2025年高考数学复习大题题型归纳：数列中的恒成立和存在性问题（原卷）

专题06数列中的恒成立和存在性问题

1.设£为正项数列｛册｝的前n项和，满足2Sn=成+%-2.

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)若不等式(1+品)与24对任意正整数"都成立，求实数t的取值范围；

⑶设6n=薪皿计1)(其中e是自然对数的底数)，求证：空+等+…+含<乎.

的b4bn+26

2.已知数列｛九｝是首项瓦=l,b=10的等差数列，设源+2=31ogia(nGN*).

44n

⑴求证：｛期｝是等比数列；

(2)记Cn=—,求数列｛Cn｝的前71项和骑；

bnbn+l

v(3)7在(2)的条件下，记%=(3n+l)-S“，若对任意正整数n,不等式;+；+…+二丁>?恒成立,

"、/"九+d]n+d2n+dn24

求整数机的最大值.

3.已知数列｛an｝的前"项和为Sn,满足：牛=an+l(neN*)

⑴求证：数列｛册｝为等差数列；

(2)若a2=5,令"=数列｛为｝的前n项和为7“，若不等式45(T-T)<m2-57n对任意neN*恒成

an2n+1n

立，求实数冽的取值范围.

4.设/(%)=sinx—%+1%2.

(1)当％NO时，求证：f(x)>0；

(2)证明：对一■切正整数都有sinl+sinA,+sinA-+sinA,+…+sin-^,>g-.

2"3”4”nL22(n+l)

5.已知等差数列｛册｝满足Ci3=S2+1,S3=a4+2,其中又为｛册｝的前n项和，递增的等比数列也｝满足:九=1,

且bi，厉，仇―4成等差数列.

(1)求数列｛须卜｛九｝的通项公式;

(2)设｛2•%｝的前n项和为7n,求7n

(设的=，｛品｝的前〃项和为右，若力告恒成立，求实数的最大值・

3)3右n+n)%？+in+1n22

6.已知数列｛an｝中，%=1,点尸(册,册+i),九€N*在直线式一y+1=0上.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)设“=Sn为数列仍“｝的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g(n),使得Si+S+-S_=(S-

an2n1n

l)-g(n)(n22,neN*)恒成立，若存在，写出g(n)的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由.

7.记Sn为数列｛aj的前"项和,已知n的+(ri-l)a2H--I-an=2Sn-1.证明:

(l)｛Sn｝为等比数列;

(2)^-+-+■•-+-<7.

ala2an

2

8.已知数列｛册｝的前〃项和为%，2Sn+n+2n+3=an.

⑴求册；

(2)若垢=|%九1，对任意的14九<1。，nGN*,+>t,求t的取值范围.

9.已知等差数列｛册｝满足：a3=4,a5+a7=14,｛an｝的前n项和为Sn.

(1)求时及5?1；

(2)令生=厩，，若对于任意"€N*,数列｛6n｝的前"项和Tn<ni恒成立，求实数%的取值范围.

10.已知数列｛an｝的前〃项和为％,的=一|，且25八+册+2=0.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列｛%｝满足2bn+(n-3)%=0(neN*),记数列｛%｝的前n项和为Tn,若7n+1<tbn,对任意n6N*

恒成立，求实数l的取值范围.

11.已知等比数列&｝的前几项和为Sn，且=1，2=28,数列也｝满足6n=31og3(cO+L

(1)求数列｛%｝和｛幻｝的通项公式；

(2)若对任意的九€N*,劝„<3与恒成立，求实数4的取值范围.

12.设等差数列｛an｝的前〃项和为S相,数列｛或｝是首项为1公比为q(qeN*)的等比数列，其前〃项和为〃，

且九2(〃+I)=2n%,对任意neN恒成立.

