是函数的()．A、可去间断点B、跳跃间断点C、连续点D、第二类间断点标准答案：A知识点解析：显然x=0为g(x)的间断点，因为=f(0)，所以x=0为g(x)的可去间断点，选A．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)5、=______.标准答案：知识点解析：6、设f(x)=，则x=0为f(x)的________间断点．标准答案：跳跃知识点解析：f(0-0)=f(x)=1，f(0+0)=f(x)=0，因为f(0-0)≠f(0+0)，所以x=0为f(x)的跳跃间断点．7、当x→时，π-3arccosx～a，则a=_______，b=______．标准答案：；1知识点解析：由故a=，b=1．8、=_______.标准答案：π2知识点解析：9、设=________.标准答案：知识点解析：10、=________.标准答案：2知识点解析：11、=________.标准答案：知识点解析：12、设在x=0处连续，则a=_______．标准答案：e-1知识点解析：因为=e-1，所以a=e-1．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)13、设a0＞0，an+1=(n=0，1，2，…)，证明：an存在，并求之．标准答案：由an+1=得an≥1(n=1，2，3，…)；又由an+1=得an≤2(n=1，2，…)，故数列{an}有界；又由an+1-an=得an+1-an与an-an-1同号，即数列{an}单调，故an存在．令an=A，an+1=两边取极限得A=，解得A=知识点解析：暂无解析14、求标准答案：知识点解析：暂无解析15、求标准答案：当0≤x≤1时，0≤≤lnn(1+x)≤xn，积分得0≤∫01≤∫01xndx=由夹逼定理得知识点解析：暂无解析16、求标准答案：由x4+o(x4)，cosx=1-+o(x2)，ex2=1+x2+o(x2)得cosx-ex2～x2，故知识点解析：暂无解析17、求(ai＞0，i=1，2，…，n)．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求标准答案：由1-cosax～x2(x→0)得知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、求标准答案：因为x→0+时，所以知识点解析：暂无解析21、求标准答案：知识点解析：暂无解析22、求标准答案：知识点解析：暂无解析23、求标准答案：而所以(sinx)ln(1+x)=1．知识点解析：暂无解析24、确定常数a，b，c的值，使得当x→0时，ex(1+bx+cx2)=1+ax+0(x3)．标准答案：由ex=1+x++o(x3)，得ex(1+bx+cx2)=[1+x++o(x3)](1+bx+cx2)=1+(b+1)x+(b+c+x3+o(x3)，所以知识点解析：暂无解析25、设，求a，b，c，d的值．标准答案：由，得c=-1，所以a，b，c，d满足的条件是a=-2d，c=-1，b取任意常数．知识点解析：暂无解析26、设a1=1，an+1+=0，证明：数列{an}收敛，并求an.标准答案：先证明{an}单调减少．a2=0，a2＜a1；设ak+1＜ak，ak+2=，由ak+1＜ak得1-ak+1＞1-ak，从而，即ak+2＜ak+1，由归纳法得数列(an}单调减少．现证明由归纳法，对一切n，有an≥．由极限存在准则，数列{an}收敛，设an=A，对an+1+两边取极限得知识点解析：暂无解析27、讨论函数的连续性．标准答案：当x∈(0，e)时，当x=e时，f(e)=1，当x＞e时，故因为f(e-0)=f(e)=f(e+0)=1，所以f(x)在x＞0内处处连续．知识点解析：暂无解析28、设，试补充定义使得f(x)在上连续．标准答案：因为所以令f(1)=，则f(x)在上连续．知识点解析：暂无解析29、设，求f(x)的间断点，并判断其类型．标准答案：显然x=0及x=1为f(x)的间断点．则x=0为f(x)的可去间断点；因为f(1-0)≠f(1+0)，所以x=1为f(x)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第5套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、如果数列xn＞0，n=1，2，…，且则数列xn()A、有界．B、趋向于正无穷大．C、收敛于a．D、收敛于0.标准答案：B知识点解析：因为a＞1，取常数r，使得a＞r＞1，则有由极限的保号性，存在正整数N，当n＞N时，恒有于是得到xN+k＞rkxN，k=1，2，…．因为所以应选B．2、设则f(x)=()A、ex－1．B、ex+2．C、ex+1．D、e－x．标准答案：C知识点解析：所以f(x)=e1+x，因此选C．3、设函数其中f(x)在x=0处二阶可导f"(0)≠0，f′(0)=0，f(0)=0，则x=0是F(x)的()A、第一类间断点．B、连续点．C、第二类间断点．D、连续点或间断点不能由此确定．标准答案：A知识点解析：[*]所以x=0是F(x)的第一类(可去)间断点．4、设函数讨论f(x)的间断点，其结论为()A、不存在间断点．B、x=0是可去间断点．C、x=0是跳跃间断点．D、x=0是无穷间断点．