2024年中考数学基础考点背诵大过关

2024中考数学基础考点背诵大过关

第一章数与式

第一节实数及其运算

考点一实数及其分类

i.实数:有理数和无理数统称为实数.

2.有理数:整数和①分数统称为有理数.

3.无理数:无限不循环小数叫做无理数.

易错警示

无理数的识别误区

识别正误（正确的画“J”，错误的画“X”）.

1.四和我都是无理数.（X）

2.sin60°和cos45°都是无理数.（V）

3.n,0-1）°和3.1415926都是无理数.（X）

41和3都是无理数.（X）

5.0.01001000100001和0.02002000200002…（相邻两个2之间依次多一个0）都是

无理数.（X）

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Q名师点拨识别一个数是不是无理数的关键在于这个数用不同形式表示的最终结果是不

是无限不循环小数.

A温馨提示(1)常见的几种无理数类型：

(i)开方开不尽的数,如VX通等(注意痣、4等是有理数)；

(ii)大多数三角函数，如sin45°,tan30°等(注意cos60°,tan45°等是有理数);

(iii)化至最简后含有n的数,如今2n+1等；

(iv)有规律但不循环的无限小数，如0.3030030003…(相邻两个3之间依次多一个0).

(2)所有的分数都是有理数.

4.正负数

(1)正负数的概念：

(i)大于0的数叫做正数；

(ii)在正数前加上符号“-”(负号)的数叫做负数.

A温馨提示0既不是正数也不是负数.

(2)正负数的意义:正负数可用来表示具有相反意义的量.

一般地，常用来表示具有相反意义的量的词有:收入与支出、升高与降低、前进与后退、海

平面以上与海平面以下等.

5.实数的分类

(1)按定义分:

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'正整数

整数零i-1-f

有理数＜、负整数

实

数，正分数）有限小数或

分数负分数j②

无限循环小数

‘正无理数

无理数’③负无理数无限不循环小数

（2）按性质分：

正实数卜二

（正无理数

⑤0

（名右钿将f负整数

负实数卜里数I负分数

（负无理数

考点二实数的相关概念

1.数轴:规定了原点、正方向和⑥单位长度的直线.⑦实数和数轴上的点是一一对

应的.

2.相反数:如果两个数只有符号不同,那么我们称其中的一个数是另一个数的相反数,也称

这两个数互为相反数.0的相反数为0.若实数a,b互为相反数,则a+b=⑧0.

A温馨提示相反数的几何意义:在数轴上分别位于原点的两旁,且到原点的距离相等的两

个点所表示的两个数互为相反数.

3.倒数:乘积为1的两个数互为倒数.若实数a,b互为倒数,则ab^（9）1.

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A温馨提示(1)非零实数a的倒数是'0没有倒数.

a

(2)倒数等于它本身的数是±1.

4.绝对值

(1)定义:在数轴上,表示数a的点到原点的距离,叫做数a的绝对值,记作|a|.

(2)性质：一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的⑩相反数，0的绝对值

是0.

a,a>0;

|a|=■0,a=0;

-d,Q,<0.

A温馨提示因为一个数的绝对值是数轴上表示该数的点到原点的距离,所以一个数的绝

对值不可能为负数，即1a|N0.

5.平方根、算术平方根、立方根

名称定义性质

如果x2=a(a^0),那么

平方正数的平方根有两个,它们互为⑪相反数；⑫负数没有

x就叫做a的平方根，

根平方根;0的平方根是⑬0

记作士“

如果

算术

x-a(x^O,aNO),那么

平0的算术平方根是0

x就叫做a的算术平方

方根

根,记作“

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立方若x3=a,则x就叫做a正数有一个⑭正的立方根:0的立方根是0;负数有一个

根的立方根,记作,⑮负的立方根

易错警示

平方根与算术平方根的概念混淆

填空：

1.4的算术平方根是2.

2.2的平方根是土好.

