2024-2025学年北师大版数学七年级上册 正方体的展开与折叠 阶段训练

阶段拔尖专训1正方体的展开与折叠

类型1正方体的展开

“2024衡阳第九中学月考］下图中，不是正方体展开图的是（）

ABCD

2.如图的正方体盒子的外表面上画有三条粗线，将这个正方体盒子的表面展开，外表面朝上，展开图可能是

类型2正方体表面展开图的相对面

3.母题教材P20复习题T10综合实践课上，嘉淇利用标有①〜⑤的纸板制作了一个无盖正方体的展开图（图①）,将

该展开图折成的无盖正方体盒子放在课桌上（图②）,则与桌面贴在一起的底面对应的是展开图的

()

A.①号面

（第3题）（第4题）

4.［2024贵港覃塘区期中］如图是一个正方体积木，它的每个面上都有一个数字，其中1的对面是6,2的对面是5,

3的对面是4.现将积木沿着地面标志翻转，最后朝上的面的数字是（）

A.4B.3C.2D.1

类型3正方体的折叠

5.如图，点P,Q是一正方体展开图上的两个顶点，则顶点P,Q在正方体上的位置标记正确的是

()

P

Q

A■CD

6.母题教材P18复习题T1小明用纸（如图）折成一个正方体的盒子，里面装入礼物，混放在下面的盒子里，请观察，

礼物所在的盒子是()

阶段拔尖专训2几何体的截面图形

【高分秘解】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，由截面图想象几何体，不能只看

截面的图形，还要分析与考虑切截的方向与角度.由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互

逆的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象，对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一

做，从中学会分析和归纳的思想方法.

2正方体的截面图

1.母题教材P19复习题T4用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：命了］

能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形.其中所有少

结论的序号是—.

2.如图，图①是正方体木块，把它切去一块，可能得到如图②、③、④所示的图形，问图②、③、④中切掉的部

类型2柱体的截面图

3.若用一个平面去截一个五棱柱，截面的边数最少是一；最多是.

4.［2024青岛大学附属中学期中］如果用平面截掉一个长方体的一个角（切去一个三棱锥）,则剩下的几何体最多有—

一个顶点.

5.如图所示的是一个放在地面上的三棱柱，用一个平面先后三次截这个三棱柱.

⑴截得的截面能否是三个与该三棱柱的底面大小相同的三角形？若能，画图说明你的截法.

⑵截得的截面能否是三个长相等的长方形？若能，画图说明你的截法.

⑶截得的截面能否是梯形？若能，画图说明你的一种截法.

6.新考法分类讨论法如图是一个长为12cm,宽为9cm的长方形纸片ABCD,将该长方形纸片绕一条边所在的直

线旋转一周，然后用平面沿与旋转轴平行的方向去截所得的几何体，求截面的最大面积.

类型3锥体的截面图

7.用一个平面去截圆推，得到的截面形状不可能是()

B

8.情境202计算机局城区期末〕计算机层析成像(CT)技术的工作原理与几何体的切截相似，只不过这里的“截”不是

真正的截，“几何体”是病人的某个器官，“刀”是射线.如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状

是()

类型4由截面图想象几何体的结构

9.母题教材P16习题T7用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为.(写出所有正

确结果的序号)

①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱.

10.新视角结论开放题截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由一个几何体截得，这个

1L一物体的外形为正方体，为探明其内部结构，给其“做CT"，如图①，用一组与左面平行的平面从左向右截这

个物体，按顺序得到如图②的截面，请你猜猜这个正方体的内部构造为.

