考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷4（共100题）

考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷4（共4套）（共100题）考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷第1套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、=_______标准答案：3／2知识点解析：2、已知线性方程组无解，则a=_______．标准答案：-1知识点解析：A→，当a≠3且a≠-1时有唯一解；当a=3时，秩(A)=秩=2＜3，有无穷多解；当a=-1时，秩(A)=2，秩=3，故无解．3、设u=e-xsinx/y,则э2u/эxэy在点（2,1/π）处的值________。标准答案：π2/э2知识点解析：暂无解析4、若在(一∞，+∞)内连续，则a=______。标准答案：0知识点解析：因为f(x)在(一∞，0)及(0，+∞)内连续，所以需要确定参数a，使f(x)在x=0处连续。当时，f(x)在x=0处连续，所以当a=0时，f(x)在(一∞，+∞)内连续。5、=_________.标准答案：3知识点解析：本题属“∞0”型未定式．数列极限不能直接用洛必达法则．如用，得先转化成连续变量的极限，利用求得，但比较麻烦．事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形，即=(3.10)1=3．6、设f(x，y)=exysinπy+(x一1)arctan则df(1，1)=_____．标准答案：知识点解析：暂无解析7、若向量组α1=(1，一1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α4=(3，0，7，a)T，α4=(1，一2，2，0)T线性无关，则未知数a的取值范围是__________.标准答案：a≠14知识点解析：n个n维向量线性无关的充分必要条件是以这n个向量组成的矩阵对应的行列式不为0，由于已知的四个向量对应的矩阵行列式为．计算该行列式可得因此可知a≠14．8、曲线戈y=1在点D(1，1)处的曲率圆方程是_____________.标准答案：(x一2)2+(y一2)2=2知识点解析：由题干可知，9、设可导函数y=f(x)由方程∫0x＋ye－t2dt=∫0xxsin2tdt确定，则=_________。标准答案：一1知识点解析：∫0x＋ye－t2dt=x∫0xsin2tdt，令x=0，则y(0)=0。方程两端同时对x求导，得=∫0xsin2tdt＋xsin2x，将x=0，y(0)=0代入上式，得1+=0。故=一1。10、设f(χ)连续，且f(1)＝1，则＝_______标准答案：知识点解析：11、求=________.标准答案：知识点解析：12、设A＝，B＝P-1AP其中P为3阶可逆矩阵，则B2004－2A2＝_______．标准答案：知识点解析：由于A2＝，A3＝(A2)2＝E，A2004)＝(A4)501＝E501＝E，故B2004－2A2＝P-1A2004P－2A213、=________．标准答案：2e2+2知识点解析：原式=4e2－2e2+2=2e2+2．14、交换积分次序=______。标准答案：知识点解析：由题干可知，积分区域如图所示，则有15、设y＝，则＝_______．标准答案：知识点解析：16、三阶常系数线性齐次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解为y=___________．标准答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx知识点解析：微分方程对应的特征方程为λ3一2λ2+λ一2=0．解上述方程可得其特征值为2，±i，于是其中一组特解为e2x,cosx，sinx．因此通解为y=C1e2c+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常数．17、由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成平面图形的面积为________．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设D由y＝及χ轴围成，f(χ，y)＝χy－(χ，y)dχdy，求f(χ，y)＝_______．标准答案：χy－知识点解析：令A＝f(χ，y)dχdy，则f(χ，y)＝χy－A，积分得A＝，解得A＝χydχdy，令(0≤θ≤，0≤r≤2cosθ)，则故f(χ，y)＝χy－．