人教版八年级数学下册《特殊的平行四边形（第6课时）》示范教学设计

特殊的平行四边形（第6课时）教学目标1．理解并掌握正方形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．2．经历判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验，发展学生的合情推理和演绎推理能力．教学重点正方形的判定方法．教学难点会用正方形的判定方法进行有关的论证和计算．教学过程知识回顾1．正方形的定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．2．正方形的性质：（1）边：四条边相等．（2）角：四个角都是直角．（3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分．（4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线．【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．【设计意图】复习已学过的正方形的知识，为引出本节课的新知作铺垫．新知探究一、探究学习【思考】由正方形的定义可知，有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．除此之外，还有没有其他判定方法呢？【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流思考．【设计意图】通过问题，引出本节课要研究的课题“正方形的判定”，激发学生的求知欲，调动学生上课的积极性．【问题】上节课，我们学过：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形．你能分别给出证明吗？【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流思考，并派代表发言，教师板书．【答案】（1）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝AD．求证：矩形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°．又∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．（2）已知：如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°．求证：菱形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD．又∵∠A＝90°，∴菱形ABCD是正方形．【新知】正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形．数学语言：在矩形ABCD中，∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．（2）有一个角是直角的菱形是正方形．数学语言：在菱形ABCD中，∵∠A＝90°，∴菱形ABCD是正方形．【思考】矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？ 【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答：矩形的对角线相等且互相平分；正方形的对角线相等且互相垂直平分．【追问】在矩形中，添加对角线互相垂直的条件能否得到正方形？【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，并派代表回答，教师板书．【答案】已知：在矩形ABCD中，AC⊥BD．求证：矩形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD．∵AC⊥BD，∴AC是线段BD的垂直平分线．∴AB＝AD．∴矩形ABCD是正方形．【新知】正方形的判定：（3）对角线互相垂直的矩形是正方形．数学语言：在矩形ABCD中，∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形．【思考】菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？ 【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答：菱形的对角线互相垂直平分；正方形的对角线相等且互相垂直平分．【追问】在菱形中，添加对角线相等能否得到正方形？【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，并派代表回答，教师板书．【答案】已知：在菱形ABCD中，AC＝BD．求证：四边形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．∵AC＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD．∴△AOB和△BOC是等腰直角三角形．∴∠ABO＝∠CBO＝45°．∴∠ABC＝90°．∴菱形ABCD是正方形．【新知】正方形的判定：（4）对角线相等的菱形是正方形．数学语言：在菱形ABCD中，∵AC＝BD，∴菱形ABCD是正方形．【设计意图】让学生亲自证明验证正方形的判定方法，加深学生对知识的理解．二、典例精讲【例1】下列命题正确的是（）．A．四个角都相等的四边形是正方形B．四条边都相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．对角线相等的平行四边形是正方形【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答，教师讲解．【答案】C【解析】选项A中，四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形，故选项A错误；选项B中，四条边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故选项B错误；选项C中，对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项C正确；选项D中，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项D错误．【例2】如图，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流．教师提示：先证明△AEB≌△AFD得到AB＝AD，再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出结论．学生根据提示尝试独立作答，教师巡查并及时纠错．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°．∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝45°．∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°．∴△AEB≌△AFD（AAS）．∴AB＝AD．∴矩形ABCD是正方形．【例3】如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．【师生活动】教师提出问题，学生尝试独立证明，教师巡查纠错．【答案】证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°．又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°．∴∠EBC＝∠ECB．∴EB＝EC．∴平行四边形BECF是菱形．又∵∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°．∴菱形BECF是正方形．【设计意图】通过例1～例3的练习与