②

①

阶段拔尖专训3由看到的形状图确定小正方体的个数

【高分秘籍】从不同方向看几何体来确定几何体的小正方体个数时，通常借助从上面看的平面图知道最底层小正

方体的个数及布局，从正面图可以看出小正方体的层数和列数，从左面图可以看出小正方体的排数，从而算出总

的个数

类型1借助从三个方向看到的形状图还原小正方体的个数（范围）

1.[2024上海金山区月考]在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将从这堆货箱的三个方向看到

的形状图画了出来（如图）,则这堆正方体货箱共有

从正面看从左面看从上面看

A.4个B.5个C.6个D.7个

2才艮据如图所给出的几何体从三个方向看到的形状图，确定几何体中小正方体的数目的范围.

从正面看从左面看从上面看

类型2借助从两个方向看到的形状图还原小正方体的个数范围

3、母题教材P20复习题T9从正面看、从上面看由n个相同的小正方体堆成的几何体的形状图如图所示，则n的

最大值是—.

从正面看从上面看

4.母题教材P20复习题T8如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体从正面和上面看到的形状图，设小

正方体的个数为n.

⑴请你写出一个符合上述看到的平面图的n的值：并画出它从左面看到的形状图；

⑵写出n的所有可能值.

rF^tzffi

从正面看从上面看

阶段拔尖专训4绝对值的常见应用

I高分秘师I运用绝对值解决问题，在初中代数中具有重要的意义，利用绝对值的知识一般可以将问题化归，结合

分类讨论思想、数形结合思想解决问题，从而达到化难为易、化繁为简的目的.

应用1绝对值在比较大小中的应用

1.比较-7：|和一(-4)的大小.

应用2绝对值在数轴中的应用

2我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，|x|我们可以看成x-0|斯以x-a|就表示x与a在数轴上对应

的两点之间的距离.若|x+3|=5，则x=

3.[2024济南市中区月考]已知在数轴上A,B两点分别表示的数是a和b,|a|=2,|b|=4,|a-b|=a-b，点P在数轴上且与

点A,点B的距离相等，则点P表示的数为.

应用3绝对值的非负性在求字母值或取值范围中的应用

4.若|a-l|=al则a的取值范围是()

A.a>lB.a<lC.a<lD.a>l

5.如果|x-2|=2-x,那么x的取值范围是__.

6.[2024天津和平区模拟]已知|x-3|+|y+5|=0求x+y|的值.

应用4绝对值在化简中的应用

7.新考法零点分段法化简：|x-l|+|x-3|.

8.新考法分类讨论法已知a,b,c均不为零，求*+卷+*+器的值•

------\a\\b\|c|\abc\

应用5绝对值的几何意义在求字母值或最值中的应用

9.母题教材P73复习题T17绝对值不大于a(a>0,且a为整数)的所有整数共有5个，贝[](a=

10.新视角学习探究题/同学们都知道，|5-1|表示5与1的差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；|

3-(-2)|表示3与-2的差的绝对值，实际上也可理解为3与-2在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对|3-(-

2)1进行变形得|3+2|,同样可以表示3与-2在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：

(1)|3-(-2)|=;

(2)|x-2|表示x与___之间的距离;|x+3|表示x与____之间的距离；

(3)当|x-2|+|x+3|=5时,x可取整数—.(写出一个符合条件的整数x即可)

(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x,|x+4|+5的最小值为一.

(5)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x,|x+4|+|x-6的最小值为一.

(6)解决问题：一条笔直的公路边有三个代工厂A,B,C和城区O,代工厂A,B,C分别位于城区左侧5km,右侧

1km,右侧3km.A代工厂需要芯片1000个,B代工厂需要芯片2000个,C代工厂需要芯片3000个.现需要在该公

路边建一个芯片研发实验室P,为这3个代工厂输送芯片.若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室P

建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？(实验室不能建在代工厂及城区处)

阶段拔尖专训5有理数混合运算应用技巧

技巧1凑整法

I高分秘籍I凑整法，就是根据题中数据特点、借助数的组合、分解以及有关运算性质，把其凑成整十整百整千

的数，从而达到计算简便、迅速的一种方法.