19、设A，B是三阶矩阵，满足AB=A—B，其中B=，则｜A+E｜=________。标准答案：知识点解析：由题设，AB=A—B，则(A+E)(E—B)=E，因此｜A+E｜=。20、设则Bn=__________．标准答案：知识点解析：因故Bn=(αTα)n=(αTα)(αTα)…(αTα)=αT(ααT)…(ααT)α=14n-1B．21、当x→0时，-1～cos2x-1，则a=_______标准答案：-3知识点解析：因为x→0时，，cos2x-1=(cosx+1)(xosx-1)～-x2，且-1～cosx2-1，所以a=-322、标准答案：0知识点解析：当x=0时，t=0；当t=0时，由y+ey=1，得y=0．23、二次型f(x1，x2，x3)=x2+2x1x3的负惯性指数g=______．标准答案：1知识点解析：令(Ⅰ)，故(Ⅰ)是坐标变换，那么经此变换二次型化为f=y22+2(y1+y3)(y1-y3)=2y12+y22-2y32．所以负惯性指数q=1．24、设f(x)满足等式xf’(x)-f(x)==______标准答案：知识点解析：25、椭圆2x2+y2=3在点(1，-1)处的切线方程为________标准答案：y=2x-3知识点解析：2x2+y2=3两边对x求导得4x+2yy’=0，即所求的切线方程为y+1=2(x-1)，即y=2x-3考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷第2套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、当x→0时，～ax2，则a=_______．标准答案：3／4知识点解析：2、=_________.标准答案：知识点解析：3、设∫xf(x)dx=ln(1+x2)+C，则标准答案：知识点解析：暂无解析4、＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析5、设函数f(χ)可导，且f(0)＝0，F(χ)＝∫0χtn-1(χn－tn)dt，试求＝_______．标准答案：f′(0)知识点解析：暂无解析6、设y＝且f′(χ)＝arctanχ2，则＝_______．标准答案：知识点解析：y＝f(u)，u＝，u｜χ＝0＝－1．7、＝_______．标准答案：知识点解析：8、向量组α1=(1，—2，0，3)T，α2=(2，—5，—3，6)T，α3=(0，1，3，0)T，α4=(2，—1，4，7)T的一个极大线性无关组是________。标准答案：α1，α2，α4知识点解析：用已知向量组构成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有(α1，α2，α3，α4)=因为矩阵中有3个非零行，所以向量组的秩为3。在上述阶梯形矩阵的每一台阶各取一列，则α1，α2，α4或α1，α3，α4是向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组。9、曲线y=的斜渐近线为_______．标准答案：y=x+3知识点解析：则斜渐近线为y=x+3．10、四元方程组Ax=b的三个解是α1,α2,α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如果r(A)=3，则方程组Ax=b的通解是____________.标准答案：(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T知识点解析：根据(α2+α3)一2α1=(α2一α1)+(α2一α1)=(2，3，4，5)T一2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3)T，因此可知(0，1，2，3)T是Ax=0的解．又因为r(A)=3，n一r(A)=1，所以Ax=b的通解为(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．11、设f(x)二阶连续可导，且f(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，则∫01xf"(2x)dx=_______．标准答案：2知识点解析：∫01xf"(2x)dx=∫012xf"(2x)d(2x)=∫02xf"(x)dx=∫02xdf’(x)=[xf’(x)｜02-∫02f’(x)dx]=(10-f(x)｜02)=212、设f(x)=则∫-20f(x+1)dx=_______．标准答案：知识点解析：作定积分换元x+1=t，原积分=∫-11f(t)dt=∫-10(t+1)dt+∫01t2dt=13、设f(3x+1)=则∫01f(x)dx=_______．标准答案：知识点解析：令3x+1=t，所以14、设周期为4的函数f(χ)处处可导，且，则曲线y＝f(χ)在(－3，f(－3))处的切线为________．