2020-2021中考数学易错题训练：平行四边形练习题及答案解析

2020-2021备战中考数学易错题专题训练-平行四边形练习题及答案解析

一、平行四边形

1.如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点（不与点

A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,

折痕为EF,连接BP、BH.

X.——4------

BC

（1）求证：ZAPB=ZBPH；

（2）当点P在边AD上移动时，求证：APDH的周长是定值；

（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长.

【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3）2.

【解析】

试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出NPBC=NBPH,进而利用平行线的性质得出

ZAPB=ZPBC即可得出答案；

（2）首先证明△ABP\&QBP,进而得出^BC附△BQH,即可得出

PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；

（3）过F作FM_LAB,垂足为M,贝UFM=BC=AB,证明△EFM空&BPA,设AP=x,利用折

叠的性质和勾股定理的知识用X表示出BE和CF,结合二次函数的性质求出最值.

试题解析：（1）解：如图1,

ZEBP=ZEPB.

又；ZEPH=ZEBC=90",

ZEPH-ZEPB=ZEBC-ZEBP.

即NPBC=ZBPH.

又ADIIBC,

ZAPB=ZPBC.

ZAPB=ZBPH.

（2）证明：如图2,过B作BQ_LPH,垂足为Q.

由(1)知NAPB=ZBPH,

文:ZA=ZBQP=90°,BP=BP,

在AABP和AQBP中,

ZAPB=ZBPH

{ZA=ZBQP=90°,

BP=BP

「.AABP之△QBP(AAS),

：.AP=QP,AB=BQ,

文:AB=BC,

BC=BQ.

又NC=ZBQH=90°,BH=BH,

在小BCH和4BQH中，

BC=BQ

{ZC=ZBQH=90°,

BH=BH

：.△BCH2△BQH(SAS),

CH=QH.

△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.

△PDH的周长是定值.

(3)解：如图3,过F作FM_LAB,垂足为M,贝UFM=BC=AB.

又；EF为折痕,

EF±BP.

ZEFM+ZMEF=ZABP+ZBEF=90°,

ZEFM=ZABP.

又ZA=ZEMF=90°,

在AEFM和以BPA中，

ZEFM=ZABP

[ZEMF=ZA,

FM=AB

：.△EFMM△BPA(AAS).

EM=AP.

设AP=x

在RtAAPE中，(4-BE)2+x2=BE2.

九2

解得BE=2+k，

o

Y2

/.CF=BE-EM=2+-_x,

8

21

BE+CFx=_.4=—(X-2)2+3.

4X+4

当x=2时，BE+CF取最小值，

AP=2.

考点：几何变换综合题.

2.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A,B的坐标分别为（4,0）,

（4,3）,动点M,N分别从0,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中，点M

沿0A向终点A运动，点N沿BC向终点C运动.过点M作MPL0A,交AC于P,连接

NP,已知动点运动了x秒.

（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；

（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；

（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由.

3

（2）S的最大值为工，此时x=2.

416、128

（3）x=-,或*=工，或x=-7；-.

39s7

【解析】

试题分析：(1)求P点的坐标，也就是求0M和PM的长，已知了0M的长为X,关键是

求出PM的长，方法不唯一，①可通过PMII0C得出的对应成比例线段来求；

②也可延长MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和NACB的正切值求出

PQ的长，然后根据PM=AB-PQ来求出PM的长.得出0M和PM的长，即可求出P点的

坐标.

(2)可按(1)②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC-BN来求得，因此

根据三角形的面积计算公式即可得出S,X的函数关系式.

(3)本题要分类讨论：

①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和NABC的余弦值求出CP的表

达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；

②当CP=PN时，那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN-

CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出X的值.

③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN

的长，联立CN的表达式即可求出x的值.

试题解析：(1)过点P作PQ±BC于点Q,

有题意可得：PQIIAB,

△CQP-△CBA,

,QP=AB

QC~BC

。尸

,.,----_3―

X4

3

解得：QP=-x,

3

PM=3-二x,

4

由题意可知，C(0,3),M(x,0),N(4-x,3),

一3

P点坐标为(x,3-—x).

(2)设ANPC的面积为S,在aNPC中，NC=4-x,

_3

NC边上的高为二X,其中，0<x<4.

