2023年高等数学下考试题库（附答案）

《高等数学》试卷1（下）

一.选择题（3分X10）

1.点峪（2,3,1）到点必（2,7,4脑距离MM|=（）.

A.3B.4C.5D.6

2.向量，则有（）.

A.a//bB.a-LbC.（a,b^=yD.（扇3）=?

3.函数y=^2-x2-y2+/1时定义域是（）.

yjx2+y2—1

A.{（x,yjl<x2+y2<2}B.{（%,y|l<x2+y2<2））

C.{x,<x~+y2<2^D{x,<%2+j2<21

4.两个向量。与B垂直的充要条件是（）.

A.a-b=0B.axb=6C.a-b=0D.a+b=6

5.函数z=/+）?-3盯的极小值是（）.

A.2B.-2C.lD.-l

6.设，则=（）.

A.—B.--C.V2D.-V2

22

7.若级数收敛,则（）.

A.p<lB.p<1C.p>1D.p>l

00n

8.基级数£一的收敛域为（）.

„=in

A.[-1,1]C.[-l,l)D.(-l,l]

9.嘉级数在收敛域内附和函数是（).

1221

A.------B.-------C.------D.-------

1—x2—x1—x2—x

10.微分方程-yiny=0的I通解为（）.

A.y=cexB.y=exC.y=cxexD.y=ecx

二.填空题(4分义5)

1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为.

2.函数z-sin（孙）时全微分是.

3.设，则.

4.」一的麦克劳林级数是.

2+x

三.计算题（5分x6）

1.设，而，求

2.已知隐函数由方程确定，求

3.计算，其中.

4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.

四.应用题（10分义2）

1.要用铁板做一种体积为2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？

试卷1参照答案

一.选择题CBCADACCBD

二.填空题

1.2x-y-2z+6=0.

2.cos{xy\ydx+xdy).

3.6%2y_”2-1.

4..

2x

5.y=(G+C2x)e~.

三.计算题

1.,.

dz_2—xdz_2y

2.——----,——--------.

dxz+1dyz+1

3.J。d(p^sinp-pdp=-6%

16「3

4.—&.

3

5.y=e3x-e2x.

四.应用题

1.长、宽、高均为时，用料最省.

12

2.y=—x~.

'3

《高数》试卷2（下）

一.选择题（3分xlO）

1.点，时距离（）.

A.712B.V13C,V14D,V15

2.设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（）.

71717171

A.—B.—C.—D.—

6432

3.函数z=arcsinQ:?+）2）区|定义域为（）.

A.{（%,“0<%2+y2<1}B.{（%,y,O<x2+y2<1}

C.<（x,yj^<x2+y2<^>D.<（x,<x2+y2<%

4.点尸（―1,一2,1）到平面x+2y—2z—5=0的距离为（）.

A.3B.4C.5D.6

5.函数z=2孙—3%2—2y2的极大值为（）.

,1

A.OB.lC.-lD-

2

6.设，则（）.

A.6B.7C.8D.9

7.若几何级数是收敛日勺,则（）.

A.B.C.D.

00

8房级数X（〃+l卜”的收敛域为（）.

n—0

A.B.C.D.

9.级数石包詈是（）.

n=l〃

A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定

二.填空题（4分x5）

1.直线过点且与直线平行,则直线的方程为

2.函数z=e*时全微分为.

3.曲面z=2——4y2在点（2,1,4）处的切平面方程为

三.计算题（5分x6）

1.设，求

2.设，而，求

3.已知隐函数由确定，求

4.如图，求球面与圆柱面（）所围的几何体的体积.

四.应用题（10分义2）

1.试用二重积分计算由y=6,y=26和x=4所围图形的面积.

试卷2参照答案

一.选择题CBABACCDBA.

二.填空题

x—2y—2z+1

1.-----=--------=-------

112

2.exy(ydx+xdy).

3.8x-8y-z=4.

00

4.Z(T)*.

n-0

3

5.y=%.

三.计算题

1.8z—3j+2k.

2.—=3x2sinjcosj(cosj-sinjY—=-2x3sinjcosj(sinj+cosy)+xjsin3j+cos3y

dxdy

dz-yzdz-xz

3.—=--------,--=............-.

oxxy+zdyxy+z

4..

2xx

5.y=Cxe~+C2e~.

四.应用题

16

1.—.

3

2..

《高等数学》试卷3（下）

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）

2、设a=i+2j-k,b=2j+3k,则a与b时向量积为（）

A.i-j+2kB.8i-j+2kC.8i-3j+2kD.8i-3i+k

3、点P（-1.-2、1）到平面x+2y-2z-5=0时距离为（）

A.2B.3C.4D.5

4、函数z=xsiny在点（1,）处的I两个偏导数分别为（）

A.B.C.D.

5、设x2+y2+z2=2Rx,则分别为（）

A.B.C.D.

