湖南省岳阳市2024年中考数学四模试卷（含解析）

湖南省岳阳市2024年中考数学四模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.2017年“智慧天津”建设成效显著，互联网出口带宽达到17200吉比特每秒.将17200用科学记数法表示应为（）

A.172X102B.17.2X103C.1.72X104D.0.172X105

2.若一次函数y=C2m-3）r-1+m的图象不经过第三象限,则m的取值范图是（）

3333

A.l<m<—B.l〈fn<一C.D.l<m<—

22~22

3.在下列交通标志中，是中心对称图形的是（)

A.AB.A

C.

4.下列各组数中，互为相反数的是（)

A.-2与2B.2与2C.3*D.3与3

b

5.已知抛物线y=ax?+bx+c与反比例函数y=的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1,则一次函数y=bx+ac

x

的图象可能是（）

6.如图在△ABC中，AC=BC,过点C作垂足为点O,过。作。E〃3C交AC于点E,若80=6,AE=

5,则sinNEDC的值为（）

424

A.-BC.一D.——

5-1525

7.如图，将边长为8cm的正方形A3。折叠，使点。落在边的中点E处，点A落在尸处，折痕为MN,则线段

CN的长是（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

8.如图，在正方形ABC。外侧，作等边三角形AOE,AC,5E相交于点F,则N3尸C为（）

9.函数y=ax+方与y=Bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置是（）

10.如图，在R3ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AD1BC,垂足为D、E,F分另U是CD,AD上的点，且CE=

AF.如果NAED=62。，那么NDBF的度数为（）

A.62°B.38°C.28°D.26°

11.下列运算结果正确的是()

A.3a2—a2=2B.a2*a3=a6C.(—a2)3=—a6D.a24-a2=a

12.在平面直角坐标系xOy中，将点N(-l,-2)绕点。旋转180。，得到的对应点的坐标是()

A.(1,2)B.(-1,2)

C.(-1,-2)D.(1,-2)

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，菱形ABCD的边ADLy轴，垂足为点E,顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y

k

=—（k/）,x>0）的图象经过顶点C、D,若点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值为.

14.如图，CB=CA,ZACB=90°,点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FGLCA,

交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG；②SAFAB:S四边形CBFG=L2；③NABC=NABF；

@AD2=FQ«AC,其中正确的结论的个数是

15.一个n边形的内角和为1080。，则n=.

16.如果一个三角形两边为3cm,7cm,且第三边为奇数，则三角形的周长是.

17.若不等式（a-3）x>l的解集为x<」一，则a的取值范围是.

（7-3

18.若分式工的值为正数，则x的取值范围___.

1-x

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论

语；D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.

（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？

（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只

能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明.

20.（6分）如图，已知。O经过△ABC的顶点A、B,交边BC于点D,点A恰为台。的中点，且BD=8,AC=9,

sinC='，求。O的半径.

3

21.（6分）如图，BC是路边坡角为30。，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边

缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角NDAN和NDBN分别是37。和60。（图中的点A、B、C、D、M、N均

在同一平面内，CM〃AN）.求灯杆CD的高度；求AB的长度（结果精确到0.1米）.（参考数据：垂＞=1.1.sin37°~060,

COS37°H0.80,tan37°=0.75)

22.（8分）如图，NBAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,交BC于点F,NABC的平分线交AD于点E.

D

（1）求证：DE=DB：

（2）若NBAC=90。，BD=4,求△ABC外接圆的半径;

（3）若BD=6,DF=4,求AD的长

23.（8分）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP

绕点A顺时针旋转90。得到线段AQ,连接BP,DQ.

（1）依题意补全图1;

（2）①连接DP,若点P,Q,D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；

②若点P,Q,C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：—.

24.（10分）如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，点E是CD边的中点，过点C作CF〃AB交AE的延长线于点F,

连接BF.

求证:DB=CF；（2）如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.

25.（10分）如图，矩形ABC。中，于E,CF平分NOCE与。3交于点尸.

BF=BC；若4B=4c»i,AD^2>cm,求CF的长.

26.（12分）化简（二一'j并说明原代数式的值能否等于1

x—1x—2x+1x+1

XX—11

27.（12分）解不等式组G-一—并将它」的解集在数轴上表示出来.

232

__I_I_I_I_I_I_1_:_,_:__>

-5-4-3-2-1012345

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中K|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负

数.

【详解】

解：将17200用科学记数法表示为1.72x1.