1.计算:⑴(—2，)x7x(—1.25)x(―巳)；(2)|x(-总-,xOx

技巧2分组法

I高分秘籍I根据算式的特征，计算规律，可把算式中的若干项作为一组，整个算式又可分成若干组，每组中若干项

的计算结果相同，这样可很快巧算出题目的结果.这种巧算思路称为分组法巧算.

2.计算:1-2+3-4+5-6+7-8+…+2023-2024.

技巧3拆分法

【高分秘籍】遇到与带分数有关的混合运算，将带分数的整数部分和分数部分进行拆分以达到简化计算的目的,

这种方法叫作拆分法.

3.计算:49||x(-5).

技巧4裂项法

【高分秘籍】裂项法，作为一种在有理数混合运算尤其是分数运算中常用的解题策略，其核心在于通过巧妙地将

复杂的表达式中的每一项“分裂”成若干更简单、更易操作的项，使得这些简单项在求和时能够相互抵消，从而简

化计算过程.

4.计算:—+—+—4--1--------------.

1X22X33X42027X2028

技巧5倒数法

【高分秘暗】在有理数混合运算中，当直接求解原算式变得棘手时，我们可以运用一种巧妙的策略一“倒数法”.

这种方法的核心在于巧妙利用倒数的性质，即任何非零数与其倒数的乘积恒等于L具体地，如果原算式直接求解

较为繁琐，我们可以先求出其倒数的值，随后对得到的结果再取倒数，最终就能获得原算式的解.

5.［2024石家庄桥西区期末］阅读下列材料.

计算：50+（〉］+*）,

解法1：原式：=504-|-504-^+504-^=50x3-50x4+50x12=550.

解法2：原式的倒数=（；/£）+50="、_打］+-><\=击故原式=300.

（1）以上两种解法中，解法—是正确的；

（2）请你计算：（―3+°IW）

技巧6整体设元法

［高分秘籍］整体设元法的核心思想在于，将一串有理数的代数和视作一个不可分割的整体，并巧妙地用一个特定

的字母来代替这一整体.这样就使原本冗长复杂的算式瞬间变得简洁明了.

6.新考法阅读类比法/阅读下列材料：

计算1+5+52+53+•••+551.

解：令M=1+5+52+53+…+551,则5M=5+52+53+54+•••+552,

故5M-M=552-1,故4M=552-1,

故M即1+5+52+53+-+561=

44

请仿照上述方法计算11+II2+II3+…+lln.

阶段拔尖专训6新定义概念运算思路

【高分秘籍】新定义类试题大多通过定义相关新的概念、数、运算或图形，或抓住新定义数的本质特征或隐含

的规律，或抓住新定义运算的法则或顺序，或抓住动点，动线的内涵与外延，或抓住新定义图形的性质，或抓住

原始定义和新定义及有关性质，按照这种新的定义规则，方法，思想或思维进行运算或推理，灵活运用所学的知

识与数学能力触类旁通，进行一定的拓展应用与创新.

思路1新定义数

1.定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3,[0.6]=0,[-3.6]=—4.对于任意数x,下列式子中错误的是

（）

A.[x]=x（x为整数）B.O<x-[x]<l

C.[x+y]<[x]+[y]D,[n+x]=n+[x]（n为整数）

思路2新定义运算

2.[2024宜昌月考]对于数a,b,定义运算“*”,a*6=产=外22例如5*3,因为5>3,所以5*3=52-5x3=10,

la—<b）,

若Xi,X2在数轴上对应的点分别到原点的距离相等，且两点间的距离为8,求Xi*X2的值.

思路3新定义图形

3.[2024廊坊广阳区月考]在数轴上有A,B两点，点A表示的数为-1,点B表示的数为b.对点A给出如下定义：

当b>0时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当b<0时，将点A向左移动|b|个单位长度，得到点P.称

点P为点A关于点B的“联动点”.当b=4时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为；当b=-2

时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为.

