2024年河南某中学中考数学四模试卷（附答案解析）

2024年河南师大实验中学中考数学四模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

L（3分）—我的相反数是（）

1

A.2024B.-2024C--2WD.------

2024

2.（3分）2024年河南春晚从传统文化中寻找韵脚，在科技赋予的丰富场景中，编织出了一幅璀璨的文化

风情图，获得业内专家的点赞.截至2024年2月9日12点，全网阅读量再创新高，突破130亿.数据

“130亿”用科学记数法表示为（）

A.O.13X1O10B.1.3X109C.1.3X1O10D.13X109

3.（3分）下列说法错误的是（）

A.“对顶角相等”是必然事件

B.“刻舟求剑”是不可能事件

C.“方程，+左=。有实数解”是随机事件

D.某彩票的中奖机会是1%,买100张一定会中奖

4.（3分）下列各式中，正确的是（）

A.2Q5・3Q2=6Q1°B.(x3)加+2=俨

C.-(加)3=-ab6D.(a-b)(-a-b)=-层-P

5.（3分）某几何体由8个相同的小立方体构成，它的俯视图如图所示，俯视图中小正方形标注的数字表

示该位置上的小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（)

21

T3

俯视图

A.曲B..B=@cffHD,.耳

6.（3分）不等式组.;二”］的解集在数轴上表示正确的是，)

A.01

C.01

7.（3分）若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数加的值可以是（）

第1页（共22页）

A.-1B.1C.2D.3

8.（3分）某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同.把

这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概

加

12

D.

3

9.（3分）为保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图1所示的水压表和深度表.图2是深度表的工作原理简

化电路图，其中以（。）的阻值会随下潜深度〃（m）的变化而变化，其变化关系图象如图3所示.深

度表由电压表改装.已知电压表示数。（忆）与电阻Q的关系式是（/=辞京.则下列说法不正确的是

（）

A.随着潜水深度的增大，Q的阻值不断减小

B.随着潜水深度的增大，电压表数值不断减小

C.当下潜的深度为10%时，Ri的阻值为3011

D.当下潜的深度为40加时，电压表的示数为3%

10.（3分）如图1,矩形48CD中，点E为的中点，动点尸从点/出发，沿折线4D—DC匀速运动,

到达点C时停止运动，连接/P,PE,设/尸为x,PE为y,且y关于x的函数图象如图2所示，则/尸

的最大值为（）

第2页（共22页）

A.V17C.V21D.3V3

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）在函数＞=写中，自变量x的取值范围是.

12.（3分）将含30°角的直角三角尺如图摆放，直线。〃6,若/1=65°,则/2的度数为.

13.（3分）写出一个经过点（2,2）且在第一象限内〉随x的增大而减小的函数解析

式•

14.（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点。，A,B,。均在格点上，以O为圆心。4

为半径的弧经过点3,以。为圆心，。。为半径的弧交ON于点£,OD的延长线交弧于点C,则图

中阴影部分的面积为____________________.

15.（3分）如图，等腰三角形/8C中，ZA=45°,N8=NC=2V^,点尸为边48上一个动点，连接CP,

点。为点/关于CP的对称点，连接DP,CD,当CO垂直于△/2C的一腰时，NP的长

为.

三、解答题（本大题8个小题，共75分）

16.（10分）（1）计算：2x（-2厂2+7^7+（2024—兀）。；

（2）化简：（1+占）.咚1

第3页（共22页）

17.（9分）某市举办中学生田径赛，某中学准备选派一名立定三级跳选手参加比赛，对甲、乙两名同学进

行了8次立定三级跳选拔比赛，他们的原始成绩（单位：加）如表:

学生/成绩/次数第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次

甲7.37.17.37.57.27.37.57.2

乙7.37.57.56.76.57.87.57.6

两名同学的8次立定三级跳成绩数据分析如下表:

学生/成绩/名称平均数中位数众数方差

（单位：m）（单位：cm）（单位：m）（单位：m2）

甲a7.37.3d

乙7.3bC0.1825

根据图表信息回答下列问题：

（I）求出。、b、c、"的值；

（2）这两名同学中，的成绩更为稳定；（填甲或乙）

（3）若预测立定三级跳7.1加就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪位同学

参赛，并说明理由.

18.（9分）如图，反比例函数了=?1>0）的图象经过点/（3,4）,《。〃*轴，点2（5,0）,的

平分线交/C于点。，连接3D.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）判断四边形O8D4的形状，并说明理由.