3.(-3)-的平方根是±3.

dg师点拨(1)一个正数的平方根有两个,且互为相反数,其中正的平方根就是这个正数

的算术平方根；

(2)只有非负数才有平方根和算术平方根；

(3)注意第3题中包含了两次运算.

A温馨提示(1)在应用x2=a(aNO)时,一定不要忘记a=0的情况；

(2)正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0:

(3)平方根等于它本身的数是0,算术平方根等于它本身的数是0和1,立方根等于它本身的

数是。和±1.

6.非负数

⑴常见的非负数(三种类型):

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(i)任意一实数a的绝对值是非负数,即|a|20;

(ii)任意一实数a的平方是非负数,即a2^0;

(iii)若a是非负数,则日也是非负数，即8与0520).

(2)非负数的性质：

(i)非负数有最小值,最小值是0；

(ii)若干个非负数之和仍是非负数；

(iii)几个非负数的和等于0,则每个非负数都等于0.

考点三实数大小的比较

1.数轴比较法:数轴上右边的数总比左边的数⑯大.

2.类别比较法:正数大于0和一切负数,0大于一切负数.

3.绝对值比较法:两个负数比较大小,绝对值大的反而⑰小.

4.差值比较法:设a,b是任意两个实数,则a-b>0<»a®>b;a-b<0<^a<b;a-b-O^a®=

b.

5.根式比较法：a〉b〉00、历⑳〉VF.

6.平方数比较法:a2〉b?且a>0,b>0Ca〉b〉0.

7.商值比较法：设a〉0,b〉0,61=a〉b;0〈2〈lCa<b;JlQa=b.

bbb

考点四实数的运算

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1.运算法则

(1)加法：

(i)同号两数相加,取相同的符号,并把㉑绝对值相加;

(ii)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的数的绝对值㉒一

减去较小的数的绝对侑,互为相反数的两个数相加得0;

(iii)一个数同0相加,仍得这个数.

(2)减法:减去一个数等于㉓加上这个数的相反数.

(3)乘法:两数相乘，同号得正,异号得负,再将两个数的绝对值相乘.任何数与0相乘仍为0.

(4)除法:除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，即a+b=a•4(bWO).

b

(5)乘方:求几个相同因数的积的运算.

2.运算律

有理数的运算律在实数范围内都适用，其中常用的运算律有加法交换律、㉔加法结合

律、乘法交换律、乘法结合律、㉕乘法分配律.

3.混合运算顺序

先算㉖乘方、开方，再算乘除,最后算加减;有括号的,先算括号里的；同一级运算要

㉗从左到右依次进行.

4.幕运算

(1)零次幕:任何非零实数的零次幕都为㉘1,即a°=㉙1次W0).

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(2)负整数次幕:a三㉚—密—心力。,n为正整数).

(3)-1的奇偶次幕:-1的偶次幕为㉛11的奇次幕为@-1.

考点五科学记数法、近似数、精确度

1.科学记数法

(1)大数的科学记数法:一个大于10的数可以表示成aX10。的形式，其中lWa〈10,n是正整

数,n等于原数的整数位数减去国1.

(2)小数的科学记数法:一个大于0小于1的数可以用科学记数法表示成aX10"的形式,其

中lWa〈10,n为黝负整数，n的绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零的个数(包括小

数点前的零).

2.近似数:把一个数四舍五入以后得到的数.

3.精确度:近似数与准确数的接近程度.一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确

到哪一位.

第二节代数式与整式

考点一代数式及其求值

1.代数式:用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的

字母连接起来的式子叫做代数式,代数式不含等号和不等号,单独的一个数或一个字母①一鼠

(填“是”或“不是”)代数式.

2.列代数式:把问题中与数量有关的词语,用含有②字母和运算符号的式子表示出来,

这就是列代数式.

