中考数学考点提升训练：与圆的切线有关的计算与证明

中考数学考点专题提升训练

专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明

类型之一与切线的性质有关的计算或证明

【经典母题】

如图Z12—1,的切线PC交直径A5的延长线于点P,。为切点，若NP

=30°,的半径为1,则尸5的长为.

图Z12-1

【中考变形】

［天津］已知A3是。。的直径，AT是。。的切线，ZABT=50°,BT交。0

于点C,E是A3上一点，延长CE交。。于点D

(1)如图Z12—2①，求NT和NCDB的大小；

(2)如图②，当5石=3。时，求NCDO的大小.

图Z12-2

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中考数学考点专题提升训练

【中考预测】

［宿迁］如图Z12-3,AB与。。相切于点B,BC为。。的弦，0A

与相交于点尸.

(1)求证：AP=AB-,

(2)若。8=4,AB=3,求线段5尸的长.

图Z12-3

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中考数学考点专题提升训练

类型之二与切线的判定有关的计算或证明

【经典母题】

已知：如图Z12—4,A是。。外一点，A0的延长线交。。于点C,点5在圆

上，且=ZA=30°,求证：直线A3是。。的切线.

图Z12-4

【中考变形】

1.［黄石］如图Z12—5,的直径为A3,点。在圆周上(异于A,B),AD±CD.

(1)若BC=3,AB=5,求AC的值；

(2)若AC是的平分线，求证：直线CD是。。的切线.

图Z12-5

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中考数学考点专题提升训练

2.［南充］如图Z12—6,在RtZXACB中，ZACB=90°,以AC为直径作。。交

A3于点，E为的中点，连结。E并延长交AC的延长线点E

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若Cb=2,DF=4,求。。直径的长.

图Z12-6

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【中考预测】

如图Z12-7,AB是。。的直径，点C,D在。。上,ZA=2ZBCD,点E

在A3的延长线上，ZAED=ZABC.

(1)求证：DE与。。相切；

(2)若5尸=2,DF=p,求。。的半径.

图Z12-7

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中考数学考点专题提升训练

小专题提升（十二）与圆的切线有关的计算与证明

类型之一与切线的性质有关的计算或证明

【经典母题】

如图Z12—1,的切线PC交直径A3的延长线于点P,C为切点，若NP

=30°,的半径为1,则尸3的长为一L.

【解析】如答图，连结OC

•：PC为。O的切线,ZPCO=90°,

在R2OCP中,.OC=1,ZP=30°,

：.OP=2OC=2,

..PB=OP-OB=2-1=1.

【思想方法】（1）已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；（2）已知圆

的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直.

【中考变形】

[2017・天津]已知A3是。。的直径，AT是。。的切线，ZABT=5Q°,BT交

于点C,E是A3上一点，延长CE交。。于点D

（1）如图Z12—2①，求NT和NCDB的大小；

（2）如图②，当8石=5。时，求NC。。的大小.

图Z12-2

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中考数学考点专题提升训练

解：(1)如答图①，连结AC,

,「AT是。。的切线，是。。的直径，

.■.AT±AB,即NL4B=90°,

•••ZABT=50°,ZT=90°-ZABT=40°,

由A5是。。的直径，得NACB=90。，

ZCAB=9Q°-ZABC=40°,ZCDB=ZG4B=40°;

中考变形答图①中考变形答图②

(2)如答图②，连结AD,

在aBCE中，BE=BC,ZEBC=5Q°,

AZBCE=ZBEC=65°,：.ZBAD=ZBCD=65°,

"：OA=OD,：.ZODA=ZOAD=65°,

VZADC=ZABC=50°,

ZCDO=ZODA-ZADC=65°—50°=15°.

【中考预测】

[2017・宿迁]如图Z12—3,A5与。。相切于点5,3c为。。的弦,OCLOA,

。4与相交于点尸.

