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文档简介
专题3旋转重难点模型(5大类型)
_Um靠氢如他独____________________________________
【题型1手拉手模型】
【题型2“半角”模型】
【题型3构造旋转模型解题】
【题型4奔驰模型】
【题型5费马点模型】
一旦-擦鱼方逆___________________________________________
模型一:“手拉手”模型
模型特征:两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。
模型说明:如图1,AABE,AACF都是等边三角形,可证▲AECg^ABF。
如图2,AABD,AACE都是等腰直角三角形,可证^ADC丝AABE
如图2,四边形ABEF,四边形ACHD都是正方形,可证▲ABDg^AFC
模型二:“半角”模型
模型特征:大角含半角+有相等的边,通过旋转“使相等的边重合,拼出特殊角”
模型说明:
(1)如图,在正方形ABCD中,NEAF=45°,将AADF绕点A顺时针旋转90°,得至
可证▲AEFWAEG,所以可到DF+BE=EF
(2)如图,在等腰直角AABC中,NMAN=45°,将^ACN绕点A顺时针旋转90°,得到▲
ABQ,可证▲AMN/▲AMQ,所以可得CN?+BM?=MN?
(3)如图,等腰上ABC中,AB=BC,NDBE=〈NC3A.将ACBD绕点B逆时针旋转NCBA
的度数得到^ABD,可证▲DBEWAD'BE.
BH
模型三:构造旋转模型解题
方法指导:若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度,通常是以等线段的公共端点为旋
转中心进行旋转,使得相等的边重合,得出特殊的图形.
常见图形旋转:
(1)”等边三角形”的旋转
方法归纳:将等边三角形内的一个小三角形,旋转60度,从而使小三角形
的一边与原等边三角形的边重合,连接小三角形的钝角顶点,得三角形.通过旋
转将不相关的线段转化到同一个三角形中,将分散的已知条件集中起来,使问题
得以解决.
模型四:奔驰模型
如图,等边aABC,PA=3,PB=4,PC=5,
模型五:费马点模型
【费马点问题】
问题:如图1,如何找点P使它到△耳©三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小?
图文解析:
如图1,把aAPC绕C点顺时针旋转60。得到△APC,连接PP.则ACPP,为等边三角形,
CP=PP',PA=P'A',
•••PA+PB+PC=PA+PB+PPBC.
•・•点A,可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60。而得的定点,BA,为
定长
.•.当B、P、P\A,四点在同一直线上时,PA+PB+PC最小.最小
值为BA/
-国道至更/_______________________________
【题型1“手拉手”模型】
【典例1】(2022春•西安期末)如图,在。中,BC=5,以4C为边向外作等边^
ACD,以N8为边向外作等边△4BE,连接CE、BD.
(1)若ZC=4,N4cB=30°,求CE的长;
(2)若/4BC=60°,48=3,求5。的长.
【变式1-1](2022秋•荔湾区校级期中)以AABC的AB,4C为边分别作正方形
正方形4CG尸,连接DC,BF.
(1)CD与8R有什么数量与位置关系?说明理由.
(2)利用旋转的观点,在此题中,AlOC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到
的.
D
【变式1-2](2022九上•吉林期末)如图①,在△ABC中,ZC=9O°,AC=BC=迎,
点D,E分别在边4C,BC上,且CD=CE=«,此时AD=BE,ADJ.BE成立.
图①图②图③
(1)将△CDE绕点C逆时针旋转90。时,在图②中补充图形,并直接写出BE的长度;
(2)当△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中,AD与BE的数量关系和位置关系是否
仍然成立?若成立,请你利用图③证明,若不成立请说明理由;
(3)将△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中,当A,D,E三点在同一条直线上时,
请直接写出4。的长度.
【题型2“半角”模型】
【典例2】(秋•锦江区期末)在△EC中,AB=AC,点E,尸是边BC所在直线上与点8,
C不重合的两点.
(1)如图1,当NA4C=90°,NE4尸=45°时,直接写出线段BE,CF,£尸的数量关系:
(不必证明)
(2)如图2,当NA4C=60°,ZEAF=30°时,已知BE=3,CF=5,求线段EF的长度;
(3)如图3,当NB4c=90°,Z£L4F=135°时,请探究线段CE,BF,E尸的数量关系,
并证明.
【变式2-1】(春•金牛区校级期中)类比探究:
(1)如图1,等边△/BC内有一点尸,若4尸=8,BP=15,C尸=17,求N4P8的大小:
(提示:将八18尸绕顶点4旋转到A4CP处)
(2)如图2,在△4BC中,ZCAB=90°,AB=AC,E、尸为8c上的点,且2瓦4尸=
45°.求证:EF2=BE2+FC2;
(3)如图3,在△48C中,ZC=90°,ZABC=30°,点O为内一点,连接
AO、BO、CO,且N4OC=NCO5=NBO4=120°,若/C=L求O4+OB+OC的值.