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A温馨提示(1)列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言和、差、积、商、倍、

分、大、小、多、少等在数学语言中的含义；

(2)注意书写规则:aXb通常写作a•b或ab;l^a(a^O)通常写作工(aWO);数字通常写在

a

字母前面,如a义3通常写作3a;带分数一般写成假分数,如由通常写作家

3.代数式的值:一般地,用数值代替③代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算

得出的结果,叫做代数式的值.

考点二整式及其相关概念

1.单项式：用数或字母的⑷积表示的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单

项式.

⑴单项式中的⑤数字因式叫做这个单项式的系数.

(2)一个单项式中，所有字母的⑥指数和叫做这个单项式的次数.

2.多项式：几个单项式的⑦和叫做多项式.其中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母

的项叫做⑧常数项.多项式里,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数.

3.整式:单项式和多项式统称为整式.

考点三整式的运算

1.整式的加减法运算

⑴同类项：所含字母相同，并且相同字母的⑨指数也相同的项叫做同类项.常数项也是

同类项.

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(2)合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项后,所得项

的系数是合并前各同类项的系数的⑩和，字母连同它的指数⑪不变.

(3)去括号法则：a+(b-c)=⑫a+b-c:a-(b-c)=©a-b+c.(口诀:“+”不变，

变)

(4)整式加减运算法则：整式加减运算的实质是⑭合并同类项.

2.嘉的运算

同底数幕相乘am•a*a-（m.n为整数，aWO）

同底数塞相除a.^an=⑯（m,n为整数,aWO）

幕的乘方（a>/a-（m,n为整数,aWO）

积的乘方（ab），⑱a"b"（n为整数,abWO）

商的乘方（-）=⑲_鼻_（n为整数,abWO）

\a/a

零指数幕a°=⑳1（aW0）

负指数幕a"4=GYgwo,n为正整数）

an\a/

易错警示

运用幕的运算法则时常见的错误

1.“同底数幕相乘”和“幕的乘方”运算法则混淆:

/-t\a2.a3-_a2+3_—a5.

(2)(a2)3=a2X3=a6.

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2.忽略“同底数幕相乘”法则的运用条件:

(1)a2,(-a)3,a4=a2+3+4=a9.(X)

(2)a2•(-a)3-a4=-a2+3+4=-a9.(V)

3.计算积的乘方时,漏掉积(底数)中的某一因式的乘方:

(-3a2b)J(-3)—(a?)Lb，=-27ab.

3.整式的乘法运算

单项式乘把系数、同底数幕分别相乘,作为积的因式,对于只在一个单项式里出现的字母,则

单项式连同它的指数作为积的一个因式

单项式乘用单项式分别去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,如

多项式m(a+b+c)=㉑ma+mb+mc

多项式乘用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,如

多项式(m+n)(a+b)二㉒Ria+mb+na+nb

乘法公式：

(1)平方差公式：(a+b)色力「㉓公一b，.

(2)完全平方公式：(a士9三㉔a2±2ab+b2.

4.整式的除法运算

把系数、同底数幕分别相除,作为商的因式,对于只在被除式中出现的字母,则连同

单项式除

它的指数作为商的因式,对于只在除式中出现的字母,取其倒数,作为商的因式

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以单项式

多项式除

用多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加

以单项式

5.整式的混合运算:先乘方,后乘除,最后算加减,如果有括号,那么要先算括号内的.

考点四因式分解

1.因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的㉕积的形式,叫做把这个多项式因式分解(或者分解因

式).

2.因式分解的基本方法

(1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c).

。名师点拨提公因式法的关键是确定公因式.

(系数:取各项系数的最大公约数.

公因式的确定1字母:取各项相同的字母.

(指数:取各相同字母的最低次幕.

它们的积即为这个多项式的公因式.

(2)公式法：

a2-b2=(a+b)(a-b);a2+2ab+b2=®(a+b)2.

3.分解因式的一般步骤

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分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,那么㉗先提公因式，然后考虑㉘—

公式法(当多项式为两项时,考虑用平方差公式;当多项式为三项时,考虑用完全平方公式).分

解因式要分解到每个因式㉙不能再分解为止.以上步骤可总结为“一提二套三检查”.