标准答案：y＝－2χ－4知识点解析：由得f(1)＝2，再由得f′(1)＝－2，又f(－3)＝f(－4＋1)＝f(1)＝2，f′(－3)＝f′(－4＋1)＝f′(1)＝－2，故曲线y＝f(χ)在点(－3，f(－3))处的切线为y－2＝－2(χ＋3)，即y＝－2χ－4．15、标准答案：其中C为任意常数知识点解析：16、设函数y＝满足f′(χ)＝arctan，则＝_______．标准答案：知识点解析：17、设A=(α1，α2，α3，β)，B=(α2，α3，α1，γ)，｜A｜=a，｜B｜=b，则｜A+B｜=_________。标准答案：2(a+b)知识点解析：由题意A+B=(α1+α2，α2+α3，α3+α1，β+γ)，即有｜A+B｜=｜α1+α2，α2+α3，α3+α1，β+γ｜。将该行列式的第一列的一1倍加到第二列得｜A+B｜=｜α1+α2，α3一α1，α3+α1，β+γ｜。再将新的行列式的第二列加到第三列可得｜A+B｜=｜α1+α2，α3一α1，2α3，β+γ｜=2｜α1+α2，一α1，α3，β+γ｜=一2｜α1+α2，α1，α3，β+γ｜=一2｜α2，α1，α3，β+γ｜=一2(｜α2，α1，α3，β｜+｜α2，α1，α3，γ｜)，其中｜α2，α1，α3，β｜=一｜A｜=一a，｜α2，α1，α3，γ｜=一｜B｜=一b，故｜A+B｜=2(a＋b)。18、微分方程y"一4y=e2x的通解为y=______．标准答案：-其中C1，C2为任意常数知识点解析：y"一4y=0的特征根λ=±2，则其通解为y=C1e-2x+C2e2x．设其特解y*=Axe2x代入y"*4y=e2x，可解得所以y"-4y=e2x的通解为C1e-2x+，其中C1，C2为任意常数．19、与矩阵A=可交换的矩阵为________。标准答案：，其中x2和x4为任意实数知识点解析：设矩阵B=与A可交换，则由AB=BA可得即x3=一2x2，x1=4x2+x4，所以B=，其中x2和x4为任意实数。20、已知A=，｜A｜=-1，(-1，-1，1)T是A*的特征向量，特征值为λ．a=_____，b=_______，c=_____，λ=________．标准答案：2；-3；-2；1知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：22、设D=，则A31+A32+A33=_______标准答案：0知识点解析：A31+A32+A33=A31+A32+A33+0A34+0A3523、=__________标准答案：1知识点解析：24、设向量组α1=线性无关，则a，b，c必满足关系式________标准答案：abc≠0知识点解析：由=2abc≠0得a，b，C满足的关系式为abc≠0．25、标准答案：1知识点解析：暂无解析考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷第3套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、行列式的结果是______．标准答案：一2(x3+y3)知识点解析：将后两列加到第一列上2、与α1=(1，2，3，一1)T，α2=(0，1，1，2)T，α3=(2，1，3，0)T都正交的单位向量是__________。标准答案：±(1，I，一1，0)T知识点解析：设β=(x1，x2，x3，x4)T与α1，α2，α3均正交，则对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，有得到基础解系是(一1，一1，1，0)T，将这个向量单位化得±(1，1，一1，0)T，即为所求向量。3、若在(一∞，+∞)内连续，则a=______。标准答案：0知识点解析：因为f(x)在(一∞，0)及(0，+∞)内连续，所以需要确定参数a，使f(x)在x=0处连续。当时，f(x)在x=0处连续，所以当a=0时，f(x)在(一∞，+∞)内连续。4、设可导，则=______。标准答案：知识点解析：先考虑φ(x)的可导性并求导。φ(x)在x=0处的左导数为φ(x)在x=0处的右导数为所以φ’(0)=0。当x＞0时，φ’(x)=[ln(1+x2)]’=；当x＜0时，φ’(x)=。因此5、当x→0时，若有则A=____________，k=___________．标准答案：知识点解析：则k=2，即6、设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，则f’’’(2)=______。标准答案：2e3知识点解析：由题设知，f’(x)=ef(x)，在此方程两边同时连续两次对x求导得f’’(x)=ef(x)f’(x)=e2f(x)，f’’’(x)=2e2f(x)f’(x)=2e3f(x)，又f(2)=1，故f’’’(2)=2e3f(2)=2e3。