2023年中考数学解直角三角形知识点复习

中考解直角三角形

考点一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余：可表达如下：ZC=90°=>NA+NB=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的I直角边等于斜边的二分之一。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的二分之一

4、勾股定理：假如直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么°2+/=/.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平

方

勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边

勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a,b,c有下面关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

考点二、直角三角形的鉴定

1、有一种角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形

2、假如三角形一边上的中线等于这边的二分之一，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a、b、c满足a'+b'cz,那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦

五）

用它判断三角形与否为直角三角形的一般环节是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若/=/+〃，则AABC是以NC为直角的三角形；

若+浮<,2,则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）;

若a2+B2>c2,则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

(2)已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

(3)用于证明线段平方关系的问题。

(4)运用勾股定理，作出长为〃'的线段

考点三、锐角三角函数的概念

1、如图，在△ABC中，ZC=90°

NA的对边a

①锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记为sinA,即sinA=

斜边c

NA的邻边b

②锐角A的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记为cosA,即COSA=

斜边C

NA的对边a

③锐角A的对边与邻边的比叫做NA时正切，记为tanA,即tanA=

NA的邻边b

NA的邻边b

④锐角A的邻边与对边的比叫做NA的余切，记为cotA,即COt4=

NA的对边a

2、锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做NA的锐角三角函数

3、某些特殊角的三角函数值

三角函数30°45°60°

j_V2V3

sina

222

V3V2j_

cosa

~2~~2

V3

tana1

3

V3

cotaV31

4、各锐角三角函数之间的关系

(1)互余关系：sinA=cos(90°一A),cosA=sin(90°一A)；

(2)平方关系：sin2A+cos2A=1

(3)倒数关系：tanA•tan(90°—A)=1

sinA

(4)商(弦切)关系：tanA=------

cosA

5、锐角三角函数的增减性

当角度在0。〜90。之间变化时，

（1）正弦值伴随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值伴随角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值伴随角

度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值伴随角度欧I增大（或减小）而减小（或增大）

考点四、解直角三角形

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做

解直角三角形。

2、解直角三角形的理论根据

在RtAABC中，ZC=90°,ZA,ZB,NC所对时边分别为a,b,c

（1）三边之间的关系：a-+b2=c2（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：NA+NB=90°

（3）边角之间的关系：正弦sin,余弦cos,正切tan

工c--1od1--1chc

（4）面积公式：22（he为c边上的高）

考点五、解直角三角形应用

1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解

2、仰角、俯角、坡面知识点及应用举例：

（1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

h

（2）坡面的铅直高度/z和水平宽度/时比叫做坡度（坡比）。用字母，表达，即1=7。坡度一般写成1：加的形式，如，=1:5等。把

h

坡面与水平面的夹角记作a（叫做坡角），那么=tana。

1

3、从某点时指北方向按顺时针转到目的方向的水平角，叫做方位角。如图3,OA、OB、OC、OD时方向角分别是：45°、135°、

225°o

解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）

1、解直角三角形的类型与解法

知、解法

已知条件解法步骤

类型、

两直角边（如a,b）

由tanA=*求NA；4=90。—A,c="b?+b2

RtAABC

两斜边，一直角边（如c,a）

由SinA=*求NA；NB=90°—A,b=\C2-a2

B

边

锐角，邻边b

NB=90°—A,a=b•SinA,c=---TCOSA

边一角边（如NA,b）cosA

和锐角，对边aa

ZB=90—A,b=~~~T,c=^~r

角一锐角（如NA,a）tanAsmA

斜边，锐角（如c,ZA）NB=90°—A,a=c•SinA,b=c,cosA

2、测量物体的高度的常见模型

1）运用水平距离测量物体高度

数学模型所用应测数据数量关系根据

工具原理

11

tana=--,tanB=---

X1X2

瓜tana•tanB直角

Iatana+tanB

a侧倾a、B、三角

器水平距离aII形的

tana—tanB-

皮尺a+XX边角

关系

z

tana•tanB

I—a•n

tanp-tana

a/Y

2）测量底部可以抵达的物体的I高度

数学模型所用应测数据数量关系根据

工具原理

haa。

一x，h—

皮尺目高a1反射

h

镜子水平距离a2定律

水平距离

a2%a3

同一时刻物高与影长成

\、h。3

-,h=-------正比

h

皮尺标杆IWJai

ax

标杆标杆影长a2

。3%

物体影长a3

矩形的性质和直角三角

h-ay

tana—,形的边角关系

/ah〃2

..i।.....侧倾器高&

水平距离a2h=ai+a2tana

axa2

皮尺倾斜角a

侧倾

%器

矩形的性质和直角三角

加h2

tana=—,tanB=----形的边角关系

一一）aha/

仰角ax

俯角Bh=hi+h2=ai(tana+tanB)

水平距离a.

