2024-2025学年人教版八年级数学上册 图形面积 专项训练

图形面积

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

掌握基本图形面积的计算公式★

图形面积

计算面枳或利用图形面积解决数学问题

二、核心纲要

1.一些常用图形的面积公式

正方形面积=边长X边长；长方形(矩形)面积=长、宽；平行四边形面积=底乂高；

三角形面积=|X底X高；梯形面积=|x(上底+下底)X高.

2.计算图形的面积有以下常用方法

(1)和差法：把图形面积用常见图形面积的和或差表示，通过常规图形面积公式计算.

(2)割补法：有时直接求图形面积有困难，我们可以通过分割或补形，把图形转化为容易观察或解决的形状求

解.

(3)等积变换法：对某些图形，找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化易求图形的面积.

(4)等比法：将面积比转化为线段比.

3.在两个三角形中

⑴同(等府时，面积之比等于底之比.(2)同(等)底时，面积之比等于局之比.

4.等分三角形面积

三角形一边中线平分三角形面积.

5.常见的基本模型

若点D是BC的中点,若AD〃BC,则SABD=SACD)SJ\AOB=SACO

则SAABD=SAACDS/1BD_竺

SBCD

Si_&

1=包S=2S平行四边形ABCD

S?S4S?S4BEC

本节重点讲解：图形面积的计算和证明.

三、全能突破

基础演练

L如图11-4-1所示在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、AC的中点且SAABc=16,则,

SADEFI的面积为（）.

A.2B.8

C.4D.l

BDC

2.如图11-4-2所示，在△ABC中,AB=1,BC=2JH!UABC的高AD:CE为()

图11-4-1

A.l:2B.2:1

C.l:4D.4:1C

3.已知△ABC的面积为3,边BC长为2,以点B为原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐

标系，则点A的纵坐标为（）

A.3B.-3

C.6D+3BE

4.图1143（a）、（b）为两个相同的矩形若图（a）阴影区域的面积为10,则图（b）的阴影面积等于（）图11-4-2

A.40B.30

C.20D.10

5.如图1144所示，已知ACLBD于点OAAOD、△AOB、△BOC、△COD的面积分别为工、S2,S3、S4,设A

C=m,BD=n,则下式中正确的是().

1

ASi+S2+S3+SI=—TYinB.Si+S2+S3+S4=mn

C.S-S-S-S=^mn

1234D.S1•S2,S3,S4=mn

(a)(b)

图11-4-3图11-4-4

6.如图11-4-5所示，在△ABC中,E为BC的中点,ADLBC于点D,以下结论:①AD<AE;②BE=

CE;@SAABE>SAACE;circled皿=其中正确的命题为

SACDCD

图11-4-5

7.如图1146所示，在△ABC中,AD、BE相交于点O,BO:ED=3\2,AE-.CE=2:1,若50。=2求((1)SABOC:SA

AOC:SAAOB由勺值.(2)求SAABC.d

8.图11-4-7所示是某个公园ABCDEF,M为AB的中点,N为CD的中点,P为DE的中点,Q为F图""-6

A的中点，其中游览区APEQ与BNDM的面积和是900平方米，中间的湖水AMDP的面积

为361平方米，其余的部分是草地，求草地的总面积.

9.认真阅读，并回答下面问题：图11-4-7

如图11-4-8所示,AD为4ABC的中线,SAABD与SAADC相等吗?

【解】过A点作BC边上的高h,

；AD为AABC的中线

,>.BD=DC.

=

1,"^ABD]BD-h,SACD=~DC-h.

^ABD=^ACD>

⑴用一句简洁的文字表示上面这段内容的结论：.

(2)利用上面所得的结论，用不同的分割方法分别把下面两个三角形面积4等分(只要割线不同就算一种).

(3)已知:AD为AABC的中线，点E为AD边上的中点，若△ABC的面积为20,BD=4,求点E到BC边的距离为多少?

能力提升

10.如图11-4-9所示，三边均不相等的.△4BC,若在此三角形内找一点O，使得△OAB公

OBC心0C4的面积均相等.判断下列作法正确的是().