思路4新定义方程

4.新考法阅读类比法/阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作“含有绝对值的方程”.如：|x|=3,I-

2x+l|=2，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：把“含有绝对值的方程”

转化为“不含有绝对值的方程”.例如：

解方程：x+3|x|=4.

解:当x>0时,原方程可化为x+3x=4,解得x=l,符合题意；

当x<0时,原方程可化为x-3x=4.解得x=—2,符合题意.

所以原方程的解为x=l或x=-2.

根据以上材料解决下列问题：

⑴若|2x-2|=2-2x,则x的取值范围是____；

⑵解方程x+2|x-l|=4.

思路5新定义模型

5.[2024大连甘井子区月考]把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，如图所示.

CO5AB20

(I)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿

数轴向左移动，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5,由此可得木棒的长为—

.；我们把这个模型记为“木棒模型”；

⑵已知点C表示的数为-|,若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3个单位长度时，求木棒的右端点

与点A的距离；

(3)请根据(1)的“木棒模型”解决下列问题.某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要45

年才出生，•你若是我现在这么大，我就有123岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求

出爷爷现在的年龄.

阶段拔尖专训7比较有理数的大小

【高分秘籍】有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规的比较大小的方法外，

还有几种特殊的方法：作差法、作商法、倒数法、变形法、找中间量法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等.

方法1作差法

L比*和If的大小•

方法2作商法

2•比较一公和一部的大小•

方法3倒数法

3.有两个分数，2=品,3=鬻，问:A与B哪个大?

44445555

方法4变形法

4.比较-黑，-言-慧，-爱的大小.

5.比较一，一串勺大小•

方法

6.12024新脑蒙三帝号月考10网读与慈善请阅读小影的日记，并完成相应的任务.

XXXX年XX月XX月鉴期X

比较满个数的头小的方法

今失、疲在一条数学课外书上看到逻辑一道题：比较-券鸟一含的大小.遂道题判用绝对值法比较退满

个负数的关小大复杂。怎么办?该书腿徙了如下的方法：

解•因为21<2巴>2所以2〈工所以_牝>__t

用牛,口〃201<2'101>2'尸"人29<10只人201>1（少'

我有如下思考：这种方法叫什么方法？是通过哪个量作比较的?

【任务】

⑴上述方法是先通过找中间量_____来比较出；粉与荒的大小，再根据两个负数比较大小大的负数反而

小，把这种方法叫作催助中间量比较法.

⑵利用上述方法比较-费与-粉的大小。

数轴法

7,已知a>0,为试比较a,=a,b,-b的大小.

方法特殊值流

8,已知x,为是有理数，且a,b异号则a+b|,|a-b|,|a|+|b|的大小关系为__、

方法口分类讨论结

9.找较多也的大小

阶段拔尖专训8整式化简求值的运算技巧

技巧先化简，再代入求值

1.母题教材P105复习题T6先化简，再求值：

(1)2(|%2-3xy+_3_lXy+2y+4y2,其中x=-l,y=2.

(2)2(3a2b+a—b')—3(2a2b—a+b)—56,其中a-2b=3.

技巧2先挖掘已知条件，再代入求值

2.[2024永州月考]先化简，再求值:2(a2-ab)-3(2a2-3ab)+2[a2-(2a2-ab)]-1,其中a,b满足2/an和-

2n16nb+2是同类项.

技巧3先挖掘缺项信息，再求值

3.母题教材P94习题T9在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当、X=-3,y=-3.5时，求多项式.x2+4xy

+2y2-2(/+2孙+y2-2x-1)的值.”解完这道题后，小明指出y=-3.5是多余的条件.师生讨论后，一致认

为小明的说法是正确的.

⑴请你说明小明的说法正确的理由；

(2)接着王老师又出示了一道题：“设a,b,c为常数,已知关于x,y的多项式Max2+bxy+cy2-3y=2,N=

2x2-xy+4y2+2久-3,并且M-N的差是关于x,y的一次多项式，求代数式((a-b-。产?'的值.”请你解决

这个问题.

