级变化率问题

引言我们这一章研究的内容是导数及其应用问题导数是什么样的数？是以怎样的方式存在的？

导数就是用来体现某个变量相对于另一个变量变化的快慢情况的数这样的数在我们日常生活中是随处可见先考查下列几个问题2某市某年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”问题一：气温问题时间4月18日4月19日4月20日日最高气温18.6℃24.4℃33.4℃一、新课教学

而该市3月18日——4月20日的温度T（℃）相对于时间t（天）的变化情况，用曲线图表示为：3

t(天)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210（注：3月18日为第一天）

试问：“天气热得快与慢”数学上该如何来刻画？时间4月18日4月19日4月20日日最高气温18.6℃24.4℃33.4℃热得太快几天4t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210（注：3月18日为第一天）

解答方案：从A、B、C三点所表示气温情况分别计算AB、BC段温差15.10C14.80C结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线:5t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210

问题：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？（注：3月18日为第一天）6

曲线AB、BC段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度？t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210

(1)连结BC两点的直线斜率为kBC=7t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210(2)由此联想用比值近似地量化BC这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在[32，34]上的平均变化率。(3)分别计算气温在区间[1，32][32，34]的平均变化率0.57.48

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是

如果将半径r表示为体积V的函数,那么

吹气球时，如果细细体会气球的膨胀过程，会有什么发现？问题二气球膨胀问题

随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加会变得越来越慢.怎样从数学角度描述这种现象?9可见0.62>0.16

随着气球体积逐渐变大,气球的平均膨胀率逐渐变小。请用用一句话描述得到的结论这就说明：10思考：一般地，当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题3高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:11思考，我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况?hto平均速度平均速度实质就是运动员在某段时间内的位移对于时间的平均变化率，在物理上叫平均速度12在哪段时间里运动的较快？计算131）上述三个实际问题有什么共同特征？2）能得到什么样的结论？问题14观察函数f(x)的图象平均变化率表示：OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率几何意义15T(月)W(kg)639123.56.58.611

例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。解：从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化率为从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化率为你能说出这两个平均变化率的实际意义吗？

比较它们的实际意义，你能从中得出什么结论？

你还有其它的方法得出这样的结论吗？二、相关运用16例2、已知函数分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上及的平均变化率。

思考：y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？17

请分别计算出下面两个图象表示的函数h(t)在区间[0，3]上的平均变化率。OthAOthB13101031观察这三个数据你有什么发现？OthC1031练习18三．课堂小结三个实际变化率问题函数的平均变化率代数表示意义（实际、几何）瞬时速度平均速度思想方法从特殊到一般如何求