4

133

S=—(4-x)x_x二一(-X2+4X)

248

33

=-----(x-2)2+—.

&2

,3

•t-s的最大值为一，此时x=2.

2

(3)延长MP交CB于Q,则有PQ_LBC.

①若NP=CP,

,/PQ±BC,

NQ=CQ=x.

/.3x=4,

.4

•••

55

②若CP二CN,则CN==4-x,PQ=x,CP=工x,4-x=—x,

16

x=——；

g

③若CN=NP,则CN=4-x.

3

/PQ=-x,NQ=4-2x,

,在RtZkPNQ中，PN2=NQ2+PQ2,

3

.(4-x)2=(4-2x)2+(—x)2,

4

128

/.X=----------

57

416128

考点：二次函数综合题.

3.如图①,在等腰中，ZBAC=90。，点E在AC上(且不与点A、C重合)，

在人钻。的外部作等腰R〃\CE£>,使NCED=90。，连接A。，分别以AB,AO为邻边

作平行四边形A8FD,连接AF.

(1)请直接写出线段AF,AE的数量关系；

G)①将VCEO绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE,请判断

线段AF,AE的数量关系，并证明你的结论；

②若AB=2小,CE=2,在图②的基础上将REO绕点C继续逆时针旋转一周的过

程中，当平行四边形A8F。为菱形时，直接写出线段4E的长度.

【答案】（1）证明见解析；（2）①AF=VlAE②4"或2".

【解析】

【分析】

（D如图①中，结论：AF=&£,只要证明VAEF是等腰直角三角形即可;

（2）①如图②中，结论：AF=JlAE,连接EF,DF交BC于K,先证明

VEKF^VEDA再证明VAEF是等腰直角三角形即可;

②分两种情形a、如图③中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形上、如图④中当

AD=AC时，四边形ABFD是菱形•分别求解即可.

【详解】

（1）如图①中，结论：AF=V2AE.

国①

理由：Q四边形ABFD是平行四边形,

AB=DF,

QAB=AC,

.-.AC=DF,

QDE=EC,

AE=EF,

QZDEC=ZAEF=90。，

...VAEF是等腰直角三角形，

AF=V2AE.

故答案为AF=JlAE.

（2）①如图②中，结论：AF=J，AE.

圈②

理由：连接EF,DF交BC于K.

Q四边形ABFD是平行四边形，

AB//DF,

NDKE=/ABC=45。,

..NEKF=180。-/DKE=135。，EK=ED,

QZADE=180。—NEDC=180。—45。=135。，

.-.ZEKF=ZADE,

Q/DKC=NC,

DK=DC,

QDF=AB=AC,

.-.KF=AD,

在VEKF和VEDA中，

EK=ED

<ZEKF=ZADE,

KF=AD

.•.VEKFMVEDA,

EF=EA,ZKEF=ZAED,

ZFEA=NBED=90。，

...VAEF是等腰直角三角形，

AF=V2AE.

②如图③中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H,易知

EH=DH=CH=",AH=J(2我2—(回=3々,AE=AH+EH=472,

A

AE=AH-EH=3>/2-72=2^,

图④

综上所述，满足条件的AE的长为40■或24.

【点睛】

本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行

四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找

全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型.

4.在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD±,且NEAF=NCEF=45。.

⑴将△ADF绕着点A顺时针旋转90。，得到AABG（如图①），求证：△AEG2△AEF；

（2）若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；

⑶将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF,

BE,DF之间的数量关系.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.

【解析】

试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG,ZEAF=ZGAE=45°,故可证△AEG合△AEF；

（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90。，得到AABG,连结GM.由（1）知

△AEG2AAEF,则EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出

CE=CF,BE=BM,NF=\，DF,然后证明NGME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出

EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；

（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90。，得到AABG,根据旋转的性质可以得到

△AD0△ABG,则DF=BG,再证明△AEG合△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代换

得到EF=BE+DF.

试题解析：（1）△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,

AF=AG,ZFAG=90°,

•，-ZEAF=45°,

ZGAE=45°,

在小AGE与AAFE中,

AG=AF

LGAE=FAE=45°

»AE=AE

圉①

(2)设正方形ABCD的边长为a.