技巧4先挖掘“无关”信息，再求值

4.[2024眉山期末]已知A=a2-ab-3b2,B=2a2+ab-6b2.

⑴求2A-B;

⑵若代数式(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x+5y-1)的值与字母x的取值无关，求代数式2A-B的值.

技巧5整体代入求值

5.新考法阅读类比法7数学中,运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要.

例如：已知a?+2a=3,则代数式2a2+4a+1=2(a2+2a)+l=2x3+l=7.

请你根据以上材料解答以下问题：

(1)若a2—a—2,则2025—a+a2

(2)已知a--b=5,b-c=3,求代数式((a-c)2+3a-3c的值；

(3)当x=-l,y=2时，代数式ax2y-bxy2-1的值为5,则当x=l,y=-2时,求代数式ax2y-bxy2-1的值.

技巧6利用特殊值法求代数式的值

32

6.新考法阅读类比法已知a/"+a3x+a2x+axx+a0=6久，则

①当x=0时,a0=0;②当x=l时,a4+a3+a2+a1+a0=6;

③当x=-l时,a4—a3+a2-+«o=-6;

④把②③的结论相加，可以得到2a4+2a2+2a0=0,结合①的结论，可得出a4+a2=0.

请类比上例，解决下面的问题：

65432

已知2e(x—I)+a团(%—I)+a4(x—I)+a3(x—l)+a2(x—l)+a^x—1)+a0=c4x,求:

(l)a0的值：

(2)cig+as+CI4+a?+a?+a[+的值；

(3)a6+a44-a2的值.

阶段拔尖专训I9线段、角的计数问题

类型1射线的计数问题

L如图，射线0A上有0,A,B,C,D五个点，图中有几条射线？若有n个点（包括端点）呢？

1I________|________|________|_

OABCD

2.如图，直线1上有A,B,C,D,E五个点，图中共有几条射线？若有n个点呢？

__|_________|________|________|________L

ABCDE

类型2线段的计数问题

3.如图，直线1上有A,B,C,D,E五个点，图中共有几条线段？若有n个点呢?

]I1[

ABDE

类型3直线的计数问题

4.新视角规律探究题/如图：

•・,.・

・♦••••

①②③

（1）试验观察：

如果经过两点画直线，那么图①中最多可以画一条直线；图②中最多可以画一条直线；图③中最多可以画

条直线.

⑵探索归纳：

如果平面上有n（吟3）个点，目任意3个点均不在一条直线上，那么经过两点最多可以画一条直线，（用含n的

式予表示）

⑶解决问题：

某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手间好，那么共握一次手.

类型4交点的计数问题

5.在同一平面内，三条直线两两相交最多有几个交点？四条直线两两相交最多有几个交点？五条直线两两相交最多

有几个交点？n条直线两两相交最多有几个交点？

类型5角的计数问题

6.如图，图中共有几个角？若图中有n条射线呢?

7.[2024宜宾模拟]在.乙40B的内部弓|一条射线，如图①，则共有多少个角？在乙40B的内部弓|两条射线，如图②，

则共有多少个角？在乙4。8的内部引三条射线，如图③，则共有多少个角？若在乙4。8的内部引n条射线，如图

④，则共有多少个角?

类型6平面的计数问题

8.在同一平面上，1条直线把平面分成片上=2（个店口分，2条直线把平面最多分成三三=4（个）部分，3条直线

把平面最多分成W=7（个）部分，那么8条直线把平面最多分成个部分，口条直线把平面最多分成一

一个部分.

阶段拔尖专训10线段和角中的动态问题

类型1线段中的动态问题

题型1与线段中点有关的动点问题

1.如图①，已知线段AB=12,点C为线段AB上的一点，点D,E分别是AC和BC的中点.

ADCEBQB

①②

⑴若AC=4厕DE的长为.

⑵若BC=m,求DE的长.