A温馨提示因式分解与整式的乘法是两个互逆的过程,是互为相反方向的变形.如：

整式乘法.

(a+b)(a-b)因式分解a2-b2.

一般地，用整式的乘法可以检验分解因式是不是正确.

易错警示

因式分解时的易忽略点

1.用提公因式法分解因式时,易漏掉幕为“1”的项：

分解因式：12a?b-24ab、6ab=6ab(2a-4b+l).

2.运用完全平方公式时漏解：

若y2+ay+4是完全平方式,则a=±4.

第三节分式

考点一分式的概念

1.分式的概念:如果A,B表示两个整式,且B中含有①字母，那么式子搭叫做分式.在分

D

式捺中,A叫做分子,B叫做分母.

2.分式有意义、无意义、值为0的条件

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⑴当BWO时有意义.

⑵当B=0时,3无意义.

D

⑶当A=0,且B②W0时,耕.

考点二分式的基本性质

1.基本性质：分式的分子、分母都乘（或除以）③同一个不等于零的整式,分式的值不变.

用符号表示为［=头/=^（M为不等于0的整式）.

BB•MB

2.分式的基本性质的应用

（1）分式的约分:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的⑷公因式约去,叫做

约分.

（2）分式的通分:根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的

同分母的分式.

⑶分式的符号规则:分式的分子、分母及分式本身的符号中，改变其中任意两个，分式的值

⑤不变.用式子表示为g=令=Y，—《=一3T=久BWO）.

D-DDD-D-DD

3.最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式.

考点三分式的运算（高频考点）

1.分式的加减

a.bzrxa+ba.cad,bead+bc

-+-=（6J——,-+-=—+—=（7）^^.

c-cJ-c-b-dbd-bdbd—

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2.分式的乘除

士•£=⑥竺一。£=38=⑨”,

bdJ-bd-bdbcbe——

A温馨提示对于分式的乘除混合运算,应先将除法运算转化为乘法运算.

3.分式的乘方

(犷=⑩—今_(n为正整数).

A温馨提示运算法则中，“分子、分母各自乘方”指的是分子、分母的整体分别乘方.

4.分式的混合运算

(1)先乘方,再乘除,最后加减,有括号时,先算括号内的.

(2)同级运算,按从左到右的顺序进行.

⑶运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律.

⑷运算的结果化为⑪最简分式或整式.

第四节二次根式

考点一二次根式的有关概念

1.二次根式:一般地，我们把形如口(aNO)的式子叫做二次根式，“厂”叫做二次根号,a

叫做被开方数.

2.二次根式有意义的条件:被开方数①大于或等于零.

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3.最简二次根式:同时满足两个条件：(1)被开方数不含②分母；(2)被开方数中不含能

开得尽方的因数或因式.

4.同类二次根式:把几个二次根式化为最简二次根式以后,它们的③被开方数相同.

考点二二次根式的性质

1.口5>0)是一个非负数.

2.(V^)2=@a(a0).

⑤a(a>0),

0(a=0),

{@-a(a<0).

4.Vab=(7)\[a•VF(a0,b20).

5.1_(aN0,b〉0).

考点三二次根式的运算

1.二次根式的乘除

(1)若a20,b>0,则有日,VF=(9)y[ab;

(2)若a20,b>0,则有*=⑩—E.

A温馨提示逆用公式«=V^(aN0,bN0)和塔=Jj(aN0,b〉0),可以进行二次根

式的化简.

2.二次根式的加减运算

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一般地,在进行二次根式的加减运算时,可以先将二次根式分别化成⑪最简二次根式，

再将被开方数⑫相同的二次根式进行合并.

3.二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同,有理数的加法交换律、加法结合律、

乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.

A温馨提示二次根式的化简或运算的最终结果都要求化成最简二次根式或整式.

