2025年中考数学复习复习：几何问题解法讲解之最值问题

第11章最值问题

第1节垂线段最短

【简释】

【法1】【旋转法】正△BMD,黄△三[SAS]AD=MC,ZADM=60°

MA>AH=^AD=^MC

【法2】【等边等角造乌】a+|3=60。,截CD=BM,黄蓝△三[SAS)MC=AD

MA_MAAH_y/3

MC~AD~AD~2

2.[☆☆☆]△ABC,BC=AC,ZABC=30°,AD=4BD=8,ZFDE=60°,ExF分别在射线AC和射线BC上厕EF的最小

值为().

【简释】

【法1】【旋转点】DG_L=4,DG=1,蓝黄△。。£;44)

DE=4DF=4科[解EFD]EF=V13m>V13

【法2]【对角互补】两个a,蓝黄△CO[44],灰^SIAA】

CD=4DQ=WP,DE=4DF=4m,【解EFD]EF=V13m>V13

第2节轨迹法

3.【☆☆☆】RtAABC,ZACB=90°,ZABC=60°,D在直线AB上移动，乙CDE=30o,NCED=9CTBC=4,当AE最小时,

BE=().

【简释】

【法1】【轨迹法:假定点D初始位置为A,点E位置在F]CF±AB

【同旁直角】黄【AA]，灰4[SAS]

左图]两个30。（右图]两个60°）,E在定直线EF上移动AG，EF,AENAG=后,

即E与G重合时,AE最△AFG中,AF=6,【解蓝△】FG=3,BF=2,BGV19

［法2］【旋转法】［369AANE”J|A-［SAS］两个(anNC，4B于F

AN>AF=6,AE=­AN>3V3

AAFG^AANE［AA］当N与F重合时,E与G重合

【解蓝IFG=3,BF=2,BG=V19

4.[☆☆☆☆]正方形ABCD边长为2VX,E、F分别在AD、BC上移动，FC=（百+1）AE,正△EFG,,则DG

的最小值是（）.

【简释】

左图砺="=8+1,令0E=2k,则OF=2k+243k,EF=4k+2y[3k

AE

中垂线GH,。”=遍/c,器=f=器角分线GO,ZOG£=15°

OE2GE

【轨迹法】【△OEG初始为△OAP]中垂线YDP,等=方=2

AP2+V3EG

灰绿a)[SAS]AOPA=15。，霏=筹

中图r\a+p=105。，黄△00[S4S)两个45°,ZAPG=60°

右图

5.【☆☆☆】菱形ABCD边长为3,NBCD=6（r,E在CD上移动,AE、BC的延长线交于F,BE的延长线交DF于G,

则GB的最大值是（）.

【简释】

作CH〃BD

CH_CE_CF_CF

BD~ED~AD~BD

CH=CF

黄蓝△=[SAS]两个a

G在△BCD外接圆。。上

BF

OG=OB=V3,GB<2V3

6.［☆☆☆☆］菱形ABCD边长为4,Z.B=60°„P在BC上移动，PA=PQ,乙4PQ=120。,求DQ的最小值与△

QPD面积S的最小值.

【简释】

【法1］【轨迹法】AAPQ初始△ABE【旋转角为30。士a】灰黄△-【SAS】相似比V33，/BEF

=90°,口()三口乂=令BP=2m,则EQ=V33m,GQ=3m,HP=2m-2,HG=V33遮S=SAGQD-

S、小―S①尸V3(m2—4m+8)>4A/3

浓侧

【法2】a+p=90。,黄As[AA]相似比为遮,令BP=2m

HQ=WAK=V3(4-=V3P/C=3m,HD=|4-3m

1OQ2=3(4-m)2+(4-3m)2=4(3m2―12m+16)>16,DQ>

S=S+S—S=V3(m2—4m+8)>4V3

底浮ADP

【法3】△ACD外接圆OO,BC是切线,PD与。O交于N

ZAPD<ZAND=60°,ZQPD>60°,sinZQPD>sinZAPD

2SAQPD=PQPDsinZQPD,2SAAPD=APPDsinZAPD,

SAPD_sin"PD>iq=q>c=q=、叵

APDACD

SAPDsin^APD-'QPD-'

第3节旋转法

7.[8下]【☆☆】矩形ABCD内接正△DMN,AD>DC,AD=2,DC=m,试确定m的取值范围.

【简释】

【旋转法】作正△DPK

黄△三（S4S）

DA、PM的延长线交于Q

IEADPQ,AD<DQ=DP

W即2<^,m>V3

故V3<m<2

8.[8下】【☆☆】正4ABC边长为2,高为AD,AADC绕点D旋转得到对应△FDE直线EC、AF交于G,则B

G的最大值是（）.

【简释】

两个a,4个P

【对顶点O】

ZCGA=ZFDE=90°

F中垂线=V3

斜边中线HG=1

BG<BH+HG=>/3+1

第4节对称法

9.【8下】［☆］乙40B=20°,OA=3,OB=2,M、N分别在射线OA、OB上，则AM+MN+NB的最小值是（

).

【简释】

4'、A关于OB对称

B'、B关于OA对称

WOB'=60°

【解

【两点间线段最短】

m+k+n>A'B'=V7.

【下】【☆☆☆】的面积为

10.8AABC6,BC=4,^BAC=60°„DxE、F分别在BC、AB、AC上，则.△DEF周

长L的最小值是（）.

