2025年高考数学复习题型突破训练：直线与方程（原卷版）

第01讲直线与方程

目录

题型一：直线的倾斜角与斜率..........................................1

题型二：求直线的方程................................................2

题型三：直线过定点问题.............................................4

题型四：与直线方程有关的最值问题...................................5

题型五：由两直线的位置关系（平行或垂直）求参数.....................6

题型六：与距离有关的问题............................................7

题型七：点关于直线对称..............................................8

题型八：直线关于直线对称...........................................9

题型一：直线的倾斜角与斜率

典型例题

例题1.（2023秋•江西南昌•高二校考阶段练习）若直线/的倾斜角为且45。总04135。，则直线/斜率的

取值范围为（）

A.[l,+oo）B.（-oo,-l]C.[-1,1]D.[l,+oo）u（-oo,-l]

例题2.（2023秋・四川广安•高二校考阶段练习）设点尸（X/）是曲线》=-小口7317上的任意一点，则三

的最小值是（）

212

A.2B.—C.—D.0

55

例题3.（2023秋•辽宁葫芦岛•高二校考阶段练习）若直线，"的斜率上e（-叱则直线〃，的倾斜

角的取值范围是.

精练核心考点

1.（2023秋•湖北宜昌•高二枝江市第一高级中学校考阶段练习）已知直线/:（加+3）x+（加-2万-加-2=0,

点/（-2,-1）,5（2,-2）,若直线/与线段48相交，则〃2的取值范围为（）

A.（-s,-4]U[2,4]B.[-2,2]

~3-|

C.——>8D.（4,+8）

2.（2023秋•贵州•高二校联考开学考试）一束光射向》轴，与％轴相交于点尸经％轴反射，与以连

接/（0,百）、8（1,2）两点的线段总有公共点，这束光所在直线的斜率取值范围为.

3.（2023秋•黑龙江双鸭山•高二双鸭山一中校考阶段练习）已知实数x,y满足方程（x-2y+/=3,则?

的取值范围_____________

题型二：求直线的方程

典型例题

例题1.（2023秋,广东阳江•高二广东两阳中学校考阶段练习）已知直线/：（2a-l）x+（a+l）y+a-5=0.

⑴若直线/与直线/'：x+2y-l=0平行，求。的值并求这两条直线间的距离；

（2）若直线/在两坐标轴上的截距相等，求直线/的方程.

例题2.（2023秋•福建福州•高二闽侯县第一中学校考阶段练习）已知直线/的横截距为〃?，且在x轴，夕轴

上的截距之和为4.

⑴若直线/的斜率为2,求实数小的值；

（2）若直线/分别与x轴、/轴的正半轴分别交于8两点，。是坐标原点，求。面积的最大值及此时直

线/的方程.

例题3.(2023秋•河北•高二统考阶段练习)已知直线4经过/(-I,-5),8(3,3)两点，直线人在x轴上的截

距为-1,且人，/?.

⑴求直线4和直线4的方程；

(2)已知直线。经过直线4与直线4的交点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，求直线4的方程.

精练核心考点

1.(2023秋•江苏连云港■高二连云港高中校考阶段练习)已知直线/过点(2,-3)

⑴若/与直线2x+y-5=0平行，求直线/的方程；

(2)若原点到直线/的距离为2,求直线/的方程.

2.(2023秋•北京顺义•高二牛栏山一中校考阶段练习)(1)直线/过点尸(1,2)且在两坐标轴上的截距相等,

求直线/的方程;

(2)直线加过点尸(1,2)且与x/轴正半轴分别交于两点，。为坐标原点，求三角形。血W面积取最小

值时直线加的方程.

3.(2023秋•江西上饶•高二江西省广丰中学校考阶段练习)已知直线/经过两条直线x+2y-5=0和

3x-y-l=0的交点.

⑴若直线/与直线x-2y-1=0平行，求直线/的方程；

(2)若直线/与x+2y-5=0夹角为：TT，求直线/的方程.

