8.8直线与圆锥曲线的位置关系

8.8直线与圆锥曲线的位置关系课标要求素养达成精细考点能够运用代数的方法研究直线与圆锥曲线之间的基本关系;能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题,进一步体会数形结合思想直线与圆锥曲线的位置关系通过判定直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系,培养数学运算、直观想象素养切线问题通过求切线问题,培养数学运算素养弦长与中点弦问题通过解决弦长与中点弦问题,培养逻辑推理、数学运算素养1.(概念辨析)(多选)下面结论正确的有().A.直线与圆相交的充要条件是它们有两个公共点B.直线与圆锥曲线相离的充要条件是它们没有一个公共点C.直线与圆锥曲线相切的充分条件是它们只有一个公共点D.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们有两个公共点2.(对接教材)已知双曲线C:x23y2=1,直线l:x3y1=0,则直线l与双曲线C的公共点的坐标为3.(对接教材)若直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,且线段AB的中点的横坐标为2,则线段AB的长为.

4.(易错自纠)若直线y=x+2与椭圆x2m+A.(∞,0)∪(1,+∞) B.(1,+∞)C.(3,+∞) D.(1,3)∪(3,+∞)5.(真题演练)(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2y2A.(1,1) B.(1,2) C.(1,3) D.(1,4)直线与圆锥曲线的位置关系典例1已知双曲线2x2y2=1,讨论直线y=kx+2(k为实数)与双曲线公共点的个数.变式已知直线y=kx+2与双曲线2x2y2=1的左支交于不同的两点,求实数k的取值范围.1.判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线与椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数,2个时相交,1个时相切,0个时相离.(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有公共点.2.判断直线与双曲线的位置关系的方法(1)当直线方程与双曲线方程组成的方程组解的个数为0个时相离,为2个时相交.(2)当直线方程与双曲线方程组成的方程组解的个数为1个时要分为两种情况:①当消元后二次项的系数不为0时,相切;②当消元后二次项的系数为0(即直线与渐近线平行)时,相交.3.判断直线与抛物线的位置关系的方法(1)当直线方程与抛物线方程组成的方程组解的个数为0个时相离,为2个时相交.(2)当直线方程与抛物线方程组成的方程组解的个数为1个时要分为两种情况:①当消元后二次项的系数不为0时,相切;②当消元后二次项的系数为0(即直线与对称轴平行或重合)时,相交.训练1(1)过点M(0,1)且和抛物线C:y2=4x仅有一个公共点的直线方程为.

(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△FA.23 B.23 C.23 切线问题典例2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F(1)求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明1kk11.处理切线问题的一般方法就是联立方程组,消元后判别式为0.2.若P(x0,y0)是圆锥曲线C上的一点,则过点P的C的切线l的方程为:(1)当C为椭圆x2a2+y2b(2)当C为双曲线x2a2y2(3)当C为抛物线y2=2px(p>0)时,l为y0y=2px0注:(1)当P在圆锥曲线C外时,l为切点弦方程;(2)当P在圆锥曲线C内时,l为切点弦过P点的点的轨迹方程.训练2过直线y=2上任意一点作抛物线y=2x2的切线,切点分别为A,B,若已知直线AB过定点,则该定点的坐标为.

弦长与中点弦问题典例3已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别相交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=21.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解;(2)当直线的斜率存在且不为0时,可利用弦长公式求解;(3)焦点弦还可以用焦点弦长公式求解.2.处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线的方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,y1(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.训练3(1)直线y=ax+1与双曲线3x2y2=1相交于A,B两点,则用a表示AB的长为.

(2)若椭圆x24+y2非对称韦达定理在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若Δ>0,设它的两个根分别为x1,x2,则有根与系数关系:x1+x2=ba,x1x2=ca,借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理|x1x2|,1x1+1x2,x12+典例已知点A,B分别是椭圆Γ:x24+y23=1的左、右顶点,过Γ的右焦点F作直线l交Γ于M,N两点(不与A,B重合),设直线AM,BN的斜率分别为k1,k非对称韦达定理问题的处理策略,主要是局部消元、逆用韦达定理等处理方法.方法一:和积转换,将两根之积(之和)用两根之和(之积)表示,从而达到消元或约分的目的,其中和积关系式可以用待定系数法,令y1y2=λ(y1+y2)+μ(λ,μ是只与常数和参数有关)求得;方法二:配凑局部代换,根据结构形式,配凑成局部符合韦达定理进行代换,转化成只含某一个根的形式,从而达到消元或约分目的;方法三:运用性质对称转换,通过圆锥曲线中已有的性质,将目标函数转换成对称式,从而可以使用韦达定理;方法四:逆向运用韦达定理求坐标,通过韦达定理用一个坐标表示另一个坐标,达到消元目的,要注意最值只保留一个根,且要注意消元后所得的一元二次方程的运用.训练已知A,B分别为椭圆E:x29+y一、单选题1.直线y=32x+2与双曲线x2A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定2.直线y=kxk+1与椭圆x29+A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定3.设经过点F(1,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|=().A.6 B.8 C.10 D.124.椭圆x2a2+yA.12 B.32 C.22 二、多选题5.设椭圆的方程为x22+A.若直线方程为y=x+2,则|AB|=423C.直线AP与AQ可能垂直D.直线AB与PQ可能垂直6.已知双曲线C:x2y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线yA.p=4 B.△F1PF2的周长为16C.△F1PF2的面积为26 D.cos∠F1PF2=6三、填空题7.已知直线l与双曲线C:x2y2=2的两条渐近线分别交于A,B两点,若AB的中点M在双曲线C上,O为坐标原点,则△AOB的面积为.

8.椭圆C:x216+y29四、解答题9.在平面直角坐标系xOy中