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文档简介

2025年吉林省松原市乾安县七中高三下学期3月初态考试数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,满足约束条件,则的最大值是()A. B. C. D.2.已知,则的值构成的集合是()A. B. C. D.3.的展开式中的一次项系数为()A. B. C. D.4.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策,某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图,其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户,则下列说法错误的是()A.该市总有15000户低收入家庭B.在该市从业人员中,低收入家庭共有1800户C.在该市无业人员中,低收入家庭有4350户D.在该市大于18岁在读学生中,低收入家庭有800户5.设a=log73,,c=30.7,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.6.“”是“函数(为常数)为幂函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.一个正三棱柱的正(主)视图如图,则该正三棱柱的侧面积是()A.16 B.12 C.8 D.68.已知定义在上的奇函数和偶函数满足(且),若,则函数的单调递增区间为()A. B. C. D.9.已知函数,若时,恒成立,则实数的值为()A. B. C. D.10.在中,是的中点,,点在上且满足,则等于()A. B. C. D.11.已知函数在上单调递增,则的取值范围()A. B. C. D.12.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为A. B. C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若变量,满足约束条件则的最大值为________.14.如图,已知,,为的中点,为以为直径的圆上一动点,则的最小值是_____.15.已知多项式满足,则_________,__________.16.若函数的图像上存在点,满足约束条件,则实数的最大值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y﹣29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(﹣2,4),若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.18.(12分)已知圆O经过椭圆C:的两个焦点以及两个顶点,且点在椭圆C上.求椭圆C的方程;若直线l与圆O相切,与椭圆C交于M、N两点,且,求直线l的倾斜角.19.(12分)在直角坐标系x0y中,把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;(2)设点M在上,点N在上,求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.20.(12分)已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a,b,c,且3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C.(1)求cosC的值;(2)若a=3,c,求△ABC的面积.21.(12分)已知关于的不等式解集为().(1)求正数的值;(2)设,且,求证:.22.(10分)设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)如果对所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知数列中,,且,若数列的前n项和为,求证:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

作出不等式对应的平面区域,由目标函数的几何意义,通过平移即可求z的最大值.【详解】作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线:在可行域内平移当过点时,取得最大值.由得:,故选:D本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,属于基础题.2.C【解析】

对分奇数、偶数进行讨论,利用诱导公式化简可得.【详解】为偶数时,;为奇数时,,则的值构成的集合为.本题考查三角式的化简,诱导公式,分类讨论,属于基本题.3.B【解析】

根据多项式乘法法则得出的一次项系数,然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论.【详解】由题意展开式中的一次项系数为.故选:B.本题考查二项式定理的应用,应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数.同时本题考查了组合数公式.4.D【解析】

根据给出的统计图表,对选项进行逐一判断,即可得到正确答案.【详解】解:由题意知,该市老年低收入家庭共有900户,所占比例为6%,则该市总有低收入家庭900÷6%=15000(户),A正确,该市从业人员中,低收入家庭共有15000×12%=1800(户),B正确,该市无业人员中,低收入家庭有15000×29%%=4350(户),C正确,该市大于18岁在读学生中,低收入家庭有15000×4%=600(户),D错误.故选:D.本题主要考查对统计图表的认识和分析,这类题要认真分析图表的内容,读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.5.D【解析】

,,得解.【详解】,,,所以,故选D比较不同数的大小,找中间量作比较是一种常见的方法.6.A【解析】

根据幂函数定义,求得的值,结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【详解】∵当函数为幂函数时,,解得或,∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选:A.本题考查了充分必要条件的概念和判断,幂函数定义的应用,属于基础题.7.B【解析】

根据正三棱柱的主视图,以及长度,可知该几何体的底面正三角形的边长,然后根据矩形的面积公式,可得结果.【详解】由题可知:该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形,所以该正三棱柱的侧面积为故选:B本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识,关键在于求得底面正三角形的边长,掌握一些常见的几何体的三视图,比如:三棱锥,圆锥,圆柱等,属基础题.8.D【解析】

根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式,进而求出,再根据复合函数的单调性,即可求出结论.【详解】依题意有,①,②①②得,又因为,所以,在上单调递增,所以函数的单调递增区间为.故选:D.本题考查求函数的解析式、函数的性质,要熟记复合函数单调性判断方法,属于中档题.9.D【解析】

通过分析函数与的图象,得到两函数必须有相同的零点,解方程组即得解.【详解】如图所示,函数与的图象,因为时,恒成立,于是两函数必须有相同的零点,所以,解得.故选:D本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题,考查不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.B【解析】

由M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足可得:P是三角形ABC的重心,根据重心的性质,即可求解.【详解】解:∵M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故选B.判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法:①定义:三条中线的交点.②性质:或取得最小值③坐标法:P点坐标是三个顶点坐标的平均数.11.B【解析】

由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.12.A【解析】由给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为一个直角三角形,且两直角边分别为和,所以底面面积为高为的三棱锥,所以三棱锥的体积为,故选A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.7【解析】

