山东省潍坊市2025届高三数学模拟二模试题含解析

PAGE28-山东省潍坊市2025届高三数学模拟（二模）试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则A∩∁UB＝（）A.{1，4} B.{1，4，5} C.{4，5} D.{6，7}【答案】C【解析】【分析】依据补集与交集的定义，计算即可．【详解】集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，7}，所以∁UB＝{1，4，5}，又A＝{2，3，4，5}，所以A∩∁UB＝{4，5}．故选：C．【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，基础题．2.若复数在复平面内对应的点在其次象限内，则实数a的值可以是（）A.1 B.0 C.﹣1 D.﹣【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解a的范围即可.【详解】∵又因为复数在复平面内对应的点在其次象限内，∴，得﹣1＜a＜1．∴实数a的值可以是0．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，依据以上状况，下列推断正确的是（）A.甲是律师，乙是医生，丙是记者B.甲是医生，乙是记者，丙是律师C.甲是医生，乙是律师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师【答案】C【解析】【分析】由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生.【详解】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而解除B和D；由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相冲突），从而乙是律师，甲是医生．故选：C.【点睛】本题考查简洁的合情推理，考查推理论证实力、总结归纳实力，考查化归与转化思想，是基础题.4.以抛物线的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据抛物线的焦点和准线得到圆心和半径，进一步到圆的方程.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，圆与E的准线相切，则，故圆方程为：.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的焦点和准线，圆方程，意在考查学生的计算实力和转化实力.5.设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex﹣cosx，则不等式f（2x﹣1）+f（x﹣2）＞0的解集为()A.（﹣∞，1） B.（﹣∞，） C.（，+∞） D.（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】由函数的解析式求出其导数，分析可得f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性分析可得f（x）在R上为增函数，据此可得原不等式等价于2x﹣1＞2﹣x，解出x的取值范围，即可得答案．【详解】由题知，当x≥0时，f（x）＝ex﹣cosx，此时有＝ex+sinx＞0，则f（x）在[0，+∞）上为增函数，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间（﹣∞，0]上也为增函数，故f（x）在R上为增函数.由f（2x﹣1）+f（x﹣2）＞0，可得f（2x﹣1）＞﹣f（x﹣2），而函数f（x）为奇函数，可得到f（2x﹣1）＞f（2﹣x），又f（x）在R上为增函数，有2x﹣1＞2﹣x，解得x＞1，即不等式的解集为（1，+∞）.故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题．6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为()A.94 B.95 C.96 D.【答案】B【解析】【分析】设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈[90，100]，由题可得n+（n+1）+（n+2）++（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，解出n的取值范围，依据年龄为整数可得n的取值范围，再代入可得m的值．【详解】依据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈[90,100]，则有n+（n+1）+（n+2）++（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，则有19n+m＝1349，则m＝1349﹣19n，所以90≤1349﹣19n≤100，解得，因为年龄为整数，所以n＝66，则m＝1349﹣19×66＝95.故选：B【点晴】本题考查阅读理解实力，涉及等差数列的性质，属于中档题．7.在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易得出AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，设球心为O，则OB＝OC＝OD，BO⊥AD，BO⊥OC，从而BO⊥平面ACD，由此能求出四面体ABCD的体积．【详解】在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，设球心为O，则O为AD的中点，∴AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，OB＝OC＝OD，BO⊥AD，BO⊥OC，∴BO⊥平面ACD，∴四面体ABCD的体积为：VB﹣ACD．故选：B【点晴】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，属中档题．8.已知O为坐标原点，双曲线C：右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限），点B在双曲线C的渐近线上，且BF∥OA，若，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】设双曲线的半焦距为c，利用题设条件分别求出A、B的坐标，再利用得到a与c的关系式，即可求出离心率．