2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积素养检测含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养检测五向量的数量积(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为135°,则a·(-b)等于 ()A.12 B.-12 C.12QUOTE D.-12QUOTE【解析】选C.因为a·(-b)=-a·b=-|a||b|cos135°=-4×6×QUOTE=12QUOTE.【补偿训练】1.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,则·= ()A.20 B.-20 C.20QUOTE D.-20QUOTE【解析】选B.·=||||cos120°=5×8×QUOTE=-20.2.已知△ABC中,=a,=b,若a·b<0,则△ABC是 ()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.随意三角形【解析】选A.由a·b<0易知向量a与b的夹角为钝角.2.(2024·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满意|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cosθ=QUOTE=QUOTE,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为QUOTE.3.已知平面对量a,b满意a·(a+b)=3且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cos<a,b>=3,所以cos<a,b>=-QUOTE,又因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=QUOTE.4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与dA.-6 B.6 C.3 D.-3【解析】选B.因为c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b5.如图所示,△ABC是顶角为120°的等腰三角形,且AB=1,则·等于 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形,且AB=1,所以BC=QUOTE,所以·=1×QUOTE×cos150°=-QUOTE.6.(多选题)已知a,b,c为非零向量,下列说法不正确的是()A.若|a·b|=|a||b|,则a∥bB.若a·c=b·c,则a=bC.若|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|D.(a·b)|c|=|a|(b·c)【解析】选BCD.|a·b|=||a||b|cosθ|=|a||b|,所以cosθ=±1,即θ=0°或180°,此时a∥b;A正确;选项B中,设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,因为a·c=b·c,所以|a||c|cosθ1=|b||c|cosθ2,即|a|cosθ1=|b|cosθ2,B不肯定正确;C项中,a与c的夹角和b与c的夹角不相等时,结论不成立;D项中,a与b的夹角,b与c的夹角不肯定相等,所以不肯定成立.【补偿训练】对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中真命题是 ()A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c【解析】选B.A中,若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,故A错;C中,若a2=b2,则|a|=|b|,C错;D中,若a·b=a·c,则可能有a⊥b,a⊥c,但b≠c,故只有选项B正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2024·天津高考)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2QUOTE,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=________.

【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,因为AD∥BC,所以四边形AEBF为平行四边形,因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.因为∠BAD=30°,AB=2QUOTE,所以AF=2,即=QUOTE.因为==-=-QUOTE,所以·=(-)·=QUOTE·--QUOTE=QUOTE×2QUOTE×5×QUOTE-12-10=-1.答案:-18.已知e1、e2是夹角为QUOTE的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若k=1,则a·b=______;若a·b=0,则实数k的值为______.

【解析】当k=1时a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=QUOTE-e1e2-2QUOTE=-QUOTE.由a·b=0得(e1-2e2)·(ke1+e2)=0.整理,得k-2+(1-2k)cosQUOTE=0,解得k=QUOTE.答案:-QUOTEQUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知:如图,两个长度为1的平面对量和,它们的夹角为QUOTE,点C是以O为圆心的劣弧QUOTE的中点.求:(1)|+|的值.(2)·的值.【解析】(1)因为和的长度为1,夹角为QUOTE,所以·=||||cosQUOTE=-QUOTE,所以|+|===1.(2)因为点C是以O为圆心的劣弧QUOTE的中点,所以∠AOC=∠BOC=QUOTE,所以·=·=QUOTE,所以·=(-)·(-)=·-·-·+·=QUOTE-QUOTE-QUOTE+1=QUOTE.【补偿训练】已知|a|=10,|b|=12,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)(3a)·QUOTE;(3)(3b-2a)·(4a+【解析】(1)a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.(2)(3a)·QUOTE=QUOTE(a·b)=QUOTE×(-60)=-36.(3)(3b-2a)·(4a+b)=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|2-8|a|2=10×(-60)+3×12210.已知|a|=2|b|=2,e是与b方向相同的单位向量,且向量a在向量b方向上的投影向量为-e.(1)求a与b的夹角θ;(2)求(a-2b)·b;(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b相互垂直?【解析】(1)由题意知|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影向量为|a|cosθe=-e,所以cosθ=-QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.(2)易知a·b=|a|·|b|cosθ=-1,则(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.(3)因为λa+b与a-3b相互垂直,所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所以λ=QUOTE.(35分钟70分) 一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在△ABC中,若=·+·+·,则△ABC是 ()A.等边三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.直角三角形【解析】选D.因为=·+·+·,所以-·=·+·,所以·(-)=·(-),所以·=,所以·(+)=0,所以·=0,所以AC⊥BC,所以△ABC是直角三角形.2.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满意=2,则·(+)等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.因为AM=1,且=2,所以||=QUOTE.如图·(+)=·(2)=·==QUOTE=QUOTE.【补偿训练】在△ABC中,C=90°,CB=3,点M满意=2,则·=______.