将△ADF绕着点A顺时针旋转90。，得到AABG,连结GM.

则4ADF空△ABG,DF=BG.

由(1)知4AEG合△AEF,

EG=EF.

•，-ZCEF=45°,

二△BME、ADNF,△CEF均为等腰直角三角形，

/.CE=CF,BE=BM,NF=y2DF,

/.a-BE=a-DF,

.BE=DF,

.BE=BM=DF=BG,

.ZBMG=45°,

.ZGME=45°+45°=90°,

•EG2=ME2+MG2,

-EG=EF,MG=A/2BM-V，/2DF=NF,

-EF2=ME2+NF2；

(3)EF2=2BE2+2DF2.

如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，

将AADF绕着点A顺时针旋转90。，得到AAGH,连结HM,HE.

由(1)知4AEH空△AEF,

则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,

即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2

又二EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,

即2(DF2+BE2)=EF2

图③

考点：四边形综合题

5.如图，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120°,△AEF为正三角形，E、F在菱形的边

BC,CD±,

（1）证明：BE=CF.

（2）当点E,F分别在边BC,CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形

AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值.

（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如

果变化，求出其最大值.

A

>D

E

C

【答案】⑴见解析；（2）473；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）先求证AB=AC,进而求证△ABC、AACD为等边三角形，得N4=60。，

AC=AB进而求证△ABE空&ACF,即可求得BE=CF；

（2）根据△ABE些&ACF可得SAABE=S“CF,故根据5四股

S+S=S+

AECF=AAECAACFAAEC\ABE=$AABC即可解题；

（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.△AEF的面积会随着AE的变化

而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据，CEF=S皿皿AEC「SAAE「则

△CEF的面积就会最大.

试题解析：（1）证明：连接AC,

•••Z1+Z2=60°,Z3+Z2=60°,

Z1=Z3,

•，-ZBAD=120°,

/.ZABC=ZADC=60°

四边形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=AD,

△ABC、△ACD为等边二角形

Z4=60°,AC=AB,

在小ABE和乙ACF中，

rZl=Z3

,AB二AC,

tZABC=Z4

△ABE2△ACF.（ASA）

BE=CF.

（2）解：由（1）得AABEV△ACF,

则，ABE-5AACF,

故s=s+s=s+s=s,

B四边形AECF△AEC△ACF△AEC△ABE△ABC

是定值

作AH_LBC于H点，

则BH=2,

s=s

四边形AECF△ABC

=yBC-AH

=7BC'VAB2-BH2

=4-73；

（3）解：由"垂线段最短”可知，

当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时,

正三角形AEF的面积会最小，

又SACEF=S0WAECF-SAAEF-贝必CEF的面积就会最大•

由⑵得，s&CEF=S西边形AECF-SAAEF

22

=4V3-1X2V3><V（2V3）-（A/3）=V3-

点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全

等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE合△ACF是解题

的关键.

6.（1）如图1,将矩形ABC。折叠，使6c落在对角线5。上，折痕为BE,点C落在

点C处，若NAD3=42。，则NDBE的度数为o.

（2）小明手中有一张矩形纸片ABC。，AB=4,AD=9.

（画一画）如图2,点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使A3落在CE所在

直线上，折痕设为（点M,N分别在边AD,3C上），利用直尺和圆规画出折痕

MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

4£D

（算一算）如图3,点/在这张矩形纸片的边5c上，将纸片折叠，使用落在射线阳

7

上，折痕为Gb,点A,8分别落在点4,"处，若AG=y,求的长.

【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：B'D=3

【解析】

【分析】

（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；

（2）【画一画】,如图2中，延长BA交CE的延长线由G,作NBGC的角平分线交AD于

M,交BC于N,直线MN即为所求；

720_

【算一算】首先求出GD=9-§=7,由矩形的性质得出ADIIBC,BC=AD=9,由平行线的

性质得出NDGF=ZBFG,由翻折不变性可知，ZBFG=ZDFG,证出NDFG=ZDGF,由等腰三

20

角形的判定定理证出DF=DG=T,再由勾股定理求出CF,可得BF,再利用翻折不变性，

可知FB，=FB,由此即可解决问题.