【详解】如图所示，设双曲线的半焦距为c，渐近线方程为：y＝±，则点F（c，0），A（c，），设点B（x0，），∵BF∥OA，∴，即，解得：x0，所以∴，又∵，∴0，即a2＝3b2．∵c2＝a2+b2，∴a2＝3（c2﹣a2），即3c2＝4a所以离心率e．故选：A．【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了求双曲线的离心率，考查了平面对量的数量积的坐标运算，属于基础题．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很平安依据14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2024年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，依据如图可知在2010﹣2024年中（）A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大C.2024年﹣2024年我国粮食年产量相对稳定D2024年我国人均粮食年产量达到了最高峰【答案】BCD【解析】【分析】细致视察2010﹣2024年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，利用条形图中的数据干脆求解．【详解】由中国国家统计局网站中2010﹣2024年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，知：对于A，我国粮食年产量在2010年至2024年逐年递增，在2024年至2024年基本稳定在66千万吨左右，2024年，2024年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故A错误；对于B，由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，约为5%，故B正确；对于C，在2024年至2024年基本稳定在66千万吨以上，故C正确；对于D，2024年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48吨/人，故D正确．故选：BCD【点睛】本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解实力，是基础题．10.若，则下列不等式中肯定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】对于A：构造函数，由函数在上的单调性进行比较；对于B：构造函数，由函数在上单调性进行比较；对于C：由于，则，但不确定与1的大小关系，无法推断大小；对于D：易知，，由指数函数的单调性进行推断即可.【详解】由函数在上为增函数可知，当时，，故选项A错误；由函数在上为增函数可知，当时，，即，故选项B正确；由于，则，但不确定与1大小关系，故与0的大小关系不确定，故选项C错误；由可知，，,而，则，故选项D正确．故选：BD．【点睛】本题考查实数的大小比较，考查函数思想的运用，属于基础题．11.在单位圆O：x2+y2＝1上任取一点P（x，y），圆O与x轴正向的交点是A，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ，记x，y关于θ的表达式分别为x＝f（θ），y＝g（θ），则下列说法正确的是（）A.x＝f（θ）是偶函数，y＝g（θ）是奇函数B.x＝f（θ）在为增函数，y＝g（θ）在为减函数C.f（θ）+g（θ）≥1对于恒成立D.函数t＝2f（θ）+g（2θ）的最大值为【答案】AC【解析】【分析】，由题可知，，，依据正弦函数和余弦函数的奇偶性，可推断选项；，依据正弦函数和余弦函数的单调性，可推断选项；，先利用协助角公式可得，再结合正弦函数的值域即可得解；，，，，先对函数求导，从而可知函数的单调性，进而可得当，时，函数取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】解：由题可知，，，即正确；在上为增函数，在上为减函数；在上为增函数，即错误；，，，，即正确；函数，则，令，则；令，则，函数在和上单调递增，在上单调递减，当即，时，函数取得极大值，为，又当即，时，，所以函数的最大值为，即错误．故选：．【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数的单调性和奇偶性，三角恒等变换，利用导数求函数的单调性与最值等，考查学生敏捷运用学问的实力、推理论证实力和运算实力，属于中档题．12.如图，平面α∩平面β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列推断正确的是（）A.若ABCD，则MNlB.若M，N重合，则AClC.若AB与CD相交，且ACl，则BD可以与l相交D.若AB与CD是异面直线，则MN不行能与平行【答案】BD【解析】【分析】由若两两相交的平面有三条交线，交线要么相交于一点，要么相互平行判定、、；用反证法证明．【详解】解：若，则、、、四点共面，当时，平面、、两两相交有三条交线，分别为、、，则三条交线交于一点，则与平面交于点，与不平行，故错误；若，两点重合，则，、、、四点共面，平面、、两两相交有三条交线，分别为、、，由，得，故正确；若与相交，确定平面，平面、、两两相交有三条交线，分别为、、，由，得，故错误；当，是异面直线时，如图，连接，取中点，连接，．则，，，则，假设，，，，又，平面，同理可得，平面，则，与平面平面冲突．假设错误，不行能与平行，故正确．故选：．【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象实力与思维实力，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为，，则物体的重力大小为_________N.【答案】20【解析】【分析】依据力的平衡有,两边平方后可求出.【详解】由题意知.的夹角为.所以.所以.所以.故答案为:20.【点睛】向量的数量积的两个应用：(1)计算长度或模长，通常用；(2)计算夹角，.特殊地，两非零向量垂直的充要条件时.14.已知，则tanα＝_____．【答案】3【解析】【分析】由题可知，所以，利用同角三角函数的平方关系可求得其值，再采纳拼凑角的方法，，并结合正弦的两角和公式求出其值，再一次利用平方关系，求出的值，最终利用商数关系即可得解．【详解】解：，且，，，，，，．故答案为：3．【点睛】本题考查三角恒等变换的混合运算，视察角之间的联系，运用拼、凑角是解题的关键，考查学生的运算实力，属于基础题．