⑶如图②，动点P,Q分别从A,B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀

速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为ts,问当t为多少时，P,Q

之间的距离为6?

题型2线段和差倍分关系中的动线段问题

2.已知点C在线段AB±,AC=2BC,点D,E在线段AB上点D在点E的左侧.若AB=18,DE=8,线段DE在线

段AB上移动.

(1)如图，当E为BC的中点时，求AD的长；

⑵点F(异于A,B,C点)在线段AB上,AF=3AD,CE+EF=3,,求AD的长

ADCEBACB

备用图

题型3线段中的存在性探究问题

3.[2024泰州高港区期末]【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合.已知结论：

数轴上点A,B表示的数分别为a,b,则A,B两点之间的距离AB=|a-线段AB的中点表示的数为等.

【知识运用】⑴点A,B表示的数分别为a,b,若a与-巳互为倒数,b与7互为相反数.则A,B两点之间的

距离为—；线段AB的中点表示的数为—.

【拓展迁移】⑵在⑴的条件下，动点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点Q

从点B出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M是线段PQ的中点，设运动时间为ts.

①点M表示的数是—；（用含t的代数式表示）

②在运动过程中，若点A,P,Q中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求t的值；

③线段PQ,AM的长度随运动时间的变化而变化，当点Q在点P左侧时，是否存在常数m，使得mPQ+AM为

定值？若存在，求常数m及该定值；若不存在，请说明理由.

类型2角中的动态问题

题型1求角度问题

4.已知4AOB=90。,"。。=60°,,按如图①所示摆放，将OA,OC边重合在直线MN上,OB,OD边在直线MN

的两侧.

（1）保持乙4OB不动，将NC。。绕点。旋转至如图②所示的位置，则：

①N40C+乙BOD=.

②乙BOC-AAOD=.

（2）若NCOD按每分钟5。的速度绕点。逆时针旋转，乙4OB按每分钟2。的速度也绕点O逆时针旋转，2。（^旋转到

射线ON上时都停止运动，设旋转tmin,计算.乙MOC-乙4。。的值.（用含t的代数式表示）.

①备用图

题型2定值问题

5.[2024汕头金平区期末]如图，"0B=90°,4D0E=40°,,角的顶点O互相重合，将以OB绕点O旋转.

⑴当射线OB,OD重合时，乙4OE=。；

⑵在乙408绕点O旋转的过程中，若射线OB,OD与OE中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线，则NBO

D的度数为；

⑶在/AOB绕点O旋转的过程中，若射线OB始终在NDOE的内部.

①善于思考的小明发现，在旋转过程中，NAOE-/BOD的值为定值，请你求出这个定值；

②作/BOD和NAOE的平分线OM,ON,在旋转过程中NM0N的度数是否发生变化？若不变，请求出这个度数，

若变化，请求出变化的范围.

题型3存在性探究问题

6.[2024襄阳期末]如图①，点A,O,B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4。的速度旋

转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒（6。。的速度旋转，直线MN保持不动，如图②，设旋转时间为ts（t

的值在0到30之间）.

⑴当t=3时，求NAOB的度数；

⑵在旋转过程中，当乙4。8第二次达至I」60。时，求t的值；60°

⑶在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90。?如果存在，请直接写出t的值；如果不

存在，请说明理由.

阶段拔尖专训11巧妙设元方法归纳

方法1直接设元法

【高分秘籍】“直接设元”就是题目要求什么量，就设什么量为未知数，或者有几个要求的量，设其中某一个量为

未知数.“直接设元”是最常用的设元法.

1.中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍.”乙回答说：

“最好还是把你的羊给我一只，我们羊数就一样了.”则甲的羊数是（）

A.5RB.6RC.7只D.8只

2.[2024镇江期末]一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们在平行的轨道上相

向行驶，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列

车驶过窗口的时间是（）

A.7.5秒B,6秒C.5秒D.4秒

3.情境题游戏活动10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如

实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图

所示，则报2的人心里想的数是.