【简释】

M、D关于AB对称

N、D关于AC对称

AM=AD=AN

a+p=60°,ZMAN=120°

MN=何M=V3AD

L=ME+EF+FN>MN=s/3AD>小AH=3百

说明1周长最小的内接小是垂足△

11.[☆☆☆]△ABC,AB=2,ZABC=30°,ZBAC=90°,DSA关于BC对称,M、N分别在AB、CD上,AM=DN,则M

【简释】

【法1PM+PN=4。=2,MN2=PM2+PN2>^PM+PN)2=2,MN>V2

【法2】角分线AP,灰△三[SAS]PM=PN,/MPN=/APD

黄绿oISAS)MN=^-AD>^-AD=>/2

[法3]【平移法】灰平行四边形，等腰RtAFD.MN=DENDF=也

第5节平移法

12(8下】【☆☆】AB=2,BC=1,CD=3,直线AB、CD交于E,^AEC=60。厕AD的最小值是().

【简释】【平移法】

【法1］灰平行四边形，［369FCHJ,FD=V19,AD>V19-1

【法2】黄平行四边形，I［369FDHT,CF=V19,AD=>V19-1

13.[8下]【☆☆】ABC,AB=AC=2乃;Z.BAC=120°,D在BC上,(CD=V2.CD绕点C旋转得到CE,呈AEFB

厕FD的最大值是（）.

菱形.ACGB,CEFG,GF=CE=CD=V2,GH=®HD=2V2GD=V14,FD<GD+

GF=V14+V2

第6节线段和的最小值

14.【8下】【☆☆☆】|R%4BC,N4BC=90。,"=60\D在AB上移动,E在AC上，AE=BD„F是BC中

点,AB=2,求BE+DF的最小值.

【简释】

【法1］【等边造之】灰黄.△三［SAS］BE=DG,中位线.FG=1

【垂线对称法】H、F关于BD对称，DF=DH

BE+DF=BG+DH>GH=V13

【法2］【等边造之】黄.A=(SAS)DF=EG

BE+DF=BE+EG>BG=V13

【法3】【等边造之】灰黄.△三(SAS)BE=DG

BE+DF=DG+DF>FG=V13

第7节定边定角

15.【☆☆】正AABC边长为百,D、E分别在AC、AB上,AD=BE,BD交CE于F,连接AF厕AF的最小值为(

).

【简释】

【内夹六模型】ZBFC=120°

BF、FC中垂线交于P【外心】

a+S=120°

四边形BPCF中,NBPC=120。

PF=PC=1,PA=2

AF>PA-PF=1

16【8下】【☆☆】四边形ABCD,BD=2,NABC=90o,NADC=6(F,AD=DC,求四边形ABCD面积的最小值.

【简释】

正小DBEjtA=[SAS]

B+Y=210O,NBAE=150°

AH最大即可，【定边定角法】

AB、AE中垂线交于F【外心】

a+Q=150°,四边形ABFE,ZBFE=60°

正小FBE,矩形FNHM,NH=FM=由

AH+^=AN<AF=2

AH=2—/2—,

棱锥侧加热

‘ABCD或加热—SRBDE—S加水加-2V3-2

17.[☆☆☆☆]△ABC,BC=3,NPBA=/BAC=6(T,NPAB=90。,求CP的最大值.

【简释】

夕卜心G,(G4=GB=V^,作QBLBC,QB=2GB=2聒QC=岳绿C0[44]PQ=

2AG=2V3,CP<PQ+QC=2y/3+VH

第8节定高定角

18【☆☆☆☆】^BAM=乙ABN=90。,NMPN=60°,AP=2PB=2,求SAPMN的最小值.

【简释】

【平行比例】SpMN=2SpKN

【定局】PB=1

【定角】乙KPN=120°

【旋转法】蓝△=(S4S)

【大角对大边[YN>TV=UK

SpVN>SpuK>SpKN>Spw

V、N重合时,U、K重合

=

SpKN=SpuuV3,SPMN>2A/3

19.[☆☆☆☆]正△ABC边长为2+V^,PBEI4B,PCEL4C,,M、N分别在PB、PC±,ZJVMN=30。,,则SAAMN

【简释】

左图y蓝SAS),灰黄aQRSISAMN=SAQN=]NQ•"

中图1【不妨只讨论AMNAN】AU=AV,NUAV=30°【旋转法】绿4=【SAS】，【大

角对大边】VQ>TV=UNNQ>UV,SAANQ>SAAUV

石右图1【15。模式】XC=（2+V3）[/C=2+V3,t/C=1,UV=2MN=NQ>UV=

【法2]

蓝4=【直直】，灰黄△三[SAS]

MN=NQ,SAAMN=SAAQN=0.5NQAC

外心o,正ONQ,NQ=OA,OH=^-NQ

^-NQ+NQNAC=2+W,NQN2=MN

P

第9节面积中的最值问题

20[8下]【☆☆】四边形ABCD,IEAABC,CD=2AD=2,求SABCD的最大值.

【简释】

【旋转法】作正△CDP

PG=V3

蓝小三[SAS]BP=AD=1

BH<1+^3

SBCDW1+V3

21.【8下1【☆☆☆》△ABC,角分线AD,BD>DC,ZBAC=60°,DE±AB,DF±AC,k=返，求k的最大值.

SABC

DE=DF,ZADE=ZADF

【三线合一】ADJ_平分EF,MDN±AD

IEAAMN,DM=DN,MG//AC

。黄三[AAS]SABC=^AMN+SBMG

N