3）测量底部不可抵达的物体的高度（1）

数学模型所用工应测数据数量关系根据

具理论

ha

「%tana=—x,tanB=一

XX

ah仰角a

0俯角Btanatana

h—a+hi—a+xQa—a(l+xQ)

XIWJ度atanptanp矩形的性质和直角三

皮尺a-h门a角形的边角关系

[3Btana=------,tanB=—

侧倾器XX

俯角a.ct-ha.__ataria

a••x——0••Il—a0

俯角BtanatanptanP

h高度

x

测量底部不可抵达的物体的高度（2）

数字模型所用应测距离数量关系根据

工具原理

Ahh,

tana=tanB=

ax+xX

'4atanatanB

仰角a，••hi—x

tan，一tana

h仰角B

、a/SB

水平距曷Hi

a2atanatan/3

Xx

a.侧倾器高a2h—a2+hi—a2+

tan，一tana

h_h-a

tana=-，tanP=----

皮尺X

侧倾tana矩形的性质和

h—o

/5%器仰角。tana—tanp直角三角形的

..

仰角Bh_h-atana边角关系

htana—,tanP—、1h—

_xxtana—tanPn

IWJ度a

a

/、ax

a

仰角aha~\~h

tana=-，tanP=----

仰角BXX

hIWJ度atana

h—,

tabpo-tana

第三部分真题分类汇编详解2023-2023

（2023）19.（本小题满分6分）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里抵达B处,

9

测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上.之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C近来？（参照数据：sin21.3°弋一，

25

29

tan21.3°y一，sin63.5°弋—，tan63.5°七2)

510

AB

（2023）19.（本小题满分6分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一种遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB

表达窗户，且A5=2米，BCD表达直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时时太阳光与水平线的最小夹角。为18.6,最大夹角夕

为64.5.请你根据以上数据，协助小明同学计算出遮阳蓬中。。时长是多少米？（成果保留两个有效数字）

(参照数据：sinl8.6=0.32,tan18.6=0.34,sin64.5=0.90,tan64.5=2.1)

（2023）19.（本小题满分6分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔C0的高度.他们首先从A处安顿测倾器，测得

塔顶。的仰角NCFE=21°,然后往塔的方向前进50米抵达8处，此时测得仰角NCG5=37°,已知测倾器高1.5米，请你根据以

上数据计算出古塔CD的高度.

3393

（参照数据：sin37°"一，tan37°^―,sin21°—,tan21°^—）

54258

（2023）19.（本小题满分6分）小明家所在居民楼时对面有一座大厦28,48=80米.为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己

家的窗户。处测得大厦顶部/的仰角为37°,大厦底部8时俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦时距离徵的长度.（成果保留整数）

3c3711

（参照数据：sin37°。一tan37,sin480工——，tan48°«——

541010

解:

mm

mm

mm

m□□

第19题图

（2023）19.（6分）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由

的楼梯所占地

cos40°««0.77,sin35°~0.57,tan35°-0.70)

(2023)20.(8分)

如图.某校教学接AB的后面仃一建筑物CD.当光线与地面的夹角是22。时,教学楼在建

筑物的堵上田下高2米的影子CE;而当光线与地面夹角处450时,教学楼顶八在地面上的影

TF与墙角C有13米的距岗（B.F.C在一条直线上）.

（I）求教学楼的高度；

（2）学校要在人£之间挂一些彩旗.请你求出4£之间的距离（结果保①整数）.

（参考数据：sin22°.cos220

8

«¥：(!)

B

第20题

附历年真题原则答案:

(2023)19.(本小题满分6分)

解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D,得到RtZ\ACD与RtZSBCD.

设BD=x海里，

CD

在RtABCD中，tanZCBD=-----，/.CD=x-tan63.5°.

BD

CD

在RtZXACD中，AD=AB+BD=(60+x)海里，tanNA=——，

AD

2/、

.*.CD=(60+x)tan21.3°.x-tan63.5°=(60+x)-tan21.3°,即2元=—(60+元).解得，x=15.

答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C近来....................6,

(2023)19.(本小题满分6分)

解：设5为x,在Rt△犯9中，ZBDC=a=18.6°,

•：tanZBDC=—,：.BC=CDtmZBDC=Q34x.2

CD

在中，ZADC=£=64.5°,VtanZADC=——,：,AC=CDtanZADC=2.1x.

CD

,**AZ?=AC—BC,2=2.1x—0.34x.x^l.14.

答：。长约为1.14米.

(2023)19.(本小题满分6分)

解：由题意知CD_LAD,EF//AD,

ZCEF=90°,设C£=x,

CECEx8

在RtACEF中，tanZCFE=,则EF=---------------——x

EFtanZCFEtan21°3

CECEx4

在RtZXCEG中，tanZCGE=——，则GE=-----=-x

GEtanNCGEtan37°3

84

:EF=FG+EG,:.-x=50+-x.x=37.5,：.CD=CE+ED=37.5+1.5=39（米）.

33

答：古塔的高度约是39米.