题型三：直线过定点问题

典型例题

例题1.(2023秋•江苏徐州•高二校考阶段练习)设直线/的方程为(a+l)x+y-5-2a=0(aeR)

⑴求证：不论。为何值，直线/必过一定点P；

⑵若直线h过点P且与直线2x+y-5=。平行，求直线4的方程；

⑶若直线12过点?且与直线2x+>-5=0垂直，求直线12的方程；

例题2.(2023秋•上海长宁•高二上海市延安中学校考期末)已知直线/1：ax+y-a=0和直线

l21x-ay+6a-3=0.

⑴求证：对任意实数直线4和4各经过一个定点(依次设为A和3),并求A,8的坐标;

(2)设直线4和4交于点尸，求证：点尸的轨迹是一个圆，并求其标准方程.

精练核心考点

1.(2023秋•浙江嘉兴•高二嘉兴高级中学校考阶段练习)已知圆C:/+y2=l,直线/:x+y+2=0,P为

直线/上的动点，过点尸作圆。的两条切线，切点分别为4,B.则直线48过定点()

A.W]B.(-1,-1)C.D.

2.(2023秋・四川眉山•高二校考阶段练习)设直线/的方程为(a+l)x+y-5-2a=0(aeR).

(1)求证：不论。为何值，直线/必过一定点P；

(2)若直线/分别与x轴正半轴，了轴正半轴交于点/(乙⑼，8(0,%),求。03面积的最小值.

题型四：与直线方程有关的最值问题

典型例题

例题1.（2023秋•安徽淮南•高二校考阶段练习）若直线/:辰-y-2=0与曲线c：jl-（y_l）2=x_l有两个

交点，则实数左的取值范围是（）

A2

-[r]B.

。,卜山HD.3]

例题2.（2023秋•安徽亳州•高二校考阶段练习）已知直线4〃4,其方程分别为小x+2y+2=0,12：

12

加x+（l-〃）＞+1=0,其中机＞0,77＞0,贝!I—+—的最小值为（）

mn

A.2B.2-V2C.4-V2D.8

例题3.（2023秋•辽宁大连•高二大连市金州高级中学校考阶段练习）设直线/的方程为

（a+l）^x+y+2-a=0（aeR）

⑴求证：不论。为何值，直线必过定点M；

（2）若I在两坐标轴上的截距相等，求直线/的方程.

⑶若直线/交x轴正半轴于点4交y轴负半轴于点3,小03的面积为S,求S的最小值.

精练核心考点

1.（2023秋•江苏苏州•高二常熟中学校考阶段练习）设；leR,动直线4：西-了+4=0过定点A,动直线

4：x+办-3-2彳=0过定点8,若P为4与4的交点，则|尸叶|尸目的最大值为（）

A.10B.20C.VH）D.275

2.（2023秋•四川广安•高二校考阶段练习）设点尸（x/）是曲线y=上的任意一点，则三的

最小值是（）

212

A.2B.—C.—D.0

55

3.（2023•全国•高三专题练习）若点P在曲线C：/+/_2工-6丫+1=0上运动，则上的最大值

x+3

为.

题型五：由两直线的位置关系（平行或垂直）求参数

典型例题

例题1.（2023秋■江西上饶•高二江西省广丰中学校考阶段练习）两条直线3ax+（l+a）y=3,12：

（。+1）工+（3—2。）了=2互相垂直，贝I]a的值是（）

A.0B.-1C.—1或3D.0或一1

例题2.（2023秋・山东青岛■高二校考阶段练习）己知直线4:加x-2y+1=0,4：x-+l）y+1=0,分别求

加的取值范围，使得：

M/；

（2）/）14.

例题3.（2023秋•贵州•高二校联考开学考试）已知直线4经过8（-4,-加+3）,直线经过点

C（-l,2）,JD（-4,m+2）.

（1）若/[〃，2，求加的值；

（2）若4,乙，求加的值.