【详解】

（1）如图1所示

•••四边形ABCD是矩形,

ADIIBC,

ZADB=ZDBC=42°,

由翻折的性质可知，NDBE=ZEBC=]NDBC=21。,

故答案为2L

（2）【画一画】如图所示

【算一算】

如3所示：

D

7

•；AG=1,AD=9,

fc720

GD=9--=一

33'

•••四边形ABCD是矩形,

/.ADIIBC,BC=AD=9,

NDGF=NBFG•)

由翻折不变性可知，ZBFG=ZDFG,

ZDFG=ZDGF,

20

DF=DG=—

3

•/CD=AB=4,ZC=90°,

.•.在RtACDF中，由勾股定理得：CF=4DF2-CD2=—425

3

BF=BC-CF=9—竺=11

33

11

由翻折不变性可知，FB=FBz=y,

B,D=DF-FB,=^2-H=3

33

【点睛】

四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平

行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决

问题.

7.如图，现将平行四边形ABC。沿其对角线AC折叠，使点B落在点&处.A&与CD交于

点、E.

（1）求证：AAED^△CEB'；

（2）过点E作EFJ_AC交AB于点F,连接CF,判断四边形AECF的形状并给予证明.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】

(1)由题意可得AD=BC=B'C,ZB=ZD=ZB',且NAED=NCEB',利用AAS证明全等，则结

论可得；

(2)由4AED空△CEB，可得AE=CE,且EFJ_AC,根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分

AC,ZAEF=ZCEF.即AF=CF,NCEF=NAFE=NAEF,可得AE=AF,则可证四边形AECF是菱

形.

【详解】

证明：(1)1,四边形ABCD是平行四边形

AD=BC,CDIIAB,ZB=ZD

•••平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠

BC=B'C,ZB=ZB'

ZD=ZB',AD=B'C且NDEA=NB'EC

△ADE合△B'EC

(2)四边形AECF是菱形

△ADEM△B'EC

AE=CE

•，-AE=CE,EF±AC

二EF垂直平分AC,ZAEF=ZCEF

AF=CF

•••CDIIAB

ZCEF=ZEFA且NAEF=ZCEF

ZAEF=ZEFA

AF=AE

AF=AE=CE=CF

四边形AECF是菱形

【点睛】

本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练

掌握这些性质和判定是解决问题的关键.

8.点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A,C重合)，分别

过点A,C向直线BP作垂线，垂足分别为点E,F,点。为AC的中点.

(1)如图1,当点P与点。重合时，请你判断0E与OF的数量关系；

(2)当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断(1)中的

结论是否仍然成立；

(3)若点P在射线0A上运动，恰好使得NOEF=30。时，猜想此时线段CF,AE,0E之间

有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明.

【答案】(1)OE=OF.理由见解析；(2)补全图形如图所示见解析，OE=OF仍然成

立；(3)CF=OE+AE或CF=OE-AE.

【解析】

【分析】

(1)根据矩形的性质以及垂线，即可判定AAOETAC。尸(44S),得出。E=OF；

(2)先延长E。交CF于点G,通过判定AAOEMACOG(ASA),得出。G=OE,再根据

RtAEFG中，OF=*EG,即可得到OE=OF；

(3)根据点P在射线。4上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P在线段OA上时，当

点P在线段OA延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计

算即可.

【详解】

(1)OE=OF.理由如下:

如图1.

1,四边形ABC。是矩形，,OA=OC.

AE1BP,CF1BP,ZAEO=ZCFO=9Q°.

ZAEO=ZCFO

在AAOE和ACOF中，JZAOE=ZCOF,AAOEsACOF(AAS),OE=OF,

OA=OC

(2)补全图形如图2,OE=OF仍然成立.证明如下：

延长E。交CF于点G.

AEIBP,CF1BP,：.AE//CF,:.Z-EAO=Z.GCO.

又丁点。为AC的中点，,AO=CO.

ZEAO=AGCO

在AAOE和ACOG中，\AO=CO,AAOEsACOG(ASA),OG=OE,

ZAOE=COG

..RtAEFG中，OF=LEG,：.OE=OF；

(3)CF=OE+AE或CF=OE-AE.

证明如下：①如图2,当点P在线段OA上时.