19.（9分）已知船甲从/处向正北方向的C岛航行，同时，船乙在岛C正东方向80海里的。处向正东

方向航行，此时船甲观察到船乙在北偏东45°方向，1.5小时后船甲在2处观察到船乙在北偏东70°

方向的£处，若船甲的航行速度为20海里/时，求船乙的速度.（精确到0.1海里，参考数据：sin70°

-0.94,cos70°七0.34,tan70°七2.75)

第4页（共22页）

北

20.（9分）部分手机生产商以环保为名销售手机时不再搭配充电器，某电商看准时机，购进一批慢充充电

器和快充充电器在网上销售，已知该电商销售10个慢充充电器和20个快充充电器的利润为400元；销

售20个慢充充电器和10个快充充电器的利润为350元.

（1）求每个慢充充电器和每个快充充电器的销售利润；

（2）该电商购进两种型号的充电器共200个，其中快充充电器的进货量不超过慢充充电器的2倍，设

购进慢充充电器x个，这200个充电器的销售总利润为y元.

①求y关于x的函数关系式；

②该电商购进两种充电器各多少个，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？

21.（9分）如图，中，AB,CD为直径,为。。的切线，点C为切点，连接8C.

（1）尺规作图：过点。作。垂足为交弦3c于点N,交切线S于点E,交。。于点尸,

连接CF（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求证：CE=EN；

（3）若。。的半径为2,CF=1,求的长.

22.（10分）已知抛物线>=以2-2ax+a（aWO）.

（1）抛物线的顶点坐标为.

（2）当-IWxWl时，y的最大值为8,求抛物线的解析式.

（3）若/（m,yi）,B{m+t,72）是抛物线上两点，其中f>0,记抛物线在4,3之间的部分为图象G,

（含/,8两点），当4,3两点分别在抛物线的对称轴两侧时，当m+t=2时，yi<y2.直接写出/的取

值范围.

23.（10分）如图，等腰直角三角形N5C中，NC=90°,AC=BC,平分/48C交/C于点过点

M作垂足为N,点P为直线上一个动点，以为边顺时针作/产儿@=135°,交直线

第5页（共22页）

BC于点Q.

(1)如图1,当点尸在线段/N上时，线段MP,M0的数量关系为,线段。0,AP,

CM之间的数量关系为.

(2)如图2,当点尸在线段NB上时，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明

理由.

(3)当点尸在直线48上运动时，tan/CQM=V^,BN=2a+2,直接写出4P的长.

图1图2备用图

第6页(共22页)

2024年河南师大实验中学中考数学四模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

L（3分）-忐的相反数是（）

11

A.2024B.-2024C.一品r

2024

【解答】解；的相反数是心，

2024

故选：D.

2.（3分）2024年河南春晚从传统文化中寻找韵脚，在科技赋予的丰富场景中，编织出了一幅璀璨的文化

风情图，获得业内专家的点赞.截至2024年2月9日12点，全网阅读量再创新高，突破130亿.数据

“130亿”用科学记数法表示为（）

A.O.13X1O10B.1.3X109C.1.3X1O10D.13X109

【解答】解：130亿1.3X10。

故选：C.

3.（3分）下列说法错误的是（）

A.“对顶角相等”是必然事件

B.“刻舟求剑”是不可能事件

C.“方程x?+左=0有实数解”是随机事件

D.某彩票的中奖机会是1%,买100张一定会中奖

【解答】解：“对顶角相等”是必然事件，故/不符合题意；

3.“刻舟求剑”是不可能事件，故3不符合题意；

C“方程/+左=0有实数解”是随机事件，故C不符合题意；

D.某彩票的中奖机会是1%,买100张不一定会中奖，故D符合题意;

故选：D.

4.（3分）下列各式中，正确的是（

A.2a5・302=6小B.(%3)'"+(丁)2=廿

C.-（°户）3=-ab6D.(a-b)(-a-b)=-a~-b~

【解答】解：/错误，应为6a7；

B正确；

第7页（共22页）

。错误，应为-f死

D错误，应为-（次-庐）.

故选：B.

5.（3分）某几何体由8个相同的小立方体构成，它的俯视图如图所示，俯视图中小正方形标注的数字表

示该位置上的小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）

【解答】解：综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：主视图左边一列有2个，中

间一列有1个，右边一列有3个，

故选：B.