精练核心考点

1.（2023秋•河南焦作•高二校考阶段练习）已知直线4：y=x+^4：y=（a2-3）x+l,若〃4，则a的

值为.

2.（2023秋・安徽合肥•高二校联考阶段练习）过直线2x-y+4=0与3x-2y+9=0的交点，且垂直于直线

x-2y+l=0的直线方程是.

3.（2023秋•江苏无锡•高二辅仁高中校考阶段练习）已知直线4：6x+（—l万-8=0,直线

/2：Q+4）X+（/+6力-16=0,根据下列条件分别求实数/的值：

（1）4与，2相交;

（2）4与4平行.

题型六：与距离有关的问题

典型例题

例题L（2023秋・广东深圳•高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知直线2尤+y-3=0与直线4x-町-3=0

平行，则它们之间的距离是（）

A3A/5DV5r3^5nV5

510105

例题2.（2023秋•湖北•高二湖北省罗田县第一中学校联考阶段练习）若非零实数对6）满足关系式

|tz+6+l|=|7a-7Z>+l|=5^a2+b~,贝耳=.

例题3.（2023秋•辽宁•高二沈阳市法库县高级中学校联考阶段练习）已知直线/：x-2y+4=0,点/（0,4）,

点8（-2,-4）,点尸（见"）在直线/上移动,

⑴求加2+H2—2m+2n的最小值：

（2）求归却-|尸川的最大值，以及最大值时点尸的坐标

精练核心考点

1.（2023秋•广东深圳•高二校考阶段练习）点尸（-2,-1）到直线/:（1+3为尤+（l+2）y-2-4X=0QeR）的距

离最大时，直线/的方程为（）

A.3x+2y—5—0B.3x+2y+8=0C.2x—3y—2—0D.2x—3y+1=0

2.（2023•全国•高三专题练习）已知两条平行直线3x-2y+l=0,12；办-〉+6=0间的距离为遥，则

\a~b\-.

3.（2023•全国•高二随堂练习）已知两条平行直线分别过点/（6,2）和并且各自绕点A,B旋转,

探索这两条平行线之间的距离的变化范围，是否有最大距离？若有，求出距离最大时两直线的方程.

题型七：点关于直线对称

典型例题

例题1.（2023秋•广东深圳•高二校考阶段练习）己知实数X/满足x+〉+l=0,则

y1x2+y2-2y+l+y/x2-2x+y2-4y+5的最小值为（）

A.V10B.372C.275D.5

例题2.（2023秋•宁夏银川・高二银川二中校考阶段练习）已知圆G：（x-2『+（尸3『=1,圆

G：（x-3Y+（y-4）2=9,N分别是圆£,C?的动点，尸为x轴上的动点，则庐图+|尸时的最小值为（）

A.572-4B.V17-2C.6-272D.布

例题3.（2023秋•河北•高二统考阶段练习）已知“3C的顶点8的坐标为（112）,边上的中线CM所

在的直线方程为2x-y+1=0,ZBAC的平分线所在的直线方程为x+7y-12=0.

⑴求点4的坐标；

⑵求直线/C的方程

精练核心考点

1.（2023秋・贵州•高二校联考阶段练习）已知（加,〃）为直线x+了-1=0上的一点，则J/+/+7（m+2）2+«2

的最小值为（）

A.V10B.273C.4D.372

2.（多选）（2023秋・山东•高二济南市历城第二中学校联考阶段练习）已知点N与3（3,3）关于直线

4:x-y+l=0对称，过点A的直线4在两坐标轴上的截距之和为。，则直线4的方程为（）

A.2x+y=0B.2x-y=0

C.x+y-6=0D.x-y+2=0

3.（2023秋•高二课时练习）一束光线从原点。（0,0）出发，经过直线/：8工+6^=25反射后通过点尸（-4,3）,

求反射光线的方程及光线从。点到达尸点所走过的路程.

题型八：直线关于直线对称

典型例题

例题1.（2023秋•高二单元测试）已知从点（-5,3）发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆:

（x-l『+（y-l）2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为（