⑴求数列｛a“｝,也｝的通项公式；

(2)设％=%•%，记｛%｝的前“项和为R”，若成3)对任意九CN*恒成立，求实数4的取值范围.

n+1

13.已知数列｛an｝、｛0｝满足的=2,an+1=2an+2,%=1,bn+1-bn-

(1)求证：｛剽为等差数列，并求｛册｝通项公式;

(2)若cn=出，记｛%｝前W项和为〃，对任意的正自然数“，不等式Tn<4恒成立，求实数4的范围.

an

14.已知正项数列｛%｝的首项的=1,前〃项和%满足％=后I+JSS>2).

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)记数歹1］、^｝的前“项和为T”，若对任意的neN*,不等式4T“<a?-a恒成立，求实数a的取值范围.

15.已知各项为正数的数列｛册｝的前n项和为Sn,若4sn=^+2a“+l.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设0=」-，且数列｛%｝的前几项和为Tn，求证：l<Tn<l.

anan+l3

16.函数/'(久)=a/+bx+c满足f(0)=。，/(久)=f(-l—x),且与直线y=-2%-2相切.

(1)求实数a,b,c的值；

(2)已知各项均为正数的数列｛册｝的前n项和为Sn,且点6n,45/在函数/(久)的图象上，若不等式5„+8>(-

l)n-4册对于任意neN*恒成立，求实数4的取值范围.

17.已知｛时｝为等差数列,｛bn｝为公比qH1的等比数列,且的=瓦=1,a2=b2,a5=b3.

(1)求｛an｝与｛%｝的通项公式；

(2)设册="+—―,求数列｛0｝的前n项和7\；

anan+l

(3)在(2)的条件下，若对任意的几之1,nEN,2Tzi>(4九一3)t■恒成立，求实数t的取值范围.

18.已知数列｛%｝的前几项和为治,满足：牛=an+l(neN*).

(1)求证：数列｛册｝为等差数列；

(2)若=3,数列｛"｝满足/=。1也=口3-l』gbn+lgbn+2=21gZ?n+1(nGN*),记T"为｛0｝的前几项和，求

证：Tn-Tn+2<Tn+V

(回二为奇数

⑶在(2)的前提下，记品=《，数列｛%｝的前2n项和为勺八，若不等式(―1)-+FT<K2n

(10g2%+i，n为偶数4n+1一

对一切71eN*恒成立，求4的取值范围.

19.设｛册｝是公差不为零的等差数列，满足臼=1,+。7=%3,设正项数列｛%｝的前n项和为Sn，且4Sn+

2bn—3.

(1)求数列｛%｝和仍"｝的通项公式;

(2)在瓦和Z)2之间插入1个数%11，使匕1、%n>Q成等差数列;在82和仇之间插入2个数%21、%22，使力2、X21、

工22、必成等差数列；…，在加和勾+i之间插入〃个数%九1、%成、…、Xnn,使“、%ni>&2、…、%nn>bn+1

成等差数列，求T九=%n+到1+x22+…+%nl+xn2+…％nn；

(3)对于(2)中求得的Tn,是否存在正整数加、n,使得Tn="成立？若存在，求出所有的正整数对(犯九)；

若不存在，请说明理由.

20.已知数列｛aj的前"项和为Sn,且的=1,a2=2,an+2—3an+1+2an=0.

(1)求证：数列｛册+i-％｝是等比数列，并求｛册｝的通项公式；

(2)若4(1+Sn)>271—11(〃GN*),求实数4的取值范围.

21.已知函数f(x)满足f(x)+f(l-久)=2,若数列｛册｝满足：册=/(0)+/(£)+-+/(尸)+/(1).

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝满足b=•!，6n=(n>2),数列｛时｝的前n项和为％,若％<对一切几GN*恒成

Jan'an+l

立，求实数4的取值范围.

22.若｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列,4=瓦=1,。5=5(。4一。3),为=4(九一4).

⑴求｛an｝和圆｝的通项公式；

，(3an-2)bn,n为奇数，

(2)对任意的正整数n,设7=1°之+2'"'求数列&｝的前2n项和.

产"，n为偶数.

Vbn+l

(3)记｛an｝的前几项和为％,且满足2Sn-an+i<m[(n+l)bn+1-an-1]对于neN*恒成立，求实数m的取

值范围.