6.（3分）不等式组卜+1>°的解集在数轴上表示正确的是（）

【解答】解：由x+1>0,得x>-1,

由2x-32l,得x22,

不等式组的解集是x22,

故选：D.

7.（3分）若关于x的一元二次方程/-2丑机=0有两个不相等的实数根，则实数机的值可以是（）

A.-1B.1C.2D.3

【解答】解：根据题意得△=(-2)2-4加＞0,

解得m<l,

所以m可以取-1.

故选：A.

第8页（共22页）

8.（3分）某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同.把

这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概

【解答】解：把四张卡片记为：/、B、C、D,

画树状图，如图：

开始

共有12种可能性，这两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的情况有8种，

82

则这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概率是二=

123

故选：D.

9.（3分）为保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图1所示的水压表和深度表.图2是深度表的工作原理简

化电路图，其中小（Q）的阻值会随下潜深度〃（机）的变化而变化，其变化关系图象如图3所示.深

度表由电压表改装.已知电压表示数U（忆）与电阻处的关系式是U=露条.则下列说法不正确的是

“1十上3

A.随着潜水深度的增大，小的阻值不断减小

B.随着潜水深度的增大，电压表数值不断减小

C.当下潜的深度为10机时，M的阻值为30。

D.当下潜的深度为40〃?时，电压表的示数为3%

第9页（共22页）

【解答】解：/、由图图象可知随着潜水深度的增大，处的阻值不断减小，说法正确，不符合题意；

5、随着潜水深度的增大，电阻K1变小，电压表数值不断增大，原说法错误，符合题意；

C、由图象可知，当下潜的深度为10加时，舟的阻值为30Q,说法正确，不符合题意；

D、由图象可知，当下潜的深度为40%时，电压表的示数为3匕说法正确，不符合题意.

故选：B.

10.（3分）如图1,矩形48CD中，点E为的中点，动点尸从点/出发，沿折线4D—DC匀速运动，

到达点C时停止运动，连接/P,PE,设/尸为x,PE为y,且y关于x的函数图象如图2所示，则/尸

的最大值为（）

【解答】解：由图2可知，当x=0时，尸2,

即当点尸在点/时，y=PE=AE=2,

:点£为48的中点，四边形48CD为矩形，

：.AB=CD=2AE=4,ZD=90°,

当点P在4D上运动时,PE逐渐增大，当点P到点D时，从图2中的拐点可知，此时>=尸£=。£=V13,

：.AD=y/DE2-AE2=J（V13）2-22=3,

当点尸运动到点C时，4P最大，

止匕时4P=4C=y/AD2+CD2=V32+42=5.

故选：B.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）在函数中，自变量x的取值范围是x22且xW4.

【解答】解：根据题意得

解得x22且xW4,

自变量x的取值范围是x22且xN4,

第10页（共22页）

故答案为x22且xW4.

12.（3分）将含30°角的直角三角尺如图摆放，直线a〃b,若Nl=65°,则/2的度数为55。

.'.Z1=Z3=65",

VZABC^90°,NN=30°,

AZACB=90°-ZA=60°,

.\Z4=180o-ZACB-Z3=55°,

.,.Z2=Z4=55",

答案为：55°.

13.（3分）写出一个经过点（2,2）且在第一象限内y随x的增大而减小的函数解析式”=：,答案不

唯一.

【解答】解：由于在第一象限内〉随x的增大而减小，

故设函数的关系式为产~

代入（2,2）得：左=4；

则函数的解析式为：＞=*

故答案为：y=^,答案不唯一.

14.（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点。，A,B,。均在格点上，以。为圆心。/

为半径的弧经过点8,以。为圆心，为半径的弧交CM于点£,OD的延长线交弧N8于点C,则图

中阴影部分的面积为|n-2.

第11页（共22页）

【解答】解：根据题意得，AAOC=ZBOC=45°,ZODB=90°,OD=BD=2,OA=

OC=V22+22=2&,

阴=S扇形NOC-S扇形。OE+S扇形BOC-S4OBD,

._45/rx（2夜）245兀X22457rx（2四）213

+2712,

阴—360360~3602Z

故答案为：--2.