图1图2图3
【变式2-2](2022春•西山区校级月考)如图,己知正方形点E、F分别是48、
3C边上,且NEDF=45。,将△D4E绕点。逆时针旋转90。,得到△OCM.
(1)求证:AEDF冬/XMDF;
(2)若正方形43co的边长为5,4E=2时,求所的长?
【变式2-3](2022春•路北区期末)如图,在边长为6的正方形488内作NE4尸=45°,
4E交BC于点、E,■交CD于点尸,连接E尸,将△4£)尸绕点4顺时针旋转90°得到△
ABG.
(1)求证:GE=FE;
(2)若D尸=3,求BE的长为
【变式2-4】(2022秋•山西期末)阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:
从正方形的一个顶点引出夹角为45。的两条射线,并连接它们与该顶点的两对边的交点
构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论,例如:
如图1,在正方形488中,以/为顶点的/及4尸=45°,AE、AF与BC、8边分别交
于E、尸两点.易证得EF=BE+FD.
大致证明思路:如图2,将尸绕点4顺时针旋转90°,得到由NHBE=
180°可得H、B、E三点共线,NHAE=NEAF=45°,进而可证明△4E7WZX4E/,
故EF=BE+DF.
任务:
图1图2图3
如图3,在四边形488中,AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBZD=120°,以4为顶点
的NE4尸=60°,AE.4F与BC、CD边分别交于E、F两点.请参照阅读材料中的解题
方法,你认为结论EF=BE+Z)产是否依然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,
请说明理由.
【题型3构造旋转模型解题】
【典例3】(九上•江津期中)请阅读下列材料:
问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=V3,PC=1,求4BPC
度数的大小和等边三角形ABC的边长.
李明同学的思路是:将aBPC绕点B逆时针旋转60。,画出旋转后的图形(如图
2),连接PP:可得△PTB是等边三角形,而APP,A又是直角三角形(由勾股定理的
逆定理可证),所以NAPB=150。,而4BPC=NAPB=150。,进而求出等边aABC的边长
为V7,问题得到解决.
请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一
点P,且PA=芯,BP=&,PC=1.求/BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.
【变式3-1】(九上•南昌月考)如图,在等边三角形ABC内有一点P,且PZ=2,PB=
百,PC=1,求ABPC的度数和等边三角形ABC的边长.
B
【变式3-2】(九上•德州期中)当图形具有邻边相等的特征时,我们可以把图形的一部分
绕着公共端点旋转,这样将分散的条件集中起来,从而达到解决问题的目的.
(1)如图1,等腰直角三角形ABC内有一点P,连接AP,BP,CP,NAPB=135。,
为探究AP,BP,CP三条线段间的数量关系,我们可以将aABP,绕点A逆时针旋转
90。得到△ACP',连接PP',贝iJPP=AP,ACPP是三角形,AP,
BP,CP三条线段的数量关系是.
(2)如图2,等边三角形ABC内有一点P,连接AP、BP、CP,zAPB=150°,请
借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系.
(3)如图3,在四边形ABCD中,ADIIBC,点P在四边形的内部,且PD=PC,zCPD
=90°,zAPB=135°,AD=4,BC=5,请直接写出AB的长.
【题型4奔驰模型解题】
【典例4】(2023•崂山区模拟)阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:如图1,在正三角形/5C内有一点尸,且R4=3,
PB=4,PC=5,求N4PB的度数.
小伟是这样思考的:如图2,利用旋转和全等的知识构造△ZP'C,连接
PP',得到两个特殊的三角形,从而将问题解决.
请你回答:图1中N4P3的度数等于—.
参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
(1)如图3,在正方形4SC。内有一点尸,且PB=\,PD=
g则N4P5的度数等于—,正方形的边长为—;
(2)如图4,在正六边形45cDE厂内有一点尸,且尸N=2,PB=\,PF=
V13,则N4P5的度数等—,正六边形的边长为
【变式4-1](2023春•广东期中)18.如图,尸是正三角形48c内的一点,且
PA=6,PB=8,PC=10.若将△尸NC绕点N逆时针旋转后,得到
(1)ZMAP=°,连接尸则尸;
(2)求N4P5的度数.
