2023年上海市闵行区中考三模数学试题

2023年上海市闵行区中考三模数学试题一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）|﹣2019|的相反数是（）A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣2．（4分）将数据0.000000007米用科学记数法表示为（）A．7×10﹣6米 B．7×10﹣7米 C．7×10﹣8米 D．7×10﹣9米3．（4分）若关于x的分式方程有增根，则k的值是（）A．﹣2 B．﹣ C． D．24．（4分）下列说法中：①﹣a一定是负数；②|a|一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（4分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，分别以AB、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（）A．内切 B．外切 C．相交 D．外离6．（4分）高斯函数也称取整函数，记作[x]，表示不超过x的最大整数．例如[2.2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．已知函数y＝x﹣[x]，若关于x的方程x﹣[x]＝k（x+1）有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．或二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）一元二次方程x2﹣5＝0的根是．8．（4分）方程的根是．9．（4分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．10．（4分）若分式的值为零，则x的值为．11．（4分）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝m．12．（4分）一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为．13．（4分）2023年亚洲杯足球联赛将在中国举行，掀起学校足球运动热潮，某校足球队计划吸收一名新球员，组织了4轮技能考试，其中A和B的成绩（百分制）较为突出，具体如下：若教练要从中选出一名技术稳定的球员，则被选中的是．（填写序号）序号第1轮第2轮第3轮第4轮A90889290B8992869314．（4分）如图在Rt△ABC中，∠A＝90°，斜边上的高AD交BC于D，若BD＝9，CD＝4，则AD的长度等于．15．（4分）若菱形的两对角线长分别为a、b，且满足，则该菱形的面积为．16．（4分）若矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两段，则该矩形的周长为．17．（4分）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+bx﹣2与y＝﹣x2﹣cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标．18．（4分）在边长为2的正方形ABCD中，点M和点N分别在直线BC和CD上运动，连接AN，DM，点O为AC的中点，连接OM，ON，得OM⊥ON，当CM＝4时，MN＝．三.解答题（满分78分）19．（10分）计算：（结果保留带分数形式）．20．（10分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．21．（10分）半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，DE＝10公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，FG＝8公里，G→H为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：◆第一枪发令时间7：30，A区选手出发；◆第二枪发令时间7：35，B区选手出发；◆第三枪发令时间7：40，C区选手出发．若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里；乙为A区选手，平均配速为5.5分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间）（1）在整个赛程中，甲、乙共有次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇；（2）此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速．22．（10分）阅读以下微信群聊，完成任务．任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？23．（12分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别是线段OA、OB和BC的中点．（1）求证：四边形OEFG是平行四边形；（2）当AC＝2AB时，求证；四边形GCAF是等腰梯形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），点C是抛物线上对称轴左侧的动点，点C的横坐标为m，将线段OC绕点O顺时针旋转90°得线段OD，连接BD，过点C作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点E．