15.（3分）如图，等腰三角形/2C中，N/=45°,48=/。=2应，点尸为边AB上一个动点，连接CP,

点。为点N关于CP的对称点，连接。尸，CD,当CD垂直于△/8C的一腰时，4P的长为_4-2鱼

或2

【解答】解：①CDL4B时,

第12页（共22页）

\ZCEA=ZAED=90°，

VZA=45°,AC=2衣,

AE=AC・cosZ-A=2,

・・•点D为点A关于CP的对称点,

；・DP=AP,ZD=ZA=45°,

设4尸=%，则DP=x,EP=2-x,

•；EP=DP・sm/D,

・0V2

..2-x=-2~xf

解得：x=4-2近，

②CD_L4c时，

VZA=45°，

...△/CD是等腰直角三角形,

•sAC，

..AD=------T=4,

cosZ-A

:点。为点/关于CP的对称点，

：.AP=DP,

：.AP=2,

故答案为：4-2夜或2.

三、解答题（本大题8个小题，共75分）

16.（10分）（1）计算：2X（-2厂2+/干+（2024-兀）°；

第13页（共22页）

（2）化简：（1+占）.福

【解答】解：(1)2x(-2)-+7^27+(2024-兀)°

1

=2x彳+(-3)+1

4

1-3+1

3

二一2；

⑵（1+占）中

—x-1+1.-(-x---+--l-)--(-~---l-)-

x—1X

X(x+l)(x—1)

x—1X

x+l.

17.（9分）某市举办中学生田径赛，某中学准备选派一名立定三级跳选手参加比赛，对甲、乙两名同学进

行了8次立定三级跳选拔比赛，他们的原始成绩（单位：小）如表:

学生/成绩/次数第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次

甲7.37.17.37.57.27.37.57.2

乙7.37.57.56.76.57.87.57.6

两名同学的8次立定三级跳成绩数据分析如下表:

学生/成绩/名称平均数中位数众数方差

（单位：m）（单位：cm）（单位：m）（单位：m2）

甲a7.37.3d

乙7.3bC0.1825

根据图表信息回答下列问题:

（1）求出Q、b、C、d的值;

（2）这两名同学中，甲的成绩更为稳定:（填甲或乙）

（3）若预测立定三级跳7.1加就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪位同学

参赛，并说明理由.

1

【解答】解：⑴由题意得，a气X(7.3X3+7.1+7.5X2+7.2X2)=7.3；

6=冲=75

第14页（共22页）

c=7.3；

d=gx[3X(7.3-7.3)2+(7.1-7.3)2+2X(7.5-7.3)2+2X(7.2-7,3)2]=0.0175；

(2):甲的方差比乙小,

，甲的成绩更为稳定；

故答案为：甲；

(3)应选择甲，理由如下：

若预测立定三级跳7.1加就可能获得冠军，那么成绩在7.1优或7.1优以上的次数甲多，则选择甲.

18.(9分)如图，反比例函数(k>0)的图象经过点/(3,4),/C〃x轴，点8(5,0),的

平分线交/C于点。，连接3D.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)判断四边形08LM的形状，并说明理由.

【解答】解：(1):反比例函数>=[*>0)的图象经过点/(3,4),

.•"=3X4=12,

•♦•反比例函数的表达式是y=~

(2)四边形03。/是菱形.

理由：'JAC//OB,

：./ADO=/BOD.

・.・/AOD=NBOD,

：.NAOD=/ADO,

•\AD=AO.

VA(3,4),B(5,0),

：.OA=OB=5,

：.AD=OB.

,:AD〃OB,AD=OB,

...四边形OBDA是平行四边形.

第15页(共22页)

又；AD=OA,

J.aOBDA是菱形.

19.（9分）已知船甲从/处向正北方向的。岛航行，同时，船乙在岛C正东方向80海里的D处向正东

方向航行，此时船甲观察到船乙在北偏东45°方向，1.5小时后船甲在8处观察到船乙在北偏东70°

方向的£处，若船甲的航行速度为20海里/时，求船乙的速度.（精确到0.1海里，参考数据：sin70。

仁0.94,cos70°20.34,tan70°仁2.75)

【解答】解：由题意得：^5=1.5X20=30（海里），ACLCE,

在RtZX/CD中，ZCAD=45°,CD=80海里,

rn

："AC=tan45°=8°（海里）'

：.BC=AC-AB=SQ-30=50（海里），

在RtzXBCE中，/CBE=7Q°,

.".C£=JBC«tan70°^50X2.75=137.5（海里），

：.DE=CE-CD=137.5-80=57.5（海里），

船乙的速度=57.5+1.5-38.3（海里/时），

答：船乙的速度约为38.3海里/时.