故选C.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|VlO,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

2、B

【解析】

根据一次函数的性质，根据不等式组即可解决问题；

【详解】

•••一次函数y=(2m-3)x-1+m的图象不经过第三象限，

.j2/n-3<0

**-l+m>0*

3

解得l<m<—.

2

故选:B.

【点睛】

本题考查一次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

3、C

【解析】

解：A图形不是中心对称图形；

B不是中心对称图形；

C是中心对称图形，也是轴对称图形；

D是轴对称图形；不是中心对称图形

故选C

4、A

【解析】

根据只有符号不同的两数互为相反数，可直接判断.

【详解】

-2与2互为相反数，故正确；

2与2相等，符号相同，故不是相反数；

3与工互为倒数，故不正确；

3

3与3相同，故不是相反数.

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了相反数，关键是观察特点是否只有符号不同，比较简单.

5、B

【解析】

分析：根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=2的图象在第一象限有一个公共点，可得b>0,根据交点横坐标为1,

X

可得a+b+c=b,可得a,c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.

详解：•••抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=2的图象在第一象限有一个公共点，

X

Ab>0,

・・,交点横坐标为1,

/.a+b+c=b,

a+c=O,

/.ac<0,

...一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限.

故选B.

点睛：考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b>0,acVO.

6、A

【解析】

由等腰三角形三线合一的性质得出AD=DB=6,ZBDC=ZADC=90°,由AE=5,DE〃BC知AC=2AE=10,

ZEDC=ZBCD,再根据正弦函数的概念求解可得.

【详解】

「△ABC中，AC=BC,过点C作CD±AB,

：.AD=DB=6,ZBDC^ZADC=90°,

'：AE=5,DE//BC,

.\AC=2AE=10,NEDC=NBCD,

BD63

sinZEDC=sinZBCD=----=——=—,

BC105

故选：A.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质

等知识点.

7、A

【解析】

分析：根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE,在直角ACEN中，若设CN=x,则DN=NE=8-x,CE=4cm,

根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长.

详解：设CN=xcm,贝!]DN=(8-x)cm,

由折叠的性质知EN=DN=(8-x)cm,

而EC=—BC=4cm,

2

在RtAECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2,

即(8-x)2=16+x2,

整理得16x=48,

所以x=l.

故选：A.

点睛：此题主要考查了折叠问题，明确折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决

折叠问题.

8、B

【解析】

由正方形的性质和等边三角形的性质得出NBAE=150。，AB=AE,由等腰三角形的性质和内角和定理得出NABE=

NAEB=15。，再运用三角形的外角性质即可得出结果.

【详解】

解：•••四边形ABCD是正方形，

/.ZBAD=90o,AB=AD,NBAF=45°,

VAADE是等边三角形，

.\ZDAE=60o,AD=AE,

AZBAE=90°+60°=150°,AB=AE,

/.ZABE=ZAEB=-(180°-150°)=15。，

2

:.NBFC=NBAF+NABE=450+15°=60°；

故选：B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等

边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.

9、B

【解析】

根据a、b的符号进行判断，两函数图象能共存于同一坐标系的即为正确答案.

【详解】

分四种情况:

①当a>0,b>0时,y=ax+b的图象经过第一、二、三象限,y=bx+a的图象经过第一、二、三象限,无选项符合

②当a>0,b<0时,y=ax+b的图象经过第一、三、四象限;y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,B选项符合;

③当aVO,b>0时,y=ax+b的图象经过第一、二、四象限;y=bx+a的图象经过第一、三、四象限,B选项符合;

④当a<0,b<0时,y=ax+b的图象经过第二、三、四象限;y=bx+a的图象经过第二、三、四象限,无选项符合.

故选B.

【点睛】

此题考查一次函数的图象，关键是根据一次函数y=kx+b的图象有四种情况:

①当k>0,b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；

②当k>0,b<0,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；

③当k<0,b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一,、二、四象限；

④当k<0,bVO时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限.

10、C

【解析】

分析：主要考查：等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质.注意：根据斜边和直角边对应相等可以证明

△BDF^AADE.

详解：'：AB=AC,ADLBC,：.BD=CD.

又•:NA4c=90。,:.BD=AD=CD.

又VCE=AF,：.DF=DE,：.RtABDF^RtAADE(SAS),

：.ZDBF=ZDAE=90°-62°=28°.

故选C.

点睛：熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键.

11、c

【解析】

选项A,3a2—a2=2a2；选项B,a2-a3=a5；选项C,(—a2)3=-a6；选项D,a?+a2=1.正确的只有选项C,故选

C.