标准答案：Dundefinedundefinedundefinedundefined知识点解析：当x=0时，[*]当x＜0时，[*]当x＞0时，[*]即[*]因为[*]所以x=0是f(x)的无穷间断点，故应选(D)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)5、标准答案：2知识点解析：设则6、设函数f(x)在x=a可导，且f(a)≠0，则标准答案：知识点解析：7、标准答案：知识点解析：8、标准答案：5e知识点解析：三、解答题(本题共29题，每题1.0分，共29分。)9、设常数x1=a，xn=axn-1(n=2，3，…)，证明当n→∞时，数列{xn}极限存在．标准答案：因为x1=a＞1，所以x2=ax1＞a=x1．假设xn=axn-1＞xn-1，则xn+1=axn＞axn-1=xn．由归纳法，{xn}为单调增加数列．又x1=a＜e，假设xn＜e，则由归纳法知{xn}有上界．由单调有界准则，数列{xn}极限存在．知识点解析：暂无解析10、设x1=1，n=1，2，…，证明当n→∞时，数列{xn}极限存在，并求其值．标准答案：首先证明数列{xn}是单调递增的．x1＜x2显然成立．假设xk－1＜xk成立，则有即xk＜xk+1成立．由数学归纳法知，对任何正整数n，均有xn＜xn+1成立，从而数列{xn}单调递增．又因为xn＜2成立，即数列{xn}有上界．根据单调有界原理便知数列{xn}收敛．令将两边取极限得l2=l+1．考虑到l＞0，解得因此知识点解析：暂无解析设函数11、求f(x)的最小值；标准答案：由题意令f′(x)=0，得唯一驻点x=1．又故f(1)=1是极小值，也是最小值．知识点解析：暂无解析12、设数列{xn}满足证明存在，并求此极限．标准答案：由上题知从而于是即xn+1＞xn，故{xn}为单调增加数列．又知lnxn＜1，故xn＜e，即{xn}有上界，由单调有界准则，存在．在不等式两边取极限，且设有又故得a=1，即知识点解析：暂无解析13、设f(x)是区间[0，+∞)上单调减少且非负的连续函数，证明数列{an}的极限存在．标准答案：只须证明an是单调有界数列．由题设(1)有界性．(2)单调性．由知{an}单调减少，故{an}的极限存在．知识点解析：暂无解析14、设求标准答案：对一切n，有而所以由夹逼准则，知知识点解析：暂无解析15、设求标准答案：因为而所以由夹逼准则，得知识点解析：暂无解析16、求标准答案：知识点解析：暂无解析17、求标准答案：由拉格朗日中值定理知因此知识点解析：暂无解析18、求极限标准答案：显然又因为所以由夹逼准则，知知识点解析：暂无解析19、求下列极限：标准答案：(1)令则(2)因为所以知识点解析：暂无解析20、已知极限试确定常数n和c的值．标准答案：【解法1】由洛必达法则，得故有【解法2】因为所以故知识点解析：暂无解析21、已知求标准答案：由于故又由知存在x→0时的无穷小量α(x)，使得则从而知识点解析：暂无解析22、设试确定a，b的值．标准答案：令则故有b－2=0，即a=－2，b=2．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在0＜|x|＜δ时有定义，其中δ为正常数，且求极限标准答案：即而故知识点解析：暂无解析24、设f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，且求f(0)，f′(0)，f"(0)及标准答案：因为所以又f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，因此f(x)，f′(x)在x=0处连续．从而f(0)=－3．因为所以故由将f(x)麦克劳林展开，得因此于是f"(0)=9．知识点解析：暂无解析25、设函数f(x)在x0处可导，且f(x0)≠0，求标准答案：知识点解析：暂无解析26、设求标准答案：由微分中值定理，存在ξ∈(x－1，x+1)，使f(x+1)－f(x－1)=2f′(ξ)．注意到当x→∞时，ξ→∞，从而知识点解析：暂无解析27、若x→0时与xsinx是等价无穷小量，试求常数a．标准答案：【解法1】由等价无穷小的定义知即a=－4．【解法2】知识点解析：暂无解析28、当x→0时，ex3－esin3x与xm是同阶无穷小量，试求常数m．标准答案：由同阶无穷小量的定义知m－3=2，即m=5时ex3－esin3x与xm是x→0时的同阶无穷小量．知识点解析：暂无解析29、当x→0时3x－4sinx+sinxcosx与xn为同阶无穷小量，试n．标准答案：故当n=5时上述极限存在并且等于即n=5时3x－4sinx+sinxcosx与xn是x→0时的同阶无穷小量．知识点解析：暂无解析30、设当x→0时，In(1+x)－(ax2+bx)是比xarcsinx高阶的无穷小量，试求常数a和b．标准答案：当x→0时，xarcsinx～x2．而ln(1+x)－(ax2+bx)=x－+o(x2)－(ax2+bx)=(1－b)x－+o(x2)．由条件知1－b=0，即b=1时，ln(1+x)－(ax2+bx)是x→0时的比xarcsinx高阶的无穷小量．知识点解析：暂无解析31、设x→0时，是等价的无穷小量，试求常数a和k的值．标准答案：因x→0时有故又由f(x)和g(x)是x→0时的等价无穷小量，可得k=2．知识点解析：暂无解析32、设函数问f(x)在x=1处是否连续?