（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣2的函数表达式；（2）当m＝﹣2时，点F在y轴上，连接CF且CF⊥BD，求线段CF的长；（3）连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转90°得线段BN，连接ON，在点C运动过程中，当△BOD与△BON的面积之和为，且点D与点N分别位于x轴两侧时，请直接写出m的值．25．（14分）如图1，AB是⊙O的直径，点P是直径AB上一动点，过点P作直径AB的垂线交⊙O于C，D两点．（1）若⊙O的半径为2，，连接CO，DO，求劣弧的长度；（2）如图2，点K是劣弧上一点，连接AK，BK，AK交CD于点Q，连接BQ，记∠BAK＝α，∠ABQ＝β，若BQ恰好平分∠ABK，且，求β的正切值；（3）如图3，当动点P移动到点O时，点K是劣弧上一点，连接AK，DK，AK交CD于点Q，DK交AB于点N，连接AD，QN．①求证：△DAQ∽△AND；②记∠OND＝θ，△ANQ的面积为S1，△DON的面积为S2，求的值（结果用含有θ的三角函数值的式子进行表示）．参考答案一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）|﹣2019|的相反数是（）A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣【解答】解：|﹣2019|＝2019，2019的相反数为﹣2019，故选：B．2．（4分）将数据0.000000007米用科学记数法表示为（）A．7×10﹣6米 B．7×10﹣7米 C．7×10﹣8米 D．7×10﹣9米【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．故选：D．3．（4分）若关于x的分式方程有增根，则k的值是（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2【解答】解：∵分式方程有增根，∴x﹣6＝0，解得x＝6，原方程化为：，﹣2k﹣x+6＝x﹣5，将x＝6代入得：﹣2k﹣6+6＝6﹣5，解得．故选：B．4．（4分）下列说法中：①﹣a一定是负数；②|a|一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①﹣a不一定是负数，故本选项错误；②|a|是非负数，故本选项错误；③倒数等于它本身的数是±1，正确；④绝对值等于它本身的数是0和正数，故本选项错误；其中正确的个数有1个．故选：A．5．（4分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，分别以AB、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（）A．内切 B．外切 C．相交 D．外离【解答】解：分别取AB、DC中点M和N，连接MN，∴MN是梯形ABCD的中位线，∴MN＝（AD+BC）＝×（3+9）＝6，∵分别以AB、CD为直径的圆的圆心是M和N，∴⊙M和⊙N的圆心距d＝MN＝6，∵⊙M的半径R＝AB＝×6＝3，⊙N的半径r＝CD＝×4＝2，∴d＞R+r，∴这两圆的位置关系是外离．故选：D．6．（4分）高斯函数也称取整函数，记作[x]，表示不超过x的最大整数．例如[2.2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．已知函数y＝x﹣[x]，若关于x的方程x﹣[x]＝k（x+1）有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．或【解答】解：当0≤x＜1时，[x]＝0，∴y＝x﹣[x]＝x；当1≤x＜2时，[x]＝1，∴y＝x﹣[x]＝x﹣1；当2≤x＜3时，[x]＝2，∴y＝x﹣[x]＝x﹣2；当3≤x＜4时，[x]＝3，......，∴y＝x﹣[x]＝x﹣3；当﹣1≤x＜0时，[x]＝﹣1，∴y＝x﹣[x]＝x+1；当﹣2≤x＜﹣1时，[x]＝﹣2，∴y＝x﹣[x]＝x+2；当﹣3≤x＜﹣2时[x]＝﹣3，y＝x﹣[x]＝x+3；......，∴函数y＝x﹣[x]的图象如图所示：y＝kx+k表示恒过A（﹣1，0）点斜率为k的直线若方程x﹣[x]＝k（x+1）有3个相异的实根，则函数y＝x﹣[x]与函数y＝kx+k的图象有且仅有3个交点，由图可得：当y＝kx+k过（2，1）点时，k＝；当y＝kx+k过（3，1）点时，k＝；当y＝kx+k过（﹣2，l）点时，k＝l；当y＝kx+k过（﹣3，l）点时，k＝﹣，则实数k满足﹣≤k≤1．故选：C．二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）一元二次方程x2﹣5＝0的根是x1＝，x2＝﹣．【解答】解：∵x2﹣5＝0，∴x2＝5，则x＝±，即x1＝，x2＝﹣，故答案为：x1＝，x2＝﹣．8．（4分）方程的根是4．【解答】解：两边平方得到：2x﹣4＝4，解得x＝4，经检验：x＝4是原方程的解，故答案为4．9．（4分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即9﹣8m＝0，解得m＝；故答案为：．10．（4分）若分式的值为零，则x的值为2．【解答】解：依题意，x2﹣4＝0且x+2≠0解得：x＝2，故答案为：2．11．（4分）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝10m．【解答】解：令y＝0，则﹣（x﹣10）（x+4）＝0，解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），∴A（10，0），∴OA＝10m．故答案为：10．12．（4分）一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．【解答】解：∵令x＝0，则y＝3，∴一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．