【变式4-2](2023春•古田县期中)阅读材料,解决问题:
(1)如图①等边△A8C内有一点尸,若点尸到顶点/、B、C的距离分别为
5,12,13,求N4P3的度数.为了解决本题,我们可以将AAS尸绕顶点/旋
转到△NCP处,此时ZUCP咨/XABP,这样就可以利用旋转变换,将三条
线段尸/、PB、尸C转化到一个三角形中,从而求出N4P3=;
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题,已知如图②,△
48。中,ZC45=90°,AB=AC,E、产为5c上的点且NE4/=45。,求证:
EFi=BE2+FC2.
A
【变式4-3](2023春•市南区期中)如图,点O是等边△48C内一点,。是△
45C外的一点,ZAOB=WG°,ZBOC=a,将△台。。绕点。顺时针旋转
60°得A1DC,连接。Z).
(1)当a=150°,ZODA=;
(2)当a为多少度时,是等腰三角形?说明理由.
【变式4-4](2023春•金牛区校级月考)如图,在等边△48。中,点D为LABC
内的一点,ZADB=120°,ZADC^90°,将40绕点N逆时针旋转60°得
AE;
(1)求证:AABD*AACE;
(2)求NDCE的度数;
(3)若BD=1,求40,CZ)的长.
【变式4-5](2022春•侯马市期末)如图①,△N3C和△40七中,ZBAC=Z
DAE=90°,点刀、E分别在边48、AC±,ZABC=ZADE=45°.
(1)如图②,将△40石绕点Z逆时针旋转到如图位置,若/BAD=30。,
求/员4£的度数;
(2)如图②,将△4DE绕点/逆时针旋转过程中,当旋转角度a=时,
直线NC与。£垂直(0°VaW360°);
(3)如图③,绕点2在平面内自由旋转,连接5。,且40=4,AB=
10,求的最大值和最小值.
【题型5费马点模型解题】
【典例5】(秋•祁江区期末)背景资料:
在已知所在平面上求一点尸,使它到三角形的三个顶点的距离之和最
小.
这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的,
所求的点被人们称为“费马点”.
如图①,当△々C三个内角均小于120°时,费马点尸在△4BC内部,此时
ZAPB=ABPC=ZCPA=120°,此时,尸/+尸3+尸。的值最小.
解决问题:
(1)如图②,等边△/SC内有一点尸,若点尸到顶点/、B、C的距离分别
为3,4,5,求N4P5的度数.
为了解决本题,我们可以将尸绕顶点/旋转到处,此时△NCP
分ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段上4,PB,尸C转化到一个
三角形中,从而求出N4PB=;
基本运用:
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:
如图③,A45C中,ZC45=90°,AB=AC,E,尸为5c上的点,且产
=45°,判断应;EF,尸。之间的数量关系并证明;
能力提升:
(3)如图④,在RtAZffC中,ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,点尸为
RtA45C的费马点,连接4P,BP,CP,求正/+尸5+尸。的值.
【变式5-1](2022秋•大冶市期末)如图,。是等边三角形48。外一点,连接
AD,BD,CD,已知5。=8,8=3,则当线段40的长度最小时,
①/BDC=;
@AD的最小值是
【变式5-2](2022•荷塘区模拟)在△月5c中,若其内部的点。满足N
BPC=ZCPA=12G°,则称尸为A45C的费马点.如图所示,在A43C中,已
知/加C=45°,设尸为A45C的费马点,且满足NPA4=45°,PA=4,则4
PAC的面积为
BC
专题3旋转重难点模型(5大类型)
_Um靠氢如他独___________________________________
【题型1手拉手模型】
【题型2“半角”模型】
【题型3构造旋转模型解题】
【题型4奔驰模型】
【题型5费马点模型】
•-援筌变修________________________________________
模型一:“手拉手”模型
模型特征:两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。
模型说明:如图1,AABE,AACF都是等边三角形,可证▲AECg^ABF。
如图2,AABD,AACE都是等腰直角三角形,可证^ADC丝AABE
如图2,四边形ABEF,四边形ACHD都是正方形,可证▲ABDg^AFC
模型二:“半角”模型
模型特征:大角含半角+有相等的边,通过旋转“使相等的边重合,拼出特殊角”
模型说明:
(1)如图,在正方形ABCD中,/EAF=45°,将AADF绕点A顺时针旋转90°,得到AABG
可证▲AEFWAEG,所以可到DF+BE=EF
(2)如图,在等腰直角AABC中,NMAN=45°,将^ACN绕点A顺时针旋转90°,得到▲
ABQ,可证▲AMN/▲AMQ,所以可得CN?+BM?=MN?
(3)如图,等腰AABC中,AB=BC,NDBE=JNCUA.将ACBD绕点B逆时针旋转NCBA
的度数得到^ABD,可证▲DBEWAD'BE.