若不连续，修改f(x)在x=1处的定义，使之连续．标准答案：即故f(x)在x=1处不连续．令则f(x))在x=1处连续．知识点解析：暂无解析33、设f(x)连续，且求f(0).标准答案：由知等式两边取极限，得由于f(x)在x=0处连续，所以知识点解析：暂无解析34、求函数的间断点，并判别其类型．标准答案：f(x)的间断点为x=0以及即x=1和x=－1．故x=0是f(x)的第二类间断点，且是无穷间断点．故x=l和x=-1是f(x)的第一类间断点，且是跳跃间断点．知识点解析：暂无解析35、证明方程在(0，+∞)内至少有两个实根．标准答案：令则f(x)在(0，+∞)内连续，因为又故由零点定理，f(x)=0在(0，e)与(e，+∞)内至少各有一个实根，即f(x)=0在(0，+∞)内至少有两个实根．知识点解析：暂无解析36、设函数f(x)在[0，1]上非负连续，且f(0)=f(1)=0，证明对实数a(0＜a＜1)，必有ξ∈[0，t)使f(ξ+a)=f(ξ)．标准答案：令F(x)=f(x+a)-f(x).因为f(x)在[0，1]上非负连续，f(x+a)应在[－a，1－a]上非负连续，于是F(x)在[0，1－a]上连续．由于F(0)=f(a)－f(0)=f(0)≥0，F(1－a)=f(1)-f(1－a)=-f(1－a)≤0．(1)若F(=)=0，则ξ=0即为所求；(2)若F(1－a)=0，则ξ=1－a即为所求；(3)若F(0)≠0且F(1-a)≠0，则由介值定理，必存在ξ∈(0，1－a)(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ+a)=f(ξ)．综上所述，存在ξ∈[0，1)，使f(ξ+a)=f(ξ)．知识点解析：暂无解析37、设f(x)在[a，b]上可微，x∈[a，b]，a＜f(x)＜b，且f′(x)≠1，x∈(a，b)．试证：在(a，b)内方程f(x)=x有唯一实根．标准答案：存在性．令F(x)=f(x)－x，显然F(x)在[a，b]上连续，又F(a)=f(a)－a＞0，F(b)=f(b)－b＜0，则由零点定理可知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使F(ξ)=0，即f(ξ)=ξ.用反证法证唯一性．设存在η∈(a，b)，η≠ξ，使F(η)=0，则由罗尔定理可知，在η与ξ之间存在一点c，使F′(c)=f′(c)－1=0，即f′(c)=1，这与f′(x)≠1，x∈(a，b)矛盾．知识点解析：暂无解析考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷第6套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设当x→0时，(x-sinx)ln(1+x)是比exn-1高阶的无穷小，而exn-1是比∫0x(1-cos2t)dt高阶的无穷小，则n为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：exn-1～xn，因为sinx=x-+o(x3)，所以(x-sinx)ln(1+x)～又因为所以∫0x(1-cos2t)dt～，于是n=3，选C．2、当x→1时，的极限为()．A、2B、0C、∞D、不存在但不是∞标准答案：D知识点解析：显然=+∞，而不存在但不是∞，选D．3、设，则f(x)()．A、无间断点B、有间断点x=1C、有间断点x=-1D、有间断点x=0标准答案：B知识点解析：当｜x｜＜1时，f(x)=1+x；当｜x｜＞1时，f(x)=0；当x=-1时，f(x)=0；当x=1时，f(x)=1．于是显然x=1为函数f(x)的间断点，选B．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)4、=______.标准答案：e3知识点解析：5、当x→0时，～axb，则a=______，b=______．标准答案：，3知识点解析：当b-2=1，即b=3时，极限存在，为x3，故a=，b=3．6、设f(x)=sinx，f[φ(x)]=1-x2，则φ(x)=______，定义域为_______．标准答案：arcsin(1-x2)；知识点解析：φ(x)=arcsin(1-x2)，定义域为7、=_______.标准答案：1知识点解析：由得xsin2x=e0=1．8、=_______.标准答案：3知识点解析：9、当x→0时，3x-4sinx+sinxcosx与xn为同阶无穷小，则n=________．标准答案：5知识点解析：sinx=+o(x5)，sinxcosx=x5+o(x5)，则3x-4sinx+sinxcosx～5，故n=5．10、=________.标准答案：知识点解析：11、设f(x)连续，且f(0)=0，f’(0)=2，则=_______.标准答案：知识点解析：由ex2=1+x2+o(x2)，cosx=1-+o(x2)得ex2-cosx=x2+o(x2)～x2，又∫0xf(x-t)dt∫0xf(u)(-du)=∫0xf(u)du，于是12、设f(x)可导且在x=0处连续，则a=______．标准答案：3知识点解析：由∫0xf(x-t)dt∫0xf(u)du，x-arctanx=得因为g(x)在x=0处连续，所以a=3．三、解答题(本题共1