15.植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参与植树活动，打算在一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A、B、C分别与E、F、G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必需种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．【答案】36【解析】【分析】先选四个位置上的重复树苗有种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题．【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种，，，四个位置，有且仅有一种树苗重复，有种选法；在四个位置上种植有种方法，则由乘法原理得种方法．故答案为：36．【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避开探讨，简化计算．属于中档题．16.已知函数则x∈[﹣1，e]时，f（x）的最小值为_____；设g（x）＝[f（x）]2﹣f（x）+a若函数g（x）有6个零点，则实数a的取值范围是_____．【答案】(1).﹣4(2).（0，）【解析】【分析】依据各段函数的单调性分别求出各段的最小值或者下确界，即可求出，时，的最小值；令，依据题意再结合函数的图象，以及的图象即可求出实数的取值范围．【详解】解：当，时，，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为，当，时，，则时，（舍或0，且有在上单调递增，在上单调递减，因，故函数在，上的最小值为；令，即，作出函数的图象，如图所示：直线与函数的图象最多只有三个交点，所以，即说明方程有两个内的不等根，亦即函数在内的图象与直线有两个交点，因为，依据的图象可知，，即实数的取值范围为．故答案为：；．【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，以及依据函数的零点个数求参数范围，考查学生的转化实力和数形结合实力，属于较难题．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）若，求b；（2）求△ABC面积的最大值．【答案】（1）2；（2）3【解析】【分析】（1）依据题意利用正弦定理可求b的值；（2）由余弦定理和基本不等式可求bc的最大值，进而可求△ABC面积的最大值．【详解】解：（1），，由正弦定理，可得．（2），由余弦定理知，，当且仅当取“”；面积的最大值为．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式与三角形面积的计算问题，属于基础题．18.已知数列为正项等比数列，；数列满意.（1）求；（2）求的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先令和求出，从而得到公比，再求通项公式即可.（2）首先依据已知求出，再利用裂项求和即可得到答案.【详解】（1）令，得，所以，令，得，所以，又，所以，设数列的公比为，则，所以；（2）当时，①又，②②–①，因为，所以，时也成立，所以.，所以.【点睛】本题第一问考查等比数列的通项公式，其次问考查由前项和求通项，同时考查了裂项求和，属于中档题.19.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为，③∠ABC．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中点为F．（1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．【答案】（1）存在，G是线段AB的中点，证明见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）设PC的中点为H，连结FH，由题意得AGHF为平行四边形，则AF∥GH，由此能证明在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．（2）选择①AB⊥BC，推导出AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．选择②FC与平面ABCD所成的角为，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，则FM∥PA，且FM＝1，FM⊥平面ABCD，FC与平面ABCD所成角为∠FCM，，推导出AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．选择③∠ABC，推导出PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，推导出AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．【详解】（1）在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．证明如下：如图所示：设PC的中点为H，连结FH，因为，，，，所以所以四边形AGHF为平行四边形，则AF∥GH，又GH⊂平面PGC，AF⊄平面PGC，∴AF∥平面PGC．（2）选择①AB⊥BC：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，由题意知AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵PA＝AB＝2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），F（0，1，1），P（0，0，2），∴（0，1，1），（﹣2，﹣1，1），设平面FAC的一个法向量为（x，y，z），∴，取y＝1，得（﹣1，1，﹣1），平面ACD的一个法向量为（0，0，1），设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ，∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．