方法2间接设元法

【高分秘籍】为更容易找出题中的等量关系，适当地选择设与题目要求的未知数有关的某个量为未知数，从而列

出方程，即“间接设元”所设的不是所求的.

4.如图是一个长方形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形边长为1,则这个长方形

的面积为.

5.新考向数学文化7大数学家欧拉的数学名著《代数基础》中记录了一个有趣的问题：有一位父亲，临终时嘱咐

他的儿子这样来分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩

下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的

十分之一……按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多.问：这位父亲共有几个儿子？每个儿

子分得多少财产？

6.新考法分类讨论法小明家的电话号码是八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数，电话号码

的数字和等于它的最后两位数.问：小明家的电话号码是多少？

方法3辅助设元法

【高分秘籍】对于一些较为复杂的问题，数量之间的关系往往错综复杂，有些量与求解无直接联系，但如果不指

明这些量，则很难求解，因而需把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助思考，这就是辅助设元.在已知条件和

所求结论之间架起一座“桥梁”，从而理清各个数量间的关系，这种设元方法叫作辅助设元法，也叫参数法或设而

不求法.

7.[2024北京丰台区月考]植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由

男同学完成，每人应植树（）

A.9棵B.10棵C.12棵D.14棵

8.新趋势跨学科有两块锌铜合金的质量分别为10kg.15kg,这两块合金含铜的百分比不同，现分别从这两块合金

中各切下一块质量相同的合金，交换后分别与另一块合在一起熔化，冷却后测得这两块合金含铜的百分比相同,

求切下的一块合金的质量.

方法4整体设元法

【高分秘籍1有些应用题中未知量太多，而已知关系又少，如果在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这

一部分为一个未知数，这样就减少了设元的个数，这种设元的方法叫作整体设元法.

9.新考问知识情境化/如图所示的算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”=3,那

么乘数“神舟飞船升空”是—.

神舟飞船升空

x神

升空神舟飞船

10.一^六位数2abede的3倍等于abcde9,则这个六位数是」

阶段拔尖专训12构造一元一次方程解决问题

根据一元一次方程的定义构造方程

1.已知((血2-4)x2-(m+2)x+8=。是关于x的一元一次方程.求200(2m+0(3%一2m)+|6的值.

类型2根据一元一次方程解的定义构造方程

2.新考法逆向思维法在练习解方程时，作业上有一个方程2y~l=?y+=，中的■没印清，小华问老师，老师只是

3o

说：“■是一个有理数，该方程的解与x=3时，代数式55(%-1)-2(%-2)-4的值相同;

⑴求当x=3时代数式5(x—1)—2(x—2)—4的值；

(2)求原方程中■的值.

类型3根据两个一元一次方程的解的关系构造方程

3.新考法同解求值法若方程序+等=1-军与关于x的方程x+等=B-3久的解相同，求a的值.

6343o

4.[2024许昌期末]已知关于x的方程j(x-l)=5+k的解与方程式x-1)-1k=|(久-1)的解互为相反数，求k

的值

根据方程无解构造方程

5.[2024广州海珠区期中偌关于x的方程网产一久=弓-n与寸-等=g均无解，求代数式6m+4n-2(m-l)(n+l)

z334o

的值.

类型5根据方程有无穷解构造方程

6.不论k为何值，x=-l总是关于x的方程等二一等的解.求ab的值.

类型6根据有理数的相关概念构造方程

7.母疆考法：数据结合法］如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数，则字

母A所标注的代数式的值为

A.24B.-24C.12D.-12

8.［2024武汉黄陂区月考］已知千与?互为相反数，手与|互为倒数，

3263

⑴求a,b的值；

(2)^<3(2cz2+3ab—2b2—1)+5(—u2+ab—〃.)的彳直

类型7根据代数式的相关知识构造方程

9.已知代数式苫-等的值比的值小1，求x的值.