【解析】因为=+=+QUOTE=+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE,又C=90°,·=0,所以·=·=QUOTE=3.答案:33.若|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a-b与b的夹角为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由|a+b|=|a-b|可得a·b=0,由|a-b|=2|a|可得3a2=b2,所以|b|=QUOTE|a|,设向量a-b与b的夹角为θ,则cosθ==-QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.4.(多选题)已知向量a,b的夹角为120°,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的值可以为 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选AD.因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,所以a与c的夹角为60°.又,故|a-c|min=QUOTE.由选项可知|a-c|的值可以为1或QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)5.(2024·全国卷Ⅲ)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-QUOTEb,则cos<a,c>=________.

【解析】因为c2=(2a-QUOTEb)2=4a2+5b2-4QUOTEa·b=9,所以|c|=3,因为a·c=a·(2a-QUOTEb)=2a2-QUOTEa·b=2,所以cos<a,c>=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】设向量a,b满意|a+b|=QUOTE,|a-b|=QUOTE,则a·b=________.

【解析】因为|a+b|=QUOTE,所以(a+b)2=10,即a2+b2+2a·b=10.因为|a-b|=QUOTE,所以(a-b)2=6,即a2+b2-2a·b=6.由①②可得a·b=1.答案:16.已知a⊥b,|a|=2,|b|=1,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于________【解析】因为(3a+2b)⊥(λa-b),所以(λa-b)·(3a+2b)=0,所以3λa2+(2λ-3)a·b-2b又因为|a|=2,|b|=1,a⊥b,所以12λ+(2λ-3)×2×1×cos90°-2=0,所以12λ-2=0,所以λ=QUOTE.答案:QUOTE7.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一点,=2,则·=________.

【解析】因为=2,所以=QUOTE,=-,故·=(+)·=·(-)=·(-)=QUOTE·+QUOTE-QUOTE=QUOTE||||cos120°+QUOTE||2-QUOTE||2=QUOTE×2×1×QUOTE+QUOTE×1-QUOTE×22=-QUOTE.答案:-QUOTE8.已知向量a、b满意:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为________;|2a-b|=________【解析】由于a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,则a·b=3.设a与b的夹角为θ,则cosθ=QUOTE=QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.因为|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=28,所以|2a-b|=2QUOTE.答案:QUOTE2QUOTE【补偿训练】已知非零向量a,b,满意a⊥b,且a+2b与a-2b的夹角为120°,则QUOTE=______.

【解析】(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2,因为a⊥b,所以所以所以QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知e1与e2是两个相互垂直的单位向量,k为何值时,向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角?【解析】因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=kQUOTE+kQUOTE+(k2+1)e1·e2=2k>0,所以k>0.但当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0°,不符合题意,舍去.综上可知,k∈(0,1)∪(1,+∞)时,向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角.10.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°.(1)求证:(a-b)⊥c;(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1且a,b,c之间的夹角均为120°,