BH
模型三:构造旋转模型解题
方法指导:若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度,通常是以等线段的公共端点为旋
转中心进行旋转,使得相等的边重合,得出特殊的图形.
常见图形旋转:
(1)”等边三角形”的旋转
方法归纳:将等边三角形内的一个小三角形,旋转60度,从而使小三角形
的一边与原等边三角形的边重合,连接小三角形的钝角顶点,得三角形.通过旋
转将不相关的线段转化到同一个三角形中,将分散的已知条件集中起来,使问题
得以解决.
模型四:奔驰模型
如图,等边aABC,PA=3,PB=4,PC=5,
则①NAPB=150°,②SAABCAB2=*!更匹
44
模型五:费马点模型
【费马点问题】
问题:如图1,如何找点P使它到△耳©三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小?
图文解析:
如图1,把aAPC绕C点顺时针旋转60。得到△APC,连接PP.则ACPP,为等边三角形,
CP=PP',PA=P'A',
.♦•PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'BC'.
•・•点A,可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60。而得的定点,BA,为
定长
.•.当B、P、P\A,四点在同一直线上时,PA+PB+PC最小.最小
值为BA/
-国道至变/_______________________________
【题型1“手拉手”模型】
【典例1】(2022春•西安期末)如图,在△怂。中,BC=5,以4C为边向外作等边^
ACD,以48为边向外作等边AIBE,连接CE、BD.
(1)若4C=4,ZACB=30°,求CE的长;
(2)若NZBC=60°,48=3,求5。的长.
【解答】解:(1)•••△48E与ZUCD是等边三角形,
.'.AC—AD,AB=AE,
:.ZDCA=ZCAD-ZEAB=60°,
,ZEAB+ZBAC^ZCAD+ZBAC,
即NE/C=NB4D
在△区4c和△B4D中,
'AE=BA
<NEAC=NBAD,
LAC=AD
:•△EAgABAD(SAS),
:.EC=BD9
又・.・NZCB=30°,
:・NDCB=NACB+NDCA=90°,
■:CD=AC=4,BC=5,
BD=TBC2@D2=425+16=V41,
AC£=V41;
(2)如图,作EK垂直于C5延长线于点K.
Y^ABE与/\ACD是等边三角形,
^.AC=AD,AB=AE,
ZDCA=ZCAD=ZEAB=6Q°,
/.NEAB+NBAC=NCAD+/BAC,
即NE4C=NR4Z).
在△瓦4c和△切。中,
rAE=BA
,NEAONBAD,
LAC=AD
AEAC^/\BAD(SAS),
:,EC=BD,
VZABC=60°,NABE=60°,
/.ZEBK=60°,
/.ZBEK=3Q°,
13
:・BK=±BE=0,
22
【变式1・1】(2022秋•荔湾区校级期中)以△々C的45,ZC为边分别作正方形40”,
正方形4CGR连接DC,BF.
(1)8与5尸有什么数量与位置关系?说明理由.
(2)利用旋转的观点,在此题中,△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到
的.
【解答】解:(1)CD=BFS.CD±BF,理由如下:
•.•四边形48即和四边形4CG尸都是正方形,
:.AD=AB,AC=AF,ZDAB=ZCAF=90°,
又VNDAC=ZDAB+ZBAC,NB4F=ZCAF+ZBAC,
:.ZDAC^ZBAF,
在△D4C与△切尸中,
'AD=AB
-ZDAC=ZBAF,
,AC=AF
:.ADAgABAF(SAS),
:.DC=BF,
:.ZAFB=ZACD,
又,:4AFN+NANF=90°,NANF=NCNM,
:.ZACD+ZCNM=9QQ,
/.ZNMC=9Qa,
:.BF±CD;
(2)':AD^AB,AC=AF,CD=BF,ZDAB=ZCAF=90°,
...△/LDC可看成是AIS/绕点4顺时针旋转90°得到的.
【变式1-2](2022九上,吉林期末)如图①,在△ABC中,zC=90°,AC=BC=^,
点D,E分别在边4C,BC上,且CD=CE=V^,MAD=BE,AD_LBE成立.
图①图②图③
(l)将△CDE绕点C逆时针旋转90。时,在图②中补充图形,并直接写出BE的长度;
(2)当△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中,与BE的数量关系和位置关系是
否仍然成立?若成立,请你利用图③证明,若不成立请说明理由;
(3)将△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中,当A,D,E三点在同一条直线上
时,请直接写出AD的长度.
【答案】解:如图所示,
BE=2V2;
(2)解:AD^BE,ADJ.BE仍然成立.