7、设矩阵A与B=相似，则r(A)+r(A一2E)=_________。标准答案：3知识点解析：矩阵A与B相似，则A一2E与B一2E相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3。8、已知非齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，其中则a=_______。标准答案：1知识点解析：方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，即(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也全是(Ⅰ)的解。对(Ⅰ)求出其通解为(3，2，0)T+k(3，—1，1)T，k为任意常数，于是把x1=3+3k，x2=2—k，x3=k代入方程组(Ⅱ)，有因为k为任意常数，故a=1。此时方程组(Ⅰ)的解全是方程组(Ⅱ)的解。且当a=1时，方程组(Ⅱ)为由方程组(Ⅱ)的系数矩阵A2=得秩R(A2)=2，则根据非齐次线性方程组解的结构知(Ⅱ)的通解形式为α+kη。易知α=(3，2，0)T是A2x=b的一个特解，η=(3，—1，1)T是A2x=0的一个非零解。所以(Ⅰ)与(Ⅱ)必同解。9、设4阶方阵有特征值2和1，则a=________，b=________。标准答案：6，2知识点解析：方阵的特征多项式当λ=1时，有(1—b).2+2=0，得b=2；当λ=2时，(2—a)+4=0，得a=6。10、A是3阶矩阵，特征值为1，2，2．则｜4A－1－E｜=________．标准答案：3．知识点解析：A－1的特征值为1，1／2，1／2．4A－1－E的特征值为3，1，1，｜4A－1－E｜=3．11、=_________。标准答案：+C知识点解析：12、已知曲线y=f(x)过点(0，)，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为xln(1+x2)，则f(x)=_________。标准答案：(1+x2)[ln(1+x2)一1]知识点解析：由题设可知=xln(1+x2)，且y(0)=，则13、曲线y＝χ＋的斜渐近线为_______．标准答案：y＝χ知识点解析：由＝0，得曲线y＝χ＋的斜渐近线为y＝χ．14、=_______标准答案：知识点解析：15、＝_______．标准答案：tan＋C知识点解析：16、二次型f(x1，x2，x3，x4)=x32+4x42+2x1x2+4x3x4的规范形是___________．标准答案：y12+y22一y32知识点解析：二次型的矩阵则｜λE—A｜=(λ2一1)(λ2一5λ)，因此矩阵A的特征值分别为一1，0，1，5，故该二次型的正惯性指数p=2，负惯性指数q=1．于是可得该二次型的规范形是y12+y22一y32．17、微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足y｜x=1=的特解为______。标准答案：知识点解析：原方程变形为由一阶线性微分方程通解公式得由得C=1，因此所求的解为18、＝_______．标准答案：知识点解析：19、设f(χ，y)满足＝2，f(χ，0)＝1，f′y(χ，0)＝χ，则f(χ，y)＝_______．标准答案：y2＋χy＋1知识点解析：由＝2得＝2y＋φ1(χ)，因为f′y(χ，0)＝χ，所以φ1(χ)＝χ，即＝2y＋χ，再由＝2y＋χ得f(χ，y)＝y2＋χy＋1．因为f(χ，0)＝1，所以φ2(χ)＝1，故f(χ，y)＝y2＋χy＋1．20、已知三阶矩阵A的行列式｜A｜=一3，A*为A的伴随矩阵，AT为矩阵A的转置。如果kA的逆矩阵为A*一｜AT｜A—1，则k=______。标准答案：知识点解析：由｜A｜=一3可知，A*=｜A｜A—1=一3A—1，即kA的逆矩阵为A*一。而(kA)—1=k—1A—1，所以k=。21、设A=(α1，α2，α3)是三阶矩阵，且｜A｜=4。若B=(α1一3α2+2α3，α2—2α3，2α2+α3)，则｜B｜=________。标准答案：20知识点解析：利用行列式的性质｜B｜=｜α1—3α2+2α3，α2—2α3，5α3｜=5｜α1—3α2+2α3，α2一2α3，α3=5｜α1—3α2，α2，α3｜=5｜α1，α2，α3｜=5｜A｜=20。22、如果A=(B+E)，且B2=E，则A2=_________。标准答案：A知识点解析：已知A=(B+E)且B2=E，则A2==A，即A2=A。23、＝_______．标准答案：知识点解析：24、设D：χ2＋y2≤R2，则＝_______．标准答案：知识点解析：25、数列=_____________.