Z-OEF=30°,ZEFG=90°,/.ZOGF=60°,由⑵可得：OF=OG,：.AOGF是

等边三角形，,FG=OF=OE,由(2)可得：AAOE=ACOG,：.CG=AE.

文:CF=GF+CG,：.CF=OE+AE；

②如图3,当点P在线段OA延长线上时.

ZOEF=3Q°,ZEFG=90°,/.Z(9GF=60°,同理可得：AOGb是等边三角形，

FG=OF=OE,同理可得：AAOEMACOG,=CG=AE.

又CF=GF-CG,：.CF=OE-AE.

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角

形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角

线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决.

9.如图，AB为。。的直径，点E在。。上，过点E的切线与AB的延长线交于点D,连接

BE,过点。作BE的平行线，交。。于点F,交切线于点C,连接AC

（1）求证：AC是。O的切线；

（2）连接EF,当ND=。时，四边形FOBE是菱形.

【答案】（1）见解析；（2）30.

【解析】

【分析】

（1）由等角的转换证明出AOC4会AOCE,根据圆的位置关系证得AC是。。的切线.

（2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF,得证八。3£为等边三角形，而得出

NBOE=60。,根据三角形内角和即可求出答案.

【详解】

（1）证明：1.CD与。。相切于点E,

.OE1CD,

ZCEO=90°,

丈:OCPBE,

NCOE=NOEB,zOBE=zCOA

OE=OB,

ZOEB=ZOBE,

ZCOE=ZCOA,

又；OC=OC,OA=OE,

AOCA^^OCECSAS),

ZCAO=ZCEO=9Q°,

又AB为。0的直径，

，AC为。0的切线；

(2)解：；四边形FOBE是菱形，

OF=OB=BF=EF,

OE=OB=BE,

二A05E为等边三角形，

ZBOE=60。，

而

ZD=30°.

故答案为30.

【点睛】

本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关

键.

10.如图1,矩形ABCD中，AB=8,AD=6；点E是对角线BD上一动点，连接CE,作

EF_LCE交AB边于点F,以CE和EF为邻边作矩形CEFG,作其对角线相交于点H.

(1)①如图2,当点F与点B重合时，CE=____,CG=____；

②如图3,当点E是BD中点时，CE=____,CG=____；

(2)在图1,连接BG,当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并

加以证明；

CG

(3)在图1,T丁的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由；

7CE

(4)在图1,设DE的长为X,矩形CEFG的面积为S,试求S关于x的函数关系式，并直

334832

—；(4)S=—x2——x+48(0<x<一).

4455

【解析】

【分析】

(1)①利用面积法求出CE,再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜边中线

定理求出CE,再利用相似三角形的性质求出EF即可；

(2)根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这

个三角形是直角三角形即可判断；

(3)只要证明仆DCE-△BCG,即可解决问题；

(4)利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；

【详解】

(1)①如图2中，

在RtABAD中，BD=+A§2=10,

11

■•,SABCD=2，CD，BC=2，BD，CE，

242418

,•CE=-^-.CG=BE=162—(-^-)2=一

55

②如图3中，过点E作MNJ_AM交AB于N,交CD于M.

DE=BE,

1

CE=-BD=5,

,/△CME~△ENF,

CM_EN

~CE~~EF

：.CG=EF=11,

4

(2)结论：AEBG是直角三角形.

理由：如图1中，连接BH.

DC

在RtABCF中，•••FH=CH,

BH=FH=CH,

四边形EFGC是矩形，

EH=HG=HF=HC,

BH=EH=HG,

EBG是直角三角形.

(3)F如图1中，•••HE=HC=HG=HB=HF,

•C>E、F、B、G五点共圆，

EF=CG,

ZCBG=ZEBF,

CDIIAB,

ZEBF=ZCDE,

，ZCBG=ZCDE,

•••ZDCB=ZECG=90°,

ZDCE=ZBCG,

△DCEs△BCG,

,CGBC_6

"CE-8-4,

(4)由(3)可知：

CGCD3

~CE^~CB~4,

：.矩形CEFGs矩形ABCD,

S/CE、CE2

-^&CEEG-=(--)2=----

SCD64?

矩形ABC。

3224

・CE2二(——x)2+—)2,S=48,

55矩形ABCD

r33224

-S=—[(——X)2+(—)2].