考点四二次根式的估值

二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所在范围.具体地说，先对二次根式平方，找

出与平方后所得的数字⑬相邻的两个能开得尽方的整数,对其进行⑭开方，即可确定这

个二次根式在哪两个整数之间.例如，估算位在哪两个整数之间,一般步骤：

(1)先对根式平方；

(2)找出与平方后所得数字相邻的两个能开得尽方的整数；

(3)对以上两个整数开方；

(4)确定这个根式的值在这两个整数之间.

RV7p7

确定4和9

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V4P21V9g

因v麴

A温馨提示要熟记常见的二次根式的估计值,如鱼心1.414,73^1.732,75^2.236.

第二章方程（组）与不等式（组）

第一节一次方程（组）

考点一方程的相关概念及等式的性质

1.含有未知数的①等式叫做方程;使方程左右两边的值相等的②未知数的值叫做

方程的解；求方程的解的过程叫做解方程；只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的③—

根.

2.等式的基本性质

基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式.

基本性质2:等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为零的数），所得结果仍是等式.

注意:等式的基本性质是解方程的依据.

考点二一元一次方程及其解法

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1.一元一次方程：只含有⑷一个未知数（元），并且未知数的次数都是⑸1,等号两边

都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.任何一个一元一次方程都可以化成ax+b=O（a,b是常

数，且aWO）的形式.

A温馨提示形如ax+b=O（其中a,b为常数,且aWO）的方程为一元一次方程,判断时应抓

住以下两点：（1）原方程必是整式方程；（2）化成一般形式后只含有一个未知数,且未知数的次数

为L

2.一元一次方程的解题步骤

具体做法

方程中未知数的系数有分母时,方程两边都乘各分母的⑥最小公倍数（注意不要

去分母

漏乘不含分母的项）

去括号方程中有括号时,先去括号（若括号外的符号是负号,则要注意变号）

把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边（记住移项要⑦—

移项

改变符号）

合并同类

把方程化成ax=b（aWO）的形式

项

系数化为

方程两边都除以未知数的⑧系数，得到方程的解

1

考点三二元一次方程（组）及其解法

1.二元一次方程:含有⑨两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二

元一次方程.

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2.二元一次方程组:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一

次方程组.

3.二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值⑩相等的两个未知数的侑叫做二元一

次方程的解.

4.二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的⑪公共解叫做二元一次

方程组的解.

5.二元一次方程组的解法

解二元一次方程组的基本思想是⑫消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程来

求解.

⑴⑬代入消元法:将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,

并代入另一个方程中，消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程.

(2)⑭加减消元法:两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等(或通过适当

变形后可以使同一个未知数的系数相反或相等)时，把这两个方程的两边分别相加或相减,消去

这个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.

A温馨提示一般地,当二元一次方程组中的一个方程的某个未知数的系数是1或-1时,选

择代入消元法较简单.

当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时,选择加

减消元法较简单.

考点四*三元一次方程组

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1.三元一次方程组:一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,

并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.

2.解三元一次方程组的基本思路

消元（代入或加减）消元（代人或加减）

三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程

考点五一次方程（组）的应用

1.列方程（组）解应用题的一般步骤

①审：审清题意,分清题中的已知量、未知量；

②设:设关键未知数；

③列:找出适当等量关系，列方程（组）；

④解:解方程（组）；

⑤验:检验所解答案是否正确或是否符合题意;

⑥答:规范作答，注意单位名称.

2.几种常见的应用题型

常见题型重要的关系式

打折销销售单价=标价X⑮折数；销售额=⑯销售单价义销量;利润=售价-成本；

利润率一X100%

售问题成本

储蓄利利息=本金X利率X期数；

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息问题本息和=本金+利息=本金X（1+利率乂期数）

工程问题工作量=工作效率X工作时间

相遇问题:全路程=甲走的路程+乙走的路程.