(1)求证：AP=AB；

(2)若08=4,AB=3,求线段5尸的长.

,「AB是。。的切线，.-.OB1AB,

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中考数学考点专题提升训练

NOBA=90°,ZABP+ZOBC=90°,

■.OCLAO,■■■ZAOC=90°,

ZOCB+ZCPO=9Q°,■：ZAPB=ZCPO,

NAPB=ZABP,.-.AP=AB-

(2)如答图,作。于。在Rt2XOAB中,-OB=4,AB=3,

.•.04=432+42=5,■■-AP=AB=3,

.-PO=2.

在RtaPOC中，PC=d（）C2+OP2=2&

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•••2PC•OH=210c•OP,

.OP•OC4J5

-0H==5'

/-------------8J5

CH={OC2-O〃2=g,

■.'OHIBC,:.CH=BH,：.BC=2CH='6，,

■■.BP=BC-PC=熟一24=6s

类型之二与切线的判定有关的计算或证明

【经典母题】

已知：如图Z12—4,A是。。外一点，AO的延长线交。。于点C,点3在圆

上，^.AB=BC,ZA=30°,求证：直线A3是。。的切线.

图Z12-4经典母题答图

证明：如答图，连结08,

：OB=OC,AB=BC,NA=30°,

NOBC=ZC=ZA=30°,

ZAOB=ZC+ZOBC=60°.

ZABO=180°-(ZAOB+ZA)=180°-(60°+30°)=90°,

..ABIOB,又•.'OB为。。半径，」.AB是。。的切线.

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中考数学考点专题提升训练

【思想方法】证明圆的切线常用两种方法”作半径，证垂直”或者“作垂

直，证半径”.

【中考变形】

1.[2016•黄石]如图Z12—5,的直径为点。在圆周上(异于A,B),AD

LCD.

(1)若BC=3,AB=5,求AC的值；

(2)若AC是ND4B的平分线，求证：直线CD是。。的切线.

图Z12—5中考变形1答图

解：是。。直径，C在。。上，

ZACB=90°,又,.•JBC=3,AB=5,

「•由勾股定理，得AC=4;

(2)证明：如答图，连结OC,

■■-AC^ZDAB的平分线，

ZDAC=ZBAC,

又\'AD±DC,ZADC=ZACB=90°,

AADC^AACB,ZDCA=ZCBA,

又,：OA=OC,ZOAC=ZOCA,

•••ZOAC+ZOBC=90°,ZOCA+ZACD=ZOCD=90°,

「•直线CD是。。的切线.

2.[2017.南充]如图Z12—6,在RtZVLCB中，ZACB=90°,以AC为直径作。O

交A3于点。，E为的中点，连结DE并延长交AC的延长线点E

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若CT=2,DF=4,求。。直径的长.

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中考数学考点专题提升训练

图Z12—6中考变形2答图

【解析】⑴连结0D,欲证DE是。。的切线，WiiOD±DE,即需证NODE

=90°，而ZACB=90°,连结CD,根据“等边对等角”可知NODE=ZOCE

=90°,从而得证；

(2)在R2OD歹中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解.

解：(1)证明：如答图，连结ODCD.

,「AC是。。的直径，.■.ZADC=90°.

ZBDC=90°.又为的中点,

；.DE=；BC=CE,ZEDC=ZECD.

：OD=OC,ZODC=ZOCD.

NEDC+ZODC=ZECD+ZOCD=ZACB=90°.

「.NODE=90°,;.DE是。。的切线；

(2)设。。的半径为x.在Rt△ODF中，+。户=OF2,

即/+42=(x+2)2,解得x=3..,.QO的直径为6.

【中考预测】

如图Z12-7,AB是。。的直径，点C,D在。。上，=点E

在A3的延长线上，ZAED=ZABC.

(1)求证：DE与。。相切；

(2)若3尸=2,DF=yfT6,求。。的半径.

图Z12—7中考预测答图