1

10.已知关于x,y的单项式-rnxyi-m与-3xy2<m+n+5是同类项，求当x==-4时，代数式-血孙”"_

3支产m+l)+5的值

类型8根据新定义构造方程

11.新疆2生确定义期末给出定义如下：我们称使等式a―b=ab+1成立的一对有理数(a,b)为“共生有理数对”.如:

3-j=3x|+l,5-|=5x|+1,所以数对(3-1),(5-1)都是“共生有理数对”.

⑴数对(-2,0,(-3-3)中,是“共生有理数对”的是二

⑵若(x+1,5)是“共生有理数对"，贝!］x的值是多少？写出求解过程.

(3)若(a,b)是“共生有理数对"，求3ab+a-(b+4ab)+l的值.

类型9根据图形信息构造方程

12.［2024上海宝山区期中］如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的长方形卡片，卡片之间有三

块正方形空隙(图中阴影部分)，已知卡片的短边长是10cm,那么图中三块阴影部分的总面积是—cmZ

阶段拔尖专训13数形结合思想

【高分秘籍】数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决

方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合思

想将数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决.

类型1有理数中的数形结合思想

1.R024达州期中］a,b在数轴上的位置如图所示，则a,b,-a,-b的大小关系是)

a-10b1

A.a>b>-a>-bB.-a<b<a<-bC.-a<b<-b<aD.-a>b>-b>a

2.再20：24；按相同明官汇用考］如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成6部分，部分①的面积是整体面积的

一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，以此类推.

⑴图中阴影部分的面积是.

(2)写出|+或+套+…++的结果为」

类型2代数式中的数形结合思想

3.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，目a|=|b|.

⑴求a+b和a/b的值；

(2)化简:闾-|a+b|-|c-a|+|c-bH-2bl.

I1

b0

4.新考选：整体代入法如图①是一个长为2x,宽为2y的长方形，按图中虚线用剪刀剪开，将其平均分成四个完全

相同的小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形.

⑴试用含x,y的式子表示图②中阴影部分的面积；（用两种不同的方法表示）

⑵根据⑴中阴影部分的面积的不同表示方法，你能得出什么数量关系？

⑶根据⑵中的数量关系，解决如下问题:若x+y=5,xy=3.求（（x-的值.

①

类型3方程中的数形结合思想

5.[2024漳州期中]如图，正方形ABCD的边长是2个单位，一只乌龟从A点出发以2个单位/秒的速度顺时针绕正

方形的边运动，另有一只兔子也从A点出发以6个单位/秒的速度逆时针D绕正方形的边运动，则第2024次相

遇在()

D

A.点A处B.点B处C.点C处D.点D处

AB

6.新视角动点探究题/如图，A,B是数轴上的两点，A点表示的数为-2,B点表示的数为10,O是原点.动点P从

点O出发向点B匀速运动，速度为每秒1个单位长度，动点Q从点A出发向点B匀速运动，速度为每秒3个单

位长度，到达点B后立即返回，以原来的速度向点O匀速运动，当点P,Q再次重合时，两点都停止运动，设

Q,P两点同时出发，运动时间为ts.

_______，f，一》，；■

AQOPB

(1)当点Q到达点B时，点P表示的数为；

⑵在点Q到达点B前，点Q表示的数为；(用含t的代数式表示)

(3)在整个运动过程中，当t为何值时，P,Q两点相距1个单位长度.

类型4几何中的数形结合思想

7.[2024珠海十中模拟]已知/AOB=3NBOC,OD,OE分另U为乙4OB和NBOC的平分线.

⑴如图①，当OC在/AOB的内部时，若NBOC=20。,求4OE的度数

⑵如图②，当OC在/AOB的外部时，若.NDOE=22。,求N40C的度数

8.新视角动点探究题7如图，射线OM上有三点A,B,C,满足(OA=20cm,AB=60cm,BC=10cm,m,点P从

点O出发，沿OM方向以lcm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出

发，当