追及问题：

a.同地不同时出发：

前者走的路程=追者走的路程；

行程问题

b.同时不同地出发：

前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程.

水中航行问题:顺水船速=静水船速+水速；

逆水船速=静水船速-水速

两位数

表达式：10a+b

数字问题

三位数

M

表达式：100a+10b+c

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第二节一元二次方程

考点一一元二次方程及一般形式

1.一元二次方程：只含有①一个未知数,并且未知数的最高次数是②2的整式方程

叫做一元二次方程.

2.一般形式:ax4bx+c=0(a,b,c为常数且a③W0),其中二次项为ax2,一次项为bx,常

数项为c,a和b分别称为二次项系数和一次项系数.

A温馨提示(l)aWO是一元二次方程成立的先决条件，但b,c可以为0.(2)任何一个一元

二次方程经整理后都能转化为一般形式.(3)一元二次方程应满足的三个条件：(i)是整式方

程；(ii)只含有一个未知数；(iii)未知数的最高次数为2,且该项系数不能为0.

考点二一元二次方程根的判别式

1.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aT^O)的根的判别式为A=b2-4ac.

(l)b°-4ac>0Q一元二次方程有两个⑷不相等的实数根.

(2)b2-4ac=0。一元二次方程有两个⑤相等的实数根.

(3)b'TacVOo一元二次方程⑥无实数根.

2.一元二次方程根与系数的关系

2

若关于x的方程ax+bx+c=0(aT^O)的两根分别为xnx2,则Xi+x?=©_z

1_,xlx2=

易错警示

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忽视整式方程中字母系数的取值范围而致错

(1)若关于x的一元二次方程ax2-3x+3=o有实数根,则a的取侑范围是.aW：且a二0.

(2)若关于x的方程ax2-3x+3=0有实数根,则a的取值范围是aW|.

◎名师点拨1.在确定一元二次方程中的二次项系数a的取值范围时，不能忽略“aWO”.

如易错警示⑴中，需同时满足“aWO”和“A50”.

2.审题要全面.如易错警示(2)中，“关于x的方程ax2-3x+3=O有实数根”，包含方程是一元

一次方程和一元二次方程两种情况,应分类讨论来确定a的取值范围.

考点三一元二次方程的解法

一元二次方程的解法主要有四种,其基本思想是⑨降次.解方程时可根据方程的特点灵

活地选用.

解法类型适用题型具体方法或步骤

形如1.观察方程是否符合x2=m(mN0)或(x±m)2=n(nNO)的形式；

直接开xJm(m>0)或

2.直接开平方,得两个一元一次方程；

2

平方法(x±m)-n(n

20)的方程3.解这两个一元一次方程,得原方程的两个根

形如(1)移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项；

ax2+bx+c=0(a

(2)二次项系数化为1,即当aWl时,方程两边同时除以⑩二次项系

配方法wo)的所有

数a;

一元二次方

程(3)配方，即方程两边都加上⑪一次项系数一半的平方;

(4)化为(x+m)3=n的形式；

(5)若nNO,则用直接开平方法求解;若n〈0,则原方程⑫无实数

__

1.把方程化成ax2+bx+c=O(aWO)的形式；

2.确定a,b,c的值；

2

所有一元二3.计算b-4ac的值：

公式法

次方程(1)若b2-4ac^0,则把a,b,c的值代入一元二次方程

ax2+bx+c=0(aWO)的求根公式⑬x="Jb2-4ac中求解；

2a

(2)若b2-4ac〈0,则原方程无实数根

可化为两个⑴将方程的右边整理为⑭0;

一次因式的

因式分(2)将方程的左边化成两个⑮一次因式的乘积的形式;

乘积等于零

解法

的形式的方(3)令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次

程方程,它们的解就是原一元二次方程的解

易错警示

解一元二次方程时的“丢根”现象

方程X(X-1)=2(X-1)2的根为(C)

A.1B.2

C.1和2D.1和-2

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。名师点拨对于左、右两边含有相同未知数的因式的一元二次方程，应将方程化为一般

式后再求解(或将方程变为等号一边为0,另一边含未知数的式子,利用因式分解法求解)，切勿因

直接约去含有相同未知数的项而丢根.