12>A

【解析】

根据点N(-L-2)绕点。旋转180。，所得到的对应点与点N关于原点中心对称求解即可.

【详解】

:将点N(-1,-2)绕点。旋转180。,

二得到的对应点与点N关于原点中心对称，

,点N(-1,-2),

...得到的对应点的坐标是(1,2).

故选A.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得到的对应点与点N关于原点中心对称是解答本题的关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

15

13、—

4

【解析】

过点D作DFLBC于点F,由菱形的性质可得BC=CD,AD〃BC,可证四边形DEBF是矩形，可得DF=BE,DE

=BF,在RtADFC中，由勾股定理可求DE=LDF=3,由反比例函数的性质可求k的值.

【详解】

•.•四边形ABCD是菱形,

；.BC=CD,AD〃BC,

；NDEB=90°,AD〃BC,

.,.ZEBC=90°,且NDEB=90°,DF±BC,

，四边形DEBF是矩形，

，DF=BE,DE=BF,

•••点C的横坐标为5,BE=3DE,

.,.BC=CD=5,DF=3DE,CF=5-DE,

VCD2=DF2+CF2,

/.25=9DE2+(5-DE)2,

，DE=1,

；.DF=BE=3,

设点C(5,m),点D(Lm+3),

•反比例函数y=K图象过点C,D,

X

5m=lx(m+3),

._3

•・m=—，

4

-3

...点C(5,-),

4

315

..k=5x—=—,

44

故答案为：一

4

【点睛】

本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键.

14、①②③④.

【解析】

由正方形的性质得出NE4Z>=90。，AD=AF^EF,证出NCAZ>=NA尸G,由AAS证明△歹GA丝△AC。，得出AC=

FG,①正确；

证明四边形C8歹G是矩形，得出•尸G=4S四边形CBPG,②正确；

22

由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出NA3C=ZABF=45°,③正确；

证出△得出对应边成比例，得出④正确.

【详解】

解：；四边形AOE尸为正方形，

：.ZFAD=90°,AD=AF=EF,

：.ZCAD+ZFAG^9Q0,

'：FG±CA,

，ZGAF+NA尸G=90°,

：.ZCAD=ZAFG,

在小FGAACD中，

"ZG=ZC

<ZAFG=ZCAD,

AF=AD

：.AFGA^AACD(AAS),

：.AC^FG,①正确；

"：BC=AC,

；.FG=BC,

VZACB=90°,FG±CA,

：.FG//BC,

四边形CBFG是矩形，

:.ZCBF=90°,SFAB=~FB・FG=-S四边形CBFG9②正确；

A22

；CA=CB,NC=NCBF=90°,

/.ZABC=ZABF=45°,③正确；

VZFQE^ZDQB=AADC,NE=NC=90°,

△AC"△尸E。，

：.AC；AD^FE：FQ,

：.AD*FE=AD2=FQ»AC,④正确；

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角

形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.

15、1

【解析】

直接根据内角和公式(n-2)-1800计算即可求解.

【详解】

(n-2)•110。=1010。,解得n=l.

故答案为1.

【点睛】

主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：(〃-2>180。.

16、15cm、17cm、19cm.

【解析】

试题解析：设三角形的第三边长为xcm,由题意得：

7-3<x<7+3,

即4<x<10,

则x=5,7,9,

三角形的周长：3+7+5=15(cm),

3+7+7=17(cm),

3+7+9=19(cm).

考点：三角形三边关系.

17、a<3.

【解析】

V(a-3)x>l的解集为x<-^―,

a—3

工不等式两边同时除以(。-3)时不等号的方向改变，

:.3<0,

・・Q<3・

故答案为a<3.

点睛:本题考查了不等式的性质:在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.本题解不等号时方向改

变，所以a-3小于0.

18、x>l

【解析】

试题解析：由题意得：

V-6<0,

l-x<0,

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)；；(2)工

【解析】

(1)直接利用概率公式求解；

(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据

概率公式求解.

【详解】

(1)她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=,；

4

(2)画树状图为：

ABC°

/K/N/N/N

D

BCDAcABDABC

共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1,所以恰好小红抽中“唐诗”且小

明抽中“宋词”的概率X-=.

25

20、©O的半径为一.

6

【解析】

如图，连接OA.交BC于H.首先证明OA_LBC,在RtAACH中，求出AH,设。O的半径为r,在RtZkBOH中，

根据BH2+OH2=OB2,构建方程即可解决问题。

【详解】

解：如图，连接OA.交BC于H.