13．（4分）2023年亚洲杯足球联赛将在中国举行，掀起学校足球运动热潮，某校足球队计划吸收一名新球员，组织了4轮技能考试，其中A和B的成绩（百分制）较为突出，具体如下：若教练要从中选出一名技术稳定的球员，则被选中的是A．（填写序号）序号第1轮第2轮第3轮第4轮A90889290B89928693【解答】解：A的平均成绩为：，A成绩的方差为：，B的平均成绩为：，B成绩的方差为：，∵2＜7.5，∴被选中的是A，故答案为：A．14．（4分）如图在Rt△ABC中，∠A＝90°，斜边上的高AD交BC于D，若BD＝9，CD＝4，则AD的长度等于6．【解答】解：由射影定理得，AD2＝BD•CD，则AD2＝9×4＝36，∴AD＝6，故答案为：6．15．（4分）若菱形的两对角线长分别为a、b，且满足，则该菱形的面积为1．【解答】解：∵≥0，|b﹣2|≥0，且+|b﹣2|＝0，∴＝0，|b﹣2|＝0，∴|a﹣1|＝0，b＝2，∴a＝1，∵菱形的两条对角线互相垂直，且两条对角线长分别为a＝1，b＝2，∴该菱形的面积为S＝ab＝×1×2＝1，故答案为：1．16．（4分）若矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两段，则该矩形的周长为22cm或26cm．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE，当AE＝3cm时，AB＝AE＝3＝CD，AD＝3cm+5cm＝8cm＝BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝3cm+8cm+3cm+8cm＝22cm；当AE＝5cm时，AB＝AE＝5cm＝CD，AD＝3cm+5cm＝8cm＝BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝5cm+8cm+5cm+8cm＝26cm；故答案为：22cm或26cm．17．（4分）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+bx﹣2与y＝﹣x2﹣cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标（﹣，2）．【解答】解：根据题意得，解得．∴点P的坐标为（﹣，2），故答案为：（﹣，2）．18．（4分）在边长为2的正方形ABCD中，点M和点N分别在直线BC和CD上运动，连接AN，DM，点O为AC的中点，连接OM，ON，得OM⊥ON，当CM＝4时，MN＝或．．【解答】解：当点M在线段CB的延长线上时，∵CM＝4，BC＝2，∴BM＝2，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，点O为AC中点，∴AO＝CO＝BO，∠ABO＝∠ACB＝45°，OB⊥AC，∴∠OCN＝∠OBM＝135°，∠BOC＝∠MON＝90°，∴∠CON＝∠BOM，∴△OCN≌△OBM（ASA），∴BM＝CN＝2，∴MN＝；当点M在线段BC的延长线上时，同理可得：∴MN＝；综上所述：MN的长为或．故答案为：或．三.解答题（满分78分）19．（10分）计算：（结果保留带分数形式）．【解答】解：＝＝．20．（10分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x≤1，在数轴上表示不等式的解集为：，所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤1．21．（10分）半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，DE＝10公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，FG＝8公里，G→H为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：◆第一枪发令时间7：30，A区选手出发；◆第二枪发令时间7：35，B区选手出发；◆第三枪发令时间7：40，C区选手出发．若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里；乙为A区选手，平均配速为5.5分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间）（1）在整个赛程中，甲、乙共有1次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇；（2）此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速．【解答】解：（1）设甲、乙在距离起点x公里处相遇，则5.5x﹣5x＝5，解得：x＝10，故甲、乙在距离起点10公里处相遇，且甲乙共有1次相遇．故答案为：1．（2）∵冠军用时1小时3分钟，∴冠军的平均配速约为3分钟/公里，∴丙的平均配速≥3分钟/公里，设丙的平均配速为y分钟/公里，∵DS＝×17＝3.4，DR＝×（17+5）＝4，∴SR＝DR﹣DS＝0.6，①如图，当S为中点时，得DT＝DR﹣2SR＝2.8，即2.8y＝17﹣5，解得：y＝，故丙的平均配速为分钟/公里；②如图，当T为中点时，得DT＝DR﹣SR＝3.7，即3.7y＝17﹣5，解得：y＝，故丙的平均配速为分钟/公里；③如图，当R为中点时，得DT＝DR+SR＝4.6，即4.6y＝17﹣5，解得：y＝＜3（舍去），综上丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里．22．（10分）阅读以下微信群聊，完成任务．任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？【解答】解：（任务一）由微信聊天记录可知，小骆家5人，小红家6人，小雷家6人，小绿家4人，“我”家5人，共26人．