考点四一元二次方程的实际应用

列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、设、歹U、

解、验、答六步.

在列一元二次方程解应用题时,经济类和面积类问题是常考内容.

(1)增长率：

增长率瞿舅X100%.

设a为基础量,当m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量时,有aQ+m)。(；当m为

平均下降率,n为下降次数,b为下降后的量时,有⑯a(bm”=b.

⑵利润：

利润=售价-成本；

利润率笔XI00%.

成本

(3)面积类问题：

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ADAD

8H--------b---------HC8H--------b---------"C

图3图4

如图1所示的矩形ABCD的长为b,宽为a,阴影部分的宽均为x,则空白部分的面积为

(a-2x)(b-2x).

如图2所示的矩形ABCD的长为b,宽为a,阴影部分的宽均为x,则空白部分的面积为(a-

x)(b-x).

如图3,图4所示的矩形ABCD的长为b,宽为a,阴影部分的宽均为x,则4块空白部分面积

的和为(a-x)(b-x).

A温馨提示1.在解决应用题时需验根，即检查求得的根是否符合实际意义.

2.对于带有单位的应用题,在设未知数、作答中要带单位.

第三节分式方程

考点一分式方程的概念及其解法

1.分式方程的概念

①分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法

(1)解分式方程的步骤：

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△名师点拨解分式方程的基本思想是将分式方程化成整式方程，具体做法是“去分母”，

即方程两边同乘最简公分母.

(2)分式方程的增根:使得原分式方程的分母为⑷零的根.

A温馨提示分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也

可能是去分母后的整式方程无解,分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程

的分母为零的根.

易错警示

解分式方程时的常见错误

识别正误(正确的画“，错误的画“X”).

1.解方程胃=J--2,去分母得l-x=l-2.(X)

x-22—x

2.解方程上一咨「2,去分母得x+2T-2x=2x(x+2).(X)

3.方程==丁-2的解是x=2.(X)

x-22-x

考点二分式方程的实际应用

1.常考类型及关系式

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(1)行程问题:

①基本数量关系:需时间.

②常见应用题中的相等关系:

同一路程同一路程一

时间差,

甲的速度乙的速度

同一路程同一路程—

时间差.

慢速快速~

⑵工程问题:

①基本数量关系:"工作时间.

②常见应用题中的相等关系：

工作总量______工作总量-时*间差

工作效率改善后的工作效率JIJ'

甲的工作总量_乙的工作总量_叶间差

甲的工作效率一乙的工作效率叫”4.

特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，丁磊寸工作效率.

工作时间

⑶购买(盈利)问题：

①基本数量关系:箸数量，箸单价.

②常见应用题中的相等关系:

商品总售价商品总售价.

二数量差.

变化后商品单价商品单价

2.列分式方程解应用题的一般步骤

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与列整式方程解应用题类似,有以下六个步骤:

⑴审；

⑵设（未知数）;

（3）歹U（分式方程）；

（4）解（分式方程）；

⑸验（一验所得解是不是所列⑤方程的根,二验是否符合问题的⑥实际意义）;

⑹答.

第四节一元一次不等式（组）

考点一不等式的概念及其性质

定义I用①」连接而成的式子叫做不等式

解及使不等式成立的②未知数的值叫做不等式的解;

解集一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的③解集

基解不

本

概求不等式的⑷解集的过程叫做解不等式

念等式

解集X⑤〈a:6a

在数x⑥〉a:

轴上x⑦Na

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的

表示

x⑧Wa:6a

1.不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子,不等号的方向不变,如

a>b=>a±c⑨>b±c

基2.不等式的两边都乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变,如a〉b,c〉Onac⑩〉

本

性

质be（或:>3）

3.不等式的两边都乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变,如a>b,c〈Onac⑪〈

be（或

易错警示

应用“不等式的基本性质3”时的常见错误

不等式两边同乘“负数”时，忽视“不等号方向要改变”.