20.（9分）部分手机生产商以环保为名销售手机时不再搭配充电器，某电商看准时机，购进一批慢充充电

器和快充充电器在网上销售，已知该电商销售10个慢充充电器和20个快充充电器的利润为400元；销

售20个慢充充电器和10个快充充电器的利润为350元.

（1）求每个慢充充电器和每个快充充电器的销售利润；

（2）该电商购进两种型号的充电器共200个，其中快充充电器的进货量不超过慢充充电器的2倍，设

购进慢充充电器x个，这200个充电器的销售总利润为y元.

①求y关于x的函数关系式；

②该电商购进两种充电器各多少个，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设每个慢充充电器销售利润为。元，每个快充充电器的销售利润为6元，

第16页（共22页）

根据题意得：+20^=400

120a+10b=350

解得仁著

答：每个慢充充电器销售利润为10元，每个快充充电器的销售利润为15元；

(2)①设购进慢充充电器x个，则购进快充充电器(200-x)个，

根据题意得：y=10x+15(200-x)=-5x+3000,

.\y关于x的函数关系式为>=-5x+3000；

②,•快充充电器的进货量不超过慢充充电器的2倍，

(200-x)W2x,

解得孚，

又且x为正整数，

.1.67^x^200(x为正整数)，

:在y=-5x+3000中，-5<0,

随x的增大而减小，

...当x=67时，y有最大值，最大值为-5X67+3000=2665(元)，

此时200-67=133(个),

•••当购买67个慢充充电器和133个快充充电器时，才能使销售总利润最大，最大利润是2665元.

21.(9分)如图，OO中，AB,CD为直径,为O。的切线，点。为切点，连接BC.

(1)尺规作图：过点。作垂足为M,交弦3C于点N,交切线于点£,交。。于点凡

连接CF(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)求证：CE=EN；

(3)若OO的半径为2,CF=1,求EM的长.

D

【解答】(1)解：如图所示，即为所求；

(2)证明：；CD是。。的直径，S为。。的切线,

：.DC±CH,

：.ZECN+ZOCB=9Q°,

第17页(共22页)

•：OB=OC,

：.ZOCB=ZOBC,

U：DM±AB,

:・NBMN=90°,

ZMNB+ZOBC=90°,

.：/CNE=/BNM,

:・NCNE+/OCB=90°,

・・・ZECN=ZENC,

：.CE=EN；

(3)解：如图，连接CR

•「CD是。。的直径，

：.ZCFD=90°,

•・・CQ=2OC=4,CF=\,

：.DF=VCD2-CF2=V42-I2=V15,

U：DFLAB,

：.DM=FM=^DF=号,

VOC=OD,AB//CF,

：.0M是△CDF的中位线，

11

：.0M=^CF=^,

VZOMD=ZDCE=90°,ZD=ZZ),

・•・XDMOsXDCE,

CDDM

•••—__,

EDCD

ED4

：.ED=1fV15,

；.EM=ED-DM=—孚=

第18页（共22页）

22.(10分)已知抛物线y=a/-2ax+a(。#0).

(1)抛物线的顶点坐标为(1,0).

(2)当-14W1时，y的最大值为8,求抛物线的解析式.

(3)若/(to,ji),B(加+/,”)是抛物线上两点，其中40,记抛物线在4,8之间的部分为图象G,

(含/,2两点)，当/,3两点分别在抛物线的对称轴两侧时，当机+/=2时，勿<”.直接写出/的取

值范围.

【解答】解：(1),."y—ax2-2ax+a—a(x-1)2,

抛物线的顶点坐标为(1,0),

故答案为：(1,0)；

(2)•.•抛物线的顶点坐标为(1,0),

对称轴为直线x=l,

若a<0,-IWxWl时，了的最大值为0,不符合题意，舍去；

：.a>Q,抛物线开口向上，

•.•当xWl时，y随x的增大而减小，

...当X=-1时，-2ax+a取最大值8,即抛物线经过点(-1,8),

把点(-1,8)代入y=a(x-1)2得:4a=8,

解得：a=2,

，抛物线的解析式为y=2(x-1)2；

(3)由(2)得：y=2(x-1)2,

:对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,0),

的最小值为0,

,：A,8两点分别在抛物线的对称轴两侧，即机<1<加+3

当m+t—2时，yi<y2>

.*.m=2-t,

/.2-V2_t+tj

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解得：，＞1.

23.（10分）如图，等腰直角三角形45c中，ZC=9