证明:延长AD交BE于点H,
AACD=Z-ACB-Z.BCD,
ABCE=ADCE-ABCD,
:.AACD=ABCE,
又,:CD=CE,AC=BC,
:.△BCE,
:.AD=BE,zl=z2,
在RtZXABC中,zl+z3+z4=90°,
.\z2+z3+z4=90°,
:.AAHB=90°,
J.ADLBE.
(3)4。=而-1或4。=返+1
【题型2“半角”模型】
【典例2】(秋•锦江区期末)在△疑。中,AB=AC,点E,尸是边所在直线上与点5,
C不重合的两点.
(1)如图1,当NA4C=90°,NE4尸=45°时,直接写出线段BE,CF,M的数量关
系:(不必证明)
(2)如图2,当NA4C=60°,NEAF=30°时,己知BE=3,CF=5,求线段E尸的长
度;
(3)如图3,当NA4c=90°,ZEAF=135°时,请探究线段CE,BF,EF的数量关系,
【解答】解:(1)结论:EF1=BE1+CF1.
理由:VZBAC=90a,AB=AC,
...将△/LBE绕点4逆时针旋转90°得AlCG,连接尸G,如图1中,
:.AG=AE,CG=BE,N4CG=NB,ZEAG=90a,
NFCG=ZACB+ZACG=ZACB+ZB=90a,
/.FG2=FC2+CG2=BE2+FC2:
又;NE4F=45°,
而NEAG=90°,
:.ZGAF=90°-45°=45°,
;・NEAF=NGAF,
\'AF=AF9AE=AG,
,/\AEFW/\AGF(SAS),
:.EF=FG,
:.EF2=BE2+CF2.
(2)如图2中,VZBAC=6O0,AB=AC,
・••将A4BE绕点Z逆时针旋转60°得A4CG,连接产G,作交BC的延长线于
H.
图2
VZBAC=60°,NEAF=30°,
/.ZBAE+ZCAF=ZCAG+ZCAF=ZFAG=3Q°,
JNE4F=NFAG,
\'AF=AF,AE=AG,
:.△AEgAAGF(SAS),
:.EF=FG,
在RtZXCGH中,•:CG=BE=3,NGS=60°,
...NCGN=30°,
.•.Ca=2CG=g
22
在Rtz^FG”中,FG
:.EF=FG=1.
(3)结论:EF1=EC1+BF2
理由:如图3中,将八位:。绕点Z顺时针旋转90°,得到—BG,连接FG.
/.ZABC=ZACB=45°,
9:/\ACE^/\ABG,
:.ZCAE=ZBAGfEC=BG,ZACE=ZABG=45°,
:.ZCAB=ZEAG=90Q,ZGBF=90°,
AZFAG=3600-Z.EAF-ZEAG=360°-135°-90°=135°,
/.ZFAE=ZFAG9
■:FA=FA,AG=AE9
:AFAEQ/\FAG(SAS),
:・EF=FG,
在RtZ\TOG中,TN尸3G=90。,
.'.FG^^BG2+BF2,
':FG=EF,BG=EC,
:.EF2=EC1+BF2.
【变式2-1】(春•金牛区校级期中)类比探究:
(1)如图1,等边△/BC内有一点尸,若4P=8,BP=15,CP=11,求N4PB的大小;
(提示:将ZUBP绕顶点/旋转到A4CP处)
(2)如图2,在△4BC中,ZC4B=90°,AB=AC,E、尸为上的点,且/瓦4产=
45°.求证:EF2^BE2+FC2;
(3)如图3,在△NBC中,ZC=90°,ZABC=30°,点。为△ZBC内一点,连接
40、BO、CO,且NNOC=NCO5=NBOZ=120°,若/C=l,求OZ+OB+OC的值.