选择②FC与平面ABCD所成的角为：∵PA⊥平面ABCD，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，则FM∥PA，且FM＝1，∴FM⊥平面ABCD，FC与平面ABCD所成角为∠FCM，∴，在Rt△FCM中，CM，又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，∴AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵PA＝AB＝2，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），E（，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），∴（0，1，1），（，0，1），设平面EAC的一个法向量为（x，y，z），则，取x，得（，﹣3，3），平面ACD的一个法向量为：（0，0，1），设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ．∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．选择③∠ABC：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∵E是BC的中点，∴BC⊥AE，∴AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵PA＝AB＝2，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），E（，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），∴（0，1，1），（，0，1），设平面EAC的一个法向量为（x，y，z），则，取x，得（，﹣3，3），平面ACD的法向量（0，0，1），设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，θ则cosθ．∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．【点睛】本题主要考查满意线面平行的点是否存在的推断与求法，二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等，还考查了运算求解实力、逻辑推理实力，属于中档题．20.已知函数f（x），（1）探讨函数f（x）的单调性；（2）证明：a＝1时，f（x）+g（x）﹣（1）lnx＞e．【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导后，再对a分类探讨即可得出函数的单调性．（2）a＝1时，将所证不等式转化为ex﹣ex+1，令F（x）＝ex﹣ex+1，G（x），分别依据导数求出的最小值和的最大值即可证明不等式成立.【详解】（1）f（x）alnx，（x∈（0，+∞））．．当a≤0时，＜0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．a＞0时，由，得，由，得所以函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）证明：a＝1时，要证f（x）+g（x）﹣（1）lnx＞e．即要证：lnx﹣e＞0⇔ex﹣ex+1．x∈（0，+∞）．令F（x）＝ex﹣ex+1，F′（x）＝ex﹣e，当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，此时函数F（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，此时函数F（x）单调递增．可得x＝1时，函数F（x）取得最小值，F（1）＝1．令G（x），G′（x），当时，，此时为增函数，当时。，此时为减函数所以x＝e时，函数G（x）取得最大值，G（e）＝1．x＝1与x＝e不同时取得，因此F（x）＞G（x），即ex﹣ex+1．x∈（0，+∞）．故原不等式成立．【点睛】本题考查了利用导数探讨函数的单调性与最值、分类探讨方法、等价转化方法，考查了利用导数证明不等式，属于中档题．21.区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底变更整个人类社会价值传递的方式，2024年至2024年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表年份20242024202420242024编号12345企业总数量y（单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224注：参考数据（其中z＝lny）．附：样本（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的最小二乘法估计公式为（1）依据表中数据推断，y＝a+bx与y＝cedx（其中e＝2.71828…，为自然对数的底数），哪一个回来方程类型相宜预料将来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）依据（1）的结果，求y关于x的回来方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部确定进行一次信息化技术竞赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛竞赛规则如下：①每场竞赛有两个公司参与，并决出输赢；②每场竞赛获胜的公司与未参与此场竞赛的公司进行下一场的竞赛；③在竞赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次竞赛结束，该公司就获得此次信息化竞赛的“优胜公司”，已知在每场竞赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场竞赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？【答案】（1）选y＝cedx；（2）；（3）甲与丙两公司进行首场竞赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大【解析】【分析】（1）干脆由表中数据可得选择回来方程y＝cedx，相宜预料将来几年我国区块链企业总数量；（2）对y＝cedx两边取自然对数，得lny＝lnc+dx，转化为线性回来方程求解；（3）对于首场竞赛的选择有以下三种状况：A、甲与乙先赛；B、甲与丙先赛；C、丙与乙先赛，由已知结合互斥事务与相互独立事务的概率计算公式分别求得甲公司获得“优胜公司”的概率得结论．【详解】