A.作中线AD,再取AD的中点O

B.分别作中线AD、BE,再取此两中线的交点O

C.分别作AB、BC的中垂线，再取此两中垂线的交点O图11-4-9

D.分别作乙4、NB的角平分线，再取此两角平分线的交点O

11.如图11410所示，在正方形ABCD中,AB=2,NDCE是正方形ABCD的外角，P是

ZDCE的角平分线CF上任意一点，则4PBD的面积等于()

A.lB.1.5

C.2D.2.5

12.如图11411所示,△ABC的面积为18cm2,点D、E、F分别位于AB、BC、CA±,

DE〃AC,且AD=4cm,DB=5cm8!UABE的面积是().

A.8

13.如图11412所示，在△ABC中，点M是BC边上任意一点,D、E、F分别是AM、BD、CE的中点，且ABC=

1,则SADEF=().

A-B-C-D-

2468

14.如图11-4-13所示，在长方形ABCD中,E是AD的中点,F是CE的中点.三角形BDF的面积人

是6cm2,则长方形ABCD的面积为.

15.如图11-4-14所示,面积为16的4ABC中两中线ADLBE,若AD:BE=2:3,则BE的长为—/

—图11-4-14

16.探索

在图11415(a)至图11415(c)中,△ABC的面积为a.

⑴如图(a)所示，延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA苕AACD的面积为Si,则SS】=

⑵如图(b)所示，延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE.^ADEC的面积为

S2，则.S2=(用含a的代数式表示),并写出理由；

⑶在图(b)的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD、FE,得到△DEF(如图(c)所示).若阴影部分的面积为S

3,则S3=(用含a的代数式表示).

发现

像上面那样，将4ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图(c)所示),此时，我们称△A

BC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_____倍.

应用

去年在面积为10爪2的△ABC空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模，把A/IBC向外进行两次扩展，

第一次由△ABC扩展成△DEF,第二次由△DEF扩展成△MGH(如图(d)所示).求这两次扩展的区域(即阴影部分)

面积共为多少平方米？

17.已知，如图11-4-16所示，DC\\AB,CE\\BD,,交AD的延长线于点E,求证：

(SBCD)2=SABD-SDCE，

18.(1)①问题1:如图ll-4-17(a)所示，已知△ABC,请你过点A画一条直线，把△ABC分成面积相等的两部分(在图(a)

中画出来，简要写出作法).

②问题2:如图11417(b)所示，已知1]||12点A、D在1]上点B、C在上上，试说明^八8。与4DCO面

积相等.

⑵应用:如图11417(c)所示，在△ABC中，点M在AB边上，过点M画一条直线，将△ABC的面积二等分(保留

作图痕迹，不写作法).

(3)拓展：如图11-4-17(d)所示，四边形ABCD是一块土地的示意图，过点D修一条直路，直路修好后，要

保持直路两边的面积相等，请你确定出这条直路(不计直路的占地面积).

①简要写出设计方案，并在图(d)中画出相应的图形.

②说明方案的设计理由.

(a)(b)(C)(d)

图11-4-17

19.如图11418所示在△ABC中,AB=AC,AC边上的高BD=10cm.

⑴如图(a)所示求AB边上的高CE的长.

⑵如图(b)所示若点P为BC边上任意一点,PMLAB于点M,PN±AC于点N,求PM+PN的值

(3)如图⑹所示，若点P为BC延长线上任意一点,PMLAB于点M,PN±AC于点N,在①PM+PN.②PM-PN中有一

个是定值，判断出来并求值.

20.阅读理解

如图11419(a)所示，在△ABC中,D是BC的中点如果用SAABC表示△ABC的面积，则由等底同高的三角形的

面积相等，可得S4BD=SACD=-SABC.

(b)

图11-4-19

=

同理，如图(b)所示,在4ABC中,D、E是BC的三等分点，可得SABD=SADE^AEC=^^ABC-

结论应用

已知：△ABC的面积为1,请利用上面的结论解决下列问题：

⑴如图11420(a)所示若D、E分别是AB、AC的中点,CD与BE交于点尸贝必DBF的面积为

图11-4-20

类比推广

(2)如图11420(b)所示公ABC的面积为1,D、E为AC的三等分点,F、G为BC的三等分点,四边形PECF的面

积.

2L如图11421所示，在长方形网格中，每个小长方形的长为2,宽为1,A、B两

点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角开赢'B

为2,则满足条件的点C的个数是（）.