【解答】解:(1)如图1,将AlPB绕着点4逆时针旋转60°得到△4CP',
J.^ACP'^/\ABP,
:.AP'=4P=8、CP'=5尸=15、ZAP'C=NAPB,
由题意知旋转角NR4P=60°,
J.^APP'为等边三角形,
:.PP'=AP=S,ZAP'尸=60°,
,:PP’2+pC2=82+152=172=PC2,
:.APP'C=90°,
:.NAPB=NAP'C=NAP'P+NPP'C=60°+90°=150°
(2)如图2,把△ABE绕着点4逆时针旋转90°得到△4CE',
则4E'=AE,CE'=CE,ZCAE'=NBAE,
':ZBAC=9Q°,ZEAF=45°,
:.NBAE+NCAF=NCAF+NCAE'=NFAE'=45°,
:.NEAF=NE'AF,S.AE=AE,AF=AF,
:.^AEF9/\AE'F(.SAS},
:.EF=E'F,
VZB^-ZACB=90°,
/.ZACB+ZACEr=90°,
AZFCEr=90°,
:.ErF2=CF2+CEf2,
:.EF2=BE2+CF2i
(3)如图3,将绕点8顺时针旋转60°至△/'O'B处,连接OO',
•・•在RtZUBC中,ZC=90°,AC=19ZABC=3Q0,
:.AB=29
・•・BC=VAB2-AC2=V3,
,•,△208绕点5顺时针方向旋转60°,
••.△Z'Of8如图所示;
ZArBC=ZABC+6^=30°+60°=90°,
VZACB=90°,AC=19ZABC=30°,
A.B=224C=2f
,•,△203绕点3顺时针方向旋转60。,得到△/'O'B,
:.ArB=AB=2,BO=BO',HO'=AO,
:./\BOO'是等边三角形,
:.BO=OO',Z.BOO'=NBO'0=60°,
VZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,
:.NCOB+NBOO'=NBO'A'+ZBO'0=120°+60°=180°,
:.C.O、A'.O'四点共线,
在RtA4'8c中,A'C—VBC2+A?B2—V7,
:.OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C=中.
【变式2-2】(2022春•西山区校级月考)如图,己知正方形力5。),点£、F分别是A3、
BC边上,且NEZ)F=45。,将△ZME绕点。逆时针旋转90。,得到△QCM.
(1)求证:4EDFm△MDF:
(2)若正方形488的边长为5,4£=2时,求E尸的长?
【解答】(D证明:•.•四边形458是正方形,
:.NA=NB=NDCF=90°,AD=AB=BC=5,
由旋转得:
ZA=ZDCM=90a,DE=DM,NEDM=90°,
/.ZDCF+ZDCM=1800,
二尸、C、M■三点在同一条直线上,
;NED尸=45°,
:.ZFDM=ZEDM-NEDC=45°,
:.NEDF=FDM,
•:DF=DF,
:.4ED0/\MDFCSAS);
(2)设CF=x,
:.BF=BC-CF=5-x,
由旋转得:AE=CM=2,
:.BE=AB-AE=3,FM=CF+CM=2+x,
---△EDgAMDF,
:.EF=FM=2+x,
在RtZ\EB尸中,BE2+BF2=EF2,
/.9+(5-x)2=(2+x)2,
・丫15
7
:.EF=2+x=^-,
7
尸的长为29.
7
【变式2-3](2022春•路北区期末)如图,在边长为6的正方形488内作NE1F=45°,
4E交BC于点E,AF交CD于点F,连接E尸,将△〃)尸绕点4顺时针旋转90°得到△
ABG.
(1)求证:GE=FE;
【解答】(1)证明:・・•将AID尸绕点2顺时针旋转90°得到A43G,
:・DF=BG,ND4F=NBAG,
VZDAB=90°,NEAF=45°,
:.NDAF+NEAB=45°,
/.ZBAG^-ZEAB=45°,
・•・ZEAF=NEAG,
在△及4G和产中,
<AG=AF
<ZEAG=ZEAF,
,AE=AE
A^EAG^/XEAF(SAS),
:,GE=FE,
(2)解:设5E=x,贝ijGE=BG+3E=3+x,CE=6-x,
:.EF=3+X9
YCD=6,D尸=3,
ACF=3,
VZC=90°,
/.(6-x)2+32=(3-hr)2,
解得,x=2,
即BE=2,
【变式2-4】(2022秋•山西期末)阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:
从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线,并连接它们与该顶点的两对边的交点
构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论,例如:
如图1,在正方形488中,以Z为顶点的NE4尸=45°,AE、AF与BC、8边分别交
于E、尸两点.易述得EF=BE+FD.
大致证明思路:如图2,将尸绕点4顺时针旋转90°,得到△48",由NHBE=
180°可得“、B、E三点共线,NHAE=NEAF=45",进而可证明
故EF=BE+DF.
图1图2图3
如图3,在四边形月58中,AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBAD=120a,以Z为顶点
的尸=60°,AE、4F与BC、CD边分别交于E、尸两点.请参照阅读材料中的解题
方法,你认为结论E尸=5E+Q尸是否依然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,
请说明理由.
【解答】解:成立.
证明:将尸绕点4顺时针旋转120°得到ZUBM,
:.△ABMWdADF,ZABM^ZD=90a,NMAB=NFAD,AM=AF,MB=DF,
:.NMBE=NABM+N/BE=180°,
:.M、B、E三点共线,
NMAE=NMAB+NBAE=NFA"NBAE=/BAD-ZEAF=60a,
:.ZMAE=NFAE,
•:AE=AE,AM=AF,
:.^MAE^^FAE(.SAS'),
:.ME=EFf
:・EF=ME=MB+BE=DF+BE.