矩形CEFG4L55

348QO

二矩形CEFG的面积S=_X2--X+48(0<X<—).

45--5

【点睛】

本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三

角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴

题.

11.如图，点E是正方形ABC。的边AB上一点，连结CE,过顶点C作CFLCE,交A。延

【答案】证明见解析.

【解析】

分析：根据正方形的性质，证出BC=CD,NB=NCDF,ZBCD=90°,再由垂直的性质得到

ZBCE=ZDCF,然后根据"ASA”证明ABCE合△BCE即可得到BE=DF

详解：证明：,..CF_LCE,

ZECF=90°,

又ZBCG=90°,

ZBCE+ZECD=ZDCF+ZECD

ZBCE=ZDCF,

在ABCE与小DCF中，

•，-ZBCE=ZDCF,BC=CD,ZCDF=ZEBC,

△BCE合△BCE(ASA),

BE=DF.

点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答

此题的关键.

12.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点(P与B、D不重合)，

NAPE=90°,且点E在BC边上，AE交BD于点F.

(1)求证：①△PA笑△PCB；②PE=PC；

AP

(2)在点P的运动过程中，黑的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理

由；

(3)设DP=x,当x为何值时，AEIIPC,并判断此时四边形PAFC的形状.

【答案】(1)见解析;

竺=式

⑵“E2；

(3)x=\2-1：四边形PAFC是菱形.

【解析】

试题分析：(1)根据四边形ABCD是正方形，得出AB=BC,ZABP=ZCBP°,再根据

PB=PB,即可证出^PA强△PCB,

②根据NPAB+ZPEB=180°,ZPEC+ZPEB=180°,得出NPEC=ZPCB,从而证出PE=PC；

(2)根据PA=PC,PE=PC,得出PA=PE,再根据NAPE=90°,得出NPAE=NPEA=45°,即可求

AP

出码

(3)先求出NCPE=NPEA=45。，从而得出NPCE,再求出NBPC即可得出NBPC=NPCE,从

而证出BP=BC=Lx=\2-1,再根据AEIIPC,得出NAFP=NBPC=67.5°,由△PA笑△PCB

得出NBPA=NBPC=67.5°,PA=PC,从而证出AF=AP=PC,得出答案.

1

试题解析：(1)①;四边形ABCD是正方形，二AB=BC,NABP=NCBP="NABC=45°.

PB=PB,△PA睦△PCB(SAS).

②由△PA笑△PCB可知，ZPAB=ZPCB.ZABE=ZAPE=90°,/.ZPAB+ZPEB=180°,

丈:ZPEC+ZPEB=180°,ZPEC=ZPAB=ZPCB,/.PE=PC.

AP

(2)在点P的运动过程中，荏的值不改变.

由^PA跄△PCB可知，PA=PC.

/PE=PC,

PA=PE,

又「ZAPE=90°,

竺正

△PAE是等腰直角三角形，ZPAE=ZPEA=45。，.,.而=?.

1

(3)•••AEIIPC,ZCPE=ZPEA=45°,二在APEC中，NPCE=NPEC=2(180°-45°)

=67.5°.

在小PBC中，ZBPC=(180°-ZCBP-ZPCE)=(180°-45°-67.5°)=67.5°.

ZBPC=ZPCE=67.5°,二BP=BC=1,/.x=BD-BP=\2-〉AE||pC,

ZAFP=ZBPC=67.5°,由APA哙△PCB可知,ZBPA=ZBPC=67.5°,PA=PC,

ZAFP=ZBPA,AF=AP=PC,/.四边形PAFC是菱形.

考点：四边形综合题.

3

13.已知一次函数y=Qx+3的图象与X轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在

(2)将4ABC绕点B逆时针旋转，

①当AC与X轴平行时，则点A的坐标是

②当旋转角为90。时，得到ABDE,如图2所示，求过B、D两点直线的函数关系式.

③在②的条件下，旋转过程中AC扫过的图形的面积是多少？

(3)将4ABC向右平移到△AEC的位置，点U为直线AB上的一点，请直接写出△ABC扫

过的图形的面积.

【答案】⑴：5；5虎；(2)①(0,-2)；②直线BD的解析式为y=-±x+3；

3

2S275

@s=——n；(3)△ABC扫过的面积为——.