A.2B.3图11-4-21

C.4D.5

22如图11-4-22所示，在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点，设△ABC、△

ADF、△BEF的面积分另!］为SAABC、SAADF、SBEF,且SAABC=12,贝!!SAADF—SAB

EF=()

A.lB.2

B

C.3D.4图11-4-22

巅峰突破

23如图11-4-23所示,在矩形ABCD中,AE=BG=BF=1AD==2,E、H、G在同•

线上，则阴影部分的面积等于().

A.8B.12

C.16D.20

BG

图11-4-23

24.如图11-4-24所示,三角形ABC内的线段BD、CE相交于点0,已知（OB=0D.0C=20E,OC=2OE,igABOE、

ABOC、△COD和四边形AEOD的面积分别为.Si,S2、S3、S*

⑴求Si5的值；

（2）如果S2=2,求S&的值.

25.直角三角形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm,在三角形内部有一点P,已知点P到三角形其中两条边的距

离分别为3.2cm和0.5cm,求点P到三条边的距离.

基础演练

1.A;2.A;3.D;4.D;5.A;6.①②④.

7.(1)VBD:CD=3:2,AE:CE=2:1,

^AOB-^AAC=SBOD：SCOD=3:2=6：4,

SAOB：SCOB=SAOE：SaOE=2:1=6:3,

SABOC:SAAOC:SAAOB=3:4:6.

(2)VBD:CD=3:2,SACOD=2,

•••SBX=QSCDD=

c13c13、，匚65

•,SABC-YSHX一E**•••5—了

8.连接AE、AD、BD.

因为M为AB的中点,N为CD的中点,P为DE的中点,Q为FA的中点，

根据一个三角形的中线平分这个三角形的面积，

所以设SAEFQ=SAAQE=a,SAAEP=SAAPD=b,

==

^ADMSBDM=C-SBDN=SBCNd.

由题意得:a+b+c+d=900平方米,b+c=361平方米.所以a+d=900-361=539平方米.

即草地的总面积SBFQ+SHCN=a+d=539平方米.

9.(1)三角形中线平分三角形的面积；

(2)如下图所示：

劣及劣/Z

(3)2.5.

能力提升

10.B;11.C;12.C

13.D;14.48cm2;15.6.

16.(l)Si=a;

⑵如右图所示，连接AD,

由⑴可知,SAABC=a.

VAC=AE,.\SADEC=2SAACD=2a.

(3)•••SEDF=S3+SABC=6a+a=7a

•.,SDEF—_—7/I

SABCa

,扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍.

应用:480m2

17.连接AC、BE,

：DC〃AB,；.SABCD=SAACD.®

同理:SABCD=SABED.®

ADCE与^ACD同高,△BED与^ABD同高，

...SLNE_吧SBED_ED_...SLXE_SAEDc[rcieo

SACDDA'SABDDA'SACD^ABD

把①，②代入③得:等=2

3RD^ABD

•••(SHKD)=^ABD•SDEE・

18.⑴①取BC中点D,作直线AD.

②・・・li||12DBC同底等高.

，•SABC=^DBC-

SABC-^OBC=^DBC-^OBC-

即SAABO=SADCO.

⑵如下图所示，取BC中点D,连接MD,过点A作AN/7MD交BC于点N,作直线MN,则直线MN即为所求.

(3)①如下图所示，连接DB,过点A作AE//DB交CB的延长线于点E,连接DE,取EC的中点F,连接DF,贝D

F即为所求.

②理由:•.•AE〃BD,，SAEBD=SAABD.

SEBD—SR；D=SABD—SH；D，即SEBG=^AGD'

ASAAGD+S四边形GBCD=SAEBG+S四边形GBCD.

SADEC=S四边形ABCD.VEF=FC,

即SADFC=SAEDF=S四边形ABFD|2S四边形ABCD

19.(1)SABC=^AB-CE=^AC-BD,

且AB=AC,CE=BD=1Ocm.

⑵如下图所示，连接AP,过点B作BDLAC,垂足为D,

11

•­'SABP=-AB-PM,SAPC=-AC-PN,

1

SABC=2AC-BD,

•••-AB-PM+-AC