6、设圆心在原点，半径为R,面密度为的薄板的质量为（）（面积A=）

A.R2AB、2R2AC、3R2AD、

oon

7、级数£（-1）〃——的收敛半径为（）

A.2B.C.lD.3

8、cosx的麦克劳林级数为（）

A.B.C.D.

二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）

1.直线LI:x=y=z与直线L2:o

直线L3:o

2.（0.98）2.03时近似值为,sin100日勺近似值为。

3.二重积分0

4、幕级数,。

三、计算题（本题共6小题，每题5分，共30分）

2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1,1,1）处的I切线及法平面方程.

3.计算.

4.问级数

5.将函数f(x)=e3x展成麦克劳林级数

四、应用题(本题共2小题，每题10分，共20分)

1.求表面积为a2而体积最大的长方体体积。

参照答案

一、选择题

l.D2.C3.C4.A5.B6.D7、C8、A9、B

10,A

二、填空题

1.2.0.96,0.17365

3、n4、0,+

5.

三、计算题

2.解：由于x=t,y=t2,z=t3,

因此xt=l,yt=2t,zt=3t2,

因此xjt=i=l,yt|t=i-2,Zt|t=i~3

故切线方程为：

法平面方程为：(x-l)+2(y-1)+3(z-1)=0

即x+2y+3z=6

3.解：由于D由直线y=l,x=2,y=x围成,

因此

D:lWyW2

yWxW2

故：

4.解：这是交错级数，由于

5.解:由于

用2x代x,得：

e"=1+(2x)+《(2x)2+—(2x)3H------\-—(2x)nH—

2!3!rv.

22,23,2"

=l+2x+—r+—x+•-■+—x+■■■

2!3!n!

xe(-oo,+oo)

四、应用题

1.解:设长方体的三棱长分别为x,y,z

贝!I2(xy+yz+zx)=a2

构造辅助函数

F(x,y,z)=xyz+A(2xy+2yz+2zx—a2)

求其对x,y,z的偏导,并使之为0,得：

yz+22(y+z)=0

Y

xz+24(x+z)=0

xy+22(x+y)=0

与2(xy+yz+zx)-a2=0联立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y=z

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=---

6

因此,表面积为a2而体积最大日勺长方体的体积为

2.解:据题意

dM”，

---=-AM

dt

其中外0为常数

初始条件M|,=O=MO

对于也=—,式

dt

M

两端积分得InM+lnC

所以，=ce~k

又因为“|,=0=〃0

所以，MQ=C

At

所以，M=Moe-

由此可知，铀的衰变规律为：铀的含量随时间的增所按指数规律衰减

《高数》试卷4(下)

选择题：口

1.下列平面中过点(1,11)的平面是

(A)x+y+z=O(B)x+y+z=l(C)x=1(D)x=3

2.在空间直角坐标系中，方程表达

(A)圆(B)圆域(C)球面(D)圆柱面

3.二元函数的驻点是

(A)(0,0)(B)(0,1)(C)(1,0)(D)(1,1)

4.二重积分的积分区域D是，则

(A)"(B)4万(C)3万(D)15万

5.互换积分次序后

(A)肌"Gy"(B)fQdy^f{x,y)dx©二哺〃“"(口)]＞。(工y)dx

6.n阶行列式中所有元素都是1,

(A)n(B)0(On!(D)1

8.下列级数收敛的是

2丝(D)f

(C)

9.正项级数和满足关系式，则

(A)若收敛,则收敛(B)若收敛,则收敛

(C)若发散,则发散(D)若收敛,则发散

10.己知：，则的幕级数展开式为

(A)1+x2+x4H—(B)—1+x2—x4H—(C)—1—x2—x4----(D)1—x2+x4

1.填空题：口

数的定义域为

2.若，则

3.已知是时驻点，若则

当时，一定是极小点.

5.级数收敛的必要条件是

1,计算题（一）：□

已知：，求：，.

计算二重积分，其中.

3.已知：XB=A，其中A=,B=，求未知矩阵X.

4.求累级数的收敛区间.

5.求的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）.

1.四.计算题（二）：□

求平面x—2y+z=2和2x+y—z=4的I交线的I原则方程.

参照答案

一.1.C；2.D；3.D；4.D；5.A；6.B；7.B；8.C；9.B；10.D.

三.—.1.2.3.4.275.

1.解：

2.解:

3.解：.

4.解：当伙|〈1时，级数收敛当x=l时，得收敛，

当时，得发散，因此收敛区间为

5.解：.由于，因此

四.1.解：.求直线的方向向量：，求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点为（2,0.0）,因此交线的原则方程为:.

《高数》试卷5（下）

一、选择题（3分/题）

1.已知，，则（）

A0Bi—jCz+jD—i+j

2.空间直角坐标系中表达（）

A圆B圆面C圆柱面D球面

3.二元函数在（0,0）点处的极限是（）

A1B0CooD不存在

4.互换积分次序后=（）

AaBf（x,y）dx

0x

1i1

CaDf（x,y）dx