23.已知各项均为正数的数列｛册｝的前〃项和为治,且册,5„,成为等差数列.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)已知以=((foeN*),是否存在meN*,使得WieN*,an*恒成立?若存在，求出加的值；若

不存在，说明理由.

24.已知数列｛册｝是递增的等比数列.设其公比为q,前兀项和为区,并且满足的+as=34,8是a?与。4的

等比中项.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

n+1

(2)若0=n-an,Tn是小的前n项和,求使7n-n-2>-100成立的最大正整数n的值.

n

25.已知数列｛即｝的前〃项和为Sn,%=1,Sn=an+1-2

⑴证明：数列镖为等差数列；

n

(2)VnGN*,(n-6)an>A2,求7的最大值.

26.已知函数f(x)=x+：,Sn=/(£)+/(9+•••+/(一)+/(早)，其中neN*,且"22

(1)当几之2时，求S九；

(2)设方=1册=~-(neN*,n>2),记数列｛册｝的前n项和为7\,求使得7\<?恒成立的m的最

小整数.

n+1

27.已知数列｛an｝的前几项和为%,cti=1,Sn+1=2Sn+2

(1)证明数列｛会｝是等差数列，并求数列｛册｝的通项公式；

(2)设0=知，若对任意正整数n,不等式6n<川毛+18恒成立,求实数小的取值范围.

28.已知｛与｝为等差数列，公差为1,｛%｝是公比为2的等比数列，且。2=打，。3+。5=匕4・

(1)证明:%=d；

⑵求集合｛用瓦=a2mfl<m<100｝的子集个数.

29.已知数列｛册｝满足的=1,(2九一1)册+i=(2九+1)%.

(1)求Sn｝的通项公式；

⑵若%=(9"，设数列｛%4｝的前―项和5.,证明：Sn<y.

30.已知数列｛an｝中，⑥=1,S”为数列｛%｝的前ri项和,且S“+i=Q.Sn.

an

(1)求数列｛册｝的通项公式;

(2)若数列初„｝满足比+22.劣+32.外+…+层.6n=an(nGN*),7\为数列｛bj的前几项和，求证：〃<2.

31.已知｛a“｝是等差数列,也｝是等比数列(公比不为1),也｝的前〃项和Tn,且的=bi=3,。4=b2,a1a5=T3

⑴求数列：｛册｝,｛九｝的通项公式;

(2)设册=产詈,｛%｝的前n项和为Mn•对于任意正整数"当"八<讥恒成立时，求小的最小值.

32.已知公差不为0的等差数列｛册｝的前几项和为S九，且的,。2，。5成等比数列，。2a3=他.

(1)求数列｛册｝的通项公式an;

(2)若几22,+求满足条件的九的最小值.

——

021331on—140

2册,九是偶数，

33.已知数列｛册｝满足％=3,且an+i

an-1,九是奇数.

(1)设"=a2n+a2n_i,求数列初九｝的通项公式;

(2)设数列｛册｝的前n项和为无,求使得不等式Sn>2023成立的n的最小值.

34.已知函数/(x)=Inx—空/+2.

(1)若函数/(x)在点(1)(1))处的切线在两坐标轴上截距相等，求k的值；

(2)(i)当％>1.时，/(%)>0恒成立，求正整数k的最大值；

2(n-2)2

(ii)记册=(1+1x2)(1+2x3)---[1+(九—l)n],bn=e—«—,nGN+且九>2.试比较册与0的大小并

说明理由.

35.设对任意几GN*,数列｛册｝满足。Va九<1,a<-yJaa,数列｛%｝满足O=血生.

n+1nn+2an

(1)证明：｛%｝单调递增，且7<1；

⑵记%=写出-应」，证明：存在常数如使得然=1以<t.

an+lanan+2'

36.设函数/n(%)=-1+%+出+*+…+%

(1)求函数%(%)在点(以3(1))处的切线方程；

⑵证明:对每个neN*,存在唯一的&€存1],满足7no“)=0；

(3)证明:对于任意peN*,由(2)中乂„构成的数