•••点A为5。的中点，

AOA1BD,BH=DH=4,

ZAHC=ZBHO=90°,

.「1AH

sinC=——，AC=9,

3AC

；.AH=3,

设。O的半径为r,

在RtABOH中，VBH2+OH2=OB2,

42+(r-3)2=r2,

._25

..r=—，

6

25

二。0的半径为3.

【点睛】

本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造直角三角形解决问题.

21、(1)10米；(2)11.4米

【解析】

(1)延长DC交AN于H.只要证明BC=CD即可；

(2)在RtABCH中，求出BH、CH,在RtAADH中求出AH即可解决问题.

【详解】

(1)如图，延长DC交AN于H,

:.ZBDH=30°,

,.•ZCBH=30°,

.\ZCBD=ZBDC=30°,

.\BC=CD=10(:米);

(2)在RtABCH中，CH=；BC=5,BH=5也：=8.65,

DH15

在RtAADH中，AH==20,

tan37°055

.\AB=AH-BH=20-8.65=11.4(米).

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

22、(1)见解析；(2)272(3)1

【解析】

(1)通过证明NBED=NDBE得到DB=DE；

(2)连接CD,如图，证明ADBC为等腰直角三角形得到BC=0BD=40,从而得到△ABC外接圆的半径;

(3)证明ADBFsaADB,然后利用相似比求AD的长.

【详解】

(1)证明：；AD平分NBAC,BE平分NABD,

/.Z1=Z2,Z3=Z4,

:.ZBED=Z1+Z3=Z2+Z4=Z5+Z4=ZDBE,

.,.DB=DE；

(2)解：连接CD,如图，

Kc

,/ZBAC=10°,

ABC为直径，

.\ZBDC=10°,

,.,Z1=Z2,

/.DB=BC,

•••△DBC为等腰直角三角形，

.•.BC=RBD=4«,

/.△ABC外接圆的半径为2亚；

(3)解：VZ5=Z2=Z1,ZFDB=ZBDA,

.,.△DBF^AADB,

.BD_DF0n64

DADBAD6

.\AD=1.

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.也

考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质.

23、(1)详见解析；(1)①详见解析；②BP=AB.

【解析】

(1)根据要求画出图形即可；

(1)①连接BD,如图1,只要证明△ADQ之AABP,NDPB=90。即可解决问题；

②结论:BP=AB,如图3中,连接AC,延长CD至！］N,使得DN=CD,连接AN,QN.由小ADQ^AABP,△ANQ^AACP,

推出DQ=PB,NAQN=NAPC=45。，由NAQP=45。，推出NNQC=90。，由CD=DN,可得DQ=CD=DN=AB；

【详解】

(1)解：补全图形如图1：

图1

\,线段AP绕点A顺时针旋转90。得到线段AQ,

；.AQ=AP,/QAP=90°,

••,四边形ABCD是正方形，

；.AD=AB,ZDAB=90°,

.\Z1=Z1.

.,.△ADQ^AABP,

；.DQ=BP,NQ=N3,

•.•在RtAQAP中，NQ+NQPA=90。，

NBPD=N3+NQPA=90°,

;在RtABPD中，DP1+BP1=BD1,又；DQ=BP,BD^IAB1,

；.DPi+DQi=lABi.

②解：结论：BP=AB.

理由：如图3中，连接AC,延长CD到N,使得DN=CD,连接AN,QN.

VAADQ^AABP,△ANQ^AACP,

；.DQ=PB,ZAQN=ZAPC=45°,

；NAQP=45。，

.,.ZNQC=90°,

VCD=DN,

，DQ=CD=DN=AB,

，PB=AB.

【点睛】

本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题,

属于中考压轴

24、⑴证明见解析；(2)四边形BDCF是矩形，理由见解析.

【解析】

(1)证明：VCF/7AB,

；.NDAE=NCFE.又；DE=CE,ZAED=ZFEC,

/.△ADE^AFCE,/.AD=CF.VAD=DB,/.DB=CF.

⑵四边形BDCF是矩形.

证明：由(1)知DB=CF,又DB〃CF,

二四边形BDCF为平行四边形.

VAC=BC,AD=DB,ACD±AB.

二四边形BDCF是矩形.

25、(1)见解析，(2)CF=£lcm.

5

【解析】

(1)要求证：BF=BC只要证明NCFB=NFCB就可以，从而转