46

【解析】

试题分析：(1)根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A、B两点的

坐标，利用勾股定理即可解答；

(2)①因为B(0,3),所以OB=3,所以AB=5,所以AO=AB-BO=5-3=2,所以A(0,-

2);

②过点C作CF_LOA与点F,证明△AOB合△CFA,得到点C的坐标，求出直线AC解析

式，根据ACIIBD,所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同，设出解析

式，即可解答.

③利用旋转的性质进而得出A,B,C对应点位置进而得出答案，再利用以BC为半径90°

圆心角的扇形面积减去以AB为半径90。圆心角的扇形面积求出答案；

(3)利用平移的性质进而得出△ABC扫过的图形是平行四边形的面积.

3

试题解析：(1)1,一次函数y=4x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，

,A(-4,0),B(0,3),

AO=4,BO=3,

在RtAAOB中，AB=\,必。2+BO2=产彳字=5,

等腰直角三角形ABC,ZBAC=90°,

BC八叱+g;产”=5也

(2)①如图1,

0B=3,

,/AB=5,

/.AO=AB-BO=5-3=2,

/.A(0,-2).

当在x轴上方时，点A的坐标为(0,8),

过点C作CFLOA与点F,

•・•△ABC为等腰直角三角形,

/.ZBAC=90°,AB=AC,

/.ZBAO+ZCAF=90°,

,/NOBA+ZBAO=90°,

/.ZCAF=ZOBA,

在^AOB^ACFA中，

“FA=Z,AOB=90°

LCAF=LOBA

AC=AB

J

△AOBM△CFA(AAS)；

0A=CF=4,0B=AF=3,

OF=7,CF=4,

C(-7,4)

A(-4,0)

设直线AC解析式为y=kx+b,

l-4fc+b=0

将A与C坐标代入得：I—7k+b=4

4

k=——

解得：，

416

则直线AC解析式为丫=3,

•将△ABC绕点B逆时针旋转，当旋转角为90。时，得到ABDE,

ZABD=90°,

ZCAB=90°,

ZABD=ZCAB=90°,

/.ACIIBD,

4

/.设直线BD的解析式为y=一?x+b/

把B（0,3）代入解析式的：b1=3,

4

-

・・・直线BD的解析式为y=3x+3；

③因为旋转过程中AC扫过的图形是以BC为半径90。圆心角的扇形面积减去以AB为半径

90。圆心角的扇形面积，

90X7TX（5\2）290X7TX5225

-------------------------------------------------=-----71

所以可得：s=3603604；

（3）将△ABC向右平移到△AEC的位置，△ABC扫过的图形是一个平行四边形和三角形

ABC,如图3：

4

将C点的纵坐标代入一次函数y=4x+3,求得C的横坐标为3,

4100

平行四边CAA（，的面积为（7+吾）x4=3,

125

三角形ABC的面积为4<5x5=2

10025275

△ABC扫过的面积为：326.

考点：几何变换综合题.

14.倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和

创新能力的有效途径.下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成‘类比猜想”的问

题.

习题如图（1）,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD±,NEAF=45。，连接EF,贝！J

EF=BE+DF,说明理由.

解答：正方形ABCD中，AB=AD,ZBAD=ZADC=ZB=90°,

.,.把△ABE绕点A逆时针旋转90。至△ADE一点F、D、E，在一条直线上.

/.ZE'AF=90°-45°=45°=NEAF,又AE=AE,AF=AF

J.△AE'F空△AEF（SAS）/.EF=E'F=DE'+DF=BE+DF.

类比猜想：

（1）请同学们研究：如图（2）,在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当

ZBAD=120°,NEAF=60°时，还有EF=BE+DF吗？请说明理由.

（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD,ZB+ZD=180",

ZEAF=1

NBAD时，EF=BE+DF吗？请说明理由.

2

【答案】证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）把△ABE绕点A逆时针旋转120。至△ADE一如图（2）,连结FF,根据菱

形和旋转的性质得到AE=AETNEAF=NE'AF,利用"SAS"证明AAE四△AE'F,得到EF=E'F；

由于NADE4NADC=120。，则点F、D、E，不共线，所以D