标准答案：知识点解析：利用等价无穷小因子，当n→∞时考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷第4套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设＝_______．标准答案：12．知识点解析：暂无解析2、若A=，则｜A｜=________．标准答案：0知识点解析：利用公式“r(AB)≤r(B)及A≠0，则r(A)≥1”，易见本题中r(A)=1，所以｜A｜=0．或作矩阵乘法，由A中两行元素成比例而知｜A｜=0．3、设函数y＝y(χ)由方程χsiny－eχ＋ey＝0所确定，求＝_______．标准答案：－2知识点解析：暂无解析4、已知数列标准答案：知识点解析：因为5、设3阶方阵A，B满足关系式A一1BA=6A+BA，且则B=________．标准答案：知识点解析：由题设可知，A可逆，已知A一1BA=6A+BA，在该等式的两端右乘A一1，则有A一1B=6E+B，在该等式两端左乘A，可得B=6A+AB，则有(E—A)B=6A，即B=6(E—A)一1A，且6、设f(χ)＝，则f′(1)＝_______．标准答案：知识点解析：f(χ)是2014个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦．其实，当把χ＝1代入每个因式后，只有第一项tan－1＝0，而其余所有项都不等于0．记g(χ)＝则g(1)＝(1－n)＝－(2013)!，于是7、设其中函数f(u)可微，则=__________。标准答案：0知识点解析：因为8、设矩阵A与B=相似，则r(A)+r(A一2E)=_________。标准答案：3知识点解析：矩阵A与B相似，则A一2E与B一2E相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3。9、设y=y(x)是由方程2y3一2y2+2xy一x2=1确定的，则y=y(x)的极值点是_________。标准答案：x=1知识点解析：方程两边对x求导，可得y’(3y2一2y+x)=x一y(*)令y’=0，有x=y，代入2y3一2y2+2xy一x2=1中，可得(x一1)(2x2+x+1)=0，那么x=1是唯一的驻点。下面判断x=1是否是极值点：对(*)式求导得y’’(3y2一2y+x)+y’(3y2一2y+x)’x=1一y’。把x=y=1，y’(1)=0代入上式，得y’’(1)=＞0。故y(x)只有极值点为x=1，且它是极小值点。10、微分方程的通解为__________。标准答案：y=x.eCx+1知识点解析：令y=xu，代入原方程，则有zu’+u=ulnu，即两边求积分，即得ln｜lnu一1｜=ln｜x｜+C，去掉对数符号与绝对值符号得y=xeCx+1，C为任意常数。11、设在点(0，0)处连续，则a=______。标准答案：0知识点解析：因为利用夹逼定理知。又知f(0，0)=a，则a=0。12、矩阵的非零特征值是_______．标准答案：4；知识点解析：暂无解析13、设z==_______。标准答案：(ln2—1)知识点解析：设则z=μν，所以14、微分方程y〞＋6y′＋9y＝0的通解y＝_______．标准答案：y＝(C1＋C2χ)e－3χ，其中C1，C1为任意常数．知识点解析：暂无解析15、D是顶点分别为(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则(1+x)sinydσ=________。标准答案：+sin1+cos1一2sin2一cos2知识点解析：积分区域可以表示为D={(x，y)｜0≤y≤1+x，0≤x≤1}，则(1+x)sinydσ=∫01dx∫01＋xsinydy=∫01(1+x)一(1+x)cos(1+x)dx，利用换元法，令1+x=t，x∈[0，1]时，t∈[1，2]，则(1+x)sinydσ=∫12[t－tcost]dt=+sin1+cos1一2sin2一cos2。16、设α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，一2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1,α2,α3线性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1,α2,α3线性表示，则a=___________。标准答案：一1知识点解析：根据题意，β1=(1，3，4)T可以由α1,α2,α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，β2=(0，1，2)T不可以由α1,α2,α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即因此可知，当