图3
【题型3构造旋转模型解题】
【典例3】(九上•江津期中)请阅读下列材料:
问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=V3,PC=1、求NBPC
度数的大小和等边三角形ABC的边长.
李明同学的思路是:将aBPC绕点B逆时针旋转60。,画出旋转后的图形(如图
2),连接PP,,可得aPTB是等边三角形,而APP,A又是直角三角形(由勾股定理的
逆定理可证),所以NAPB=150。,而/BPC=NAPB=150。,进而求出等边aABC的边长
为V7,问题得到解决.
请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一
点P,且PA=V^,BP=V2,PC=1.求NBPC度数的大小和正方形ABCD的边长.
将ABPC绕点B逆时针旋转90。,MABP^,RIJABPC^ABP-A.
,AP,=PC=1,BP=BP,=V2;
连接PP',
在RtABPT中,
VBP=BPf=V2,/PBP,=90。,
,PP,=2,zBP'P=45°;
在AAPP中,AP,=LPP,=2,AP=yfs,
Vl2+22=(V5)2,BPAP,2+PP,2=AP2;
.♦.△APP是直角三角形,即/APP=90。,
."APB=135。,
."BPC=/APB=135。.
过点B作BE1AP,,交AP的延长线于点E,
."BEP,=90。,
;NAP'B=135。,
."EP'B=45。,
...△BEP,是等腰直角三角形,
VBP'-y[2,
;.EP,=BE=1,
.".AE=AP,+EP,=2;
.•.在Rt^ABE中,由勾股定理,得AB=V^;
.,.zBPC=135°,正方形边长为V5.
【变式3-1】(九上•南昌月考)如图,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=
百,PC=1,求Z.BPC的度数和等边三角形ABC的边长.
【解答】解:•.WABC是等边三角形
:.^ABC=60°
将ABPC绕点B顺时针选转60°,连接BP'
/.AP'=CP=1,BP,=PB=K,zBPC=/-P'BA,z.AP'B=Z-BPC
■:乙PBC+AABP=乙ABC=60°
.•.乙4BP+乙4BP=乙ABC=60°
:.AP'PB是等边三角形
:.PF=5,z_PP'B=60°
':AP'=1,AP=2
:.AP'2+PP'2=AP2
:.APP'A为直角三角形
;.NBPC=NAPB=150°
过点B做BM1AP',交AP'的延长线于点M
:.AMP'B=30°,BM=@
2
3
•'•AM—1+堤=与
22
由勾股定理得:AB=IJAM2+BM2~V7
等边三角形ABC的边长为y/y.
【变式3-2】(九上•德州期中)当图形具有邻边相等的特征时,我们可以把图形的一部分
绕着公共端点旋转,这样将分散的条件集中起来,从而达到解决问题的目的.
(1)如图1,等腰直角三角形ABC内有一点P,连接AP,BP,CP,zAPB=135°,
为探究AP,BP,CP三条线段间的数量关系,我们可以将AABP,绕点A逆时针旋转
90。得到△ACP',连接PP',则PP=AP,ACPP'>三角形,AP,
BP,CP三条线段的数量关系是.
(2)如图2,等边三角形ABC内有一点P,连接AP、BP、CP,zAPB=150°,请
借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系.
⑶如图3,在四边形ABCD中,ADIIBC,点P在四边形的内部,且PD=PC,zCPD
=90。,NAPB=135。,AD=4,BC=5,请直接写出AB的长.
【解答】(1)V2;直角;PC2=BP2+2AP2
(2)解:如图所示,将4ABP绕点B顺时针旋转60。得到4CBP',连接PP,,
由旋转的性质可得:Bp=BP,zCp,B=z^4PB=150°,"Bp,=60",AP'
=AP,CP'=AP,
/.△BPP'是等边三角形,
:.BP=PP',ABP'P=60°,
APP'C=Z-CP'B-ABP'P=90°,
:.PC2=PP'2+P'C2,
:.PC2=BP2+AP2;
(3)解:=V4i
【题型4奔驰模型解题】
【典例4】(2023•崂山区模拟)阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:如图1,在正三角形力3c内有一点尸,且尸力=3,
尸5=4,PC=5,求N4P5的度数.
小伟是这样思考的:如图2,利用旋转和全等的知识构造△&?'C,连接
PP',得到两个特殊的三角形,从而将问题解决.
请你回答:图1中NAPB的度数等于150。.