一元一次不等式-京〈-1的解集是.小明和小亮的答案谁正确?正确的画“，

错误的画“X”.

小明：x〈3.（X）小亮：x〉3.（V）

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考点二一元一次不等式(组)及其解法

1.一元一次不等式

⑴一元一次不等式:不等式的左右两边都是⑫整式，只含有一个未知数,并且未知数的

次数是1,这样的不等式叫做一元一次不等式.

(2)解一元一次不等式的一般步骤:去分母、⑬去括号、移项、⑭合并同类项、系

数化为1(注意不等号方向是否改变).

2.一元一次不等式组

(1)定义:类似于方程组,把几个含有相同未知数的⑮一元一次不等式合起来,就组成了

一个一元一次不等式组.

⑵解集：几个不等式的解集的⑯公共部分叫做由它们组成的不等式组的解集.

(3)解法:先求出各个不等式的解集,然后借助数轴或口诀确定它们的公共部分.

(4)几种常见的不等式组的解集:设a〈b,a,b是常数,关于x的不等式组的解集的四种情况

如下表.

不等式

组图示解集口诀

(a<b)

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X>a,⑰_

同大取大

Lx>bxNb

「x<a,

xWa同小取小

Lx<b

⑱__

大小、小大

「x>a,

ft-aWxWb

Lx<b

中间找

大大、小小

「x<a,

无解集

Lx>b

找不到

A温馨提示在数轴上表示解集时，要注意“空心圆圈”和“实心圆点”的区别.

考点三一元一次不等式的应用

1.解题步骤：（1）审清题意，找出不等关系；（2）设未知数；（3）列不等式；（4）解不等式；（5）写

出答案.

2.常见题型:经济型;调运货物型;工程型;采购型等.

3.解决不等式的实际应用问题时,常见的关键词与不等号的对比表:

常见关键词不等号

大于，多于，超过,高于>

小于,少于,不足，低于<

至少,不低于,不小于,不少于⑲一

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至多,不高于,不大于,不超过⑳W

第三章函数

第一节平面直角坐标系与函数

考点一有序实数对与平面直角坐标系

1.有序实数对:有顺序的两个实数a和b组成的实数对叫做①有序实数对，利用有序实

数对可以准确地表示一个点的②位置.

A温馨提示有序实数对和平面直角坐标系中的点是一一对应的.

2.平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直、原点③重合的数轴,就组成了平面直角

坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴,竖直的数轴称为y轴或纵轴,两条坐标轴的交点为平面直

角坐标系的原点.

考点二平面直角坐标系中点的坐标特征

1.坐标平面内点的坐标特征

（1）各象限中点

的坐标的

'点P（K,y）在第一象限o%>0,y>0

点PQ,y）在第二象限。④x<0,y>0

符号特征4---------------------

点PQ,y）在第三象限ox<0,y<0

点PQ,y）在第四象限=⑤x>0,y<0

k---------------------

如图所示:

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第二象限第象限

(一,+)(+»+)

0,、x

(-»-)」+,-)

第三象限第四象限

代轴上的点的纵坐标为⑥0

⑵坐标轴上的点的坐标特征｛y轴上的点的横坐标为⑦

(原点的坐标为(0,0)

第一、三象限角平分线上的点

的横、纵坐标相等

(3)象限角平分线上的点的坐标特征《

第二、四象限角平分线上的点

的横、纵坐标互为⑧相反数

2.坐标平面内对称点的坐标特征

y

0

Pc⑪―

P_⑨(品-y)

口诀速记:关于谁对称谁不变,关于原点对称全都变.

3.坐标平面内平移的点的坐标特征

P「⑭(%,y+a)

/

务

q