2.4.2直线与圆锥曲线的综合问题课件高二上学期数学北师大版选择性

4.2直线与圆锥曲线的综合问题第二章圆锥曲线北师大版

数学

选择性必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.能从方程联立的角度理解直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系(相交、相切、相离).2.会求有关圆锥曲线的弦长、过焦点的弦、中点弦等问题.3.逐步学会直线与圆锥曲线的综合性问题(定点、定值、最值、存在性等问题).基础落实·必备知识一遍过知识点1

直线与圆锥曲线的位置关系1.从几何角度看,可分为三类:没有公共点,仅有一个公共点及有两个不同的公共点.2.从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断直线与圆锥曲线的位置关系.设直线l的方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0),圆锥曲线方程f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.(1)若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线对称轴平行(或重合).(2)若a≠0,设Δ=b2-4ac.当Δ

0时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点;

当Δ

0时,直线和圆锥曲线相切于一点;

当Δ

0时,直线和圆锥曲线没有公共点.

名师点睛在使用根的判别式判断位置关系时一定注意讨论二次项系数是否为0,点斜式设直线时注意考虑斜率是否存在.>=<自主诊断1.[人教B版教材习题]举例说明,直线与抛物线只有一个公共点不是它们相切的充分条件.解

例如抛物线y2=4x与直线y=1只有一个公共点,但它们相交.2.[人教B版教材习题]已知直线l:y=kx+2和椭圆C:=1.分别求直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时k的取值范围.知识点2

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题1.斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|=

或|P1P2|=

.

2.当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(用两点间的距离公式).3.焦点弦:过圆锥曲线焦点的弦叫作焦点弦.4.通径:若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴,此时焦点弦也叫通径.名师点睛当直线的斜率不存在时,不能用弦长公式解决问题,此时思考辨析已知直线l:y=kx+m上两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的长度如何表示?自主诊断[人教B版教材习题]已知直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A,B两点,求线段AB的长.知识点3

圆锥曲线的中点弦问题

点差法是解决“中点弦”问题的特殊方法名师点睛因为Δ>0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必要检验Δ>0.自主诊断1.[人教B版教材习题]已知斜率为2的直线AB过抛物线y2=8x的焦点,求弦AB的长.2.[人教B版教材习题]已知直线l:y=x-3与抛物线C:x2=-8y相交于A,B两点,且O为坐标原点.(1)求弦长|AB|以及线段AB的中点坐标;(2)判断

是否成立,并说明理由.重难探究·能力素养速提升探究点一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】

(1)若直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为(

)A.1 B.1或3 C.0 D.1或0D解析

由

得k2x2+(4k-8)x+4=0.若k=0,则直线为y=2,与抛物线只有一个公共点,符合题意.若k≠0,则Δ=0,即64-64k=0,解得k=1,所以直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点时,k=0或1.(2)已知直线y=kx-k+1与椭圆C:x2+my2=3恒有公共点,则实数m的取值范围是

.

(0,1)∪(1,2]

解析

∵曲线x2+my2=3表示椭圆,∴m>0且m≠1,由题意可知直线恒过定点(1,1),且该点在椭圆内或在椭圆上,所以有1+m≤3,解得m≤2,∴m的取值范围为(0,1)∪(1,2].规律方法

直线与圆锥曲线位置关系的判断方法用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数,可以研究直线与圆锥曲线的位置关系,即用代数法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方法,直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题,实际上是研究方程组解的个数问题.A(2)已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x2-x1的最小值为(

)A探究点二圆锥曲线中的弦长、中点弦问题角度1.弦长问题【例2】

(1)经过抛物线y2=4x的焦点的直线l交该抛物线于M,N两点,则|MN|的取值范围为

.