参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
(1)如图3,在正方形48C。内有一点尸,且尸PB=\,PD=
V17,则N4P6的度数等于135°,正方形的边长为V13;
(2)如图4,在正六边形/5。刀石尸内有一点尸,且PN=2,PB=\,PF=
V13,则N幺尸3的度数等于120°,正六边形的边长为
V7.
【答案】见试题解答内容
【分析】阅读材料:把△4P5绕点/逆时针旋转60°得到—。尸‘,根据旋
转的性质可得PA=PA,P'C=PB,APAP'=60°,然后求出△⑷,P是
等边三角形,根据等边三角形的性质求出产产'=PA=3,ZAP'尸=60°,
再利用勾股定理逆定理求出NPPC=90°,然后求出N4P'C,即为N4P5
的度数;
(1)把△4P5绕点N逆时针旋转90°得到△4DP,根据旋转的性质可得
P'A=PA,P'D=PB,ZPAP'=90°,然后判断出A4PP是等腰直角三
角形,根据等腰直角三角形的性质求出尸P,ZAP'尸=45°,再利用勾股
定理逆定理求出NPP。=90°,然后求出N4P'D,即为N4P5的度数;再
求出点尸'、尸、3三点共线,过点幺作„尸尸'于E,根据等腰直角三角
形的性质求出,然后求出5E,在Rt△幺跳:中,利用勾股定
2
理列式求出AB即可;
(2)把△4P5绕点/逆时针旋转120。得到A4"',根据旋转的性质可得
P'A=PA,P'F=PB,APAP'=120°,然后求出A4PP是底角为30。的
等腰三角形,过点Z作㈤/,尸尸'于跖设尸P与力尸相交于N,求出aw=
1,再求出尸尸',ZAP'尸=30°,再利用勾股定理逆定理求出NPPF=
90°,然后求出N/PF,即为N4P5的度数;根据P尸、4M的长度得到
P'F=AM,利用“角角边”证明△力和N全等,根据全等三角形
对应边相等可得4V=网,P'N=MN,然后求出MM在RtA4A/N中,利用
勾股定理列式求出3,然后求出/尸即可.
【解答】解:阅读材料:把△4P5绕点/逆时针旋转60。得到△4CP',
由旋转的性质,P'幺=R4=3,P'D=PB=4,NPAP'=60°,
:.AAPP'是等边三角形,
:.PP'=24=3,AAP'尸=60°,
":PP'2+尸'C2=32+42=25,尸02=52=25,
:.PP'2+P'C=Pd
:.APP'C=90°,
/.ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°;
^LZAPB=ZAP'C=150°;
(1)如图3,把△4P6绕点N逆时针旋转90°得到△ZDP,
由旋转的性质,PA=PA=2®,P'D=PB=1,/PAP'=90°,
:./\APP'是等腰直角三角形,
:.PP'=V2P^=72X272=4,NAP'P=45°,
':PP'2+p3=42+12=17,PZ>2=V172=17,
:.PP'2+P'小=产。2,
:.乙PP'0=90°,
ZAP'D=/AP'P+ZPP'D=45°+90°=135°,
故,ZAPB=ZAP'0=135°,
•:4APB+/APP'=135°+45°=180°,
...点P、尸、3三点共线,
过点幺作4ELLPP于E,
则=』X4=2,
22
:.BE=PE+PB=2+\=3,
在Rt/\ABE中,^-5=VAE2+BE2=A/22+32=<^13;
(2)如图4,•正六边形的内角为上X(6-2)*180°=120°,
6
...把△4P5绕点力逆时针旋转120°得到A4/P',
由旋转的性质,P'A=PA=2,P'F=PB=LZPAP'=120°,
AZAPP'=/AP'P=1(180°-120°)=30°,
过点/作N/LPP于/,设尸P与ZE相交于N,
则W=UN=_1X2=1,
22
P'M=PM="\/PA2-AM2=^22-12=»
:.PP'=2PM=2M,
':PP'2+P'产=(273)2+y=i3,尸产=后2=”,
:.PP'2+P'产=尸产,
AZPP'F=90°,
AZAP'F=ZAP'P+ZPP'F=30°+90°=120°,
故,ZAPB=ZAP'F=120°,
,:P‘F=4M=1,
■:AAMN和AFP,N中,
'/PP'F=ZAMN=90°
<NP'NF=ZANM,
PF=AM
AAAMN^AFP'N(AAS),
:.AN=FN,P'N=MN=kp'M=®,
在中,42痴2+股2
故答案为:150°;(1)135°,V13;(2)120°,4.
【变式4-1](2023春•广东期中)18.如图,尸是正三角形48c内的一点,且
PA=6,尸5=8,PC=10.若将绕点Z逆时针旋转后,得到△腿48.
(1)ZMAP=
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