∵420÷（5﹣1）＝105（元/人），650÷（7﹣1）≈108.33（元/人），∴尽可能坐五座车更划算．26÷4＝6（辆）…2（人）．打车方案为：①7辆5座车，0辆7座车，费用为7×420＝2940（元）；②6辆5座车，1辆7座车，费用为6×420+650＝3170（元）；③5辆5座车，1辆7座车，费用为5×420+650＝2750（元）；④4辆5座车，2辆7座车，费用为4×420+2×650＝2980（元）；⑤3辆5座车，3辆7座车，费用为3×420+3×650＝3210（元）；⑥2辆5座车，3辆7座车，费用为2×420+3×650＝2790（元）；⑦1辆5座车，4辆7座车，费用为420+4×650＝3020（元）；⑧0辆5座车，5辆7座车，费用为5×650＝3250（元）．∴有8种打车方案．打5辆5座车，1辆7座车比较划算．（任务二）根据题意可知，小绿家要2间“亲子家庭房”，“我”家要2间“亲子家庭房”，共4间“亲子家庭房”，花费3000元．∴每间“亲子家庭房”的价格是3000÷4＝750（元），∴小胡家的两间“亲子家庭房”共花费750×2＝1500（元）．（任务三）设该“旅行团”购买了“380”的门票x张，则购买了“580”的门票为（26﹣x）张．设“我”朋友一家6人，每人的票价为m元．∴380x+580（26﹣x）＝6m，∴x＝（x为整数，且x≤26）．①当m＝380时，x＝＝64（不符合题意）；②当m＝580时，x＝＝58（不符合题意）；③当m＝880时，x＝＝49（不符合题意）；④当m＝1280时，x＝＝37（不符合题意）；⑤当m＝1880时，x＝＝19（符合题意）；⑥当m＝2880时，x＝＝﹣11（不符合题意）；⑦当m＝3880时，x＝＝﹣41（不符合题意）．∴该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各19张和7张．23．（12分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别是线段OA、OB和BC的中点．（1）求证：四边形OEFG是平行四边形；（2）当AC＝2AB时，求证；四边形GCAF是等腰梯形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，∵点E、F和G分别是线段OA、OB和BC的中点．∴CG＝BG，OE＝AE，OF＝BF，∴OG是△ABC的中位线，∴OG＝，OG∥AB，同理，EF＝AB，EF∥AB，∴OG＝EF，OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形；（2）如图，连接AF，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AC＝2AB，∴OA＝OB＝AB，∴△ABO是等边三角形，∴AF⊥OB，AF＝AB，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝AB，∴CG＝AB，∴AF＝CG，∵四边形OEFG是平行四边形，∴FG∥AC，∴四边形GCAF是等腰梯形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），点C是抛物线上对称轴左侧的动点，点C的横坐标为m，将线段OC绕点O顺时针旋转90°得线段OD，连接BD，过点C作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点E．（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣2的函数表达式；（2）当m＝﹣2时，点F在y轴上，连接CF且CF⊥BD，求线段CF的长；（3）连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转90°得线段BN，连接ON，在点C运动过程中，当△BOD与△BON的面积之和为，且点D与点N分别位于x轴两侧时，请直接写出m的值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2；（2）当m＝﹣2时，即点C的横坐标为﹣2，当x＝﹣2时，y＝×（﹣2）2﹣×（﹣2）﹣2＝，∴C（﹣2，），将线段OC绕点O顺时针旋转90°得线段OD，则OC＝OD，∠COD＝90°，如图，过点D作DH⊥x轴于点H，设CE交y轴于点G，则∠DHO＝90°，∵CE∥x轴，∴∠CGO＝90°＝∠DHO，∵∠COG+∠DOG＝90°，∠DOH+∠DOG＝90°，∴∠COG＝∠DOH，∴△COG≌△DOH（AAS），∴CG＝DH＝2，OG＝OH＝，∴BH＝OH﹣OB＝﹣3＝，在Rt△BDH中，BD＝＝＝，∵CF⊥BD，x轴⊥y轴，即FG⊥BH，且∠CFG和∠DBH均为锐角，∴∠CFG＝∠DBH，∵∠AGF＝∠DHB＝90°，∴△CFG≌△DBH（AAS），∴CF＝BD＝；（3）由题意得：C（m，m2﹣m﹣2），∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵点E与点C关于直线x＝1对称，∴E（2﹣m，m2﹣m﹣2），当m＜0时，过点C作CG⊥x轴于G，过点D作DH⊥x轴于H，过点E作EK⊥x轴于K，过点N作NL⊥x轴于L，如图2，则CG＝EK＝m2﹣m﹣2，OG＝﹣m，BK＝2﹣m﹣3＝﹣m﹣1，由旋转得：OD＝OC，BN＝BE，∠COD＝∠EBN＝90°，∴∠COG+∠DOH＝90°，∵∠OGC＝∠DHO＝90°，∴∠COG+∠OGC＝90°，∴∠OGC＝∠DOH，∴△COG≌△ODH（AAS），∴DH＝OG＝﹣m，同理可得：△BNL≌△EBK（AAS），∴NL＝BK＝﹣m﹣1，∴S△BOD+S△BON＝OB•（DH+NL）＝×3（﹣m﹣m﹣1）＝﹣3m﹣，∵S△BOD+S△BON＝，∴﹣