[4,+∞)解析

由题意知,抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1.设M(x1,y1),N(x2,y2),则由抛物线的定义可知|MN|=|MF|+|NF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2.(方法一)当过焦点F(1,0)的直线斜率不存在时,直线的方程为x=1,此时|MN|=4.当过焦点F(1,0)的直线斜率存在时,显然斜率不为0,设直线的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入y2=4x,消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ>0显然成立.则x1+x2=,所以|MN|=x1+x2+2=4+>4.综上,|MN|的取值范围为[4,+∞).(方法二)直线MN的斜率不为0,故设直线MN的方程为x=my+1,m∈R.将其代入y2=4x,消去x,整理得y2-4my-4=0,Δ>0显然成立,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.所以|MN|=x1+x2+2=[(y1+y2)2-2y1y2]+2=4m2+4≥4.即|MN|的取值范围为[4,+∞).①求椭圆的方程;3★(2)斜率为1的直线l与椭圆

+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为

.

角度2.中点弦问题【例3】

(1)已知双曲线C:=1(a>0,b>0),斜率为1的直线与C交于两点A,B,若线段AB的中点为(4,1),则双曲线C的渐近线方程是(

)B(2)已知P(1,1)为椭圆

=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为

.

x+2y-3=0解析

(方法一)易知此弦所在直线的斜率存在,∴设其方程为y-1=k(x-1),弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2).(方法二)易知此弦所在直线的斜率存在,∴设斜率为k,弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,规律方法

处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解.(2)已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,求线段AB的中点坐标.探究点三圆锥曲线中的定点或定值问题角度1.定点问题【例4】

已知椭圆

=1(a>b>0)过点(0,1),其长轴长与短轴长的平方和是焦距的平方的2倍.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q,P,与椭圆分别交于点M,N,各点均不重合且满足(1)求椭圆的标准方程;(2)若λ1+λ2=-3,试证明:直线l过定点,并求此定点.(1)解

设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又a2=b2+c2,∴a2=3.∴椭圆的标准方程为

+y2=1.规律方法

定点问题的探索与证明(1)探索直线过定点时,可先设直线方程为y=kx+b,再利用条件建立b,k的等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点P是直线x=1上的动点,直线PA与椭圆的另一交点为M,直线PB与椭圆的另一交点为N.求证:直线MN经过一定点.角度2.定值问题【例5】

如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2.证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.(1)证明

依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,(2)解

依题设,切线l的斜率存在且不等于0.设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),将其代入x2=4y,得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0.由Δ=0,得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.

规律方法

求定值问题常见的两种方法(1)先从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.变式训练5已知A(1,2)为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,E,F为抛物线上异于点A的两点,且直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数.(1)求直线EF的斜率;(2)由题意可设直线l的方程为l:x=ty+m,P(x3,y3),Q(x4,y4),N(-m,0),把直线l的方程代入y2=4x,得y2-4ty-4m=0,所以y3+y4=4t,y3y4=-4m.探究点四圆锥曲线中的最值或范围问题【例6】

在平面直角坐标系xOy中,△ABC的周长为12,AB,AC边的中点分别为F1(-1,0)和F2(1,0),点M为BC边的中点.(1)求点M的轨迹方程;(2)设点M的轨迹为曲线T,直线MF1与曲线T另一个交点为N,线段MF2中点规律方法

圆锥曲线中最值与范围的求法有两种:(1)求椭圆的方程;(2)过点(1,0)的直线l与C交于M,N两点,P为线段MN的中点,A为C的左顶点,求直线PA的斜率k的取值范围.学以致用·随堂检测促达标12345678910A级必备知识基础练A1112131415123456789102.[探究点二(角度2)]已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(

)A.x=1 B.x=-1C.x=2 D.x=-2B11121314151234567891011121314153.[探究点一]直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是(

)B1234567891011121314154.[探究点二(角度1)]过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,且|AB|=8,那么抛物线方程为(

)A.y2=2x B.y2=4x C.y2=8x D.y2=6xB1234567891011121314155.

[探究点四]过双曲线

=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为

.

1234567891011121314156.[探究点三]已知动圆过定点A(0,2),且在x轴上截得的弦长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹方程C;(1)解

设动圆圆心为M(x,y),则x2+(y-2)2-4=y2,化简得x2=4y.123456789101112131415123456789101112131415AB级关键能力提升练123456789101112131415123456789101112131415C123456789101112131415D123456789101112131415123456789101112131415C12345678910111213141512345