画出不等式组表示的平面区域,数形结合,即可容易求得目标函数的最大值.【详解】作出不等式组所表示的平面区域,如下图阴影部分所示.观察可知,当直线过点时,有最大值,.故答案为:.本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划,主要考查推理论证能力以及数形结合思想,属基础题.14.【解析】

建立合适的直角坐标系,求出相关点的坐标,进而可得的坐标表示,利用平面向量数量积的坐标表示求出的表达式,求出其最小值即可.【详解】建立直角坐标系如图所示:则点,,,设点,所以,由平面向量数量积的坐标表示可得,,其中,因为,所以的最小值为.故答案为:本题考查平面向量数量积的坐标表示和利用辅助角公式求最值;考查数形结合思想和转化与化归能力、运算求解能力;建立直角坐标系,把表示为关于角的三角函数,利用辅助角公式求最值是求解本题的关键;属于中档题.15.【解析】∵多项式满足∴令,得,则∴∴该多项式的一次项系数为∴∴∴令,得故答案为5,7216.1【解析】由题知x>0,且满足约束条件的图象为由图可知当与交于点B(2,1),当直线过B点时,m取得最大值为1.点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(2)(x﹣2)2+y2=2.(2)().(3)存在,【解析】

(2)设圆心为M(m,0),根据相切得到,计算得到答案.(2)把直线ax﹣y+5=0,代入圆的方程,计算△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0得到答案.(3)l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,过点M(2,0),计算得到答案.【详解】(2)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,所以,即|4m﹣29|=2.因为m为整数,故m=2.故所求圆的方程为(x﹣2)2+y2=2.(2)把直线ax﹣y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程,消去y,整理得(a2+2)x2+2(5a﹣2)x+2=0,由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,故△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0,即22a2﹣5a>0,由于a>0,解得a,所以实数a的取值范围是().(3)设符合条件的实数a存在,则直线l的斜率为,l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,由于l垂直平分弦AB,故圆心M(2,0)必在l上,所以2+0+2﹣4a=0,解得.由于,故存在实数使得过点P(﹣2,4)的直线l垂直平分弦AB.本题考查了直线和圆的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力.18.(1);(2)或【解析】

(1)先由题意得出,可得出与的等量关系,然后将点的坐标代入椭圆的方程,可求出与的值,从而得出椭圆的方程;(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论,当直线的斜率不存在时,可求出,然后进行检验;当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,设点,先由直线与圆相切得出与之间的关系,再将直线的方程与椭圆的方程联立,由韦达定理,利用弦长公式并结合条件得出的值,从而求出直线的倾斜角.【详解】(1)由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点,所以椭圆焦距等于短轴长,可得,又点在椭圆上,所以,解得,即椭圆的方程为.(2)圆的方程为,当直线不存在斜率时,解得,不符合题意;当直线存在斜率时,设其方程为,因为直线与圆相切,所以,即.将直线与椭圆的方程联立,得:,判别式,即,设,则,所以,解得,所以直线的倾斜角为或.求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组,解出,从而写出椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.19.(1)的普通方程为,的直角坐标方程为.(2)最小值为,此时【解析】

(1)由的参数方程消去求得的普通方程,利用极坐标和直角坐标转化公式,求得的直角坐标方程.(2)设出点的坐标,利用点到直线的距离公式求得最小值的表达式,结合三角函数的指数求得的最小值以及此时点的坐标.【详解】(1)由题意知的参数方程为(为参数)所以的普通方程为.由得,所以的直角坐标方程为.(2)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值即为到的距离,因为.当且仅当时,取得最小值为,此时的直角坐标为即.本小题主要考查参数方程化为普通方程,考查极坐标方程化为直角坐标方程,考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题,属于中档题.20.(1);(2)或.【解析】

(1)利用正弦定理对已知代数式化简,根据余弦定理求解余弦值;(2)根据余弦定理求出b=1或b=3,结合面积公式求解.【详解】(1)已知等式3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C,利用正弦定理化简得:3a2+3b2﹣3c2=4ab,即a2+b2﹣c2ab,∴cosC;(2)把a=3,c,代入3a2+3b2﹣3c2=4ab得:b=1或b=3,∵cosC,C为三角形内角,∴sinC,∴S△ABCabsinC3×bb,则△ABC的面积为或.此题考查利用正余弦定理求解三角形,关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化,利用余弦定理求解边长,根据面积公式求解面积.21.(1)1;(2)证明见解析.【解析】

(1)将不等式化为,求解得出,根据解集确定正数的值;(2)利用基本不等式以及不等式的性质,得出,,,三式相加,即可得证.【详解】(1)解:不等式,即不等式∴,而,于是依题意得(2)证明:由(1)知,原不等式可化为∵,∴,同理,三式相加得,当且仅当时取等号综上.本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围以及基本不等式的应用,属于中档题.22.(Ⅰ)函数在上单调递减,在单调递增;(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析.【解析】

(Ⅰ)先求出函数f(x)的导数,通过解关于导数的不等式,从而求出函数的单调区间;(Ⅱ)设g(x)=f(x)﹣ax,先求出函数g(x)的导数,通过讨论a的范围,得到函数的单调

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